Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales de variable real, incluyendo:
1) La definición de función, dominio y rango.
2) Cómo calcular el dominio y rango de una función.
3) Ejemplos de funciones reales como f(x)=x2+1 y g(x)=-x2+2x y el cálculo de sus dominios y rangos.
1. FUNCIONES
REALES
Nivel PRE
������−14
ℍ������������������������������������
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2. Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos denotado por (������, ������) donde importa
el orden.
1era 2da
componente componente
Ejemplos: Ojo
1 1
2; 5 −1; 3 ; ������ ������; Son diferentes
2 2
Teorema (Igualdad de pares ordenados)
������, ������ = ������, ������ ↔ ������ = ������ ∧ ������ = ������
Ejemplo:
Si ������ − 2; 6 = 3; 2������ → ������ − 2 = 3 ∧ 6 = 2������ → ������ = 5 ∧ ������ = 3
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3. Plano cartesiano
Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma
con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto
correspondiente al número 0 en cada línea.
������
Segundo Primer Nombrado en honor del
cuadrante cuadrante matemático y filosofo
francés René Descartes.
������
(������; ������)
������ ������ ������
Tercer Cuarto
cuadrante cuadrante
1596 - 1650
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5. Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos ������ y ������. El producto cartesiano de ������
con ������ se denota por ������ × ������ y se define como:
������ × ������ = ������, ������ / ������ ∈ ������ ∧ ������ ∈ ������
Ejemplo:
Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5
Entonces
������ × ������ = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Propiedades: Del ejemplo anterior
������. ������ × ������ ≠ ������ × ������ ������ × ������ = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3)
������. ������ × ������ = ������ × ������ ↔ ������ = ������
������. ������(������×������) = ������ ������ ⋅ ������ ������ En el ejemplo: ������(������×������) = 2 ⋅ 3 = 6
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6. Relación binaria
Sean ������ y ������ dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de ������ en ������ a
todo subconjunto del producto cartesiano ������ × ������. Es decir,
������ es una relación de ������ en ������ ↔ ������ ⊂ ������ × ������
Ejemplo:
Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5
Entonces
������ × ������ = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Algunas relaciones de ������ en ������ seran:
������ = 1; 2 ⊂ ������ × ������
������ = 1; 4 , (3; 2) ⊂ ������ × ������
������ = 1; 2 , 1; 5 , 3; 5 ⊂ ������ × ������
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7. Función
Diremos que la relación ������ de ������ en ������ es una función si y solo si:
a cada elemento ������ ∈ ������ le corresponde un único elemento ������ ∈ ������, tal
que ������; ������ ∈ ������.
������
Notación funcional: ������: ������ ⟶ ������ o ������ ������
Ejemplo:
Dada la relación ������ = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Lo representamos con un diagrama sagital:
������ Vemos que a cada elemento del
������ ������
conjunto ������ , le corresponde un único
⋅3 ⋅1 elemento del conjunto ������.
⋅5 ⋅2
Por lo tanto, ������ es una función.
⋅8 ⋅5
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8. Función
Ejemplo: indique cual de las siguientes relaciones es un función.
������ ������ ������
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9. Condición de unicidad
Sea ������ una función.
Si ������; ������ ∈ ������ ∧ ������; ������ ∈ ������, entonces, ������ = ������
Ejemplo:
Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función,
halle el valor de ������ + ������.
������ = 2; ������ − 5 , 5; 9 , ������ + 2; 1 , 2; 6 , 5; ������ 2
De la función vemos que:
������ − 5 = 6 → ������ = 11
9 = ������ 2 → ������ = 3 ∨ ������ = −3
Analicemos para cada caso:
Si ������ = ������: ������ = 2; 6 , 5; 9 , 5; 1 (no es función)
Si ������ = −������: ������ = 2; 6 , 5; 9 , −1; 1 (si es función)
Es decir, ������ = 11 y ������ = −3. Por lo tanto, ������ + ������ = 8
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10. Dominio y rango de
una función
Dominio de una función:
Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Dom(������)
Rango de una función:
Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Ran(������)
Ejemplo:
Dada la función ������ = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Dom ������ = 3; 5; 8 (Conjunto de pre imágenes)
Ran ������ = 5; 1; 2 (Conjunto de imágenes)
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11. Regla de correspondencia
Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del
rango.
Sea ������: ������ ⟶ ������ una función, entonces
������; ������ ∈ ������ ↔ ������ ������ = ������
denota la dependencia entre ������ e ������.
Además, ������ es la variable independiente.
������ es la variable dependiente.
Ejemplo.
Dada la función ������ = 1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16)
Se obtiene que:
������ 1 = 1 = 12
������ 2 = 4 = 22 ������ ������ = ������ 2 ������ ∈ 1; 2; 3; 4
������ 3 = 9 = 32
o ������ = ������ 2 ������ ∈ 1; 2; 3; 4
������ 4 = 16 = 42
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12. Funciones reales
Diremos que la función ������: ������ ⟶ ������ es una función real de variable
real, si ������ y ������ son subconjuntos de los reales.
Es decir: ������ ⊂ ℝ ∧ ������ ⊂ ℝ.
Ejemplo: ������ ������
������: −1; 3 ⟶ 1; 10
������ ⟼ ������ 2 + 1
������ ������
Como ������ = −1; 3 ⊂ ℝ y ������ = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces ������ ������ = ������ 2 + 1 es
una función real de variable real.
Observaciones:
1. Dom ������ = ������ En el ejemplo, Dom ������ = −1; 3
2. Ran ������ ⊆ ������
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13. Cálculo del
dominio y rango
Sea ������: ������ ⟶ ������ una función tal que ������ ⊂ ℝ y ������ ⊂ ℝ.
Dominio de ������: Rango de ������:
Esta formado por todos los Esta formado por todos los
valores reales de ������ ∈ ������ , que valores reales de ������ ∈ ������ (conjunto
garantizan la existencia de de imágenes) y se calcula a
������ = ������ ������ . partir de su dominio.
Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función ������ ������ = ������ − 2 + 1
������ ������ existe en ℝ si y solo si: Se tiene la función ������ = ������ − 2 + 1
������ − 2 ≥ 0 Como ������ ≥ 2 (Dominio)
→ ������ ≥ 2 → ������ − 2 ≥ 0
→ ������ ∈ 2; +∞ → ������ − 2 ≥ 0
→ Dom ������ = 2; +∞ → ������ − 2 + 1 ≥ 1
������
∴ Ran ������ = 1; +∞
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14. Cálculo del
dominio y rango
APLICACIÓN
Halle el rango de la función ������(������) = −������ 2 + 2������, si se sabe que su
dominio es igual al conjunto de los números reales.
Se sugiere completar el cuadrado:
������(������) = −������ 2 + 2������ = − ������ 2 − 2������ +1 − 1 = −(������ − 1)2 +1
(������ − 1)2
Como Dom ������ = ℝ, entonces, ������ ∈ ℝ
→ (������ − 1) ∈ ℝ
→ (������ − 1)2 ≥ 0
→ −(������ − 1)2 ≤ 0
→ −(������ − 1)2 + 1 ≤ 1
������ ������
∴ Ran ������ = −∞; 1
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