SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 14
Descargar para leer sin conexión
FUNCIONES
                          REALES

                           Nivel PRE




������−14
        ℍ������������������������������������
                        Prof.: Christiam Huertas
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos denotado por (������, ������) donde importa
el orden.

                                                    1era       2da
                                                 componente componente

Ejemplos:                                               Ojo
                                      1             1
             2; 5       −1; 3           ; ������    ������;            Son diferentes
                                      2             2


Teorema (Igualdad de pares ordenados)
                    ������, ������ = ������, ������   ↔ ������ = ������ ∧ ������ = ������

Ejemplo:
Si ������ − 2; 6 = 3; 2������      → ������ − 2 = 3 ∧ 6 = 2������             → ������ = 5 ∧ ������ = 3

                                                                      Prof.: Christiam Huertas
Plano cartesiano
Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma
con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto
correspondiente al número 0 en cada línea.

                    ������
   Segundo                         Primer           Nombrado en honor del
   cuadrante                       cuadrante        matemático y filosofo
                                                    francés René Descartes.
                    ������
                               (������; ������)

                    ������        ������               ������



   Tercer                          Cuarto
   cuadrante                       cuadrante
                                                           1596 - 1650

                                                                Prof.: Christiam Huertas
Plano cartesiano
Ejemplo.
Represente geométricamente los puntos: 3; 2 , −4; 1 y (2; −3).

                   ������



                                 (3; 2)
                   2
       (−4; 1)
                         1
                             2
     −4             ������           3        ������



                  −3
                             (2; −3)




                                                       Prof.: Christiam Huertas
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos ������ y ������. El producto cartesiano de ������
con ������ se denota por ������ × ������ y se define como:

                           ������ × ������ =       ������, ������ / ������ ∈ ������ ∧ ������ ∈ ������


Ejemplo:
Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5
Entonces
      ������ × ������ =        1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5

Propiedades:                           Del ejemplo anterior
������. ������ × ������ ≠ ������ × ������                  ������ × ������ = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3)

 ������. ������ × ������ = ������ × ������ ↔               ������ = ������
 ������. ������(������×������) = ������   ������   ⋅ ������   ������     En el ejemplo: ������(������×������) = 2 ⋅ 3 = 6

                                                                             Prof.: Christiam Huertas
Relación binaria

Sean ������ y ������ dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de ������ en ������ a
todo subconjunto del producto cartesiano ������ × ������. Es decir,

                ������ es una relación de ������ en ������ ↔ ������ ⊂ ������ × ������

Ejemplo:
Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5
Entonces
     ������ × ������ =     1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Algunas relaciones de ������ en ������ seran:
  ������ =   1; 2    ⊂ ������ × ������
  ������ =   1; 4 , (3; 2) ⊂ ������ × ������
  ������ =   1; 2 , 1; 5 , 3; 5   ⊂ ������ × ������


                                                                Prof.: Christiam Huertas
Función
Diremos que la relación ������ de ������ en ������ es una función si y solo si:
a cada elemento ������ ∈ ������ le corresponde un único elemento ������ ∈ ������, tal
que ������; ������ ∈ ������.
                                                ������
Notación funcional: ������: ������ ⟶ ������ o ������                 ������

Ejemplo:
Dada la relación ������ =        3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Lo representamos con un diagrama sagital:

              ������                   Vemos que a cada elemento del
      ������                ������
                                   conjunto ������ , le corresponde un único
     ⋅3              ⋅1            elemento del conjunto ������.
     ⋅5              ⋅2
                                   Por lo tanto, ������ es una función.
     ⋅8              ⋅5


                                                                  Prof.: Christiam Huertas
Función
Ejemplo: indique cual de las siguientes relaciones es un función.

      ������                          ������                            ������




                                                          Prof.: Christiam Huertas
Condición de unicidad
Sea ������ una función.
               Si ������; ������ ∈ ������ ∧    ������; ������ ∈ ������, entonces, ������ = ������

Ejemplo:
Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función,
halle el valor de ������ + ������.
                 ������ =    2; ������ − 5 , 5; 9 , ������ + 2; 1 , 2; 6 , 5; ������ 2
De la función vemos que:
               ������ − 5 = 6     → ������ = 11
                   9 = ������ 2   → ������ = 3 ∨ ������ = −3
Analicemos para cada caso:
Si ������ = ������:     ������ =    2; 6 , 5; 9 , 5; 1     (no es función)
Si ������ = −������:   ������ =     2; 6 , 5; 9 , −1; 1    (si es función)
Es decir, ������ = 11 y ������ = −3.             Por lo tanto, ������ + ������ = 8
                                                                         Prof.: Christiam Huertas
Dominio y rango de
                                                 una función
Dominio de una función:
Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Dom(������)

Rango de una función:
Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Ran(������)

Ejemplo:
Dada la función ������ =   3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Dom ������ = 3; 5; 8         (Conjunto de pre imágenes)
 Ran ������ = 5; 1; 2        (Conjunto de imágenes)



                                                             Prof.: Christiam Huertas
Regla de correspondencia

Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del
rango.
Sea ������: ������ ⟶ ������ una función, entonces
                         ������; ������ ∈ ������ ↔ ������ ������ = ������
denota la dependencia entre ������ e ������.
Además, ������ es la variable independiente.
        ������ es la variable dependiente.
Ejemplo.
Dada la función ������ =   1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16)
Se obtiene que:
  ������ 1 = 1 = 12
  ������ 2 = 4    = 22           ������ ������ = ������ 2     ������ ∈ 1; 2; 3; 4
  ������ 3   = 9 = 32
                         o     ������ = ������ 2      ������ ∈ 1; 2; 3; 4
  ������ 4   = 16 = 42
                                                                Prof.: Christiam Huertas
Funciones reales
Diremos que la función ������: ������ ⟶ ������ es una función real de variable
real, si ������ y ������ son subconjuntos de los reales.
Es decir: ������ ⊂ ℝ ∧ ������ ⊂ ℝ.

Ejemplo:           ������        ������
              ������: −1; 3 ⟶ 1; 10
                    ������ ⟼ ������ 2 + 1
                             ������ ������


Como ������ = −1; 3 ⊂ ℝ y ������ = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces ������ ������ = ������ 2 + 1 es
una función real de variable real.
Observaciones:
1. Dom ������ = ������          En el ejemplo, Dom ������ = −1; 3
2. Ran ������ ⊆ ������

                                                        Prof.: Christiam Huertas
Cálculo del
                                             dominio y rango

Sea ������: ������ ⟶ ������ una función tal que ������ ⊂ ℝ y ������ ⊂ ℝ.
Dominio de ������:                        Rango de ������:
Esta formado por todos los            Esta formado por todos los
valores reales de ������ ∈ ������ , que       valores reales de ������ ∈ ������ (conjunto
garantizan la existencia de           de imágenes) y se calcula a
������ = ������ ������ .                          partir de su dominio.

Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función ������ ������ = ������ − 2 + 1
������ ������ existe en ℝ si y solo si:       Se tiene la función ������ = ������ − 2 + 1
          ������ − 2 ≥ 0                  Como ������ ≥ 2 (Dominio)
      → ������ ≥ 2                          → ������ − 2 ≥ 0
       → ������ ∈ 2; +∞                     →  ������ − 2 ≥ 0
      → Dom ������ = 2; +∞                  →  ������ − 2 + 1 ≥ 1
                                               ������
                                        ∴ Ran ������ = 1; +∞
                                                             Prof.: Christiam Huertas
Cálculo del
                                             dominio y rango
APLICACIÓN
Halle el rango de la función ������(������) = −������ 2 + 2������, si se sabe que su
dominio es igual al conjunto de los números reales.


Se sugiere completar el cuadrado:
������(������) = −������ 2 + 2������ = − ������ 2 − 2������ +1 − 1 = −(������ − 1)2 +1
                         (������ − 1)2
Como Dom ������ = ℝ, entonces, ������ ∈ ℝ
                           → (������ − 1) ∈ ℝ
                            → (������ − 1)2 ≥ 0
                            → −(������ − 1)2 ≤ 0
                            → −(������ − 1)2 + 1 ≤ 1
                                     ������ ������

                                                ∴ Ran ������ = −∞; 1
                                                             Prof.: Christiam Huertas

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Matemática: Unidad I
Matemática: Unidad IMatemática: Unidad I
Matemática: Unidad IChristiam3000
 
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenLI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenJosé A. Alonso
 
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer orden
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer ordenLI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer orden
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer ordenJosé A. Alonso
 
Teoria aditiva de numeros
Teoria aditiva de numerosTeoria aditiva de numeros
Teoria aditiva de numeroslgbarrerav
 
ÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOS
ÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOSÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOS
ÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOSFlorencio Huaypuna
 
Expohelmuth
ExpohelmuthExpohelmuth
Expohelmuthorestes
 
LI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. AplicacionesLI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. AplicacionesJosé A. Alonso
 
Recetas para la resolución de ed os
Recetas para la resolución de ed osRecetas para la resolución de ed os
Recetas para la resolución de ed osEmiliano Tuti
 
Algebra 4° 4 b
Algebra 4° 4 bAlgebra 4° 4 b
Algebra 4° 4 b349juan
 
Power point polinomios
Power point polinomiosPower point polinomios
Power point polinomioscataberroara
 
Capitulo1. Introducción al álgebra
Capitulo1. Introducción al álgebraCapitulo1. Introducción al álgebra
Capitulo1. Introducción al álgebraMarrano Axqueroxix
 
Logica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De ConjuntosLogica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De ConjuntosLISHAVELY
 
Matematica II unidad I
Matematica II unidad IMatematica II unidad I
Matematica II unidad IGabriel Lugo
 
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasLI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasJosé A. Alonso
 

La actualidad más candente (18)

Matemática: Unidad I
Matemática: Unidad IMatemática: Unidad I
Matemática: Unidad I
 
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenLI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
 
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer orden
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer ordenLI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer orden
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer orden
 
Teoria aditiva de numeros
Teoria aditiva de numerosTeoria aditiva de numeros
Teoria aditiva de numeros
 
2 integracion
2 integracion2 integracion
2 integracion
 
ÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOS
ÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOSÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOS
ÁLGEBRA ELEMENTAL - POLINOMIOS
 
Expohelmuth
ExpohelmuthExpohelmuth
Expohelmuth
 
polinomios RR
polinomios RRpolinomios RR
polinomios RR
 
LI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. AplicacionesLI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
 
Recetas para la resolución de ed os
Recetas para la resolución de ed osRecetas para la resolución de ed os
Recetas para la resolución de ed os
 
Algebra 4° 4 b
Algebra 4° 4 bAlgebra 4° 4 b
Algebra 4° 4 b
 
Power point polinomios
Power point polinomiosPower point polinomios
Power point polinomios
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Capitulo1. Introducción al álgebra
Capitulo1. Introducción al álgebraCapitulo1. Introducción al álgebra
Capitulo1. Introducción al álgebra
 
Logica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De ConjuntosLogica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De Conjuntos
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Matematica II unidad I
Matematica II unidad IMatematica II unidad I
Matematica II unidad I
 
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasLI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
 

Destacado (20)

FUNCIONES REALES Y GRAFICAS
FUNCIONES  REALES  Y GRAFICASFUNCIONES  REALES  Y GRAFICAS
FUNCIONES REALES Y GRAFICAS
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Ecuacion Lineal y Cuadratica
Ecuacion Lineal y CuadraticaEcuacion Lineal y Cuadratica
Ecuacion Lineal y Cuadratica
 
Funciones Reales
Funciones RealesFunciones Reales
Funciones Reales
 
9 funciones
9 funciones9 funciones
9 funciones
 
Funciones reales
Funciones realesFunciones reales
Funciones reales
 
Evaluación Matemática I
Evaluación Matemática IEvaluación Matemática I
Evaluación Matemática I
 
01 Razones
01 Razones01 Razones
01 Razones
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 
Habilidades de estudio
Habilidades de estudioHabilidades de estudio
Habilidades de estudio
 
Teoria de conjuntos
Teoria de conjuntosTeoria de conjuntos
Teoria de conjuntos
 
Matemáticas, para que?
Matemáticas, para que?Matemáticas, para que?
Matemáticas, para que?
 
Evaluación Matemática II
Evaluación Matemática IIEvaluación Matemática II
Evaluación Matemática II
 
Funciones reales
Funciones realesFunciones reales
Funciones reales
 
Criterio de evaluación
Criterio de evaluaciónCriterio de evaluación
Criterio de evaluación
 
Productos notables
Productos notablesProductos notables
Productos notables
 
Reforzamiento de álgebra
Reforzamiento de álgebraReforzamiento de álgebra
Reforzamiento de álgebra
 
Números complejos y ecuaciones
Números complejos y ecuacionesNúmeros complejos y ecuaciones
Números complejos y ecuaciones
 
Teoría de conjuntos
Teoría de conjuntosTeoría de conjuntos
Teoría de conjuntos
 
Factorización de polinomios
Factorización de polinomiosFactorización de polinomios
Factorización de polinomios
 

Similar a Funciones reales de variable real

Expresiones Algebraicas-1.pdf
Expresiones Algebraicas-1.pdfExpresiones Algebraicas-1.pdf
Expresiones Algebraicas-1.pdfBerlys6
 
Semana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdf
Semana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdfSemana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdf
Semana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdfAndersonSG5
 
Proporcionalidad de segmetos
Proporcionalidad de segmetosProporcionalidad de segmetos
Proporcionalidad de segmetosSilvia Vedani
 
Expresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsx
Expresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsxExpresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsx
Expresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsxDayindrisRodriguez1
 
CALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdf
CALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdfCALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdf
CALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdfAlexisCasasLuyo
 
Funciones variables
Funciones variablesFunciones variables
Funciones variablesvirval
 
Expresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdf
Expresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdfExpresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdf
Expresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdfelvissilva76
 
Logica de primer orden
Logica de primer ordenLogica de primer orden
Logica de primer ordensamuel viñas
 
Tema_1.3_REALES.pdf
Tema_1.3_REALES.pdfTema_1.3_REALES.pdf
Tema_1.3_REALES.pdfManuel Ortiz
 
04. leyes de exponentes y logaritmos
04. leyes de exponentes y logaritmos04. leyes de exponentes y logaritmos
04. leyes de exponentes y logaritmosLaura Gómez
 
Trabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexander
Trabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexanderTrabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexander
Trabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexanderjhoan-alexander08
 

Similar a Funciones reales de variable real (20)

Expresiones Algebraicas-1.pdf
Expresiones Algebraicas-1.pdfExpresiones Algebraicas-1.pdf
Expresiones Algebraicas-1.pdf
 
Transformada fourier almira
Transformada fourier almiraTransformada fourier almira
Transformada fourier almira
 
Ecuaciones tema-3
Ecuaciones tema-3Ecuaciones tema-3
Ecuaciones tema-3
 
Semana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdf
Semana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdfSemana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdf
Semana N° 8.1 - DEFINITIVO (3).pdf
 
Proporcionalidad de segmetos
Proporcionalidad de segmetosProporcionalidad de segmetos
Proporcionalidad de segmetos
 
Expresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsx
Expresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsxExpresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsx
Expresiones Algebraicas - Eislerth Aguilar.ppsx
 
Concepto funcion
Concepto funcionConcepto funcion
Concepto funcion
 
El concepto del limite (Cálculo I)
El concepto del limite (Cálculo I)El concepto del limite (Cálculo I)
El concepto del limite (Cálculo I)
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 
Lec int logaritmos
Lec int logaritmosLec int logaritmos
Lec int logaritmos
 
CALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdf
CALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdfCALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdf
CALCULO SEMANA 04-sección14-grupo1.pdf
 
Expresiones Algebraicas.pdf
Expresiones Algebraicas.pdfExpresiones Algebraicas.pdf
Expresiones Algebraicas.pdf
 
Funciones variables
Funciones variablesFunciones variables
Funciones variables
 
Expresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdf
Expresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdfExpresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdf
Expresiones Algebraicas, Factorizacion y Radicacion.pdf
 
Logica de primer orden
Logica de primer ordenLogica de primer orden
Logica de primer orden
 
Tema_1.3_REALES.pdf
Tema_1.3_REALES.pdfTema_1.3_REALES.pdf
Tema_1.3_REALES.pdf
 
06 polinomios
06 polinomios06 polinomios
06 polinomios
 
04. leyes de exponentes y logaritmos
04. leyes de exponentes y logaritmos04. leyes de exponentes y logaritmos
04. leyes de exponentes y logaritmos
 
Trabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexander
Trabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexanderTrabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexander
Trabajo calculo-2-gonzales abello jhoan alexander
 
Trabajo calculo-2-camila castellanos escobar
Trabajo calculo-2-camila castellanos escobarTrabajo calculo-2-camila castellanos escobar
Trabajo calculo-2-camila castellanos escobar
 

Más de Christiam3000

Gráfica de relaciones
Gráfica de relacionesGráfica de relaciones
Gráfica de relacionesChristiam3000
 
Álgebra de funciones
Álgebra de funcionesÁlgebra de funciones
Álgebra de funcionesChristiam3000
 
Funciones especiales II
Funciones especiales IIFunciones especiales II
Funciones especiales IIChristiam3000
 
Expresiones irracionales
Expresiones irracionalesExpresiones irracionales
Expresiones irracionalesChristiam3000
 
Inecuaciones polinomiales y fraccionarias
Inecuaciones polinomiales y fraccionariasInecuaciones polinomiales y fraccionarias
Inecuaciones polinomiales y fraccionariasChristiam3000
 
Inecuacion lineal y cuadratica
Inecuacion lineal y cuadraticaInecuacion lineal y cuadratica
Inecuacion lineal y cuadraticaChristiam3000
 
Taller 01 Aritmética
Taller 01 AritméticaTaller 01 Aritmética
Taller 01 AritméticaChristiam3000
 
Ssm 04 División de polinomios
Ssm 04 División de polinomiosSsm 04 División de polinomios
Ssm 04 División de polinomiosChristiam3000
 
Acv 05 Polinomios II
Acv 05 Polinomios IIAcv 05 Polinomios II
Acv 05 Polinomios IIChristiam3000
 
Acv 08 Cocientes notables
Acv 08 Cocientes notablesAcv 08 Cocientes notables
Acv 08 Cocientes notablesChristiam3000
 
Acv 07 División algebraica
Acv 07 División algebraicaAcv 07 División algebraica
Acv 07 División algebraicaChristiam3000
 
S 03 Operaciones combinadas 3
S 03 Operaciones combinadas 3S 03 Operaciones combinadas 3
S 03 Operaciones combinadas 3Christiam3000
 
D 01 Operaciones combinadas
D 01 Operaciones combinadasD 01 Operaciones combinadas
D 01 Operaciones combinadasChristiam3000
 
Ssm 02 Productos notables
Ssm 02 Productos notablesSsm 02 Productos notables
Ssm 02 Productos notablesChristiam3000
 
Ssm 01 Leyes de exponentes
Ssm 01 Leyes de exponentesSsm 01 Leyes de exponentes
Ssm 01 Leyes de exponentesChristiam3000
 

Más de Christiam3000 (20)

Gráfica de relaciones
Gráfica de relacionesGráfica de relaciones
Gráfica de relaciones
 
Función inversa
Función inversaFunción inversa
Función inversa
 
Álgebra de funciones
Álgebra de funcionesÁlgebra de funciones
Álgebra de funciones
 
Funciones especiales II
Funciones especiales IIFunciones especiales II
Funciones especiales II
 
Valor absoluto II
Valor absoluto IIValor absoluto II
Valor absoluto II
 
Valor absoluto I
Valor absoluto IValor absoluto I
Valor absoluto I
 
Expresiones irracionales
Expresiones irracionalesExpresiones irracionales
Expresiones irracionales
 
Inecuaciones polinomiales y fraccionarias
Inecuaciones polinomiales y fraccionariasInecuaciones polinomiales y fraccionarias
Inecuaciones polinomiales y fraccionarias
 
Inecuacion lineal y cuadratica
Inecuacion lineal y cuadraticaInecuacion lineal y cuadratica
Inecuacion lineal y cuadratica
 
Taller 01 Aritmética
Taller 01 AritméticaTaller 01 Aritmética
Taller 01 Aritmética
 
Ssm 04 División de polinomios
Ssm 04 División de polinomiosSsm 04 División de polinomios
Ssm 04 División de polinomios
 
Ssm 03 Polinomios
Ssm 03 PolinomiosSsm 03 Polinomios
Ssm 03 Polinomios
 
Acv 05 Polinomios II
Acv 05 Polinomios IIAcv 05 Polinomios II
Acv 05 Polinomios II
 
Acv 08 Cocientes notables
Acv 08 Cocientes notablesAcv 08 Cocientes notables
Acv 08 Cocientes notables
 
Acv 07 División algebraica
Acv 07 División algebraicaAcv 07 División algebraica
Acv 07 División algebraica
 
S 03 Operaciones combinadas 3
S 03 Operaciones combinadas 3S 03 Operaciones combinadas 3
S 03 Operaciones combinadas 3
 
D 01 Operaciones combinadas
D 01 Operaciones combinadasD 01 Operaciones combinadas
D 01 Operaciones combinadas
 
Acv 05 Polinomios I
Acv 05 Polinomios IAcv 05 Polinomios I
Acv 05 Polinomios I
 
Ssm 02 Productos notables
Ssm 02 Productos notablesSsm 02 Productos notables
Ssm 02 Productos notables
 
Ssm 01 Leyes de exponentes
Ssm 01 Leyes de exponentesSsm 01 Leyes de exponentes
Ssm 01 Leyes de exponentes
 

Último

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxOLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxjosetrinidadchavez
 
GLOSAS Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docx
GLOSAS  Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docxGLOSAS  Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docx
GLOSAS Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docxAleParedes11
 
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.José Luis Palma
 
programa dia de las madres 10 de mayo para evento
programa dia de las madres 10 de mayo  para eventoprograma dia de las madres 10 de mayo  para evento
programa dia de las madres 10 de mayo para eventoDiegoMtsS
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Identificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PCIdentificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PCCesarFernandez937857
 
Plan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPE
Plan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPEPlan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPE
Plan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPELaura Chacón
 
SINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptx
SINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptxSINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptx
SINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptxlclcarmen
 
Movimientos Precursores de La Independencia en Venezuela
Movimientos Precursores de La Independencia en VenezuelaMovimientos Precursores de La Independencia en Venezuela
Movimientos Precursores de La Independencia en Venezuelacocuyelquemao
 
Introducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
Introducción:Los objetivos de Desarrollo SostenibleIntroducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
Introducción:Los objetivos de Desarrollo SostenibleJonathanCovena1
 
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...Carlos Muñoz
 
Historia y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteHistoria y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteRaquel Martín Contreras
 
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdadLecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdadAlejandrino Halire Ccahuana
 
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdfManual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdfMaryRotonda1
 
NARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFARO
NARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFARONARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFARO
NARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFAROJosé Luis Palma
 
codigos HTML para blogs y paginas web Karina
codigos HTML para blogs y paginas web Karinacodigos HTML para blogs y paginas web Karina
codigos HTML para blogs y paginas web Karinavergarakarina022
 
La Función tecnológica del tutor.pptx
La  Función  tecnológica  del tutor.pptxLa  Función  tecnológica  del tutor.pptx
La Función tecnológica del tutor.pptxJunkotantik
 

Último (20)

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxOLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
 
GLOSAS Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docx
GLOSAS  Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docxGLOSAS  Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docx
GLOSAS Y PALABRAS ACTO 2 DE ABRIL 2024.docx
 
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
 
programa dia de las madres 10 de mayo para evento
programa dia de las madres 10 de mayo  para eventoprograma dia de las madres 10 de mayo  para evento
programa dia de las madres 10 de mayo para evento
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
 
Identificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PCIdentificación de componentes Hardware del PC
Identificación de componentes Hardware del PC
 
Plan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPE
Plan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPEPlan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPE
Plan Año Escolar Año Escolar 2023-2024. MPPE
 
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia GeneralRepaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
 
SINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptx
SINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptxSINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptx
SINTAXIS DE LA ORACIÓN SIMPLE 2023-2024.pptx
 
Movimientos Precursores de La Independencia en Venezuela
Movimientos Precursores de La Independencia en VenezuelaMovimientos Precursores de La Independencia en Venezuela
Movimientos Precursores de La Independencia en Venezuela
 
Introducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
Introducción:Los objetivos de Desarrollo SostenibleIntroducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
Introducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
 
La Trampa De La Felicidad. Russ-Harris.pdf
La Trampa De La Felicidad. Russ-Harris.pdfLa Trampa De La Felicidad. Russ-Harris.pdf
La Trampa De La Felicidad. Russ-Harris.pdf
 
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
Plan Refuerzo Escolar 2024 para estudiantes con necesidades de Aprendizaje en...
 
Historia y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteHistoria y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arte
 
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdadLecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
Lecciones 04 Esc. Sabática. Defendamos la verdad
 
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdfManual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
 
NARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFARO
NARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFARONARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFARO
NARRACIONES SOBRE LA VIDA DEL GENERAL ELOY ALFARO
 
codigos HTML para blogs y paginas web Karina
codigos HTML para blogs y paginas web Karinacodigos HTML para blogs y paginas web Karina
codigos HTML para blogs y paginas web Karina
 
La Función tecnológica del tutor.pptx
La  Función  tecnológica  del tutor.pptxLa  Función  tecnológica  del tutor.pptx
La Función tecnológica del tutor.pptx
 
Unidad 4 | Teorías de las Comunicación | MCDI
Unidad 4 | Teorías de las Comunicación | MCDIUnidad 4 | Teorías de las Comunicación | MCDI
Unidad 4 | Teorías de las Comunicación | MCDI
 

Funciones reales de variable real

  • 1. FUNCIONES REALES Nivel PRE ������−14 ℍ������������������������������������ Prof.: Christiam Huertas
  • 2. Par ordenado Es un conjunto de dos elementos denotado por (������, ������) donde importa el orden. 1era 2da componente componente Ejemplos: Ojo 1 1 2; 5 −1; 3 ; ������ ������; Son diferentes 2 2 Teorema (Igualdad de pares ordenados) ������, ������ = ������, ������ ↔ ������ = ������ ∧ ������ = ������ Ejemplo: Si ������ − 2; 6 = 3; 2������ → ������ − 2 = 3 ∧ 6 = 2������ → ������ = 5 ∧ ������ = 3 Prof.: Christiam Huertas
  • 3. Plano cartesiano Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto correspondiente al número 0 en cada línea. ������ Segundo Primer Nombrado en honor del cuadrante cuadrante matemático y filosofo francés René Descartes. ������ (������; ������) ������ ������ ������ Tercer Cuarto cuadrante cuadrante 1596 - 1650 Prof.: Christiam Huertas
  • 4. Plano cartesiano Ejemplo. Represente geométricamente los puntos: 3; 2 , −4; 1 y (2; −3). ������ (3; 2) 2 (−4; 1) 1 2 −4 ������ 3 ������ −3 (2; −3) Prof.: Christiam Huertas
  • 5. Producto cartesiano Dados dos conjuntos no vacíos ������ y ������. El producto cartesiano de ������ con ������ se denota por ������ × ������ y se define como: ������ × ������ = ������, ������ / ������ ∈ ������ ∧ ������ ∈ ������ Ejemplo: Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5 Entonces ������ × ������ = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5 Propiedades: Del ejemplo anterior ������. ������ × ������ ≠ ������ × ������ ������ × ������ = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3) ������. ������ × ������ = ������ × ������ ↔ ������ = ������ ������. ������(������×������) = ������ ������ ⋅ ������ ������ En el ejemplo: ������(������×������) = 2 ⋅ 3 = 6 Prof.: Christiam Huertas
  • 6. Relación binaria Sean ������ y ������ dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de ������ en ������ a todo subconjunto del producto cartesiano ������ × ������. Es decir, ������ es una relación de ������ en ������ ↔ ������ ⊂ ������ × ������ Ejemplo: Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5 Entonces ������ × ������ = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5 Algunas relaciones de ������ en ������ seran: ������ = 1; 2 ⊂ ������ × ������ ������ = 1; 4 , (3; 2) ⊂ ������ × ������ ������ = 1; 2 , 1; 5 , 3; 5 ⊂ ������ × ������ Prof.: Christiam Huertas
  • 7. Función Diremos que la relación ������ de ������ en ������ es una función si y solo si: a cada elemento ������ ∈ ������ le corresponde un único elemento ������ ∈ ������, tal que ������; ������ ∈ ������. ������ Notación funcional: ������: ������ ⟶ ������ o ������ ������ Ejemplo: Dada la relación ������ = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 . Lo representamos con un diagrama sagital: ������ Vemos que a cada elemento del ������ ������ conjunto ������ , le corresponde un único ⋅3 ⋅1 elemento del conjunto ������. ⋅5 ⋅2 Por lo tanto, ������ es una función. ⋅8 ⋅5 Prof.: Christiam Huertas
  • 8. Función Ejemplo: indique cual de las siguientes relaciones es un función. ������ ������ ������ Prof.: Christiam Huertas
  • 9. Condición de unicidad Sea ������ una función. Si ������; ������ ∈ ������ ∧ ������; ������ ∈ ������, entonces, ������ = ������ Ejemplo: Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función, halle el valor de ������ + ������. ������ = 2; ������ − 5 , 5; 9 , ������ + 2; 1 , 2; 6 , 5; ������ 2 De la función vemos que: ������ − 5 = 6 → ������ = 11 9 = ������ 2 → ������ = 3 ∨ ������ = −3 Analicemos para cada caso: Si ������ = ������: ������ = 2; 6 , 5; 9 , 5; 1 (no es función) Si ������ = −������: ������ = 2; 6 , 5; 9 , −1; 1 (si es función) Es decir, ������ = 11 y ������ = −3. Por lo tanto, ������ + ������ = 8 Prof.: Christiam Huertas
  • 10. Dominio y rango de una función Dominio de una función: Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función. Se denota por: Dom(������) Rango de una función: Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función. Se denota por: Ran(������) Ejemplo: Dada la función ������ = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 . Dom ������ = 3; 5; 8 (Conjunto de pre imágenes) Ran ������ = 5; 1; 2 (Conjunto de imágenes) Prof.: Christiam Huertas
  • 11. Regla de correspondencia Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del rango. Sea ������: ������ ⟶ ������ una función, entonces ������; ������ ∈ ������ ↔ ������ ������ = ������ denota la dependencia entre ������ e ������. Además, ������ es la variable independiente. ������ es la variable dependiente. Ejemplo. Dada la función ������ = 1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16) Se obtiene que: ������ 1 = 1 = 12 ������ 2 = 4 = 22 ������ ������ = ������ 2 ������ ∈ 1; 2; 3; 4 ������ 3 = 9 = 32 o ������ = ������ 2 ������ ∈ 1; 2; 3; 4 ������ 4 = 16 = 42 Prof.: Christiam Huertas
  • 12. Funciones reales Diremos que la función ������: ������ ⟶ ������ es una función real de variable real, si ������ y ������ son subconjuntos de los reales. Es decir: ������ ⊂ ℝ ∧ ������ ⊂ ℝ. Ejemplo: ������ ������ ������: −1; 3 ⟶ 1; 10 ������ ⟼ ������ 2 + 1 ������ ������ Como ������ = −1; 3 ⊂ ℝ y ������ = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces ������ ������ = ������ 2 + 1 es una función real de variable real. Observaciones: 1. Dom ������ = ������ En el ejemplo, Dom ������ = −1; 3 2. Ran ������ ⊆ ������ Prof.: Christiam Huertas
  • 13. Cálculo del dominio y rango Sea ������: ������ ⟶ ������ una función tal que ������ ⊂ ℝ y ������ ⊂ ℝ. Dominio de ������: Rango de ������: Esta formado por todos los Esta formado por todos los valores reales de ������ ∈ ������ , que valores reales de ������ ∈ ������ (conjunto garantizan la existencia de de imágenes) y se calcula a ������ = ������ ������ . partir de su dominio. Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función ������ ������ = ������ − 2 + 1 ������ ������ existe en ℝ si y solo si: Se tiene la función ������ = ������ − 2 + 1 ������ − 2 ≥ 0 Como ������ ≥ 2 (Dominio) → ������ ≥ 2 → ������ − 2 ≥ 0 → ������ ∈ 2; +∞ → ������ − 2 ≥ 0 → Dom ������ = 2; +∞ → ������ − 2 + 1 ≥ 1 ������ ∴ Ran ������ = 1; +∞ Prof.: Christiam Huertas
  • 14. Cálculo del dominio y rango APLICACIÓN Halle el rango de la función ������(������) = −������ 2 + 2������, si se sabe que su dominio es igual al conjunto de los números reales. Se sugiere completar el cuadrado: ������(������) = −������ 2 + 2������ = − ������ 2 − 2������ +1 − 1 = −(������ − 1)2 +1 (������ − 1)2 Como Dom ������ = ℝ, entonces, ������ ∈ ℝ → (������ − 1) ∈ ℝ → (������ − 1)2 ≥ 0 → −(������ − 1)2 ≤ 0 → −(������ − 1)2 + 1 ≤ 1 ������ ������ ∴ Ran ������ = −∞; 1 Prof.: Christiam Huertas