Este documento compara dos modelos para pronosticar la curva cero cupón de un año en Colombia: el modelo Vasicek y el modelo Cox Ingersoll Ross. Utilizando Matlab, el documento demuestra matemáticamente cada modelo y determina cuál pronostica con más precisión la tasa cero cupón mediante una prueba de rendimiento contra datos observados. El objetivo es identificar el mejor método de pronóstico para estimar el precio de otros instrumentos financieros y trazar estrategias de inversión.
El documento presenta conceptos clave de la teoría de portafolios, incluyendo diversificación, riesgo sistemático y no sistemático, y la relación riesgo-rentabilidad. Explica que un portafolio óptimo logra la mayor rentabilidad para un nivel dado de riesgo a través de la diversificación de activos. También cubre supuestos del modelo de Markowitz y cómo la selección de carteras depende de factores como el horizonte temporal, tolerancia al riesgo y optimización.
El documento introduce el estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG) como una alternativa al estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) cuando se relajan los supuestos de homocedasticidad y ausencia de autocorrelación. El MCG transforma el modelo para cumplir dichos supuestos mediante una matriz P, de modo que el MCO en el modelo transformado proporciona un estimador óptimo. El MCG es el estimador lineal, insesgado y eficiente de β y proporciona un estimador insesgado de σ2
El documento habla sobre los conceptos básicos de interés simple y compuesto. Explica cómo calcular la tasa de interés, el capital inicial, el monto, el tiempo y el valor actual en función del tipo de interés (simple o compuesto) y la periodicidad (anual, semestral, trimestral, mensual).
Teoria de juegos investigacion de operaciones 2andresinfante10
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de juegos, incluyendo elementos como jugadores, estrategias, equilibrio y soluciones de equilibrio. Explica herramientas como el equilibrio de Nash, el punto de silla, métodos algebraicos y gráficos para resolver problemas de teoría de juegos. Además, incluye ejemplos ilustrativos sobre decisiones relacionadas con la fecundidad y juegos entre dos jugadores.
Este documento presenta el análisis de la ecuación de Slutsky, la cual permite descomponer el efecto total de un cambio en el precio de un bien en un efecto sustitución y un efecto ingreso. Explica los conceptos de demanda ordinaria, demanda compensada, efecto sustitución y efecto ingreso. Luego, deriva matemáticamente la ecuación de Slutsky a partir de la demanda ordinaria y aplica un ejemplo numérico para ilustrar su uso. Finalmente, reconsidera la ecuación asumiendo que la rent
El método del simplex resuelve problemas de programación lineal mediante 7 pasos: 1) poner el problema en forma estándar, 2) encontrar una solución básica factible inicial, 3) comprobar si es óptima, 4) elegir una variable de entrada si no lo es, 5) elegir una variable de salida, 6) actualizar la base y solución, 7) repetir los pasos 3-6 hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento presenta los ejercicios resueltos de un curso de macroeconomía. Incluye cálculos del PBI nominal y real para 1998 y 1999 usando diferentes años base, y la resolución de un modelo macroeconómico keynesiano con ecuaciones de consumo, inversión y PBI de equilibrio.
El documento presenta conceptos clave de la teoría de portafolios, incluyendo diversificación, riesgo sistemático y no sistemático, y la relación riesgo-rentabilidad. Explica que un portafolio óptimo logra la mayor rentabilidad para un nivel dado de riesgo a través de la diversificación de activos. También cubre supuestos del modelo de Markowitz y cómo la selección de carteras depende de factores como el horizonte temporal, tolerancia al riesgo y optimización.
El documento introduce el estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG) como una alternativa al estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) cuando se relajan los supuestos de homocedasticidad y ausencia de autocorrelación. El MCG transforma el modelo para cumplir dichos supuestos mediante una matriz P, de modo que el MCO en el modelo transformado proporciona un estimador óptimo. El MCG es el estimador lineal, insesgado y eficiente de β y proporciona un estimador insesgado de σ2
El documento habla sobre los conceptos básicos de interés simple y compuesto. Explica cómo calcular la tasa de interés, el capital inicial, el monto, el tiempo y el valor actual en función del tipo de interés (simple o compuesto) y la periodicidad (anual, semestral, trimestral, mensual).
Teoria de juegos investigacion de operaciones 2andresinfante10
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de juegos, incluyendo elementos como jugadores, estrategias, equilibrio y soluciones de equilibrio. Explica herramientas como el equilibrio de Nash, el punto de silla, métodos algebraicos y gráficos para resolver problemas de teoría de juegos. Además, incluye ejemplos ilustrativos sobre decisiones relacionadas con la fecundidad y juegos entre dos jugadores.
Este documento presenta el análisis de la ecuación de Slutsky, la cual permite descomponer el efecto total de un cambio en el precio de un bien en un efecto sustitución y un efecto ingreso. Explica los conceptos de demanda ordinaria, demanda compensada, efecto sustitución y efecto ingreso. Luego, deriva matemáticamente la ecuación de Slutsky a partir de la demanda ordinaria y aplica un ejemplo numérico para ilustrar su uso. Finalmente, reconsidera la ecuación asumiendo que la rent
El método del simplex resuelve problemas de programación lineal mediante 7 pasos: 1) poner el problema en forma estándar, 2) encontrar una solución básica factible inicial, 3) comprobar si es óptima, 4) elegir una variable de entrada si no lo es, 5) elegir una variable de salida, 6) actualizar la base y solución, 7) repetir los pasos 3-6 hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento presenta los ejercicios resueltos de un curso de macroeconomía. Incluye cálculos del PBI nominal y real para 1998 y 1999 usando diferentes años base, y la resolución de un modelo macroeconómico keynesiano con ecuaciones de consumo, inversión y PBI de equilibrio.
UNIDAD II Ingeniería Económica Modelos de proyectosbarom
Este documento presenta varios métodos para analizar alternativas de inversión desde una perspectiva de ingeniería económica. Explica el método del valor presente, el cual reduce los flujos de efectivo de cada alternativa a un valor único que permite comparar proyectos. También describe el método del valor anual y la tasa interna de retorno. Finalmente, introduce el análisis de sensibilidad y cómo varía el valor de un proyecto cuando cambian parámetros como la tasa mínima aceptable de rendimiento.
La demanda agregada está formada por el consumo, la inversión, el gasto público y las exportaciones netas. El nivel de equilibrio se produce cuando la producción es igual a la demanda agregada. Si la producción es mayor que la demanda agregada hay inversión no planeada en existencias, mientras que si la producción es menor se recurre a las existencias.
1) El documento trata sobre un curso de Investigación de Operaciones I en la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión. 2) Dos alumnas, Geraldine Marleni Bellon Pacheco y Ayda Maribel Ramírez Montalvo, presentan un proyecto sobre el "Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo". 3) El proyecto analiza la optimización de recursos para la gestión del Santuario Histórico de Machu Picchu.
Este documento presenta diferentes métodos para analizar proyectos de inversión, incluyendo:
1) El pago periódico (PMT) para calcular cuotas de préstamos o depósitos.
2) El costo anual uniforme equivalente (CAUE), que convierte flujos de efectivo en un monto anual uniforme para comparar proyectos.
3) Cómo calcular el CAUE para proyectos con gastos recurrentes o de vida indefinida.
El documento explica la importancia del valor del dinero a través del tiempo. El valor del dinero disminuye debido a factores como la inflación, por lo que es necesario ajustar los salarios periódicamente. También es importante invertir el dinero para que su valor real aumente y genere rentabilidad por encima de la inflación. El valor del dinero cambia con el tiempo debido al costo del capital, y diferentes tasas de interés hacen que valga más recibir el dinero antes que después.
El documento describe los conceptos de elasticidad y elasticidad precio de la demanda. Explica que la elasticidad mide la variación porcentual de la variable dependiente ante cambios en la variable independiente. Luego define la elasticidad precio de la demanda como la variación porcentual de la cantidad demandada ante cambios en el precio. Finalmente, analiza cómo la elasticidad precio de la demanda afecta los ingresos totales del empresario dependiendo de si el bien es elástico, inelástico o unitario.
Este documento introduce el concepto de interés simple a tasa variable. Explica la fórmula general del interés simple y cómo calcular el valor actual, valor futuro, interés, tasa de interés y tasas equivalentes usando esta fórmula. También cubre cómo calcular el valor actual de deudas que devengan interés, como pagarés, usando un enfoque de dos pasos.
Capitulo 3 estrategias de cobertura con contratos de futurosMentes Mestras
Este documento describe los conceptos básicos de la cobertura de riesgos financieros mediante el uso de mercados de futuros. Explica que la cobertura permite reducir o eliminar el riesgo asociado con la fluctuación de precios de activos subyacentes. También define conceptos clave como cobertura corta, cobertura larga, base y ratio de cobertura. El objetivo final es enseñar a las empresas e inversores cómo utilizar instrumentos de futuros para protegerse contra el riesgo de precios impredecibles en el mercado.
TEORIA DEL PORTAFOLIO: Punto de vista de un estudianteMax Lapa Puma
La teoría del portafolio de Harry Markowitz propone que los inversionistas deben diversificar sus carteras de valores entre varios activos para minimizar el riesgo total y maximizar el retorno esperado. Markowitz desarrolló modelos para calcular el rendimiento y riesgo de carteras individuales y optimizar las asignaciones de activos para lograr la mejor relación riesgo-retorno.
El documento presenta la teoría de portafolios de Harry Markowitz. Explica que Markowitz desarrolló un modelo para estimar el rendimiento y riesgo de un portafolio de inversión mediante el cálculo de una media ponderada de los rendimientos de los activos y la varianza de la cartera. Además, muestra un ejemplo numérico donde aplica el modelo a cuatro activos, calculando los rendimientos, riesgos y ponderaciones óptimas para lograr la varianza mínima.
Este documento presenta la solución a dos ejercicios sobre el multiplicador monetario. En el primer ejercicio, se calcula el efecto de una venta de deuda pública por parte del banco central que reduce la base monetaria en 1€. Se muestra que la oferta monetaria cae 2,5€ y que esto reduce el efectivo, depósitos, reservas bancarias y créditos a través del proceso del multiplicador monetario. En el segundo ejercicio, se calculan estas variables monetarias inicialmente y luego con un coeficiente legal de caja más
El documento describe la programación cuadrática, que minimiza una función cuadrática de n variables sujetas a m restricciones lineales. La programación cuadrática resuelve problemas donde la función objetivo incluye términos cuadráticos como el cuadrado de una variable o el producto de dos variables, además de restricciones lineales. Es importante porque muchos problemas naturales son cuadráticos y también es útil para resolver problemas no lineales más complejos.
Dochód i ryzyko portfela dwuskładnikowego, zależność pomiędzy korelacją stóp zwrotu aktywów a odchyleniem standardowym stopy zwrotu portfela, budowa portfeli o zerowym lub minimalnym ryzyku
El documento presenta varios problemas de cálculo de intereses simples y descuentos de pagarés utilizando tasas de interés diferentes. Incluye problemas de determinar fechas de vencimiento, montos al vencimiento, intereses acumulados en períodos de tiempo específicos, descuentos bancarios de pagarés, y saldos insolutos al aplicar abonos a deudas con intereses.
El documento explica los conceptos básicos del costo de capital medio ponderado (WACC, por sus siglas en inglés). Define el WACC como el costo promedio ponderado de todas las fuentes de capital que utiliza una empresa (deuda, acciones preferidas, acciones comunes). Explica que cada fuente de capital tiene un costo específico y un peso diferente en el financiamiento total de la empresa, por lo que se debe calcular el WACC tomando en cuenta los costos y pesos relativos de cada fuente.
Este documento presenta diferentes tipos de tasas de interés, incluyendo tasas nominales, tasas periódicas y tasas efectivas. Explica cómo calcular la tasa periódica a partir de la tasa nominal y cómo convertir entre diferentes tipos de tasas de interés para comparar ofertas financieras.
Este documento describe el método de las dos fases para resolver problemas de programación lineal que involucran la gran M. La fase I minimiza las variables artificiales para obtener una solución factible inicial. Si la función objetivo es cero, se procede a la fase II donde se resuelve el problema original sin las variables artificiales usando la solución de la fase I. Se ilustra el método con un ejemplo resuelto en dos fases para evitar usar la gran M.
ASIGNACIÓN DE RECURSOS CON PROGRAMACIÓN DINAMICA ADRIANA NIETO
1) Se busca asignar 6,000 euros entre 3 proyectos de inversión para maximizar las ganancias. Cada proyecto tiene diferentes retornos dependiendo de la cantidad invertida.
2) Se usa programación dinámica con matrices para resolver el problema iterativamente asignando fondos de forma óptima a cada proyecto.
3) Se describe el modelo de programación dinámica incluyendo etapas, estados, variables de decisión y función de recursividad para calcular la asignación óptima.
Este documento describe el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica cómo trazar las restricciones en un plano de coordenadas para identificar la región de soluciones factibles. La solución óptima se encuentra en uno de los vértices de esta región. Se provee un ejemplo de maximizar la utilidad de una empresa que produce dos productos con recursos limitados.
Este documento presenta información biográfica sobre Brayan Dayan Sanchez Chávez. Incluye detalles sobre su niñez, educación, amigos, gastos, videos y redes sociales. También incluye un ensayo sobre su perspectiva de la vida, en el que describe la vida como una bendición y la importancia de aprovechar cada oportunidad.
A continuación mostramos una Presentación que nos ayuda a administrar el tiempo al realizar ciertas actividades académicas y las actividades cotidianas
UNIDAD II Ingeniería Económica Modelos de proyectosbarom
Este documento presenta varios métodos para analizar alternativas de inversión desde una perspectiva de ingeniería económica. Explica el método del valor presente, el cual reduce los flujos de efectivo de cada alternativa a un valor único que permite comparar proyectos. También describe el método del valor anual y la tasa interna de retorno. Finalmente, introduce el análisis de sensibilidad y cómo varía el valor de un proyecto cuando cambian parámetros como la tasa mínima aceptable de rendimiento.
La demanda agregada está formada por el consumo, la inversión, el gasto público y las exportaciones netas. El nivel de equilibrio se produce cuando la producción es igual a la demanda agregada. Si la producción es mayor que la demanda agregada hay inversión no planeada en existencias, mientras que si la producción es menor se recurre a las existencias.
1) El documento trata sobre un curso de Investigación de Operaciones I en la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión. 2) Dos alumnas, Geraldine Marleni Bellon Pacheco y Ayda Maribel Ramírez Montalvo, presentan un proyecto sobre el "Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo". 3) El proyecto analiza la optimización de recursos para la gestión del Santuario Histórico de Machu Picchu.
Este documento presenta diferentes métodos para analizar proyectos de inversión, incluyendo:
1) El pago periódico (PMT) para calcular cuotas de préstamos o depósitos.
2) El costo anual uniforme equivalente (CAUE), que convierte flujos de efectivo en un monto anual uniforme para comparar proyectos.
3) Cómo calcular el CAUE para proyectos con gastos recurrentes o de vida indefinida.
El documento explica la importancia del valor del dinero a través del tiempo. El valor del dinero disminuye debido a factores como la inflación, por lo que es necesario ajustar los salarios periódicamente. También es importante invertir el dinero para que su valor real aumente y genere rentabilidad por encima de la inflación. El valor del dinero cambia con el tiempo debido al costo del capital, y diferentes tasas de interés hacen que valga más recibir el dinero antes que después.
El documento describe los conceptos de elasticidad y elasticidad precio de la demanda. Explica que la elasticidad mide la variación porcentual de la variable dependiente ante cambios en la variable independiente. Luego define la elasticidad precio de la demanda como la variación porcentual de la cantidad demandada ante cambios en el precio. Finalmente, analiza cómo la elasticidad precio de la demanda afecta los ingresos totales del empresario dependiendo de si el bien es elástico, inelástico o unitario.
Este documento introduce el concepto de interés simple a tasa variable. Explica la fórmula general del interés simple y cómo calcular el valor actual, valor futuro, interés, tasa de interés y tasas equivalentes usando esta fórmula. También cubre cómo calcular el valor actual de deudas que devengan interés, como pagarés, usando un enfoque de dos pasos.
Capitulo 3 estrategias de cobertura con contratos de futurosMentes Mestras
Este documento describe los conceptos básicos de la cobertura de riesgos financieros mediante el uso de mercados de futuros. Explica que la cobertura permite reducir o eliminar el riesgo asociado con la fluctuación de precios de activos subyacentes. También define conceptos clave como cobertura corta, cobertura larga, base y ratio de cobertura. El objetivo final es enseñar a las empresas e inversores cómo utilizar instrumentos de futuros para protegerse contra el riesgo de precios impredecibles en el mercado.
TEORIA DEL PORTAFOLIO: Punto de vista de un estudianteMax Lapa Puma
La teoría del portafolio de Harry Markowitz propone que los inversionistas deben diversificar sus carteras de valores entre varios activos para minimizar el riesgo total y maximizar el retorno esperado. Markowitz desarrolló modelos para calcular el rendimiento y riesgo de carteras individuales y optimizar las asignaciones de activos para lograr la mejor relación riesgo-retorno.
El documento presenta la teoría de portafolios de Harry Markowitz. Explica que Markowitz desarrolló un modelo para estimar el rendimiento y riesgo de un portafolio de inversión mediante el cálculo de una media ponderada de los rendimientos de los activos y la varianza de la cartera. Además, muestra un ejemplo numérico donde aplica el modelo a cuatro activos, calculando los rendimientos, riesgos y ponderaciones óptimas para lograr la varianza mínima.
Este documento presenta la solución a dos ejercicios sobre el multiplicador monetario. En el primer ejercicio, se calcula el efecto de una venta de deuda pública por parte del banco central que reduce la base monetaria en 1€. Se muestra que la oferta monetaria cae 2,5€ y que esto reduce el efectivo, depósitos, reservas bancarias y créditos a través del proceso del multiplicador monetario. En el segundo ejercicio, se calculan estas variables monetarias inicialmente y luego con un coeficiente legal de caja más
El documento describe la programación cuadrática, que minimiza una función cuadrática de n variables sujetas a m restricciones lineales. La programación cuadrática resuelve problemas donde la función objetivo incluye términos cuadráticos como el cuadrado de una variable o el producto de dos variables, además de restricciones lineales. Es importante porque muchos problemas naturales son cuadráticos y también es útil para resolver problemas no lineales más complejos.
Dochód i ryzyko portfela dwuskładnikowego, zależność pomiędzy korelacją stóp zwrotu aktywów a odchyleniem standardowym stopy zwrotu portfela, budowa portfeli o zerowym lub minimalnym ryzyku
El documento presenta varios problemas de cálculo de intereses simples y descuentos de pagarés utilizando tasas de interés diferentes. Incluye problemas de determinar fechas de vencimiento, montos al vencimiento, intereses acumulados en períodos de tiempo específicos, descuentos bancarios de pagarés, y saldos insolutos al aplicar abonos a deudas con intereses.
El documento explica los conceptos básicos del costo de capital medio ponderado (WACC, por sus siglas en inglés). Define el WACC como el costo promedio ponderado de todas las fuentes de capital que utiliza una empresa (deuda, acciones preferidas, acciones comunes). Explica que cada fuente de capital tiene un costo específico y un peso diferente en el financiamiento total de la empresa, por lo que se debe calcular el WACC tomando en cuenta los costos y pesos relativos de cada fuente.
Este documento presenta diferentes tipos de tasas de interés, incluyendo tasas nominales, tasas periódicas y tasas efectivas. Explica cómo calcular la tasa periódica a partir de la tasa nominal y cómo convertir entre diferentes tipos de tasas de interés para comparar ofertas financieras.
Este documento describe el método de las dos fases para resolver problemas de programación lineal que involucran la gran M. La fase I minimiza las variables artificiales para obtener una solución factible inicial. Si la función objetivo es cero, se procede a la fase II donde se resuelve el problema original sin las variables artificiales usando la solución de la fase I. Se ilustra el método con un ejemplo resuelto en dos fases para evitar usar la gran M.
ASIGNACIÓN DE RECURSOS CON PROGRAMACIÓN DINAMICA ADRIANA NIETO
1) Se busca asignar 6,000 euros entre 3 proyectos de inversión para maximizar las ganancias. Cada proyecto tiene diferentes retornos dependiendo de la cantidad invertida.
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3) Se describe el modelo de programación dinámica incluyendo etapas, estados, variables de decisión y función de recursividad para calcular la asignación óptima.
Este documento describe el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica cómo trazar las restricciones en un plano de coordenadas para identificar la región de soluciones factibles. La solución óptima se encuentra en uno de los vértices de esta región. Se provee un ejemplo de maximizar la utilidad de una empresa que produce dos productos con recursos limitados.
Este documento presenta información biográfica sobre Brayan Dayan Sanchez Chávez. Incluye detalles sobre su niñez, educación, amigos, gastos, videos y redes sociales. También incluye un ensayo sobre su perspectiva de la vida, en el que describe la vida como una bendición y la importancia de aprovechar cada oportunidad.
A continuación mostramos una Presentación que nos ayuda a administrar el tiempo al realizar ciertas actividades académicas y las actividades cotidianas
El documento describe la Patrística y la Escolástica. La Patrística se refiere al período entre los siglos I y VIII d.C. cuando se desarrolló la teología cristiana primitiva. Incluye las obras de los Padres de la Iglesia como Orígenes y San Agustín. La Escolástica surgió entre los siglos XI-XV cuando filósofos como Anselmo de Canterbury y Santo Tomás de Aquino intentaron integrar la filosofía griega y la revelación cristiana. La Escolástica al
Creative Commons (CC) es una organización que desarrolla licencias para ayudar a reducir las barreras legales de la creatividad. CC ofrece 6 tipos de licencias que permiten a los autores compartir sus obras bajo ciertas condiciones, como permitir usos no comerciales o requerir el reconocimiento de la autoría. Las licencias CC brindan un modelo legal flexible para promover la educación, cultura y ciencia.
Este documento resume las principales etapas del desarrollo humano, incluyendo la etapa prenatal, la infancia, la niñez, la adolescencia, la juventud, la adultez y la ancianidad. Describe las características clave de cada etapa, como los cambios físicos, emocionales y cognitivos que ocurren. El documento proporciona una visión general del proceso completo de desarrollo humano a lo largo de la vida.
This very short document contains a series of letters with no context or meaning provided. It does not contain enough information to generate a meaningful summary.
Bricolage pour enfants dès 6 ans - comment faire une carte de vœux à l'occasion d'une fête d'anniversaire- activité manuelle, pliage, découpage, dessin
Un padre golpeó furiosamente a su hijo de 3 años después de que el niño dibujara en el tapizado de su nuevo auto con un marcador. El niño tuvo que ser hospitalizado y sus manos tuvieron que ser amputadas debido a la gravedad de sus heridas. Cuando el padre visitó al niño en el hospital, el niño le pidió amablemente que le devolviera sus "manitos", pero el padre se sintió tan abrumado por la culpa que se suicidó. El documento insta a los lectores a reflexionar sobre dar
El documento habla sobre la educación en el contexto digital del siglo XXI. Menciona que el conocimiento ahora se encuentra fuera de la escala tradicional y se comparte de manera colectiva a través de nuevas infraestructuras digitales. También discute cómo la cultura digital actual, con sus tecnologías de información, está innovando los procesos educativos mediante nuevos recursos y métodos de aprendizaje. Finalmente, señala que los docentes deben estar mejor preparados para aprovechar estas oportunidades y organizar el conocimiento de manera efect
El documento habla sobre diferentes tipos de intervenciones en desarrollo organizacional. Menciona intervenciones en procesos humanos, técnicas estructurales, de administración de recursos humanos, estratégicas y del medio ambiente. También describe elementos necesarios para que una intervención sea considerada del DO y ejemplos como entrenamientos, grupos de confrontación, tercera parte y formación de equipos.
El documento describe líneas de producción de software y el método Watch. Las líneas de producción permiten la reutilización sistemática de activos de software para desarrollar variantes de productos que comparten características. Esto produce beneficios como reducciones en los tiempos de entrega, costos y defectos. El método Watch es un marco metodológico que describe los procesos técnicos, gerenciales y de soporte para desarrollar aplicaciones de sistemas de información empresarial. Incluye ocho fases como modelado de negoci
El documento describe la evolución de la concepción psicoanalítica de la adolescencia a lo largo del siglo XX, pasando de verla como resultado de cambios fisiológicos o influencias sociales a reconocer sus especificidades intrapsíquicas y la actualización de los conflictos edípicos. Los psicoanalistas aportaron una explicación distinta a otras disciplinas sobre las luchas intergeneracionales propias de la adolescencia.
MLG - Modelo Lineal General de regresiónMiguel Jerez
Este documento presenta el modelo lineal general y su estimación mediante mínimos cuadrados ordinarios. Introduce el modelo lineal general, sus formulaciones matriciales y la interpretación de los coeficientes. Explica que el modelo plantea problemas de estimación, inferencia, previsión y diagnóstico, requiriendo hipótesis como linealidad, normalidad de errores y homoscedasticidad. Finalmente, desarrolla el método de mínimos cuadrados ordinarios, mostrando que bajo las hipótesis, el estimador es eficiente, normal e inses
1) El documento presenta diferentes modelos de pronósticos utilizados para la planeación empresarial. 2) Describe dos clasificaciones comunes de los modelos de pronósticos, incluyendo corto, mediano y largo plazo, y cualitativos vs. cuantitativos. 3) Explica varios modelos específicos como los subjetivos, el método gráfico, series de tiempo y modelos causales.
Este documento resume un trabajo de investigación sobre la valuación de opciones europeas y la estructura de plazos del modelo de tasas de Vasicek utilizando subyacentes con características de memoria larga, como se evidencia en algunas variables financieras de México. El autor aplica la metodología R/S de Hurst para determinar el coeficiente de Hurst de una variable mexicana, y desarrolla ecuaciones generalizadas de Black-Scholes y Vasicek utilizando un movimiento browniano fraccional que incorpora la dependencia temporal. Finalmente,
Este documento presenta modelos para estimar y modelar la volatilidad en datos financieros. Introduce los modelos ARCH y GARCH, que permiten que la varianza condicional del término de error dependa de los valores previos de los errores al cuadrado. El modelo GARCH especifica que la varianza corriente es una función de la varianza promedio a largo plazo, la información sobre volatilidad en el período previo, y la varianza ajustada del período previo. Finalmente, discute ejemplos de aplicación de modelos GARCH
1) El documento propone modelar la volatilidad y el activo subyacente como procesos estocásticos constituidos por movimientos brownianos fraccionales.
2) Usa el método H-J-B para derivar la ecuación Black-Scholes con volatilidad estocástica para este tipo de movimientos y propone una solución.
3) También revisa el comportamiento de la volatilidad implícita de opciones europeas para series que muestran persistencia, analizando específicamente el caso del I
El objetivo de este trabajo es presentar las bondades de incluir el patr´on de persistencia a
trav´es de la constante de Hurst en el pron´ostico de series financieras. En particular, se realiza
y eval´ua el pron´ostico de la serie referente de los precios del mercado con mayor volumen de
negociaci´on en Colombia, las tasas diarias de inter´es de los bonos cero cup´on generadas por
el Banco Central. Para esto, se utiliza la informaci´on diaria de esta variable en la ventana
de tiempo 2003 a 2015. Se compararon los resultados de los procesos Ornstein Uhlenbeck y
Fraccional Ornstein Uhlenbeck. La evaluaci´on del pron´ostico se soporta en el Test de Diebold
y Mariano y una evaluaci´on financiera de una inversi´on sin costos de transacci´on. Aunque
la estimaci´on de la persistencia se podr´ıa robustecer con pruebas inferenciales, se destaca la
importancia de tener en cuenta este patr´on para obtener mejor precisi´on en pron´ostico y un
mejor retorno en inversi´on que al trabajar con un proceso generador que asuma independencia
cuando las series no sugieren este comportamiento.
Este documento presenta una introducción al análisis de ciclos económicos. Explica conceptos como componente cíclico, tendencia y choques, y describe técnicas estadísticas como el filtro de Hodrick-Prescott para separar estas componentes. También resume diferentes enfoques teóricos para explicar los ciclos y características empíricas como volatilidad, persistencia y correlación.
El documento describe cinco métodos cuantitativos de pronósticos que usan datos históricos, incluyendo promedios móviles, suavisamiento exponencial, proyección de tendencias y regresión lineal. Estos métodos caen en dos categorías: modelos de series de tiempo, que predicen el futuro basado en el pasado, y modelos asociativos, que incorporan variables que pueden influir en la cantidad pronosticada. El documento luego explica más detalladamente la proyección de tendencias, describiendo cómo ajustar una línea de tendencia a los datos
Este documento resume un estudio sobre las características de las series de precios diarios de 16 criptomonedas entre julio de 2017 y febrero de 2018. Se utilizaron dos metodologías: el Minimum Spanning Tree (MST) y el análisis jerárquico a través de un dendograma, ambos basados en las correlaciones de Pearson entre los rendimientos diarios. Estos análisis muestran una alta correlación entre los movimientos de precios de todas las monedas y identifican a Ethereum, en lugar de Bitcoin, como la moneda de refer
Este documento describe la aplicación del método de regresión lineal para analizar los determinantes de la inversión extranjera en Colombia entre 1989-2009. Se explica brevemente el método de regresión lineal y sus supuestos, y luego se estima un modelo que relaciona variables como el entorno económico, estabilidad institucional y mercado laboral con la inversión extranjera en el país durante ese período. El objetivo es ilustrar el uso de herramientas estadísticas y econométricas para validar un modelo y sus supuestos
1. La presentación describe 6 estrategias propuestas en un estudio de caso y los modelos probabilísticos que podrían aplicarse para desarrollar cada estrategia, justificando la elección de cada modelo con citas textuales de referencias documentales. Se incluye también una bibliografía de 4 fuentes.
Notas de clases modelo arch para accion de ecopetrol[1][1]ucmc
Este documento analiza el comportamiento de la acción de Ecopetrol a través del modelo ARCH en los últimos 2 años. Describe el modelo ARCH, que permite modelar la volatilidad variable en el tiempo capturando heterocedasticidad. Explica los pasos para ajustar una serie de tiempo de volatilidad a este modelo, aplicándolo a los datos históricos de la acción de Ecopetrol entre 2010-2011.
Este documento presenta un análisis estadístico del índice bursátil FTSE 100 utilizando el modelo de Black-Scholes y la distribución normal inversa gaussiana. Se analizan las premisas del modelo de Black-Scholes, como la distribución normal de los retornos, usando datos reales del FTSE 100. Los resultados sugieren que la distribución normal inversa gaussiana modeliza mejor las variaciones del índice. Adicionalmente, se evalúa la autocorrelación de los retornos para verificar la independencia entre intervalos de tiempo asum
Este documento presenta un modelo para valuar opciones asiáticas de venta europeas con precio de ejercicio variable igual al promedio aritmético del subyacente, cuyo precio sigue un movimiento browniano con volatilidad estocástica. El modelo se basa en la teoría de control óptimo estocástico para maximizar la utilidad de un agente que distribuye su riqueza inicial entre consumo e inversión en un portafolio que incluye la opción asiática. Para resolver el modelo, se utiliza simulación de Monte Carlo
Este documento presenta un modelo econométrico semi-estructural calibrado para la economía peruana desarrollado por el Banco Central de Reserva del Perú. El modelo consta de ecuaciones de demanda agregada, oferta agregada y paridad de tasas de interés. Se calibran los parámetros en lugar de estimarlos econométricamente para tener en cuenta la inestabilidad estructural. El modelo se utiliza para proyectar la inflación y brecha de producto bajo diferentes escenarios de política monetaria.
Este documento presenta un programa sobre portafolios de inversión. Explica conceptos clave como riesgo, incertidumbre y modelos de valoración de activos como el modelo de Markowitz y el modelo de Sharpe. También cubre temas como el cálculo de expectativas de rentabilidad, análisis de desempeño de portafolios, construcción de portafolios y administración de portafolios. El objetivo es proporcionar una introducción a la teoría moderna de portafolios de inversión.
Este documento ofrece un servicio de asesoría y resolución de ejercicios de econometría financiera a través de correo electrónico. Incluye una lista de libros de texto y capítulos de referencia, y propone una serie de ejercicios sobre temas como variables financieras, calificaciones académicas, inflación y desempleo, y modelos de regresión para que los resuelva el cliente.
Este documento ofrece servicios de asesoría y resolución de ejercicios de econometría financiera a través de correo electrónico o página web. Incluye una lista de libros de texto y capítulos de referencia, así como una serie de ejercicios de econometría para que el cliente resuelva con el objetivo de practicar conceptos como el análisis de regresión, estimación de parámetros, pruebas de hipótesis y uso de software econométrico.
Este trabajo presenta el método de Longstaff-Schwartz para valorar opciones americanas cuando el subyacente sigue un proceso de salto-difusión. En primer lugar, se introducen los conceptos básicos de opciones y métodos de valoración. Luego, se describe el algoritmo de Longstaff-Schwartz, el cual usa mínimos cuadrados para estimar el valor esperado de continuar. Finalmente, se implementa este algoritmo para valorar opciones americanas cuando el subyacente tiene precios discontinuos debido a saltos.
Este documento proporciona información sobre un servicio de asesoría y resolución de ejercicios de econometría y finanzas a través del correo electrónico ciencias_help@hotmail.com o en la página web www.maestronline.com. Incluye bibliografía de libros de texto recomendados y una lista de ejercicios de econometría para que los estudiantes resuelvan y envíen para su revisión y retroalimentación.
Similar a Vasicek & CIR Model - Paper Final Grado (20)
1. 1
Resumen—En el presente texto se desarrolla el pronóstico de la
curva cero cupón de un año por medio del modelo Vasicek y el
modelo Cox Ingersoll Ross bajo la plataforma Matlab y el programa
estadístico E-views, así se identifica cuál de las dos metodologías es
más acertada tanto matemática como gráficamente, adicionalmente
se pretende evidenciar la importancia que puede tener un pronóstico
acertado sobre diferentes variables financieras de este tipo.
Palabras clave— Curva de rendimiento, Matlab, Modelo
Cox Ingersoll Ross (CIR), Modelo Vasicek, curva cero cupón,
tasa fija, movimiento browniano, tasa de interés, riesgo,
desviación estándar.
.
Abstract— In this text we develope the one year Zero cupon yield
curve forecast, working on Vasicek model and Cox Ingersoll Ross
Model. Those models were worked on matlab and the statistical
software E-views. On the next pages we are able to show which is
the best metodology argued by mathematical expressions and through
graphs. Additionally, we explain how important could be to get an
accurate forecast on differents unknown finances variables.
Key Words—Yield curve, Matlab, Cox Ingersoll Ross (CIR)
model, Vasicek model, zero coupon yield curve, fixed income,
brownian motion, interest rate, risk, standard deviation.
1. INTRODUCCIÓN
¿Cuál es el mejor método de pronóstico de las tasas Cero
Cupón a un año, entre el modelo Vasicek y el modelo CIR?
La curva cero cupón es de las más usadas en el mercado de
capitales como referencia de mercado de renta fija, por medio
de ella se estiman valoraciones de títulos tanto líquidos como
ilíquidos, adicionalmente, toma una marcada importancia dado
que facilita el desarrollo, la formulación matemática y el
cálculo de valoración de otro tipo de instrumentos. Pronosticar
la curva cero cupón de una manera acertada da la posibilidad
de poder estimar el precio de títulos de renta fija y así trazar
estrategias de inversión más acertadas, aunque no es una curva
replicable exactamente en el mercado su influencia sobre el
1
Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con
MATLAB
2
Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con
MATLAB
3
Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con
MATLAB
4
Magister in Stochastic Enginerring, Economista, Finanzas y Comercio
Exterior.
mismo está dada a que marca el rendimiento mínimo que debe
tener las inversiones en cierta periodicidad.
En un mercado de capitales que ha venido evolucionando
durante los últimos años como en el caso Colombiano, donde
la emisión de títulos de deuda privada es una constante en el
mercado, una proyección aproximada de la tasa cero cupón
permite generar perspectivas directas de las tasas de
negociación. Adicionalmente ofrece expectativas de
indicadores macroeconómicos (tasas de interés) que afectan la
evolución del mercado y directamente con ello la rentabilidad
de este tipo de títulos.
A partir de la tasa cero cupón se pueden hacer comparaciones
del estado de la economía colombiana respecto a otras
economías, así inversionistas apoyados en indicadores
macroeconómicos de cada país, análisis de calificaciones
crediticias, situación política y fiscal podrían dar mayor
rendimiento a sus inversiones ampliando el entendimiento y
análisis de un correcto balance riesgo/ retorno sobre las
inversiones de renta fija en diferentes países.
En el presente texto se pretende principalmente pronosticar la
tas cero cupón a un año por medio del modelo Vasicek que es
una derivación del modelo Black and Scholes aplicado para
las tasas de interés sobre activos de renta fija y el modelo Cox
Ingersoll Ross. Por medio de Matlab se realiza la
demostración matemática de los modelos nombrados
anteriormente y se determina cual es el modelo más acertado
en el pronóstico de la tasa cero cupón llevando a cabo un back
testing de los pronósticos frente la tasa observada publicada en
el caso colombiano por el Banco de la República.
2. MARCO REFERENCIAL
Las investigaciones que se analizaron para este documento
son:
1. Los modelos de valoración de opciones sobre títulos de
renta fija: aplicación al mercado colombiano.
Este proyecto investigativo con el planteamiento de Vasicek
resalta que fue de los primeros modelos de estructura a
plazo, es un modelo de tasa corta unifactorial de equilibrio el
cual asume que la tasa de interés sigue un proceso de
distribución normal incluyendo una reversión a su nivel
medio.
Autores: Gómez Fandiño Carlos Eduardo1
, Escala Ortiz Fabio Herley2
, Barrantes Diago María
Fernanda3
Tutor: Martínez Patiño Manuel Andrés 4
Pronóstico de la curva cero cupón de un año en el
mercado colombiano por medio del modelo Vasicek y
el Modelo Cox Ingersoll Ross.(Nov 2015)
2. 2
La aplicabilidad del modelo de tasa de interés de Vasicek para
opciones call y put en los títulos de renta fija colombianos
efectuando estimaciones econométricas autorregresivas y de
volatilidad.
Los parámetros de entrada se estiman por procedimientos
econométricos, la velocidad de reversión a la media a y la tasa
de largo plazo b se estiman por el proceso AR(1); y para la
volatilidad σ se realizó por GARCH(1,1), también tomando
algunos valores empíricos en a y en b, este último siendo una
variable constante.
El punto de partida es marcado por el trabajo de Itô (1951),
utilizando la ecuación estocástica:
)()()()( tZttttP (1)
Ecuación 1 (Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013)
P(t) es el precio, µ(t) es la media, σ(t) la volatilidad y Z(t) es
un movimiento Browniano. En este teorema se realizan una
extrapolación en las tasas de interés. Para estos modelos se
pueden referenciar los modelos de Vasicek (1977) y Cox,
Ingersoll & Ross (1985).
.
El modelo de Vasicek describe la dinámica de una tasa corta
de interés, satisfaciendo el proceso de Itô:
ztrbar )( (2)
Ecuación 2 (Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013). Dinámica
de las tasas de interés.
Dónde:
a: velocidad de reversión a la media, es decir, la rapidez con
que la tasa de interés de corto plazo tiende a regresar a su
valor de largo plazo, b, una vez que se ha desviado de este.
b : nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a
largo plazo.
z : proceso de Wiener estándar con media 0 y desviación
estándar 1.
σ : volatilidad de los cambios de la tasa de interés de corto
plazo.
dt : intervalo de tiempo que tiende a cero (0).
dz : es un proceso browniano.
Los resultados que obtuvieron a partir de los parámetros
estimados econométricamente no arrojaron resultados
estadísticamente satisfactorios ya que los valores de las
opciones no permitieron realizar del todo análisis objetivos
pero cuando hicieron ajustes manualmente basados en
criterios empíricos, las cifras fueron más satisfactorias.
(Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013)
2. An equilibrium characterization of the term structure.
Esta investigación aporta una forma general de la estructura
temporal de tasas de interés, donde tienen en cuenta los
siguientes supuestos:
A. Tasas de interés en el mercado spot;
B. El precio de un bono a descuento depende sólo del
tipo de cambio spot sobre su plazo
C. El mercado es eficiente.
Con estos supuestos se muestra por medio de un argumento de
arbitraje que la tasa de retorno esperada de cualquier bono por
encima del tipo de cambio spot es proporcional a su
desviación estándar.
Se ha dedicado muchos estudios a las condiciones de
equilibrio en mercados de capitales y los precios de los bienes
de capital, pero pocos resultados son directamente aplicables a
la descripción de la estructura de tipos de interés. Los estudios
más representativos y en los cuales hay excepciones son las
obras de Roll (1970, 1971), Merton (1973, 1974), y Long
(1974). El desarrollo del modelo se basó en un arbitraje
similar al planteado por Black & Scholes (1973) para la
valoración de opciones.
Dado que no existe una sola variable de estado, los
rendimientos de los bonos de diferentes vencimientos están
correlacionados y se necesita un estimado de vencimientos
para cumplir con sus objetivos de inversión. Lo anterior se
estructuró con las ecuaciones de plazo:
dztrdttrfdr ),(),( (3)
))(,,(),( trstPstP (4)
Ecuación 3 (Wells Fargo Bank and University of California, Berkeley,
CA, U.S.A. , 1977)
Se determina que en el modelo general en primer lugar el
precio del mercado de riesgo ),( rtq es una constante,
independiente del tiempo transcurrido y del tipo de cambio del
en el spot. En segundo lugar el tipo de cambio del spot )(tr
sigue el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. (Wells Fargo Bank
and University of California, Berkeley, CA, U.S.A. , 1977).
3. Modelización del tipo de interés a corto plazo con
modelos TAR.
En este estudio se investiga el comportamiento dinámico no-
lineal a corto plazo en el mercado español, donde indican que
la mayoría de los modelos univariantes, como es por ejemplo
Vasicek (1977) no son capaces de capturar patrones de
volatilidad reales ni la estructura de dependencia entre los
tipos de interés a diferentes plazos. Por esta razón el estudio se
basó en los modelos TAR introducidos por Tong (1990) los
cuales han sido utilizados favorablemente para capturar el
comportamiento heterocedástico de los tipos de interés sin
incluir factores extras.
Los modelos descritos se centraron únicamente en modelos de
un factor:
tttt dWrdtrdr )()( (5)
Ecuación 4 (Vidiella Anguera & Alegre Escolano)
3. 3
Donde )(tr es la tasa instantánea del tipo de interés y tdW un
movimiento browniano estándar. El modelo de Vasicek (1977)
reemplaza el término pendiente )( tr por )( tr y el
término asociado a la varianza se deja independiente de tr .
El modelo Vasicek tiene una ventaja y es su simplicidad en el
proceso de estimación ya que es como un proceso lineal. Pero
tiene el inconveniente que puede producir escenarios con tipos
de interés negativos frecuentemente. En cambio los modelos
TAR tienen un proceso estocástico }{ tY donde se dice que
sigue un proceso discreto self-exciting threshold
autoregressive, SETAR ),...,( 1 jKK con J regímenes si
satisface la relación.
Este trabajo es la constatación empírica de que al utilizar
modelos sencillos sobre los diferentes niveles de los datos se
pueden modelar mejor las tasas de interés a corto plazo,
generando ventajas al utilizarlos como modelos de predicción
y valoración. (Vidiella Anguera & Alegre Escolano).
3. En el modelo estocástico de Vasicek para la predicción
de tipos de interés.
Este estudio se plantea debido a las variaciones de los tipos de
interés ofrecidos por los bancos y otras entidades financieras
las cuales afectan directamente a los mercados bursátiles,
cuando los tipos de interés suben se producen bajas en las
cotizaciones de las acciones en la bolsa, y por eso busca
justificar la importancia de estudio de modelos apropiados
para modelar la evolución de los tipos de interés. El modelo es
representado por la ecuación:
)()(,()(,()( tdWtrtdttrttdr (6)
Ecuación 5 (Tamarit Ramos, 2013).
Donde el modelo de Vasicek asume que el comportamiento de
los tipos de interés tiene un comportamiento regresivo hacia
un valor fijo, el asume que el comportamiento de los tipos de
interés tiene un comportamiento regresivo hacia un valor fijo.
Adicionas este trabajo desarrolla la fórmula de Itô la cual
constituye una versión estocástica de la regla de la cadena para
procesos estocásticos )(tX que son solución de una ecuación
diferencial estocástica de la siguiente forma:
)())(,())(,()( tdWtXtgdttXtftdX (7)
Ecuación 6 (Tamarit Ramos, 2013).
Las propiedades estadísticas que se utilizan en la solución del
modelo de Vasicek son:
La media
La varianza
La covarianza
Distribución normal
Al aplicar el modelo estocástico de Vasicek para modelar el
tipo de interés interbancario a corto plazo y realizar sus
predicciones probabilidad, demuestran que el modelo de
Vasicek es satisfactorio para esta modelización. Esto con
relación a otros modelos utilizados en los diferentes estudios,
Vasicek permitió proporcionar estimaciones puntuales.
(Tamarit Ramos, 2013)
4. La estructura temporal de los tipos de interés en España.
El modelo de Cox, Ingersoll y Ross.
Con relación al modelo CIR el estudio de la estructura
temporal de los tipos de interés en España. El modelo de Cox,
Ingersoll y Ross de Paz Rico, se trata de estimar la estructura
temporal de los tipos de interés, durante un tiempo
establecido, aplicando el modelo intertemporal estocástico en
tiempo continuo y de equilibrio general de valoración de Cox,
Ingersoll & Ross utilizando los precios de la deuda pública,
este se desarrolla ya que el análisis y la obtención de una
estructura de los tipos de interés es uno de los temas que más
investigación ha abarcado en los últimos años, esta gran
cantidad de investigaciones se deben a la importancia que
tiene la obtención de las ETTI (estructura temporal de los tipos
de interés) en sus aplicaciones en la economía.
Se plantean metodologías de varios autores como
Merton(1973), Vasicek (1977), Dothan (1978), Brennan y
Schwartz (1979, 1980) en estos no se especifican condiciones
suficientes y el riesgo es especificado exógenamente, donde
los precios de los bonos dependen de muchas variables
económicas, las cuales siguen procesos estocásticos. Además
se plantean metodologías de modelos de equilibrio general de
(Cox, Ingersoll y Ross (1985), Longstaff (1989), Longtaff y
Schwartz (1992), Platten (1994).
El modelo CIR se resume de la forma en el cual existe un
número finito de procesos productivos con rendimientos
estocásticos constantes que producen un solo bien que se
destina a consumir o a invertir. Y existen un número finito de
agentes, con preferencias logarítmicas los cuales seleccionan
un plan de consumo e inversión que sean óptimos.
El modelo de CIR que plantea supone que la dinámica del
tipo de interés es dado por la siguiente ecuación estocástica:
rdzdtrkdr )( (8)
Ecuación 7 (Rico, 1998)
Dado el tipo de interés en un periodo de tiempo, representa el
precio del bono a descuento que vence en cierto tiempo se deja
bajo la expresión:
rTtB
eTtATtrP ),(
),(),,(
(9)
Ecuación 8 (Rico, 1998)
Rico realiza la estimación de la estructura temporal de los
tipos de interés bajo los parámetros del modelo CIR donde
existen tres métodos:
4. 4
Estimar los parámetros del proceso continuo
),,( k mediante una aproximación discreta de la
ecuación diferencial.
Utilizar un panel de observaciones y estimar
simultáneamente los parámetros ),,,( k al
aplicar el método de los modelos generalizados, esto
ya que los modelos de equilibrio implican que el tipo
de interés instantáneo libre de riesgo tiene
distribución estacionaria.
Y el último método consiste en la estimación de
corte transversal de los parámetros del modelo
aplicando métodos no lineales. Para esto Brown y
Dybving (1986) hacen el supuesto que el precio de un
bono en un momento de tiempo determinado se
desvía del precio teórico en un error de media cero:
tPBPB )()(* (10)
Ecuación 9 (Rico, 1998).
La estimación de la ETTI por el modelo CIR realizado con
datos temporales y de corte transversal demuestra que en el
periodo tomado para el estudio existe un cambio estructural
en la dinámica de las tasas de interés de corto plazo afectando
así su valor de largo plazo y su volatilidad.
La estimación puede ser adecuada si el objetivo del modelo es
obtener sus determinantes pero NO si el objetivo es estimar el
precio de un activo financiero en un momento determinado de
tiempo.
Es un modelo complejo respecto al cálculo lo cual lo hace
poco atractivo con relación a otros modelos más sencillos de
estimar y los cuales presentan también un elevado grado de
ajuste. (Rico, 1998).
Para tener una comprensión total del tema expuesto a
continuación se deben tener claros temas conceptuales como
los siguientes:
La curva cero cupón es un vector de tasas de interés
(rendimientos) de bonos sin cupones a diferentes plazos de
vencimientos. Estas son tomadas de los precios de los bonos
soberanos con cupones, emitidos por el gobierno por medio de
modelos financieros. La curva cero cupón hace posible
valorizar títulos de deuda sin precio, en el caso colombiano es
muy útil por medio de la curva cero cupón para estimación de
precio de bonos corporativos. Esta curva está compuesta por
puntos de maduración de un bono cero cupón para la
apropiada tasa de maduración, la metodología usualmente
empleada para determinar la curva cero cupón es
“Bootstrapping”.
La estimación de la curva cero cupón se basa bajo el supuesto
de asumir la relación que hay entre las tasas de interés y el
tiempo de maduración. La tasa forward de un bono cero cupón
está relacionada a un facto de descuento:
𝑑 𝑡,𝑚 = exp(−𝑆𝑡,𝑚 𝑚)𝑦 𝑆𝑡,𝑚 =
−1
𝑚
log 𝑑 𝑡,𝑚 (11)
Ecuación 10 (Bank for International Settlements, 2005).
Por qué tasas de interés Spot dependen del horizonte de
tiempo es natural definir las tasas como 𝑓𝑡,𝑚 como la tasa
espontanea (tasa en la cual la diferencia entre el tiempo de
asentamiento y el tiempo de maduración) se acerca a 0.
Los bonos cero cupón son raramente observados en el
mercado financiero de manera directa, por lo que se han
desarrollado diferentes métodos para extraer la tasa cero cupón
de los precios de títulos libre de riesgos emitidos por el
gobierno. Estos métodos pueden ser divididos entre
categorizados entre métodos paramétricos y la estimación con
Spines cúbicos (Bank for International Settlements, 2005).
Hay diferentes métodos para estimar la curva cero cupón
como el de Nelson y Siegel o el modelo Svensson. El primero
fue creado por Nelson Y Siegel en el año 1987. Por medio de
una función continua describe la trayectoria de las tasas,
atendiendo a la función:
𝑓 = (𝑚, 𝑏) = 𝛽0 + 𝛽1 exp (−
𝑚
𝑇1
) + 𝛽2
𝑚
𝑇1
exp(−
𝑚
𝑇1
) (12)
Ecuación 11 (Pereda, 2009).
Donde exp(x) denota la función 𝑒 𝑥
y los parametros son
b=(𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝑇1) dada la siguente relación entre la tasa Spot y la
tasa forward instantánea.
𝑖(𝑡, 𝑡 + 𝑚) =
1
𝑚
∫ 𝑓(𝑡, 𝑡 + 𝑠)𝑑𝑠
𝑚
𝑠=0
(13)
Ecuación 12 (Pereda, 2009).
La forma de la curva bajo este modelo está determinada por el
valor de sus parámetros:
𝛽0. Determina la tasa a largo plazo
𝛽1. Indica que tan lejos se encuentra la tasa del periodo inicial
respecto a la tasa de largo plazo.
𝛽2. Indica si la curva presenta forma de joroba (positivo) o
forma de U (negativo)
𝑇1. Indica la posición de la “joroba“, “U“ y la velocidad a la
que las tasas de corto y mediano plazo convergen a su tasa de
largo plazo (Pereda, 2009).
Así la curva Spot cero cupón tomará las diferentes formas de
acuerdo el valor de sus parámetros, como se muestra a
continuación:
5. 5
Ilustración 1. (Pereda, 2009). Ejemplo de la estimación de la curva
cero cupón por medio del modelo Nelson Y Siegel.
Por otro lado el modelos Svennson es una versión basada en el
modelo de Nelson & Siegel, este modelo integra dos
parámetros adicionales. 𝛽3 𝑦 𝑇3. Según Svensson con este
nuevo término el nuevo termino genera una mayor flexibilidad
a la curva que permite adaptar meor la curva a las
observaciones del mercado.
La forma funcional que define la tasa es la siguiente:
𝑓𝑚(𝛽) = 𝛽0 + 𝛽1 exp (−
𝑚
𝑇1
) + 𝛽2
𝑚
𝑇1
exp (−
𝑚
𝑇1
) +
𝛽3
𝑚
𝑇2
exp (−
𝑚
𝑇2
) (14)
Ecuación 13 (Dotras, 2005)
Para los parámetros (𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 𝑦 𝑇1) Es la misma que en el
modelo Nelson & Siegel.
𝑇2. Debe ser positivo, como T1, esta relacionado con la
posición de la segunda curvatura.
𝛽2. Permite una primera curvatura en el corto plazo. 𝛽3.
Analogamente a 𝛽2 determina la magnitud y la direccion de la
segunda curvatura (Dotras, 2005).
Las formas que tomaría esta curva spot bajo el modelo
Svensson con diferentes valores en sus parámetros es la
siguiente:
Ilustración 2. (Pereda, 2009). Ejemplo de la estimación de la curva
cero cupón por medio del modelo Svensson.
Modelos de pronósticos sobre diferentes tipos de variables
económicas y financieras han tomado históricamente como
referencia de movimientos aleatorios el movimiento
Browniano, descubierto en el año 1826 por el botánico
Roberto Brown observó en la naturaleza ciertos movimientos
contantes como por ejemplo el polen de ciertas hierbas en una
solución de agua o la aleatoriedad de los movimientos de
partículas que flotan en el aire. Estos movimientos fueron
catalogados como movimientos aleatorios y completamente
irregulares. El movimiento Browniano había sido objeto de
investigación por diferentes científicos antes de los hallazgos
hechos por Brown y después de éstos fue altamente criticado
por otros científicos en Europa. Norbert Weiner continuó la
investigación de Brown, de allí dedujo que la aleatoriedad de
los movimientos no podía atribuirse a fuerzas externas sino a
movimientos internos de los fluidos (Universidade da Coruña,
2015).
Matemáticamente el movimiento Browniano fue explicado por
Norbert Weiner mediante el teorema de Límite Central
aproximadamente para el año 1918 de la siguiente manera.
Dicho así el movimiento Browniano o proceso de Wiener en
(Ω, F, P) es un proceso Aleatorio, W = (Wt){t≥0} tal que.
Sus trayectorias son continuas
6. 6
Sus incrementos son independientes. Si 0 ≤ t1 ≤ . . .
≤ tn, entonces 𝑊𝑡1, 𝑊𝑡2, … 𝑊𝑡𝑛 − 𝑊𝑡𝑛−1 son
variables aleatorias independientes.
W0 = 0, 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 es una variable gaussiana, con
media cero y varianza t − s, es decir 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 ∼ N
(0, t − s).
X es una gaussiana o Normal (X ∼ N (µ, 𝜎2
)) cuando su
distribución de probabilidad es:
Φ(x) =∫
1
√2πσ
𝑥
−∞
𝑒
(𝑢−𝜇)2
2σ2
𝑑𝑢 (15)
Ecuación 14 (Mordecki, 2013)
La densidad es la campana de Gauss. (Mordecki, 2013)
φ(x) =
1
√2πσ
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2σ2
(16)
Ecuación 15 (Mordecki, 2013)
El movimiento Browniano es usado en diferente que tienen
movimientos aleatorios, por supuesto la economía y las
finanzas no son la excepción a ello dada la aleatoriedad de
ciertas variables presentes como los precios en el mercado de
capitales, la inflación, las tasas de interés entro otras, como
objetivo de estos modelos es la predicción y control de
modelos para la toma de decisiones de inversión (Lavenda).
El modelo Vasicek es uno de los modelos que contemplan los
movimientos aleatorios (movimiento Browniano) en sus
supuestos. Éste modelo de pronósticos de tasas de interés es
una derivación del modelo Black and Scholes, se diferencia
con este por su posibilidad de trabajar sobre tasas de interés ya
que las dinámicas de tasas de interés es diferente a la de
activos tradicionales como las acciones. La principal ventaja
del modelo Vasicek es la linealidad de su proceso, esto lo hace
más simple de calcular (Haugh, 2010).
El modelo Vasicek se satisface por el proceso de Ito dado de la
siguiente manera:
𝑑𝑟 = 𝑎(𝑏 − 𝑟)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 (17)
Ecuación 16 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo
Garcìa).
Dónde:
𝑎: Velocidad de reversión a la media (Rapidez con la que la
tasa de interés de corto plazo tarda en regresar a su valor de
largo plazo)
b: nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a
largo plazo.
𝜎: Volatilidad
r: Ultima tasa obtenida
dt: Intervalo de tiempo que tiende a cero.
dW: Proceso Browniano
Las tasas de corto plazo se componen por una tendencia dada
por [a(b-r)dt] y del componente estocástico 𝜎𝑑𝑧
El precio en el tiempo T de un bono cero cupon está dado por:
𝑃(𝑡, 𝑇) = 𝐴(𝑡, 𝑇)𝑒−𝐵 (𝑡,𝑇)𝑟(𝑡)
(18)
Ecuación 17 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa)
Siendo r(T) la tasa de corto plazo en el tiempo T
𝐵(𝑡, 𝑇) =
1−𝑒 𝑚(𝑇−𝑡)
𝛼
(19)
𝐴(𝑡, 𝑇) = 𝑒 (𝑏 −
𝑙𝜎2
𝑙𝛼2) (𝐵(𝑡, 𝑇)) − (𝑇 − 𝑡) −
𝑙𝜎2 𝐵(𝑡−𝑇)2
4𝜎
(20)
Ecuación 18 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa)
Dónde:
. 𝑡 𝑅 𝑇 =
1
𝑇−1
[𝐵(𝑡, 𝑇)𝑟(𝑡) − 𝐿𝑛[𝐴(𝑡, 𝑇)]] (21)
Ecuación 19 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa)
Esta última ecuación sugiere que la curva de rendimientos
completa puede ser obtenida como una función r(t), una vez
especificados os tres parámetros del proceso (velocidad de
reversión, tasa media y volatilidad). Así la estructura generar
de la curva puede presentar pendiente positiva, negativa o
forma de joroba (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, &
Salcedo Garcìa).
Otro modelo sobre el que se pueden pronosticar tasas de
interés es el modelo Cox Ingersoll Ross de ahora en adelantar
denominado CIR. En el modelo CIR los valores estimados
nunca alcanzaran valores negativos, este establece una
sensibilidad de la varianza de los tipos de interés. El modelo
CIR mantiene una distribución normal, (Haugh, 2010).
El modelo CIR asume que la tasa de interés de corto plazo
satisface la siguiente ecuación.
𝑑𝑟𝑡 = 𝛼(𝜇 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎√ 𝑟𝑡 𝑑𝑊𝑡; 𝑟0 > 0 (22)
𝑑 =
4𝛼
𝜎2 > 0 (23)
Ecuación 20 (Analytical Finance)
𝛼 𝑦 𝜇: Son constantes positivas
𝑑𝑊𝑡: Es el proceso de Weiner del movimiento Browniano.
𝛼: Velocidad de reversión a la media (Rapidéz con la que la
tasa de interés de corto plazo tarda en regresar a su valor de
largo plazo)
𝜇: Nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a
largo plazo.
𝜎√ 𝑟𝑡: Factor de desviación estándar, no permite tener tasas de
interés negativas (Analytical Finance)
3. MARCO LEGAL
El pronóstico de las Tasas Cero Cupón no se encuentra
contemplado en el marco de Basilea, no obstante esta
investigación se basa en la Resolución número 0240 de 2005
7. 7
de la Superintendencia de Valores (llamada Superintendencia
financiera a partir del 2005 en el decreto 4327 del 2005); en la
cual se relacionan las Tasa Cero Cupón resaltando los
siguientes puntos:
De acuerdo a los Anexos de la Resolución se encuentra:
“Método de Estimación de la Curva Cero Cupón para Títulos
TES tasa fija en pesos (CEC en pesos) y la Curva Cero Cupón
para Títulos TES en UVR (CEC en UVR).
En este documento se presenta el método de estimación de las
curvas cero cupón para títulos TES en pesos y UVR calculadas
por La Bolsa de Valores de Colombia S.A.
En el trabajo de determinación de una adecuada metodología
de estimación de la curva cero cupón para los títulos TES,
participaron diferentes investigadores del Banco de la
República, la Superintendencia de Valores de Colombia, la
Superintendencia Bancaria, Crédito Publico y la Bolsa de
Valores de Colombia S.A.
La metodología propuesta para la estimación de las curvas es
la desarrollada por Nelson y Siegel (1987). Esta metodología
presenta numerosas e importantes ventajas sobre otras
metodologías evaluadas, como son:
- Mínima discrecionalidad en su estimación
- Buen ajuste
- Reducida fluctuación
- Parsimonia
- Bajos requerimientos de información
- Estimación de tasas para el corto y el largo plazo, incluso
fuera de la muestra.
2. Procedimiento de cálculo
Este método fue desarrollado por Nelson y Siegel (1987) con
la intención de minimizar el número de parámetros que se
desea estimar suponiendo que la tasa forward instantánea es la
solución a una ecuación diferencial de segundo orden con
raíces iguales y repetidas. De esta forma, la tasa forward
instantánea con maduración en t tiene la siguiente expresión:
𝑓(𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1 exp(−𝑡/𝜏) + 𝛽2.
𝑡
𝜏
. exp(−𝑡/𝜏) (24)
Donde (β0 β1 β2 τ) son los parámetros para estimar en el
modelo.
Dependiendo del valor de los parámetros, la ecuación anterior
puede tomar las diferentes formas que más comúnmente toma
la estructura de tasas. Entre las formas que pueden tomar las
curvas se encuentran curvas monótonas crecientes, en formas
de S o en forma de U invertida. Integrando la ecuación que
relaciona la tasa spot y la tasa forward que se presentó
anteriormente se obtiene la siguiente expresión para la tasa
spot (s(t)):
s(t) = β0 + (β1 + β2) [1 −
exp(−
t
τ
)
t
τ
] − β2 exp(−t/ τ) (25)
Este método se lleva a cabo minimizando la suma de los
errores cuadráticos entre los precios observados y estimados
de los precios de la siguiente forma:
argβ.τmin ∑ (POi − PEi
2M
i=1 (26)
El proceso de estimación se lleva a cabo empleando un
método de máxima verosimilitud.
La tasa spot estimada es una tasa continua que se tiene que
convertir a una tasa compuesta anual de forma discreta:
sd(t) = exp(s(t)) − 1 ” (27)
(Superintendencia de Valores de Colombia, 2005)
4. DESARROLLO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
4.1 Descripción de la información
Para este trabajo de investigación se utilizó series donde
muestran el comportamiento de las tasas de interés de los TES
cero cupón de un año, que data desde el 4 de enero del 2010
hasta 4 de septiembre del 2015 con frecuencia diaria
procedente del Banco de la Republica de Colombia.
(Colombia, 2015)
4.2 Análisis descriptivo
En el gráfico 1 podemos observar gráficamente que la serie de
tiempo no es estacionaria, sin embargo se le aplicaron pruebas
de raíz unitaria para verificar si estadísticamente es o no
estacionaria, La tabla 1 presenta las pruebas de raíz unitaria
que se obtiene desde la herramienta econométrica Eviews 7.
Ilustración 3.Tasas TES cero cupón 1 año, Frecuencia Diaria. Eviews 7.
8. 8
Tabla 1. Prueba de raíz unitaria, Eviews 7.
Como se muestra en el Tabla 1, esta serie de tiempo tiene raíz
unitaria, aceptamos la hipótesis nula lo cual se concluye que la
serie no es estacionaria; observando los valores críticos del
test del 1%, 5%, y 10%, estos son mayores al test estadístico
aumentado de Dickey-Fuller y la probabilidad es mayor al 5%;
si queremos mejorar el problema de raíz unitaria debemos de
aplicar primeras diferencias de la seria y verificar nuevamente
si el modelo es estacionario en primeras diferencias, sin
embargo para la estimación de los parámetros de los modelos
de Vasicek y Cox-Ingersoll-Ross (CIR), se deberá correr un
modelo de regresión lineal simple para poder obtener las
estimaciones de los parámetros a, b, y , es decir que no es
necesario aplicar primeras diferencias.
De igual manera presentamos el histograma de la regresión
realizada, como se muestra en la gráfica 2. Esta muestra una
distribución leptocúrtica, donde los datos se agrupan más en el
centro mostrándose apuntada y con colas menos anchas que la
normal, no cumple con una distribución normal.
Ilustración 4. Histograma, Eviews 7.
4.3 Descripción metodológica
Con la información obtenida del Banco de la Republica y
luego de haber analizado la serie de tiempo, realizamos una
regresión lineal simple con ayuda de la herramienta estadística
Eviews 7.
𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑟𝑡−1 + 𝜀𝑡 (28)
Tabla 2. Regresión lineal simple, Eviews 7.
De igual manera es importante verificar si existen o no auto
correlaciones de los errores de la regresión lineal hecha, por
medio de la herramienta Eviews se obtiene la tabla 3, lo cual
muestra que son estadísticamente significativos es decir que
los errores tienen autocorrelación. Sin embargo nosotros
hacemos un supuesto de que en este modelo, los errores no
tienen autocorrelación y continuamos con la estimación de los
parámetros del modelo lo cual es calcular a, b y yasí poder
estimar las tasas cortas por el modelo Vasicek y CIR.
Tabla 3. Correlograma de los residuos, Eviews 7.
Obtenemos en la tabla 2, =0,000393 y =0,991407, con
esta información podremos estimar los valores de las variables
a, b, y
4.4 Modelación
4.4.1 Estimación de Parámetros del modelo Vasicek:
𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 (29)
9. 9
ab y a
Y la varianza incondicional está dada por
𝑉𝑎𝑟[𝑟𝑡] = 𝜎/(1 − 𝛽1
2
) (30)
Entonces tenemos que,
a= 0.0086; b= 0.0457; = 0.014.
4.4.2 Estimación de parámetros del modelo CIR con
Método generalizado de momentos (MGM):
𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎√ 𝑟𝑡 𝑑𝑊𝑡 , 𝜀𝑡~ (0, 𝜎2
),
∑ 𝜀𝑡
𝑛
𝑡=1 = 0, (31)
∑ 𝜀𝑡 𝜀𝑡−1
𝑛
𝑡=1 = 0, (32)
∑ (𝜀𝑡
2
− 𝑟𝑡 𝜎2
)𝑛
𝑡=1 = 0, (33)
La varianza para el modelo CIR no es incondicional como el
modelo Vasicek, en este caso el cálculo de la varianza se
obtiene con los datos históricos.
ab y a ,
Entonces tenemos que,
a= 0.0086; b= 0.0457; = 0.0054. (Martínez, 2008)
4.5 Análisis de resultados
El modelo de Vasicek presento tasas negativas al momento de
realizar el Simulación las tasas de los TES, lo cual pensamos
que el modelo Vasicek no es óptimo para pronosticar tasas de
los TES cero cupón de 1 año. Sin embargo al pronosticar las
tasas por el modelo de CIR, el comportamiento de estas fueron
positivas debido a que el modelo CIR incorpora dentro de la
ecuación la raíz de rt.
Se realizó dos tipos de Simulación con un rezago de 100
periodos (el número de rezagos fue escogido arbitrariamente,
sin embargo no existe un mínimo o máximo de rezagos). El
primero (Simulación 1) contempló la tasa real de hace 100
días y con esta se proyectó los 100 días siguientes; y el
segundo (Simulación 2) se contempló la misma tasa de hace
100 días, pero la diferencia en relación al primer Simulación,
es que proyecta la tasa real de cada cinco días hasta llegar al
rezago 100.
A pesar de que el modelo de Vasicek presento tasa negativas,
el ejercicio se realizó con ambos modelos, a continuación se
muestran las simulaciones Monte Carlo de cada modelo.
Ilustración 5. Simulación tasas TES cero cupón 1 año por Modelo Vasicek.
Matlab.
Ilustración 6. Simulación tasas TES cero cupón 1 año por Modelo CIR.
Matlab.
En el gráfico 3, se puede apreciar gráficamente que de las
simulaciones realizadas se presentaron tasas negativas por el
modelo Vasicek, muestras que en el CIR (Gráfico 4), estas
simulaciones nunca fueron negativas.
Ilustración 7.Tasa real, Simulación 1, Modelo Vasicek. Matlab.
Ilustración 8.Tasa real, Simulación 1, Modelo CIR. Matlab.
10. 10
Por otro lado, se graficó, la tasa real, el Simulación 1(Línea
Roja) y el Simulación 2 (Línea Negra), para poder determinar
gráficamente que tanto el Simulación 1 y 2 se desvían de la
tasa real, como se muestra en la ilustración 7 y 8. Respeto a la
Ilustración 7, lo cual muestra las estimaciones de las tasas por
el modelo Vasicek, encontramos alta volatilidad para el
Simulación 1, debido a las tasas negativas que se presentan en
el modelo, es aquí donde podemos descartar el modelo
Vasicek para las estimaciones de tasas de interés de corto
plazo de los TES cero cupón de un año del mercado
Colombiano. Sin embargo cuando queremos estimar las tasas
por el modelo CIR, encontramos que la mejor estimación es
cuando hacemos el Simulación 2, debido que este presenta
menos desviación frente a la tasas real, sin embargo no ocurre
lo mismo cuando realizamos el Simulación 1, ya que muestra
una deviación considerable respecto a la tasa real de los TES
de un año.
Ilustración 9.Bloxplot Simulación1. Modelo CIR. Matlab.
Ilustración 10.Bloxplot Simulación2. Modelo CIR. Matlab.
Finalmente, consideramos que el mejor modelo que estima las
tasas de interés de los TES cero cupo de 1 año es el Cox
Ingersoll Ross, sin embargo de los Simulación realizados (dos
pruebas) consideramos que el mejor es el segundo, puesto que
es el que menos desviación tiene frente a la tasas real. Es por
ello que se realizó una última prueba para poder confirmar
nuestra afirmación. Se realizó una gráfica donde muestre el
Simulación 2 en Boxplot (cajas) y la tasa real como línea, lo
que esperamos es que la línea azul pase por la mitad del
Boxplot (Linea Roja) tantas veces sea posible, lo cual nos
estaría diciendo que el modelo no presenta mucha desviación
respecto a la tasa real. En la ilustración 10 se muestra
gráficamente dicha prueba.
Con esta última prueba se puede ver gráficamente que los
primero 46 periodos el Simulación no presento mucha
desviación frente a la tasas real, sin embargo después del
periodo 46, los datos comenzaron a desviarse
considerablemente, estando por encima de la tasas real, sin
embargo a partir de periodo 78 comenzó un alza en la tasas
real y la media del Simulación 2 estuvo muy por debajo de la
tasa real (periodo de alta volatilidad) como se puede ver en la
ilustración 10.
Por otro lado quisimos mostrar gráficamente cual es la
desviación de la tasas real frente al Simulación 1 realizado
para el modelo CIR; podemos ver en la ilustración 9, que el
modelo Simulación 1 para el CIR no fue muy optimo, debido
a las altas desviaciones que se presentaron.
4.6 Utilidad y aplicación financiera de los resultados
El modelo tiene su aplicación, en cualquier institución
financiera, como en áreas de riesgos y de inversión, es
importante y de aclarar que para este trabajo, se realizó una
demostración matemática.
Sin embargo, los modelos trabajados, podrían llegar a estimar
las tasas futuras de los TES cero cupón de 1 año, lo cual
servirá para anteponerse al mercado y realizar operaciones en
donde sus portafolios presenten rentabilidades positivas.
5. CONCLUSIONES
El modelo Vasicek presenta tasas negativas al momento de
estimar las tasas de interés de los TES cero cupón de 1 año lo
cual en los resultados daban tasas que tocaba sumarles un
componente imaginario, lo cual tendríamos que descartar
dicho modelo al momento de estimar estas tasas de interés. Sin
embargo el modelo Cox Ingersoll Ross (CIR), no mostro el
mismo comportamiento de tasas negativas debido al
componente de la raíz de rt.
De igual manera, modelamos dos posibles comportamientos
de tasas las cuales llamamos Simulación 1 y Simulación 2
desde el modelo CIR, y llegamos a la conclusión que el
Simulación 2 presente mejor estimación de tasas cortas y no
presenta tanta desviación respecto a la tasas real en los
primeros 50 periodos, sin embargo luego del periodo 50, la
tasas real presento periodos de alta volatilidad, lo que hizo que
tuviéramos desviaciones considerables en los últimos 30
periodos como se muestra en la Ilustración 10.
6. RECOMENDACIONES
Se recomienda seguir en la investigación para encontrar la
mejor estimación de las tasas de interés de los TES, con
modelos como de Ho y Lee, Hull y White, Longstaff, Brennan
y Schwartz, Black, Derman y Toy y poder así determinar
matemática y estadísticamente que modelo, podríamos
11. 11
implementar en el mercado financiero colombiano, para poder
disminuir el riesgo de mercado, y así tener una buena
estimación y/o predicción de las tasas de interés.
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