trabajo

1. Universidad fermin toro
Facultad de ingeniería
Cabudare – EDO – Lara
INTEGRALES IMPROPIAS
Autor:
Anthony Goncalves
C.I. 24.340.007

2. INTEGRALES IMPROPIAS
Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o
a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.
Integrales impropias 7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades El
concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que
las que hemos examinado hasta ahora.
INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE
Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si existe f (x) dx, se dice que f tiene
una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:
f (x) dx = f (x) dx
Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, +
).
De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.
Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir
de x = 1.

3. dx = dx = = - (- 1) = 1
u.a.
INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE.
Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe f (x) dx,
definimos:
f (x) dx = f (x) dx
Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.
Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área
del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1.
El recinto tendrá 1 u.a.

4. Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = entre x = 0 y x = 2.
La función no está acotada en x = 1.
S = dx + dx = dx +
dx =
= - + - = ( - 1) + (- 1 + )
= .
La integral impropia es divergente.

5. OTRAS APLICACIONES
Ejemplo: Después de x semanas, se prevé que se recauden f (x) = xe3 - x millones de
pesetas por semana. ¿En qué momento la afluencia de dinero será máxima?. ¿Cuánto
será lo recaudado en las tres primeras semanas?. ¿Cuánto se recaudaría si el tiempo
fuese ilimitado?.
f (x) = - e3 - x -1 + x = 0 x = 1.
La afluencia de dinero será máxima en la primera semana.
Lo recaudado en las tres primeras semanas será:
f (x)dx = - 4 + e3 16.086 millones de pesetas.
En tiempo ilimitado, la recaudación sería:
f (x)dx = (xe3 - x)dx = -4e3 - x + e3 - x 3 - x =
= - e3 - b - e3 - bb + e3 = e3 20.086 millones de pesetas.