Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. Primero, se presenta una ecuación diferencial no homogénea como ejemplo. Luego, explica que este método reemplaza las constantes en la solución general de la ecuación homogénea asociada con funciones de x, lo que permite satisfacer la ecuación no homogénea original. Finalmente, resume las etapas básicas del método al formular la solución general de una ecuación diferencial no homogénea de segundo

1. ECUACIONES LINEALES CON ELMÉTODO DE VARIACIÓN DE PARAMETROS

2. Cuando se presente una ecuación no homogénea y esta no pueda resolverse por los coeficientes indeterminados se optara por este otro método. Dada le ecuación: y’’+y=tanxA la vista se ve similar con respecto a las indeterminadas, pero en realidad la funciónf(x)= tanx tiene un número infinito de derivadas linealmente independientes.

3. sec x, 2sec² x tan x, 4sec² x tan² x +2 xPor lo tanto no tenemos una combinación lineal finita para utilizar como una solución tentativa. Una característica de este método es primero si las integrales que aparecen pueden evaluarse + +… )y’+p0(x)y=f(x)Con tal que ya conozcamos la solución general =c1 y1 +c2y2 +cnynde la ecuación homogénea asociada + +… ) y’+p0(x)y=0

4. Esta es la idea básica del método, al remplazar las constantes, o parámetros , ,.... en función complementaria de la ecuación 1 con variables: funciones , , … de x. Sera posible hacer esta combinación: (x)= (x) (x) + (x) (x)+…+ (x) (x) (2)Formula las ecuaciones no homogéneas de segundo ordenL[y]= y’’ + P(x) y’ +Q(x)y = f(x) (3)

5. Con función complementariayc=c1 y1 +c2y2 +cnynEs una solución de la ecuación (3)Una condición sobre las funciones u1 y u2 es que L [yp]= f(x). Se requieren dos condiciones para determinar dos funciones.