Derivada de una funcion

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN –
TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
Lic. Jaime R. Malpica Alfaro

• La derivada es la herramienta más poderosa inventada por el
hombre. El año de su invento fue el año en que Isaac Newton
estableció la Teoría de la Gravitación Universal y el Cálculo
Diferencial.
• Históricamente la derivada sirvió para el estudio de la posición
dinámica de un objeto a través del tiempo, es decir en donde sea
necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una
situación. Esta interpretación de movimiento, de variación, destaca
su importancia en muchos campos, por ejemplo en física, la
velocidad de una partícula en movimiento se define en forma de
derivada. La rapidez de reproducción de bacterias en Biología; la
tasa de crecimiento de una población en Sociología. La velocidad o
rapidez de una reacción química para los químicos; la
funcionabilidad de un estrategia de venta para un Administrador;
los cálculos en tres dimensiones para los ingenieros; etc.
CONOZCAMOS ALGO DE SU HISTORIA

 DEFINICIÓN
• Una función «f» de variable real «x» con dominio D, se dice derivable
en el punto «x = a» donde a  D; si y sólo si existe y es finito el
siguiente límite:
• Al valor de dicho límite, se le llama la derivada de la función «f» en
el punto «a» y se denota por:

• Si cambiamos el punto de vista y hacemos que el número «a» varíe, la
definición anterior cambia al reemplazar «a» con una variable «x»; es
decir, se tiene:
 EJEMPLOS:
1. Sea f (x) = 13x - 6 , encuentre: f '(x)
3. Si f (x) = x3 + 7x , encuentre f '(x)
2. Si f (x) = 1/x , encuentre f '(x)
4. Si f (x) = x2 - 5x + 3 , encuentre f '(3)
5. Si f (x) = 3x2 + 8x - 1 , encuentre f '(2/3)

 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA – PENDIENTE DE UNA TANGENTE
0 a x
x - a


f(x) – f(a)


 Q1
Q2
Q3
0
P

 EJEMPLO:
• Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva: f(x) = x2 ; en el punto (2,4)
 Solución:
i) Graficando, tenemos:
1
1
2
4
f(x)=x2
£

ii) Recordemos que:
iii) Identificando datos, tenemos:
a =2
f(a) = 4
f(x)=x2
iv) Reemplazando y operando, tenemos:
0
(2;4)

 REGLAS DE DERIVACIÓN
• El proceso de encontrar la derivada de una función de manera directa a
partir de su definición, es decir mediante el proceso de límite, puede
consumir tiempo y ser tedioso.
• Por este motivo se darán herramientas que nos permitan hacer del
cálculo un proceso corto y simple.
• Mediante las siguientes tablas de derivadas, se nos facilitará su cálculo
y se podrán hallar la derivada de funciones por más complicadas que
parezcan.

FUNCIÓN DERIVADA
f(x) = k f’(x) = 0
f(x) = x f’(x) = 1
f(x) = lnx

 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1. f(x) = Senx  f’(x) = Cosx
2. f(x) = Cosx  f’(x) = -Senx
3. f(x) = Tgx  f’(x) = Sec2x
4. f(x) = Ctgx  f’(x) = -Csc2x
5. f(x) = Secx  f’(x) = Secx. Tgx
6. f(x) = Cscx  f’(x) = -Cscx. Ctgx
• Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por
adición, sustracción, multiplicación por una constante, multiplicación o
división de dos funciones, sus derivadas se pueden calcular en términos
de la derivada de las funciones anteriores.

 PROPIEDADES DE LA DERIVACION DE
FUNCIONES
• Sea «k» una constante, además «f» y «g» funciones diferenciables,
entonces se cumple:
1. k.x’ = k (x)’ 2. f(x)  g(x)’ = f’(x)  g’(x)
3. f(x) . g(x)’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)

 EJEMPLOS:
1. Encuentre la derivada de: f (x) = x8 + 12x5 + 10x3 - 6x + 5

SEMINARIO DE EJERCICIOS
 Hallar la derivada de los siguientes ejercicios:
1. f(z) = (3z + 2)(z 2 + 2z - 5)
2. f( x) = ( x20 + 6x12 )( x8 + 2x )
3. y = 5senx + 3cos x
4. y = (senx + cos x) sec x
5. y = (senx + tan x)(x8 - 2x)
6. y = (sec x + tan x)(sec x - tan x)
7. y = (ex - x + 5) ln x + 3x - 7

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