Tema 9-funciones-propiedades-operaciones-mate básicas-pre-cálculo

MATEMÁTICAS BÁSICAS
Autoras: Margarita Ospina Pulido
Jeanneth Galeano Peñaloza
Edición: Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matemáticas
Sede Bogotá
Febrero de 2014
Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 1 / 49

Parte I
Funciones

Funciones
Una función es una especie de máquina que toma elementos de un
conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro.

Funciones
Por ejemplo:
1 La funci´on del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras,
que a cada palabra le asigna su letra inicial.

Funciones
Por ejemplo:
2 La funci´on del conjunto de ciudadanos de un pa´ıs en el de las huellas
digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ´ındice
derecho.

Funciones
Por ejemplo:
2 La funci´on del conjunto de ciudadanos de un pa´ıs en el de las huellas
digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ´ındice
derecho.
3 La funci´on del conjunto de los reales en s´ı mismo, que a cada real le
asigna su cuadrado.

Funciones
De una manera más formal tenemos:
Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B, una función f de A en B, notada:
f : A −→ B
es un subconjunto de A × B (una relación de A en B) que cumple:

Funciones
f : A −→ B
Para todo elemento a ∈ A existe un ´unico b ∈ B tal que la pareja
(a, b) ∈ f .

Funciones
f : A −→ B
Para todo elemento a ∈ A existe un ´unico b ∈ B tal que la pareja
(a, b) ∈ f .
Como es ´unico el elemento b relacionado con a, escribimos
f (a) = b.

Funciones
Si f : A −→ B es una funci´on,
A se llama el Dominio de f .

Funciones
B se llama el Codominio de f .

Funciones
B se llama el Codominio de f .
{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o el
Recorrido de f o la Imagen de f .

Ejemplos
f : R −→ R deﬁnida por f (x) = 2x − 1
Dom(f ) = R, Imagen de f = R.

Ejemplos
f : R −→ R deﬁnida por f (x) = 2x − 1
Dom(f ) = R, Imagen de f = R.
g : R −→ R deﬁnida por g(x) = x2
Dom(g) = R, Imagen de g = [0, ∞).

Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si tenen el mismo dominio y para
todo elemento x del dominio f (x) = g(x).

En este curso trabajaremos ´unicamente funciones reales, es decir,
funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.

En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir,
funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.
En este caso se acostumbra simplemente a identificar la función con
la expresión que define su efecto sobre la variable, suponiendo que el
dominio es, el subconjunto más grande de R en el que se puede
definir la función y el codominio es R.

Ejemplos
Si f (x) =
2x − 1
x − 3
, entonces Dom(f ) = R − {3}.

Ejemplos
Si f (x) =
2x − 1
x − 3
, entonces Dom(f ) = R − {3}.
Si g(x) =
√
2 − 5x, entonces Dom(g) = (−∞, 2
5].

Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funci´on f (x) =
4
x2 − 8x + 7
.

Dominio
Ejemplo
4
x2 − 8x + 7
.
x2
− 8x + 7 = 0

Dominio
Ejemplo
4
x2 − 8x + 7
.
x2
− 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0

Dominio
Ejemplo
4
x2 − 8x + 7
.
x2
− 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0
Dominio de f : R − {1, 7}.

Dominio
Ejemplo
Para hallar el dominio de la funci´on f (x) =
√
2x + 6, resolvemos la
desigualdad

Dominio
Ejemplo
√
desigualdad
2x + 6 ≥ 0

Dominio
Ejemplo
√
desigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6

Dominio
Ejemplo
√
desigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3

Dominio
Ejemplo
√
desigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio de f : [−3, ∞).

Dominio
Ejemplo
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
Aqu´ı hay una combinaci´on de los dos casos, as´ı que empezamos por la
expresi´on dentro del radical.

Dominio
Ejemplo
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
3 − 2x > 0

Dominio
Ejemplo
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
3 − 2x > 0
− 2x > −3

Dominio
Ejemplo
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
3 − 2x > 0
− 2x > −3
x <
3
2

Dominio
Ejemplo
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
3 − 2x > 0
− 2x > −3
x <
3
2
S = −∞,
3
2
∗

Dominio
Ejemplo
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
3 − 2x > 0
− 2x > −3
x <
3
2
S = −∞,
3
2
∗
∗ ¿Por qu´e el intervalo es abierto en 3
2?

Dominio
Ejemplo (Cont.)
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
Adem´as, el denominador se hace cero cuando x = −5

Dominio
Ejemplo (Cont.)
1 − 7x
(x + 5)
√
3 − 2x
.
Adem´as, el denominador se hace cero cuando x = −5, as´ı que el dominio
de f es
Dom(f ) = −∞,
3
2
− {−5} = (−∞, −5) ∪ −5,
3
2
.

Gráficas de funciones
La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de
{(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .

{(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .
Si f (x) = 2x − 1, su gr´aﬁca es la recta y = 2x − 1.

{(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .
Si g(x) = x2 − 2x + 1, su gráfica es la parábola y = x2 − 2x + 1.

{(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .
Si g(x) = x2 − 2x + 1, su gráfica es la parábola y = x2 − 2x + 1.
Nótese que una gráfica en el plano cartesiano representa una función real,
si toda recta vertical corta la gráfica en a lo sumo un punto.

Función idéntica o función identidad
Dado cualquier conjunto no vac´ıo A definimos
IA : A −→ A
a −→ a

IA : A −→ A
a −→ a
En particular, la funci´on
id´entica de R
IR : R −→ R
x −→ x
x
y

IA : A −→ A
a −→ a
id´entica de R
IR : R −→ R
x −→ x
x
y
y = x

IA : A −→ A
a −→ a
id´entica de R
IR : R −→ R
x −→ x
Dom(IR) = R
Im(IR) = R
x
y
y = x

Funci´on constante
f : R −→ R
x −→ c
donde c es una constante.
x
y

Funci´on constante
f : R −→ R
x −→ c
x
y
y = cc

Funci´on constante
f : R −→ R
x −→ c
Dom(f ) = R
Im(f ) = {c}
x
y
y = cc

Funci´on lineal
f : R −→ R
x −→ mx + b
donde m y b son constantes.
x
y

Funci´on lineal
f : R −→ R
x −→ mx + b
x
y
y = mx + b

Funci´on lineal
f : R −→ R
x −→ mx + b
Dom(f ) = R
Im(f ) = R, si m = 0 x
y
y = mx + b

Función lineal
f : R −→ R
x −→ mx + b
Dom(f ) = R
Im(f ) = R, si m = 0
¿Qué pasa si m = 0?
¿Cómo es la gráfica de f en
este caso?
x
y
y = mx + b

Funci´on cuadr´atica
f : R −→ R
x −→ ax2
+ bx + c
donde a, b y c son constantes
y a = 0.

f : R −→ R
x −→ ax2
+ bx + c
y a = 0.
Dom(f ) = R
Im(f ) =?

f : R −→ R
x −→ ax2
+ bx + c
y a = 0.
Dom(f ) = R
Im(f ) =?
¿Cómo es la gráfica de f ?

f : R −→ R
x −→ ax2
+ bx + c
y a = 0.
Dom(f ) = R
Im(f ) =?
x
y

f : R −→ R
x −→ ax2
+ bx + c
y a = 0.
Dom(f ) = R
Im(f ) =?
x
y
Caso a > 0

Funci´on valor absoluto
f : R −→ R
x −→ |x|

f : R −→ R
x −→ |x|
Dom(f ) = R
Im(f ) =

f : R −→ R
x −→ |x|
Dom(f ) = R
Im(f ) =
¿Cómo es la gráfica
de f ?

f : R −→ R
x −→ |x|
Dom(f ) = R
Im(f ) =
de f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

f : R −→ R
x −→ |x|
Dom(f ) = R
Im(f ) =
de f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = |x|

f : R −→ R
x −→ |x|
Dom(f ) = R
Im(f ) = [0, ∞)
de f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = |x|

Funci´on parte entera
f : R −→ R
x −→ [x]
donde [x] es el mayor entero menor o igual que x.

f : R −→ R
x −→ [x]
Por ejemplo
[π] = 3

f : R −→ R
x −→ [x]
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8

f : R −→ R
x −→ [x]
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12

f : R −→ R
x −→ [x]
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2

f : R −→ R
x −→ [x]
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2

f : R −→ R
x −→ [x]
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4

Ejercicio
Haga la gr´aﬁca de y = [x] y encuentre su imagen.

Funci´on parte entera f (x) = [x]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x]

x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x]
Im(f ) =

x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x]
Im(f ) = Z

Funciones definidas a trozos
Consideremos la función definida como sigue
f (x) =



3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
Veamos su gráfica.

f (x) =



3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

Consideremos la función definida como sigue
f (x) =



2 si x < −2
−x2 + 1 si −2 ≤ x ≤ 2
2x − 6 si x ≥ −2.
Veamos su gráfica.

f (x) =



2 si x < −2
− x2 + 1 si −2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

Gráficas
Ejercicio
Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:
f (x) =



x2 si x < 0
2 si 0 ≤ x < 1
1 − x si x > 1
f (x) =



−4 si x < −1
|x| + 1 si −1 ≤ x ≤ 1
2x si x > 1

Parte II
Propiedades de funciones

Funciones pares
Definición
Una función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .

Funciones pares
Definición
1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x.

Funciones pares
Deﬁnici´on
2 f (x) = |x| y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.

Funciones pares
Definición
2 f (x) = |x| y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.
3 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

Funciones pares
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

Funciones impares
Definición
Una función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .

Funciones impares
Deﬁnici´on
1 f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.

Funciones impares
Definición
1 f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.
2 La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Funciones impares
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x)

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8
= f (x)

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8
= f (x)
f (−x)

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8
= f (x)
f (−x) = 12(−x)5
− 6(−x)3
− 3(−x)

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8
= f (x)
f (−x) = 12(−x)5
− 6(−x)3
− 3(−x)
= −12x5
+ 6x3
+ 3x

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2
+ 5(−x)6
− 3(−x)8
= 4x2
+ 5x6
− 3x8
= f (x)
f (−x) = 12(−x)5
− 6(−x)3
− 3(−x)
= −12x5
+ 6x3
+ 3x
= −f (x)

f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8

f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues

f (−x)

f (−x) = 3(−x)7
+ 9(−x)5
− 3(−x)8

f (−x) = 3(−x)7
+ 9(−x)5
− 3(−x)8
= −3x7
− 9x5
− 3x8

f (−x) = 3(−x)7
+ 9(−x)5
− 3(−x)8
= −3x7
− 9x5
− 3x8
= −(3x7
+ 9x5
+ 3x8
)

Ejercicio

Ejercicio
f (x) = 2x7 + 3x5 − 6x6 + 1
f (x) = 8x6 + 3x4 − x + 4
f (x) = 2
√
x + 4
f (x) = (x − 1)2 + x4
f (x) = 3 − (x + 2)3

Funciones inyectivas y sobreyectivas
Definición
Sea f : A −→ B una función,

Deﬁnici´on
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.

Deﬁnici´on
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.

Deﬁnici´on
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.
f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.

Ejemplo
Considere las siguientes funciones

Ejemplo
f1(x) = 4

Ejemplo
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.

Ejemplo
f2(x) = 2x + 3

Ejemplo
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.

Ejemplo
f3(x) = x2

Ejemplo
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.

Ejemplo
f4(x) = x3

Ejemplo
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.

Ejemplo
f5(x) = |x|

Ejemplo
f5(x) = |x| no es uno a uno ni sobre.

Ejemplo
f5(x) = |x| no es uno a uno ni sobre.
¿Cómo determinar por medio de la gráfica si una función es uno a uno?

Prueba de la recta horizontal
Una función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontal corta la
gráfica de f máximo en un punto.

Prueba de la recta horizontal
Una función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontal corta la
gráfica de f máximo en un punto.
Una función de codominio R es sobreyectiva si toda recta horizontal
corta su gráfica.

Parte III
Operaciones entre funciones

Definición
Sean f y g dos funciones. Definimos

Deﬁnici´on
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Deﬁnici´on
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Diferencia (f − g)(x) = f (x) − g(x)

Deﬁnici´on
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x)

Deﬁnici´on
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x)
Cociente
f
g
(x) =
f (x)
g(x)
, siempre que g(x) = 0.

Ejemplo
Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces

Ejemplo
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3

Ejemplo
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5

Ejemplo
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4

Ejemplo
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4
f
g
(x) =
2x + 1
3x2 − 4

Ejemplo
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4
f
g
(x) =
2x + 1
3x2 − 4
¿Cu´al es el dominio de estas funciones?

El dominio de f + g, f − g, fg es la intersecci´on I de los dominios de f y
de g, mientras que el dominio de f
g est´a formado por los puntos x de I
tales que g(x) = 0.

El dominio de f + g, f − g, fg es la intersección I de los dominios de f y
de g, mientras que el dominio de f
g está formado por los puntos x de I
tales que g(x) = 0.
Ejemplo
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
.
Hallar una expresión para las siguientes funciones y sus dominios,
f + g, f − g, fg,
f
g
,
g
f
,
g
f + g
.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +
x
4 − x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +
x
4 − x
Dom(f + g) = R − {4}

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +
x
4 − x
Dom(f + g) = R − {4}
(f − g)(x) = 5x + 3 −
x
4 − x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +
x
4 − x
Dom(f + g) = R − {4}
(f − g)(x) = 5x + 3 −
x
4 − x
Dom(f − g) = R − {4}

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +
x
4 − x
Dom(f + g) = R − {4}
(f − g)(x) = 5x + 3 −
x
4 − x
Dom(f − g) = R − {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
x
4 − x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +
x
4 − x
Dom(f + g) = R − {4}
(f − g)(x) = 5x + 3 −
x
4 − x
Dom(f − g) = R − {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
x
4 − x
=
5x2 + 3x
4 − x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +
x
4 − x
Dom(f + g) = R − {4}
(f − g)(x) = 5x + 3 −
x
4 − x
Dom(f − g) = R − {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
x
4 − x
=
5x2 + 3x
4 − x
Dom(fg) = R − {4}

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
f
g
(x) =
5x + 3
x
4−x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
f
g
(x) =
5x + 3
x
4−x
=
(5x + 3)(4 − x)
x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
f
g
(x) =
5x + 3
x
4−x
=
(5x + 3)(4 − x)
x
=
20x − 5x2 + 12 − 3x
x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
f
g
(x) =
5x + 3
x
4−x
=
(5x + 3)(4 − x)
x
=
20x − 5x2 + 12 − 3x
x
=
−5x2 + 17x + 12
x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
f
g
(x) =
5x + 3
x
4−x
=
(5x + 3)(4 − x)
x
=
20x − 5x2 + 12 − 3x
x
=
−5x2 + 17x + 12
x
Dom
f
g
= R − {0, 4}.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f
(x) =
x
4−x
5x + 3

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f
(x) =
x
4−x
5x + 3
=
x
(5x + 3)(4 − x)

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f
(x) =
x
4−x
5x + 3
=
x
(5x + 3)(4 − x)
=
x
20x − 5x2 + 12 − 3x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f
(x) =
x
4−x
5x + 3
=
x
(5x + 3)(4 − x)
=
x
20x − 5x2 + 12 − 3x
=
x
−5x2 + 17x + 12

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f
(x) =
x
4−x
5x + 3
=
x
(5x + 3)(4 − x)
=
x
20x − 5x2 + 12 − 3x
=
x
−5x2 + 17x + 12
Dom
g
f
= R − {4, −
3
5
}.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f + g
(x) =
x
4−x
5x + 3 + x
4−x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f + g
(x) =
x
4−x
5x + 3 + x
4−x
=
x
4−x
(4−x)(5x+3)+x
4−x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f + g
(x) =
x
4−x
5x + 3 + x
4−x
=
x
4−x
(4−x)(5x+3)+x
4−x
=
x
−5x2 + 17x + 12 + x

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f + g
(x) =
x
4−x
5x + 3 + x
4−x
=
x
4−x
(4−x)(5x+3)+x
4−x
=
x
−5x2 + 17x + 12 + x
=
x
−5x2 + 18x + 12

Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =
x
4 − x
. Dom(f ) = R y Dom(g) = R − {4}.
g
f + g
(x) =
x
4−x
5x + 3 + x
4−x
=
x
4−x
(4−x)(5x+3)+x
4−x
=
x
−5x2 + 17x + 12 + x
=
x
−5x2 + 18x + 12
Dom
g
f + g
= R − {4,
9 ±
√
141
5
}.

Composici´on de funciones
Si f y g son funciones se deﬁne
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Si f y g son funciones se deﬁne
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
De esta manera g ◦ f es una funci´on cuyo dominio es
{x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ Dom(g)} .

Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x)

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
(f ◦ g)(x)

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2
− 2x + 1)

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2
− 2x + 1)
= 2(x2
− 2x + 1) + 3

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2
− 2x + 1)
= 2(x2
− 2x + 1) + 3
= 2x2
− 4x + 5

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2
− 2x + 1)
= 2(x2
− 2x + 1) + 3
= 2x2
− 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.

Ejemplo 1
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2
− 2(2x + 3) + 1
= 4x2
+ 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2
+ 8x + 4
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2
− 2x + 1)
= 2(x2
− 2x + 1) + 3
= 2x2
− 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.
N´otese que en general (f ◦ g) = (g ◦ f ).

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x)

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0}

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−3
2, ∞).

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−3
2, ∞).
(f ◦ g)(x)

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−3
2, ∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−3
2, ∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (
√
x)

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−3
2, ∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (
√
x)
= 2
√
x + 3

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−3
2, ∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (
√
x)
= 2
√
x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0, ∞) |
√
x ∈ R}

Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√
x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=
√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−3
2, ∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (
√
x)
= 2
√
x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0, ∞) |
√
x ∈ R} = [0, ∞).

Ejercicio
Si
f (x) =
1
1 − x2
y g(x) =
√
1 − x,
deﬁna (f ◦ g) y encuentre su dominio. ¡CUIDADO!

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