Utn analisis1 limite

Introducción Definición Propiedades As´ıntotas
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Concordia
Ingenier´ıas Civil, Eléctrica e Industrial
Mario Alvarez
Unidad 2 - L´ımite en funciones escalares
Bibliograf´ıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1
Primer cuatrimestre 2016
Mario Alvarez Unidad 2 - L´ımite en funciones escalares Bibliograf´ıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1

Índice
Introducción
Definición
Propiedades
As´ıntotas

Exploración al concepto de l´ımite
Consideremos la siguiente función: f(x) = 2x2+x−6
2x−3 . ¿Cuál es su
comportamiento ”cerca” de x = 1,5?

Definición informal
Supongamos que f(x) está definida en un intervalo abierto que
contiene a x = c, excepto posiblemente en x=c. Si f(x)
está arbitrariamente cerca de L (tan tan cercano como queramos)
siempre que x esté suficientemente cerca al valor x = c,
excepto en x = c, se dice que f se aproxima a L cuando x tiende
a x = c, y se escribe
l´ım
x→c
f(x) = L
Se lee ”el l´ımite de f(x) cuando x tiende a c es L”.
Ejemplos. . .

Definición informal
La definición antes dada es ”informal” porque las frases
arbitrariamente cercana y suficientemente cerca no son precisas (su
significado depende del contexto).
Pensemos en que cuando decimos ”x está cerca de c, excepto
posiblemente en c” estamos diciendo que 0 < |x − c| < δ para un δ
considerado.
De igual manera, al decir que ”f(x) está arbitrariamente cerca de
L” lo expresamos de igual forma escribiendo que |f(x) − L| <
para un epsilon dado

Otro ejemplo de exploración
¿Cómo se comporta la siguiente función cuando x está cerca de 3?
Dir´ıamos, aún informalmente, que existe el l´ımite de la función
para este comportamiento de la variable?
f(x) =
|x − 3|
x − 3

Definición formal
Definición (L´ımite finito)
Cuando escribimos que l´ımx→c f(x) = L lo que queremos decir es
lo siguiente (formalmente, sin subjetividades):
para todo E(L, ) existe al menos un E (c, δ) tal que se cumple
que:
si x ∈ E (c, δ) =⇒ f(x) ∈ E(L, )
¿Cómo más se podr´ıa escribir esta definición?
¿Cómo se usar´ıa para formalizar que l´ımx→3 2x − 5 = 1?

Deﬁnici´on formal
l´ım
x→c
f(x) = L ⇔ ∀ > 0 ∃ δ = δ( ) > 0 / x ∈ E (c, δ) =⇒ f(x) ∈ E(L,

No existencia de l´ımite
Ejemplo
Probar para la siguiente funci´on f que no existe el l´ımite para
c ∈ R: f(x) =
1 si x ∈ Q
0 si x ∈ I
Teorema
Si l´ımx→c f(x) = L con L = 0 y l´ımx→c g(x) = 0 entonces
l´ımx→c
f(x)
g(x) no existe.
Ejemplo
Probar para la siguiente funci´on f que no existe el l´ımite para
x = 3: f(x) = x + 1
x−3 + 1

Equivalencias usuales de la deﬁnici´on
Teorema
l´ımx→c f(x) = L ⇔ l´ımx→c(f(x) − L) = 0 ⇔
l´ımx→c |f(x) − L| = 0 ⇔ limh→0(f(c + h)) = L

L´ımites laterales
Definición (L´ımite lateral por izquierda)
Sean f una función definida al menos en un intervalo de la forma
(c − h, c) con h > 0.
Diremos que l´ımx→c− f(x) = L (y se lee L es el l´ımite de f(x)
cuando x se acerca a c por izquierda, y se lo denomina ”l´ımite
lateral izquierdo de f(x)”), si para cada > 0 existe un δ > 0 tal
que si c − δ < x < c entonces |f(x) − L| < .

Definición (L´ımite lateral por derecha)
Sean f una función definida al menos en un intervalo de la forma
(c, c + h) con h > 0.
Diremos que l´ımx→c+ f(x) = L (y se lee L es el l´ımite de f(x)
cuando x se acerca a c por derecha, y se lo denomina ”l´ımite
lateral derecho de f(x)”), si para cada > 0 existe un δ > 0 tal
que si c < x < c + h entonces |f(x) − L| < .

Teorema
l´ım
x→c
f(x) = L ⇔ l´ım
x→c−
f(x) = L ∧ l´ım
x→c+
f(x) = L

Actividad
Probar, aplicando la definición, los siguientes l´ımites. Luego
explorar numéricamente, si corresponde, con algún valor:
1. l´ımx→c x = c [Función identidad]
2. l´ımx→c mx + b = m(c) + b [Función lineal]
3. l´ımx→c |x| = |c| [Función módulo]
4. l´ımx→c c = c [Función constante]
5. l´ımx→4 x2 − 5 = 11
6. l´ımx→1
1
x+4 = 1
5
7. l´ımx→2 ex = e2
8. l´ımx→c f(x) = L =⇒ l´ımx→c |f(x)| = |L| (¿Qué ocurre con
el rec´ıproco?)

Algunas propiedades 1
1. Unicidad del l´ımite
2. Teorema de las funciones equivalentes
3. Conservación del signo (no la probaremos, opcional en
Rabuffetti)
4. L´ımite de una suma y una resta de dos funciones
5. L´ımite de una multiplicación por un escalar.
6. L´ımite de una multiplicación (no la probaremos, opcional
Salas)
7. L´ımite de una función acotada por un infinitésimo
8. L´ımite de un cociente de dos funciones. (no la probaremos,
opcional Salas, ó Apóstol)
9. Teorema de la función intermedia.
1
Ampliar en libro de Gay y Salas-Hille

Otros resultados (algunos no los probaremos, para otros lo
haremos más adelante) 2
1. L´ımite del logaritmo, logaritmo del l´ımite
2. L´ımite de la función exponencial y la función logar´ıtmica
3. L´ımite de la función potencial exponencial
4. (Corolario) Otra forma de calcular el l´ımite de la función
potencial f(x) = xn
5. l´ım
x→∞
1 +
1
x
x
= l´ım
x→0
(1 + x)
1
x = e
2
Opcional en Rabuffetti, Sadosky Guber

Generalización del concepto de l´ımite
Definición (L´ımite infinito)
l´ımx→c f(x) = +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃ δ > 0 / 0 < |x − c| < δ =⇒
f(x) > M.
Ejemplo
Probar que l´ımx→0
1
x2 = +∞
Definición (As´ıntota vertical)
Se dice que x = c es una as´ıntota vertical
⇔ l´ımx→c+ f(x) = ±∞ ∨ l´ımx→c− f(x) = ±∞

Generalización del concepto de l´ımite
Definición (L´ımite en el infinito)
l´ımx→∞ f(x) = L ⇔ ∀ > 0 ∃ N > 0/x > N =⇒ |f(x)−L| < .
Definición (As´ıntota horizontal)
Se dice que y = L es una as´ıntota horizontal
⇔ l´ımx→+∞ f(x) = L ∨ l´ımx→−∞ f(x) = L
Definición (As´ıntota obl´ıcua)
Se dice que la recta y = mx + b es una as´ıntota obl´ıcua ⇔
l´ımx→+∞ [f(x) − (mx + b)] = 0 ∨
l´ımx→−∞ [f(x) − (mx + b)] = 0

Actividad (esbozo de gráficas)
Esbozar el gráfico de las siguientes funciones.
1. f(x) = 3x2
2x2−2
2. f(x) = x2−5x+6
2x−3

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