TRANSFORMACIO LINEAL

1. Transformación
lineal
Otniel G

2. Encuentre la Inversa de matriz 2*2 .
MATRIZ INVERSA
Método de Gauss - Jordan
2 4
3 1
A
 
  
 
2 41 0
3 10 1
 
 
 
1
2
1 2 0
3 1
0 1
 
 
 
 
1
2
01 2
30 5 1
2

 
 
 
 
1
2
01 2
30 1 1
10 5
 
 
 
 

3. 1
10
2
1 2 5
30 1 1
10 5
 
 
 
 
1 41
3 210
 
   
Respuesta:
1
1
10
2
5
3 1
10 5
A
 
 
 
 
también
expresada
asì:

4. Encuentre la Inversa de matriz 3*3.












100321
010121
001121















100321
001121
010121













110440
011240
010121













110440
0
4
1
4
1
2
1
10
010121




5. 

















101200
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001





















2
1
0
2
1
100
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001






















2
1
0
2
1
100
4
1
4
1
2
1
010
0
2
1
2
1
001























2
1
0
2
1
4
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
1
A
El paso anterior sirvió para
convertir este número
también a 0

6. Transformaciones Lineales
Teoría
Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es
decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.
Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son
los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.
Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.
Gráfico:
Dado un espacio vectorial V,
V
cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio
vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V
W
v1
v2
v3
w1
w2
w3
f
Sean:
V,W: Espacios Vectoriales
v1,v2,v3
w1,w2,w3
Vectores

7. Teorema:
Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una
transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los siguientes
axiomas:
A A
1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj)
2. f (vi) = α.f (vi)
Teorema:
Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que:
1. f (0v) = 0w
2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj)
Teorema:
Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n
dimV = dimN (f) + dimIm (f)

8. Ejercicios:
1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un
diagrama.
f : P(2) R2
(a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )
Solución:
(1-x)
(3+x-2x2)
(0+0x+0x2)
Los vectores a considerar son:
f (1-x) = (2,1)
f (3+x-2x2) = (2,-1)
f (0+0x+0x2) = (0,0)
Por lo tanto, al reemplazar los valores de los
vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada
vector.
Diagrama:
P(2)
(a+bx+cx2 )
R2
f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
f
V1
V2
V3

9. Ejercicios:
2. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un
diagrama.
f : R3 R2
(x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)
Solución:
(1,3,2)
(3,5,1)
(0,0,0)
Los vectores a considerar son:
f (1,3,2) = (11, 13)
f (3,5,1) = (14, 11)
f (0,0,0) = (0,0)
Por lo tanto, al reemplazar los valores de los
vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada
vector.
Diagrama:
R3
(x, y, z )
R2
f (x, y, z ) = (a, b)
f
V1
V2
V3

10. Ejercicios:
3. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un
diagrama.
f : R3 M2
(x, y, z ) f (x, y, z) =
Solución:
(1,0,1)
(-2,3,1)
(0,0,0)
Los vectores a considerar son:
f (1,3,2) =
f (3,5,1) =
f (0,0,0) =
Por lo tanto, al reemplazar los valores de los
vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada
vector.
Diagrama:
R3
(x, y, z )
M2
f (x, y, z ) =
f
V1
V2
V3
x+y-z x+3y+2z
2x+y-3z -3x+2y+3z
0 3
-1 0
0 9
-4 15
0 0
0 0
a b
c d

11. Teoría
Definición: El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V,
cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero.
N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }
Notación: Núcleo se denota N(f)
Gráfico:
Dado un espacio vectorial V,
V
cuyos elementos son: v1, v2…,
vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como
W
v1
v5
v9
0w
f
y dado un espacio
.
.
.
.
.
.
N (f)
Sean:
V,W: Espacios Vectoriales
v1,v5,v9
0w
Vectores
Correspondiente el vector cero en W.

12. Ejercicios:
1. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de
núcleo.
f : R2 R3
(x, y) f (x, y) = (x-y,2x, y+x)
Solución:
Diagrama:
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
R2
(x, y)
R3
f (x, y) = (a, b, c)
f
1 -1 0
2 0 0
1 1 0
x-y = 0
2x = 0
y+x = 0
N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de
ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos
Las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones
reemplazadas.
y = 0
x = 0
N f : {(x, y)/ x = 0 y = 0}
<
N f : {(0, 0)}
En este caso, el núcleo de la función es el cero
vector.

13. 2. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de
núcleo.
f : R2 R3
(x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c)
Solución:
Diagrama:
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
P(2)
(a+bx+cx2 )
R3
f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c)
f
1 0 0 0
2 1 1 0
0 1 1 0
a = 0
a+ b+c = 0
b+c = 0
N f : {a+bx+cx2 / f (a+bx+cx2) = (a, a+b+c, b+c) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos el
sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada,
obtenemos las restricciones del núcleo Finalmente expresamos el núcleo con las
restricciones reemplazadas.
a = 0
b+c=0
b=-c
N f : { a+bx+cx2 / a=0 b= -c }
<
N f : { -cx+cx2/ c Є R }
N f : { c (-x+x2) / c Є R }
N f : { (-x+x2))}
y al resolverla,

14. 3. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de
núcleo.
f : R3 M2
(x, y, z) f (x, y, z) =
Solución:
Diagrama:
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
R3
(x, y, z)
M2
f (x, y, z) =
f
1 0 -2 0
2 1 2 0
2 1 2 0
3 1 0 0
x-2z = 0
2x+y+2z= 0
2x+y+2z= 0
3x+y=0
N f : {x, y, z / f (x, y, z) = = }
Por lo tanto, plantemos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz
obtenemos las restricciones del núcleo. Finalmente
restricciones reemplazadas.
x-2z=0 x=2z
y+6z=0 y=-6z
N f : {x, y, z / x=2z y=-6z }
<
N f : { 2z,-6z,z / z Є R }
N f : { z (2,-6,1) / z Є R }
N f : {2,-6,1}
y al resolverla,
x-2z 2x+y+2z
2x+y+2z 3x+y
a b
c d
0 0
0 0
ampliada,
expresamos el núcleo con las
x-2z 2x+y+2z
2x+y+2z 3x+y