Este documento presenta información sobre vibraciones aplicadas a la ingeniería civil. Introduce conceptos matemáticos relacionados con vibraciones de puentes y describe un equipo Pasco que permite modelar estructuras. Explica cómo los estudiantes pueden usar este equipo para analizar vibraciones en modelos de uno, dos o tres pisos, así como en puentes colgantes. Muestra ejemplos de resultados obtenidos y cómo se pueden analizar las señales.

1. UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ANGELES DE CHIMBOTE
ULADECH
FACULTAD DE INGENERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENERIA CIVIL
VIBRACIONES APLICADA A LA ING. CIVIL
CURSO; DINAMICA
DOCENTE: LIC. JIMENEZ ARANA JULIO
ESTUDIANTE: YUPANQUI JÁUREGUI, SALOMÓN
GRUPO: C
CICLO: IV
AYACUCHO PERU
2017

2. VIBRACIONES

3. VIBRACION APLICADA A LA ING CIVIL
Introducción
En este trabajo se presenta de manera introductoria algunas herramientas matemáticas
asociadas con el estudio de vibraciones de puentes. Una vez establecidos estos modelos se
describe el equipo de estructuras Pasco en el que se pueden construir representaciones de
edificios y puentes. La presentación del trabajo resalta el tipo de prácticas que pueden realizar
los estudiantes con el fin de profundizar en los conocimientos adquiridos en los primeros
semestres de la carrera de ingeniería civil mediante la integración de las asignaturas de
álgebra lineal, física de vibraciones, ecuaciones diferenciales y métodos numéricos.
Modelo matemático
Con el fin de presentar al estudiante una evolución de una estructura vista desde un sistema
de un grado de libertad hasta un sistema de muchos grados de libertad se comienza con
un estudio básico pasando a estructuras más complejas hasta llegar a un puente colgante, el
objetivo es que se observe la evolución de la ecuación diferencial del movimiento y la
frecuencia natural con el aumento de los grados de libertad (GDL).
2 Estructuras con uno y varios grados de libertad
El oscilador de un grado de libertad representado en una estructura de un piso es mostrado en
la Figura 1 donde se representa una losa superior de masa m apoyada en columnas muy
livianas con rigidez k sometida a una excitación . La respuesta de la estructura da como
resultado una variación del desplazamiento lateral u, que en el caso del muelle en la sección
(a) es el eje x. En la Figura 2 se muestra la idealización de la estructura de un piso con sus
parámetros importantes: masa , rigidez amortiguamiento , y fuerza de excitación
externa
Luego de un tratamiento similar al del sistema masa resorte se puede llegar a la
ecuación: (5)

4. Figura 1. Estructura idealizada, oscilador viscoelástico de
1 GDL. (Tarque, 2003)
Figura 2. Diagrama de cuerpo libre de la losa.
Si ahora la estructura tiene más de un piso se toma cada piso como un sistema masa resorte,
un edificio puede ser representado como una sola columna con masas concentradas a la altura
de los pisos como se muestra en la Figura 3 donde se indican las fuerzas que actúan y los
desplazamientos horizontales sobre ella.
Equipo PASCO para el modelamiento de estructuras
El análisis de vibraciones de estructuras civiles es complejo y requiere del dominio de
múltiples conocimientos en ingeniería, física, matemáticas, instrumentación y programación.
De esta manera, es importante introducir a los estudiantes en estos conocimientos en
diferentes etapas de su formación académica tanto en la parte teórica relacionada con
vibraciones y ondas, así como en la parte experimental en la que se cubren aspectos como la
instrumentación y el procesamiento señales. En esta sección describimos el equipo Pasco que
permite a los estudiantes trabajar con un modelo simple con el que se pueden adquirir datos
para explorar la forma en la que vibran estructuras construidas a nivel de prácticas de
laboratorio o cómo proyectos en los que se pueden integrar diferentes asignaturas del
programa de Ingeniería Civil.
1 Elementos del equipo
El equipo Pasco para el análisis de estructuras ofrece diferentes tipos de elementos para la
construcción de modelos que capturan las características básicas en el análisis de estructuras
como viviendas y puentes. Contiene elementos que pueden ser utilizados como columnas y
otros elementos estructurales para unir de diferentes maneras estas componentes. Adicional
a lo mencionado anteriormente, el equipo cuenta con diversos sensores que registran la carga
en una parte particular de la estructura, la deflexión de un elemento o su aceleración registrada
mediante un acelerómetro. La adquisición de estos datos se realiza mediante el equipo
Xplorer GLX, que permite almacenar y visualizar en tiempo real los datos de 4 sensores de
manera simultánea.

5. Vibraciones con el equipo de estructuras
Con el fin de analizar vibraciones estructurales, se utiliza un generador de ondas mecánicas
alimentado por un generador de señales sinusoidales que permite acoplar la estructura con una
vibración externa a la que es posible controlar su amplitud y su frecuencia. Con el fin de
registrar la aceleración de diferentes partes de la estructura, se utiliza un acelerómetro que
puede ser ubicado en diversos lugares de interés. En la Figura 4 se presentan tres
configuraciones del equipo utilizado para medir vibraciones que modelan lo que podría ocurrir
en una estructura con uno, dos o tres pisos. En este caso el generador de ondas mecánicas
aplica una fuerza oscilatoria en una de las bases, las aceleraciones en la misma dirección de la
fuerza externa son registradas por el acelerómetro.
Figura 4. Estructuras realizadas con el equipo Pasco. En este caso buscamos recrear en un
modelo sencillo una construcción con: (a) un piso, (b) dos pisos, (c) tres pisos. En las imágenes
se muestra la ubicación del sensor de aceleración, el equipo de adquisición de datos y el
generador de ondas mecánicas fijado en la parte derecha de la base. En cada nivel se ha
incluido una masa total de 1 kilogramo.
En la Figura 5, se presentan algunos de los resultados obtenidos para oscilaciones de una
estructura con tres niveles. En 5(a) se muestra el montaje utilizado, en el que en cada nivel se
suspenden masas de 0.5 kg, haciendo que cada piso tenga un kilogramo. En todo este análisis
el acelerómetro se encuentra ubicado en la base del tercer nivel. En la (b) se observa la amplitud
de la aceleración en función de la frecuencia, los datos son obtenidos mediante la adquisición de
datos durante 10 segundos con el generador de onda sinusoidal a una frecuencia n y una
amplitud determinada; el rango de frecuencias n cubierto se encuentra entre 3 Hz y 100Hz. En
estos resultados es claro que la estructura responde con mayor vibración en la posición del
acelerómetro en determinadas frecuencias, una búsqueda más detallada muestra que estos
máximos en la aceleración se presentan a las frecuencias n = 4.3, 14.3 y 22.3 Hz. En la figura

6. (c) se presentan los resultados de la aceleración en función del tiempo para estas frecuencias y
en (d) se obtiene su respectiva transformada rápida de Fourier con el fin de encontrar las
frecuencias de vibración f para cada una de las componentes de la señal.
Figura 5. Análisis de señales para las vibraciones de la estructura de tres niveles mostrada
en (a). En (b) se presentan los resultados asociados a la amplitud de la aceleración en función
de la frecuencia n de la oscilación aplicada en la base de la estructura. En (c) se presenta la
aceleración en función del tiempo para las oscilaciones a tres frecuencias n fija junto con sus
respectivas componentes espectrales presentadas en (d) y obtenida a mediante la transformada
rápida de Fourier de las señales.
A nivel de recurso pedagógico, mediante este equipo se puede familiarizar a los estudiantes
con conceptos importantes de física que a nivel de aula de clase son solo abstractos pero que
con este montaje adquieren mucho sentido en un experimento que captura el interés de los
estudiantes. A nivel de física, se pueden ilustrar los conceptos de resonancia que se da justo en
las frecuencias en los que la estructura recibe mayor energía para ser utilizada en vibración,
también se pueden ilustrar fenómenos de modulación que son evidentes a determinadas
frecuencias.

7. Por otra parte, los estudiantes pueden hacer su propia toma de datos y analizarlos mediante
software especializado. Al respecto, como ejercicio de clase de métodos numéricos se ha
aplicado la Trasformada Rápida de Fourier, esta operación permite obtener el espectro de
frecuencias de la señal registrada en la toma de datos para la aceleración en función del tiempo
(Chapra, 2005). En la Figura 5(d) se observa cómo en los diferentes estados con mayor
vibración, las frecuencias características de la señal presentan dos frecuencias muy localizadas,
son típicas de estas estructuras y dependen de las masas en cada uno de los niveles, de las
propiedades elásticas del material utilizado así como de sus dimensiones.
En las prácticas realizadas con este tipo de montaje se ha observado un gran interés y
motivación de los estudiantes para entender este fenómeno. Por ejemplo, algunos estudiantes
identifican frecuencias de resonancia y ven como estas son diferentes al cambiar las masas en
cada uno de los niveles. Por otra parte, entender en detalle las frecuencias características de este
sistema junto con una teoría de física que respalde estos resultados puede ser parte de un tema
avanzado para investigación.
Vibraciones de un puente
El montaje anterior para la vibración de casas con uno, dos y tres pisos, es sencillo y permite a
los estudiantes familiarizarse con el equipo, su manejo y el análisis de las señales obtenidas.
Una vez logrado esto se pueden explorar estructuras más complejas como son los puentes. El
equipo PASCO permite construir diferentes tipos de puentes, en la Figura 6 se presenta el
montaje para el modelamiento de un puente suspendido.

8. Figura 6. Puente suspendido construido con el equipo de estructuras PASCO. (a) En la imagen
derecha se observa el puente en el que en uno de sus extremos se ubica el generador de ondas
mecánicas, el acelerómetro se encuentra ubicado en la mitad de la parte suspendida. En (b) se
presentan los resultados asociados a la amplitud de la aceleración en función de la frecuencia n
de la fuerza aplicada en la base de la estructura. En este montaje los estudiantes pueden diseñar
su propio proyecto de investigación en el que se pueden integrar las asignaturas de álgebra
lineal, física de vibraciones, ecuaciones diferenciales y métodos numéricos. El esquema de
adquisición de datos es similar a lo presentado en la Figura 5. Sin embargo, en este caso los
espectros de frecuencias contienen muchas más componentes debido a la cantidad de
elementos que se encuentran vibrando y a sus posibles modos de oscilación. En esta etapa los
estudiantes ya han explorado diferentes conocimientos y van a entender mucho mejor los
fundamentos detrás del análisis de estas estructuras

9. Contaminación acústica.
Cuando se superan los niveles soportables, comienzan a aparecer trastornos auditivos, sociales
y nerviosos. La contaminación sonora no sólo es producto de la industria ni de las grandes
ciudades. Ya existía en la antigua Roma.
14 Jun 2006
1
FACTOR DE ESTRES. Los ruidos causados en las obras públicas generan alteraciones en la
audición e irritabilidad en los habitantes de las ciudades.
Estrés, insomnio, falta de atención, irritabilidad nerviosa y alteraciones en la audición, son
algunas de las consecuencias que pueden producir los ruidos molestos y sonidos de muy alto
volumen. La contaminación sonora –que consiste en niveles y frecuencias de ruido poco
saludable– no sólo está presente desde la Revolución Industrial y la urbanización de la
población. Tampoco es una condición que caracteriza únicamente a las grandes ciudades.
Por el contrario, ya anduvo perturbando la vida cotidiana en las primeras civilizaciones. En un
documento que emitió la Organización Mundial de la Salud (OMS) en 1999, llamado “Guías
para el ruido urbano”, expresaba que “el ruido siempre ha sido un problema ambiental
importante para el ser humano”. “En la antigua Roma existían normas para controlar el ruido
emitido por las ruedas de hierro de los carros que golpeaban las piedras del pavimento y
perturbaban el sueño de los romanos. En algunas ciudades de la Europa medieval no se permitía
usar carruajes ni cabalgar durante la noche”.

10. Principales productores
Los principales productores de ruido molesto hoy son el transporte automotor y aéreo, las obras
en construcción, los sistemas de audio de gran potencia y, en ambientes internos, los sistemas de
ventilación, las máquinas de oficina y los artefactos electrodomésticos. La OMS preparó las
mencionadas guías con el objetivo de generar conciencia en los países acerca de los trastornos
de salud derivados por la contaminación sonora del ruido ambiental.
Etapas
El sentido de la audición capta un sonido, que comienza como una onda sonora que ingresa por
el canal auditivo, vibra en el tímpano, continúa por el oído medio y llega al oído interno. Este
último es en un ambiente líquido, cuyas paredes contienen cilias o vellosidades que se mueven
de acuerdo a las señales auditivas, realizando un movimiento similar al de las algas dentro del
agua. Este movimiento es el que permite traducir los sonidos escuchados en una señal nerviosa
que interpreta el cerebro.
Aunque suele llamarse ruido a los sonidos no deseados, en realidad no hay diferencia entre uno
y otro. Todas las señales audibles pueden afectar el aparato auditivo y lo suficientemente
molestas como para resultar irritantes para el sistema nervioso, según su frecuencia y nivel de
volumen.
La determinación nociva de los sonidos o ruidos no se realiza sencillamente a través de un
sistema de medición –bajo o alto volumen–, sino que se determina de acuerdo a una serie de
parámetros. Además del volumen, se determina el nivel de presión sonora, que corresponde a las
vibraciones del aire que constituyen el sonido y también la permanencia en el tiempo. Los
niveles de presión sonora se miden en decibeles (dB).
Otro parámetro que se toma en cuenta es la frecuencia, que se refiere al número de vibraciones
por segundo en el aire a través del cual se propaga el sonido y se mide en hertz (Hz).
Sonidos aceptables
Los sonidos audibles para el ser humano son los que generalmente se encuentran dentro del
rango de frecuencias 20 a 20.000 Hz.Por otra parte, cuanto mayor es la potencia de un sonido,
menor es el tiempo en que se puede soportar. De acuerdo al informe de la OMS, los sonidos
soportables son aquellos que no superan los 80 dB. Por ejemplo, un susurro se encuentra en el

11. orden de los 20 dB, un restaurante muy ruidoso tiene un nivel de 70 dB, un secador eléctrico de
cabello, un reloj despertador y una fotocopiadora, cerca de los 80 dB.
Ambiental o permanente
Si se trata de sonido ambiental o permanente, se ha establecido una medida normal que no
supere los 55 dB durante el día y 45 dB durante la noche. Los sonidos que generan mayor daño
son los que superan los 100 dB, como el de un taladro neumático en la vía pública con 100 dB,
si se escucha sostenidamente por más de dos horas. La bocina de un auto, que se encuentra en el
umbral máximo soportable –llamado también umbral del dolor acústico– produce 120 dB. Un
concierto de rock oscila entre los 90 y los 130 dB. En el primer caso puede escucharse hasta
ocho horas seguidas, pero los que utilizan equipos de mayor potencia, con niveles que alcanzan
los 130 decibeles, no deberían escucharse más de 4 minutos sostenidamente.
En cuanto a los auriculares, el informe de la OMS recomienda también que el nivel de sonido no
supere los 85 dB durante una hora ininterrumpida de exposición.
La presión sonora afecta la salud a cualquier edad
En otro orden de mediciones, entre otras formas de clasificar y medir el ruido nocivo, se
encuentra la categoría de impulso, que corresponde a sonidos fuertes repentinos, como los de
una explosión de cualquier tipo, un bocinazo, golpes o señales intensas. En este caso, la presión
sonora no debe exceder los 140 dB para adultos y 120 dB para niños.
Impacta en las cilias
Uno de los efectos más desfavorables son los trastornos en la audición. El volumen muy alto de
sonidos –sea un martilleo o un concierto de Vivaldi– si se sostiene por períodos prolongados
afecta las funciones de las cilias del oído interno. Con el tiempo el daño de estas células puede
llevar a la pérdida gradual de la audición.
El primer síntoma de alerta lo ofrecen los zumbidos, que pueden aparecer por cortos períodos
inicialmente. Es el momento de consultar con el especialista en oídos.
Otra señal que no hay que dejar pasar se da cuando se necesita hablar, escuchar música o
televisión cada vez con más volumen, o cuando comienza a resultar difícil oír una conversación
telefónica.
Interfiere en lo social
El ruido ambiental sostenido afecta socialmente al interferir en una conversación –como ocurre
en locales públicos con música a volumen muy alto, o con ruido ambiental por mala acústica–,

12. dando lugar a cambios de conducta. Los grupos más afectados en esta categoría son los ancianos
–ya que por efecto natural del paso de los años la audición se reduce con la edad– y los niños
que están aprendiendo a hablar y a leer.
Para poder dormir
Se considera que para poder dormir apropiadamente un sonido no debe exceder los 30 decibeles
como ruido continuo de fondo, ni los 45 decibeles si es sorpresivo. El sueño interrumpido da
lugar a cambios fisiológicos momentáneos que con el tiempo pueden afectar la salud: aparecen
las arritmias cardíacas, el aumento del pulso, los cambios en la presión arterial, la
vasoconstricción, la alteración en la profundidad del sueño, con los consecuentes efectos de
fatiga y disminución del rendimiento, al día siguiente.
Derechos de autor de la imagenOMSImage captionLa OMS recomienda no utilizar durante más
i a un nivel bajo. A todo volumen, sólo cuatro minutos.
La epidemia del ruido es paradójicamente silenciosa. Es un fantasma que está presente
cuando podemos escuchar la música que sale de los auriculares de alguien sentado frente a
nosotros en el metro, mientras tomamos una bebida con amigos en un club o al gritar
frenéticos junto a otros miles de personas en un estadio de fútbol.
Nadie está a salvo de ella, pero afecta especialmente a los jóvenes.

13. La Organización Mundial de la Salud (OMS) advierte que 1.100 millones de jóvenes de todo el
mundo están en riesgo de sufrir pérdidas de audición debido a la exposición a ruidos que forman
parte de nuestros hábitos cotidianos.
Más de 43 millones de personas de entre 12 y 35 años sufren ya de pérdidas auditivas
discapacitantes en los países desarrollados.
En un informe publicado con motivo del Día Internacional de la Atención Ontológica (cuidados
auditivos), que se celebra este martes, la OMS estima que un 50% de esta franja de edad está
expuesta a riesgos debido al uso de reproductores MP3 y teléfonos inteligentes, y un 40% por
los niveles de ruido nocivos en clubes, discotecas y bares.
Derechos de autor de la imagenOMSImage caption85 decibelios (dB) durante un máximo de 8
el nivel máximo de exposición sin riesgos que el ser humano puede asumir.
¿Cómo saber cuándo estamos dañando nuestros oídos?
Los expertos consideran que 85 decibelios (dB) durante un máximo de 8 horas es el nivel
máximo de exposición sin riesgos que el ser humano puede asumir. El espacio de tiempo
admisible disminuye a medida que la intensidad del sonido aumenta.
La pregunta se responde mejor acudiendo a ejemplos concretos.
El volumen de salida de los dispositivos de audio personales, como los auriculares, puede
oscilar entre los 75 dB y 136 dB a su volumen máximo.

14. El informe de la OMS recomienda no utilizar más de una hora a un volumen bajo estos
dispositivos.
En clubes nocturnos, discotecas y bares, los niveles medios de ruido pueden oscilar entre los 104
dB y 112 dB, y según los parámetros que marca la OMS a partir de los 15 minutos ya no sería
seguro. Lo mismo ocurre en las instalaciones deportivas, donde el nivel oscila entre los 80 dB y
los 117 dB.
La exposición a estos ambientes provoca cansancio en las células sensoriales auditivas, lo que
da lugar a una pérdida temporal de la audición o a acúfenos (esa sensación de zumbido en los
oídos que se tiene por ejemplo al salir de un concierto).
La audición mejora a medida que estas células se recuperan, pero cuando “los sonidos son muy
fuertes o la exposición se produce con regularidad o de forma prolongada, las células sensoriales
y otras estructuras pueden verse dañadas de forma permanente, lo que provoca una pérdida
irreversible de audición”, advierte la OMS.
Para hacerse una idea de la alta exposición que soportamos debido a nuestros hábitos culturales
y de ocio, basta saber que en 15 minutos de música a 100 dB, una persona se expone a niveles
de ruido similares a los que absorbe un trabajador industrial en una jornada de 8 horas
trabajando en un entorno sonoro de 85 dB.
Tiempos de escucha seguros
a exposición segura a un concierto a volumen
sólo es de 28 segundos, según la OMS.
Algunos ejemplos de tiempos máximos de escucha recomendados por la OMS son:
 85 dB: nivel de ruido en el interior de un coche. Ocho horas.
 90 dB: cortadora de césped. Dos horas y 30 minutos.

15.  95 dB: ruido de una moto promedio. 47 minutos.
 100 dB: bocina de un coche o un tren subterráneo.15 minutos.
 105 dB: reproductor de mp3 a todo volumen. Cuatro minutos.
Además de tener presente estos límites temporales, la organización proporciona otros consejos:
 Mantenga el volumen bajo.
Hay que regular el volumen exento de riesgos en su aparato personal y no superar el 60% del
volume máximo. Del mismo modo, hay que usar tapones para los oídos cuando se vaya a una
discoteca o a un evento Ruidoso.
 Limite el tiempo que dedica a actividades ruidosas.
La duración de la exposición al ruido es uno de los principales factores a cuidar. Es aconsejable
hacer breves descansos auditivos (por ejemplo saliendo del club donde esté) y limitar a una hora
diaria el uso de auriculares.
 Vigile los niveles seguros de exposición al ruido.
Utilizar la tecnología de los teléfonos inteligentes para medir los niveles de exposición al ruido
puede ayudar.
 Preste atención a las señales de advertencia de pérdida de audición.
La OMS recomienda acudir a un médico si encuentra dificultad para oír sonidos agudos como el
timbre, el teléfono o el despertador o para entender el habla por teléfono e, incluso, para seguir
conversaciones en ambientes ruidosos.

16. TEORÍA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS. PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un objeto de 10 kg está suspendido por dos muelles idénticos
de constante elástica K=500 N/m asociados en serie, y un
amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 N·s/m. k
Calcular:
a) Coeficiente de amortiguamiento crítico
b) Factor de frecuencias (Ω) k
c) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia
d) Si, inicialmente, se separa de su posición de equilibrio estable m
5cm, calcular la energía total en ese instante
e) Indicar el principio de conservación de la energía que cumple c
RESOLUCIÓN
a) Constante equivalente (serie)
b) Factor de frecuencias
Comprobación:
c) Pseudoperiodo, existe por ser un amortiguamiento subcrítico
d) Cumple el principio de conservación de la energía total, el principio de conservación de
la energía mecánica no lo cumple por existir fuerza amortiguadora disipadora de energía
2. VIBRACIONES MECÁNICAS
a) Escribir la ecuación diferencial general de las vibraciones indicando qué tipo de fuerza
representa cada término.
b) Clasificación de la vibraciones estableciendo, para cada caso, su ecuación diferencial
c) Indicar cuándo se producen los denominados efectos resonantes y citar un ejemplo
d) Un sistema está formado por una masa m suspendida de dos muelles cuyas constantes
elásticas son K1=1 kN/m y K2=0,5 kN/m y vibra libremente con amplitud A. Indicar en
cuál de los casos (asociación en serie o en paralelo) el sistema vibra con mayor
frecuencia y posee mayor energía total, justificando su respuesta.
RESOLUCIÓN
a) La suma de la fuerza de inercia, fuerza amortiguadora y fuerza recuperadora elástica es
igual a la resultante de las fuerzas exteriores: , siendo

17. b) Clasificación de la vibraciones
Vibración libre sin amortiguamiento
Vibración libre con amortiguamiento
Vibración forzada sin amortiguamiento
Vibración forzada con amortiguamiento
c) Los efectos resonantes se producen cuando la frecuencia natural wn se iguala a la
frecuencia de la fuerza exterior w. Ejemplos: rotura de cristales por el paso de un avión,
rotura de una copa por una determinada voz; paso acompasado de soldados en un puente;
un viento armónico puede producir el derrumbamiento de un puente colgante.
d) Valor de la constante en serie:
Valor de la constante en paralelo:
Asociación en paralelo: a mayor constante, mayor frecuencia y mayor energía
3. Un bloque de 4 kg. de masa se mueve entre guías verticales suspendido por dos muelles
iguales de constante recuperadora elástica K1 = K2 = 50 N/m, como se indica en la figura.
Calcular:
K1 K2
a) Ecuación de las pequeñas oscilaciones del sistema.
b) Periodo y frecuencia del movimiento resultante.
c) Velocidad y aceleración máxima del bloque si la amplitud del movimiento es
a=60 mm.
d) Determinar la masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación
sea 1 s.
RESOLUCIÓN
a) Los muelles están asociados en paralelo y oscilan con vibración libre sin
amortiguamiento de acuerdo a la ecuación:

18. b) La frecuencia natural y el periodo son:
c) La velocidad máxima del bloque para una amplitud de a=60 mm es:
y la aceleración máxima
d) La masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación sea 1 s se obtiene
para una frecuencia natural igual a , por tanto:
;
4. El sistema de la figura consta de una masa, dos muelles y un
amortiguador de características:
m 20kg; k1
50 N / m; k2
70 N / m; c 80 N s / m
Determinar:
a) Ecuación diferencial del movimiento y su solución general
b) Coeficiente de amortiguamiento crítico, indicando el tipo de
amortiguamiento del sistema
c) Frecuencia de la vibración libre y frecuencia de la vibración
libre amortiguada
d) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia
e) Si inicialmente, la masa se desplaza de su posición de
k1 k2
m
c
equilibrio estable a 5cm , calcular la energía mecánica
comunicada inicialmente al sistema indicando si se conserva en
el transcurso del movimiento o no.
RESOLUCIÓN
a) La ecuación diferencial del movimiento de una vibración libre amortiguada es:
La constante equivalente de los muelles en paralelo es , por
lo que:
Simplificando queda cuya ecuación
característica es , donde
La solución general es:
b) El coeficiente de amortiguamiento crítico se obtiene a partir de la expresión:
Como se cumple que el tipo de amortiguamiento es subcrítico.
c) La frecuencia de la vibración libre y la frecuencia de la vibración libre amortiguada son:

19. b) La frecuencia natural y el periodo son:
e) La energía mecánica comunicada inicialmente al sistema para a 5cm es:
La energía total se conserva en el transcurso del movimiento pero la energía mecánica no,
parte se disipa en forma de calor debido al amortiguador