Integrales impropias.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
SEDE CABUDARE
INTEGRALES IMPROPIAS
ELABORADO POR:
JOSE FLORES
BARQUISIMETO, ABRIL DEL 2016

2. INTEGRALES IMPROPIAS.
Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las
integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.
Integrales impropias de primera especie.
Convergencia.
Sea f (x) continua
(∀ x ) Si existe lim
𝑏→∞
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑏→∞
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).
De igual modo, definimos también
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
−∞
= lim
𝑎→−∞
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, y
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
= lim
𝑎→−∞
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ lim
𝑏→∞
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
, si los limites existen
Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) =
1
𝑥2 con el eje X, a partir de x = 1.
∫
1
𝑥2 𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑏→∞
∫
1
𝑥2 𝑑𝑥
𝑏
1
= lim
𝑏→∞
𝑥−1
−1
entre 1 y b = lim
𝑏→∞
(
−1
𝑏
- (-1)) = 1

3. Integrales impropias de segunda especie.
Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a.
(∀ x ) Si existe lim
𝛿→0
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎+𝛿
, definimos
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝛿→0
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎+𝛿
Si el límite no existe, diremos que ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
es divergente.
Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del
recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= lim
𝛿→0
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
0+𝛿
= lim
𝛿→0
(𝑥 ln 𝑥 − 𝑥) entre 𝛿 y 1
= -1 - lim
𝛿→0
(𝛿 ln 𝛿)
= −1

4. Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) =
1
(𝑥−1)2 entre x = 0 y x = 2.
La función no está acotada en x = 1.
S = ∫
1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥
1
0
+ ∫
1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥
2
1
= lim
𝛿→0
∫
1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥
1−𝛿
0
+ lim
𝛿→0
∫
1
(𝑥−1)2 𝑑𝑥
2
1+𝛿
= lim
𝛿→0
1
𝑥−1
entre 0 y 1 – 𝛿 + lim
𝛿→0
1
𝑥−1
entre 1 + 𝛿 y 2
= lim
𝛿→0
(
1
𝛿
− 1) + lim
𝛿→0
(−1 +
1
𝛿
) = ∞
La integral impropia es divergente.
Otras aplicaciones.
Ejemplo: Después de x semanas, se prevé que se recauden f (x) = xe3 - x millones de pesetas
por semana. ¿En qué momento la afluencia de dinero será máxima?. ¿Cuánto será lo
recaudado en las tres primeras semanas?. ¿Cuánto se recaudaría si el tiempo fuese ilimitado?
f´ (x) = - 𝑒3−𝑥
(-1 + x) = 0 → x = 1
La afluencia de dinero será máxima en la primera semana.

5. Lo recaudado en las tres primeras semanas será:
∫ (𝑥𝑒3− x
)
3
0
𝑑𝑥 = - 4 + 𝑒3
≈ 16.086 millones de pesetas.
En tiempo ilimitado, la recaudación sería:
∫ 𝑥𝑒3− x
𝑑𝑥
∞
0
= lim
𝑏→∞
∫ 𝑥𝑒3− x
𝑑𝑥
𝑏
0
= lim
𝑏→∞
[−4𝑒3− x
+ 𝑒3− x
(3 − 𝑥)] entre 0 y b
= lim
𝑏→∞
(−𝑒3−b
− 𝑒3−b
𝑏 + 𝑒3
) = 𝑒3
≈ 20.086 millones de pesetas