tasa de interes

1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Unidad 3 – Interés Compuesto
Tasas de Interés
Carlos Mario Morales C ©2019

2. En el mercado encontramos que
las entidades ofrecen sus
productos financieros con
diferentes tasas de interés

3. Tasas Nominales
18% NMV (Nominal mes vencido)
15% NV (Nominal anual vencido)
8% NSA (Nominal semestre anticipado)
12% NTA (Nominal trimestre anticipado)
Diferentes Tasas de Interés
Tasas Periódicas
18% NMV (Nominal mes vencido)
15% NV (Nominal anual vencido)
8% NSA (Nominal semestre anticipado)
12% NTA (Nominal trimestre anticipado)
Tasas Efectivas
15% EA (Efectiva anual)
12,5% E (Efectiva anual)
8% E (Efectiva anual)
12% EA (Efectiva anual)

4. CONCEPTO
Es una tasa de referencia que indica el porcentaje de
interés que se cobra a un capital en un año; cuando los
intereses se liquidan y capitalizan en un periodo
determinado. De esta forma, pueden existir varias
tasas nominales, dependiendo del periodo de
capitalización: nominal-mensual, nominal-semestral,
nominal-anual, etc.
REPRESENTACIÓN
La tasa nominal se representa con la letra j
DENOMINACIÓN
Se nombra con el valor y las letras N o C (que indica
que es nominal), seguida de una letra que indica el
periodo de capitalización y otra que indica el tipo de
interés (vencido o anticipado) Ejemplos: 40%CTV o
40%NTV
¿Pero que significa una tasa de interés…?
Nominal
j = 20% NMV Significa que se cobrara una
tasa de interés del 20% durante un año, liquidando los
intereses cada mes de manera vencida.
Es decir, se liquidan los
intereses 12 veces al año,
durante un año de manera
vencida
j = 15% NSA Significa que se cobrara una
tasa de interés del 15% durante un año, liquidando los
intereses cada mes de manera anticipada.
Es decir, se liquidan los
intereses 2 veces al año,
durante un año de manera
anticipada

5. La respuesta es con la
TASA DE INTERES PERIODICA
CONCEPTO
Es la tasa de interés que efectivamente se cobra por un periodo de tiempo dado;
de esta forma, la tasa corresponderá a un periodo (n)
REPRESENTACIÓN
Se representa por una letra 𝑖
DENOMINACIÓN
Se nombra con el valor y la letra E (que indica que es efectiva), seguida de una
letra que indica el periodo donde se aplica, para el año se puede omitir y otra
que indica el tipo de interés (vencido o anticipado), en el caso de ser vencido se
puede omitir
EJEMPLOS
Si “𝑛” son trimestres, la tasa será 𝑋% Trimestral Vencido (TV)
Si “𝑛” son meses, la tasa será 𝑋% Mensual Anticipado (MA)
Si “𝑛” son semestres, la tasa será 𝑋% semestral (S)
Si “𝑛” es anual se puede omitir el calificativo, es decir: 𝑋%
¿Pero, considerando
que la liquidación de
intereses se realiza en
periodos diferentes a
un año, entonces con
que tasa se calculan los
intereses?
¿Pero que significa una tasa de interés…?

6. TASA DE INTERES PERIODICA
CALCULO DE LA TASA PERIODICA
De acuerdo a su definición la tasa periódica se
puede calcular a partir de la TASA NOMINAL y el
NUMERO DE CAPITALIZACIONES que se realicen
durante el periodo de la tasa Nominal
Ejemplo 1
Si la tasa de interés es del 15%NTV; entonces la tasa
periódica, se calcula, como: la tasa nominal sobre el
número de capitalizaciones durante el año, que en este
caso será de cuatro (4) veces. Es decir,
𝑖 =
15%
4
= 3,75%; 𝐸𝑇 − 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎
Ejemplo 2
Si la tasa de interés es del 8,5%NSA; entonces la
tasa periódica, se calcula, como: la tasa nominal
sobre el número de capitalizaciones durante el año,
que en este caso será de cuatro (2) veces. Es decir,
𝑖 =
8,5%
2
= 4,25%; 𝐸𝑆𝐴 − 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎
Generalizando podemos definir:
𝑖 =
𝑗
𝑚
Donde j = Tasa Nominal; m = Número de capitalizaciones por
año y 𝑖 Tasa de interés periódica
Nótese que: 𝑗 = 𝑖 × 𝑚
Permite hallar una
tasa periódica a
partir de una tasa
Nominal
Permite hallar una
tasa nominal a
partir de una tasa
periódica

7. CONVERSIÓN DE TASAS NOMINALES EN TASAS PERIODICAS Y VICEVERSA
EJERCICIOS
Ejercicio 1
Si a la Empresa el “ENCANTO” le cobran por un
crédito de $230 millones el 18% NMV; entonces con
que tasa de interés debería calcular el monto que
debe pagar después de 5 trimestres.
Solución
Considerando que se trata de una tasa nominal, con
capitalizaciones mensuales, será necesario calcular
la Tasa Periódica mensual y con esta tasa se calcula
el VF para 15 meses (5 trimestres)
𝑖 =
𝑗
𝑚
=
18%
12
= 1,5% 𝐸𝑀𝑉
El valor final se calcula la función VF de EXCEL
𝑉𝐹 = $287.553.375,33
Ejercicio 2
La Empresa el “ILUSION” tiene invirtió en un fondo
la suma de $180 millones y recibirá $200 millones
dentro de quince meses. El gerente quiere conocer
que tasa NTV esta recibiendo.
Solución
Lo primero que se debe investigar es la tasa de
interés periódica trimestral que se esta recibiendo.
Lo anterior, lo hallamos con la función TASA de
EXCEL considerando que en 15 meses hay 5
trimestres.
𝑇𝐴𝑆𝐴 = 𝑖 = 2,13% 𝐸𝑇
Para hallar la Tasa Nominal Trimestral, aplicamos el
modelo:
𝑗 = 𝑗 × 𝑚 = 2,13% × 4 = 8,518% 𝑁𝑇𝑉

8. TASA DE INTERES EFECTIVA
¿Pero que significa una tasa de interés…?
CONCEPTO
Cuando el periodo de la tasa de interés periódica es el
año, la tasa toma el nombre de TASA DE INTERES
EFECTIVA
REPRESENTACIÓN
De la misma forma, que la periódica, se representa por
una letra 𝑖
DENOMINACIÓN
Se nombra con el valor y la letra E (que indica que es
efectiva), seguida de la letra A, o simplemente se omite
EJEMPLOS
15% E – Tasa efectiva vencida
15% EA – Tasa efectiva vencida
15% EAA – Tasa efectiva anticipada
EJERCICIO
La compañía TRAP, realiza una inversión de $425
millones de pesos esperando recibir $475 millones
después de 33 meses. El gerente de TRAP quiere
conocer cual es la Tasa Efectiva y la Tasa Nominal Anual
SOLUCIÓN
Para hallar la Tasa de interés ganada por esta inversión,
utilizamos la función TASA de EXCEL y el número de
periodos en años (33/12).
TASA = 4,127% E, será una tasa efectiva considerando
el periodo de tiempo, con la cual se calculo.
La tas Nominal será igual
𝒋 = 𝒊 × 𝒎 = 𝟒, 𝟏𝟐𝟕% × 𝟏 = 𝟒, 𝟏𝟐𝟕% 𝑵𝑨
Nótese que, el Interés Efectivo es igual al Interés
Nominal

9. ¿En algunas ocasiones
tenemos que decidir
entre dos tasas de
interés con diferente
denominación?
Caso compañía MIER
El gerente de la compañía MIER, desea conocer
cual es la mejor opción de inversión entre las
siguientes ofertas que le ofrece el mercado:
1. El Banco FORT le ofrece un rendimiento del 7,5% NS
2. El Banco MED le ofrece una tasa de interés del 0,65% MV
3. El Banco ANT te ofrece una tasa de interés del 1,87% TA
4. El Banco SANT ofrece una tasa del 7,4% NMA
El gerente esta un poco confundido, y se
pregunta:
¿Cuál de todas estas ofertas es la que
proporcionara mejores rendimientos a la
empresa?
Con el fin de dar respuesta al
Gerente deberíamos poder comparar
las tasa de interés (rendimiento) que
ofrece cada entidad, pero para esto
tenemos que poder expresar cada
una de ellas en el mismo tipo y
unidad de tiempo

10. Dos tasas periódicas son equivalentes cuando
teniendo diferente efectividad producen el
mismo monto al final del año.
Igualando estas dos ecuaciones y despejando 𝑖1
se obtiene que:
Conversión de Tasas de Interés
𝑉𝐹 = (1 + 𝑖1) 𝑛1
𝑉𝐹 = (1 + 𝑖2) 𝑛2
𝑖1 = (1 + 𝑖2)
𝑛2
𝑛1−1
𝑖2 tasa periódica conocida
𝑖1 tasa periódica desconocida
𝑛1 Periodo de capitalización de la tasa desconocida
𝑛2 Periodo de capitalización de la tasa conocida
Entre Tasas Periódicas
Para convertir una tasa periódica en una tasa Efectiva aplicamos la
misma formula, pero en este caso, n1 es igual a 1
De otro lado, si se quiere convertir una tasa efectiva en una tasa
periódica, igualmente se aplica la misma formula, pero con n2 igual
a 1
Entre Tasas Periódicas y Efectivas
𝑖 𝐸 = (1 + 𝑖2) 𝑛2−1
𝑖1 = (1 + 𝑖 𝐸)
1
𝑛1−1
Entre Tasas Periódicas anticipadas y vencidas;
aplica igual entre Tasas Efectivas
En contraste con la tasa de interés 𝑖 (vencido), la tasa de
interés anticipado se denomina 𝑖 𝑎. Cuando no hay una
referencia específica, se supone que la tasa de interés será
siempre vencida. Las formulas para la conversión son las
siguientes:
𝒊 =
𝒊 𝒂
𝟏 − 𝒊 𝒂
𝒊 𝒂 =
𝒊
𝟏 + 𝒊

11. Conversión entre Tasas de Interés
Existen innumerables situaciones de la vida cotidiana donde se hace necesario convertir la tasa de interés dada a otra denominación
con el fin de poder comparar para la toma de decisiones o simplemente realizar cálculos. Utilizando los modelos matemáticos vistos
previamente se puede convertir cualquier tasa a cualquier base siguiendo los pasos que se ilustran en las siguientes graficas:
j11
2 3
4
i1
i2
j2
i1aj1a i2a
j2a
5 6 7 8𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1
𝑖1𝑎 =
𝑗1𝑎
𝑚
𝑗2𝑎 = 𝑖2𝑎 × 𝑚

12. Ejercicios de Tasa de Interés
Estudiar en Ejercicios Resueltos en EXCEL (Del
Blog), lo siguientes ejercicios:
Ejemplo Tasa de interés y ejercicios
20 – 21 – 23 y 24

13. Cuando se aplica una tasa de interés, se están cobrando dos tipos de interés, el primero de ellos para reconocer
la perdida de valor del dinero en el tiempo por la inflación (f) y la segunda para reconocer la utilidad que se
cobra por el uso del dinero (iR), Tasa real. Entonces cuando se combina ambas tasas, se puede determinar una
tasa combinada que reúne ambas tasa de interés.
Tasas Combinadas
Para un peso sometido a una tasa de interés f, durante un
periodo, el valor final será:
1 + 𝑓
Si este valor resultante se somete a una tasa de interés iR,
también durante de un periodo, el valor final será:
1 + 𝑓 × 1 + 𝑖 𝑅
El monto final, aplicando una tasa de interés combinada,
durante un periodo, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐
Igualando las dos expresiones anteriores, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐 = 1 + 𝑓 × 1 + 𝑖 𝑅
Al despejar 𝑖 𝑐, se obtiene:
𝒊 𝒄 = 𝒇 + 𝒊 𝑹 + 𝒇 × 𝒊 𝑹

14. EJEMPLO
¿Si BANCOLOMBIA, le cobra a un Micro
empresario una tasa de interés del 25,52%
(Tasa efectiva), entonces cual será la tasa
de interés que cobra por utilidad, si se sabe
que la tasa de inflación promedio en
Colombia es del 4%?
Tasas Combinadas
Despejando 𝑖 𝑅 de la ecuación
combinada
𝒊 𝒄 = 𝒇 + 𝒊 𝑹 + 𝒇 × 𝒊 𝑹
Se obtiene:
𝒊 𝒄 − 𝒇 = 𝒊 𝑹 + 𝒇 × 𝒊 𝑹
(𝒊 𝒄 − 𝒇) = 𝒊 𝑹(𝟏 + 𝒇)
(𝒊 𝒄 − 𝒇)
(𝟏 + 𝒇)
= 𝒊 𝑹
Para el caso de BANCOLOMBIA, entonces
la tasa utilidad será:
(𝟐𝟓, 𝟓𝟐% − 𝟒%)
(𝟏 + 𝟒%)
= 𝟐𝟎, 𝟏𝟗% = 𝒊 𝑹
La tasa de Interés 𝒊 𝑹 se le conoce
como Tasa Real y también como
Tasa Deflactada ( es decir, la tasa a
la cual se le ha descontado el efecto
inflacionario)

15. FORMULA GENERAL
Existen otros casos donde será
necesario combinar tasas de interés;
por ejemplo cuando se realizan
operaciones con el exterior, o para
operaciones de renta variable.
Por esto es necesario generalizar la
formula de tasas combinadas,
suponiendo dos tasas 𝒊 𝟏 y 𝒊 𝟐
Tasas Combinadas
𝒊 𝒄 = 𝒊 𝟏 + 𝒊 𝟐 + 𝒊 𝟏 × 𝒊 𝟐
EJEMPLO 1
JMC realiza una inversión por US$ 100.000 en
el Banco New York, el cual reconoce una tasa
de interés del 6%. Si la inversión la realiza a
través de un Banco Colombiano, ¿Qué
rentabilidad estará percibiendo al cabo de 18
meses?
EJEMPLO 2
María adquiere un crédito Hipotecario por
$300 millones (adquisición de vivienda) con el
Banco MED, la cual cobra una tasa de interés
del UVR más 7,5% para un plazo de 20 años y
pagos mensuales.

16. La inflación es el fenómeno
económico que representa el alza
general de los precios de una
economía; por su parte, cuando se
presenta una baja generalizada de
precios el fenómeno se denomina
deflación. La inflación se simboliza con
la letra “𝑓”; la deflación estará
representada por inflación negativa
“ − 𝑓”. La inflación se mide como una
tasa efectiva anual; así los precios se
pueden calcular como:
INFLACIÓN EJEMPLO 1
Si la inflación promedio en Colombia en los últimos 10 años,
es del 5%; ¿Cuál debería ser el precio, el 01 de marzo del
2020, de un Kilo de arroz que el 01 de enero del 2014, se
compraba por $ 3.800?
𝑷 𝒇 = 𝑷𝒊 × (𝟏 + 𝒇) 𝒏
Solución
Duración: 2251 días
Número de periodos: 2251/360 = 6,2527
Precio inicial: $3800
Inflación: 5%
𝑷 𝒇 = 𝟑. 𝟖𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓) 𝟔,𝟐𝟓𝟐𝟕
= 𝟓. 𝟏𝟓𝟓, 𝟓𝟔
Nótese que aquí se puede utilizar la función VF de EXCEL
EJEMPLO 2
Si la inflación promedio en Colombia en los últimos 10 años,
es del 5%; ¿Cuál será la rentabilidad real que gano un
inversionista que en los últimos 4 años obtuvo
rentabilidades en promedio del 6,5%?
Solución
(𝟎,𝟎𝟔𝟓−𝟎,𝟎𝟓)
(𝟏+𝟎,𝟎𝟓)
= 𝒊 𝑹 = 𝟏, 𝟒𝟐𝟖𝟓%

17. DEVALUACIÓN
La devaluación (𝐷𝑣) es la perdida de
valor de una moneda frente a otra. Por
ejemplo, hay devaluación del peso
frente al dólar cuando hoy hay que
pagar $1.800 pesos por un dólar y un
tiempo más tarde su valor es $1.900
pesos.
La devaluación se calcula como el
cambio en la tasa de cambio. La
Devaluación se mide como una tasa
efectiva anual
𝑫𝒗 =
𝑻𝑪 𝒇 − 𝑻𝑪𝒊
𝑻𝑪𝒊
= 𝑫𝒗%
𝑻𝑪 𝒇 = 𝑻𝑪𝒊 × (𝟏 + 𝑫 𝒗) 𝒏
EJEMPLO
JMC realiza una inversión por US$ 100.000 en el Banco New York, el cual
reconoce una tasa de interés del 6%. Si la inversión la realiza a través de un
Banco Colombiano, ¿Qué rentabilidad estará percibiendo al cabo de 18
meses? Datos: TC al momento de la inversión = $3.560; Devaluación (Dv)
promedio en los últimos 2 años = 6,5%
Solución
Cálculos en USD. El VF en USD, se calcula utilizando la función VF de EXCEL, con
VP = $USD 100.000; i = 6%; y # periodos = 18/12. En Excel: VF = USD$109.133,68
Cálculos en Col Pesos $. El VP se calcula como el valor en USD 100.000; por la
Tasa de cambio inicial
VP = 100.000 x 3.560 = 356´000.000
El VF en pesos se calcula como el VF en dólares por la tasa de cambio 18 meses
después, la cual se calcula, como:
TCf (tasa de cambio final), Con VF en EXCEl con TCi = 3.560; una Dv = 6,5% y #
periodos = 18/12. Entonces, TCf = $3.912,68.
Valor Final recibido $COL Pesos. VF = USD$109.133,68 x $3.912,68 =
$427.005.242,97
Con el VP (inversión) y el VF (recibido) en pesos y el # de periodos se puede
calcular la Rentabilidad recibida en pesos. Utilice TASA de EXCEL.
RENTABILIDAD = 12,89%; Nótese que este resultado se pudo haber obtenido con
la tasa combinada entre lo recibido en EU y la Dv.
𝒊 𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟔 × 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 = 𝟏𝟐, 𝟖𝟗%

18. Ejercicios de Inflación/Devaluación
Estudiar en Ejercicios Resueltos en EXCEL (Del
Blog), lo siguientes ejercicios:
Ejemplo Inflación-devaluación y
Ejercicios 31 – 33 – 34 – 35 – 38 y 40

19. En muchas ocasiones de la vida empresarial e incluso
personal no es posible atender las obligaciones
financieras, por lo cual es necesario realizar
negociaciones con las entidades financieras con el fin
de renegociar las deudas, acordando nuevos
términos: plazos y tasa de interés.
En estos casos debemos apoyarnos en la ECUACIÓN
DE VALOR que considerando el concepto de
equivalencia entre valores financieros de una
operación financiera; permite igualar los valores de la
operación en una fecha determinada, la cual se
denomina fecha focal (ff)
Ecuación de Valor
∑ Ingresos = ∑ Ingresos (en ff)
∑ Obligaciones = ∑ Pagos (en ff)
Ingresos
Egresos
Fecha Focal
ffFecha Focal: es una fecha cualquiera en la cual se da
la igualdad entre ingresos y egresos. La fecha focal se
define libremente a criterio del analista; en las
ecuaciones se representan como ff, y gráficamente
como una línea interrumpida perpendicular a la línea
del tiempo, cruzando por el periodo escogido
Principio Fundamental: se establece que para toda
operación financiera la sumatoria de los Ingresos debe ser
igual a la sumatoria de los egresos en la fecha focal; o lo
que es igual la suma de las obligaciones igual a la suma de
los pagos

20. Ejemplo
La compañía JMC tiene dos obligaciones financieras
por 350 millones y de 200 millones para ser pagados
en los meses 2 y 5 respectivamente. No obstante, el
gerente sabe que para esas fechas es imposible el
pago, con lo cual renegocia dichos créditos con el
Banco ANT, para realizar dos pagos iguales en los
meses 8 y 12; el banco, como condición, establece
una nueva tasa de interés del 2,2% mensual.
Ecuación de Valor
Obligaciones
ff
Procedimiento
1. Se selecciona una ff (fecha focal) a gusto del
calculista
2. Se calculan todos los ingresos (Obligaciones) en
la fecha focal
3. Se calculan todos los egresos (Pagos) en la fecha
focal
4. Se igualan los ingresos y los egresos, utilizando la
ECUACION DE VALOR
0 2 5 8 12
350´
200´
X X
Pagos
SOLUCIÓN
1. Seleccionamos como ff, el mes 12
2. Calculamos los equivalentes de las obligaciones en la ff.
Obligación 1, hallamos el VF(12) de 350´millones, utilizando la función
VF de EXCEL, i = 2,2% mensual y # periodos (12-2) = 10 meses.
VF Obligación 1 = $435.087.896,81
Obligación 2, hallamos el VF(12) de 200´millones, utilizando la función
VF de EXCEL, i = 2,2% mensual y # periodos (12-5) = 7 meses.
VF Obligación 2 = $232.908.997,60
3. Calculamos los equivalentes de los Pagos en la ff.
Pago 1, hallamos el VF(12) de X, utilizando VF de EXCEL, i = 2,2%
mensual y el # de periodos (12-8) = 4 meses.
VF Pago 1 = 1,0909 X
Pago 2. El VF(12) de X, en este caso es igual a X
4. Se igualan la suma de las Obligaciones a la suma de los Pagos
(ECUACION DE VALOR)
$435.087.896,81 + $232.908.997,60 = 1,0909 X + X
Resolviendo la ecuación para X = $319.471.009,98

21. Ejercicios de Ecuación de Valor
Estudiar en Ejercicios Resueltos en EXCEL (Del
Blog), lo siguientes ejercicios:
Ejemplo Ecuación de Valor y
Ejercicios 26 – 28 y 30

22. Una de las operaciones financieras más
recurrentes en el Mercado financiero,
son las Inversiones en DEPOSITOS A
TERMINO FIJO, comúnmente llamados
CDT. En este tipo de operaciones las
empresas o las personas invierten
determinada cantidad de dinero durante
un tiempo determinado al termino del
cual se recibe el Capital invertido más un
Interés; lo diferente con otras
operaciones diferentes es que sobre este
Interés se cobra un IMPUESTO, el cual las
entidades financieras deben retener
(RETENCION EN LA FUENTE)
Depósitos a Termino Fijo (CDT)
EJEMPLO
Juan invierte $100 millones en un CDT durante 180 días
en el Banco MED, el cual reconoce una Tasa de Interés del
7,5%. Si la retención en la fuente es del 5% ¿Cuál será el
valor recibido por Juan?
SOLUCION
El VF de la inversión se calcula con la función EXCEL,
utilizando el VP = $100´, i= 7,5% y Duración de 180 días.
VF = $103.682.206,77
Interés = VF – VP = $3.682.206,77
Impuesto = Interés x %Impuesto = $184.110,34
Valor recibido = VP+I-Impuesto = $103.498.096,43
VP
VP + I – Imp.

23. Ejercicios de Depósitos a Termino Fijo (CDT)
Estudiar en Ejercicios Resueltos en EXCEL (Del Blog),
lo siguientes ejercicios:
Ejemplo Depósitos a termino Fijo (CDT)
y
Ejercicio 42