Este documento presenta un proyecto formativo en matemáticas sobre vibraciones mecánicas estructurales. El proyecto se desarrollará a lo largo de 10 semanas e integrará asignaturas como álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, lenguaje, economía y desarrollo humano. El proyecto estudiará modelos matemáticos de vibraciones en estructuras como edificios y maquinaria, considerando factores como sismos, materiales de construcción, costos de producción y efectos en la salud humana

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PROYECTO FORMATIVO EN MATEMÁTICA
1. GENERALIDADES
Título : VIBRACIONES MECÁNICAS ESTRUCTURALES
Curso : ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES - FC
Cursos que
se integran
: Álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, Lenguaje, Economía General, y
Desarrollo Humano.
Competencias : Potenciar las capacidades de comunicación, de investigación, del uso de
tecnologías, de resolución de problemas, del trabajo en equipo y una
actitud emprendedora; a través del estudio multidisciplinario de una
situación problemática de contexto relacionada con las vibraciones que
soporta una estructura; haciendo uso de modelos matemáticos, del
análisis económico, y de una oportuna toma de decisiones con
responsabilidad social
Duración : 10 semanas
Metodología : El Proyecto se desarrollará a lo largo de 10 semanas de clases en forma
progresiva y secuencial, con entregas parciales desde la recopilación de
información, su procesamiento, la solución al problema y la sustentación
oral ante un panel de jurados, previa presentación del informe final escrito.
Será desarrollado en grupos de 8 personas, con un claro protagonismo
de sus integrantes y una asesoría permanente del docente.
2. CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA
Se dice que un cuerpo vibra cuando experimenta cambios alternativos, de tal modo que sus
puntos oscilen sincrónicamente en torno a sus posiciones de equilibrio, sin que el campo
cambie de lugar. Como otro concepto de vibración, se puede decir que es un intercambio de
energía cinética en cuerpos con rigidez y masa finitas, el cual surge de una entrada de energía
dependiente del tiempo.
En la era moderna, en donde los avances
tecnológicos están a la puerta, grandes aportes
de la matemática y métodos de análisis
permitieron a resolver algunos problemas en el
campo de las vibraciones mecánicas
Las vibraciones mecánicas se estudian en
ecuaciones diferenciales ordinarias, ya
que ellas ejemplifican modelos
matemáticos del mundo real.
En la actualidad el estudio en este campo es tan
grande que basta con ver algunos de sus causa-
efecto para entender su importancia. La gente de
una u otra forma está constantemente relacionada con este fenómeno, por ejemplo, el buen
funcionamiento de los amortiguadores de un automóvil permite un mejor manejo entre los
tripulantes, el mal aislamiento de alguna maquinaria industrial puede dañar la infraestructura
de la misma y zona aledaña pudiendo ser conjuntos habitacionales
En este proyecto, los estudiantes entienden y explican un modelo que permita
comprender las vibraciones mecánicas.
La Ingeniería Civil estudia la respuesta dinámica de estructuras. En ocasiones, se diseñan
estructuras que resultan muy susceptibles a la acción de cargas dinámicas producidas por la
acción del viento y sismos, además de otras menos consideradas, como las producidas por

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máquinas, vehículos y ascensores. Además, las exigencias de seguridad y confort en las
estructuras son mayores ahora que en el pasado por lo que es necesario realizar un estudio
detallado de sus propiedades dinámicas (modos naturales de oscilación), ya sea mediante
modelado o por el análisis de sus vibraciones.
Por fortuna, no es necesario esperar a que
ocurra un terremoto para estudiar la
respuesta de un edificio, ya que es suficiente
con observar pequeños niveles de excitación
que pueden ser originados tanto por
vibración ambiental como forzada, es decir,
experimentalmente. Las técnicas de
vibración forzada y vibración ambiental para
pruebas en edificios son muy similares.
Ambos métodos se basan en pequeños
niveles de excitación, por lo que pueden ser
usados para determinar varias formas
modales y frecuencias características de vibración y sus correspondientes valores de
amortiguamiento.
3. ETAPAS
PRIMERA ETAPA:
3.1 Búsqueda de información y organización.
I. Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento: Dirección Nacional de
Construcción
La Dirección Nacional de Construcción es el órgano de línea encargado de proponer
lineamientos de política, normas y procedimientos referidos a la construcción de
infraestructura, así como a promover el desarrollo, evaluar su aplicación y estimular la
iniciativa privada a fin de mejorar las condiciones de infraestructura y, por ende, el nivel
de vida de la población.
a) Elabore una lista de acciones que la Dirección Nacional de Construcción ha realizado
a nivel nacional, con el fin de promover la Normatividad para el Diseño y Construcción
de Edificaciones Seguras.
El territorio del Perú se encuentra
asentado sobre dos placas tectónicas
activas: la Sudamericana y la Nazca,
conformantes del Anillo de Fuego del
Pacífico, donde tiene lugar el 80% de
la actividad sísmica y volcánica de la
Tierra. Por ello, nuestro país es
susceptible a la ocurrencia de
terremotos, deslizamientos, tsunamis
y erupciones volcánicas que,
sumados al precario proceso de
ocupación y desarrollo de sus ciudades, al inadecuado manejo de los recursos naturales
y económicos, así como al rápido crecimiento demográfico, lo exponen,
Fuente: imágenes de google
Fuente: imágenes de google

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permanentemente, a amenazas y riesgos cuya falta de previsión ha ocasionado la
pérdida de vidas.
b) Elabore una lista de los últimos sismos que han ocurrido en el Perú y elabore un
cuadro en el que se muestre el daño ocasionado a los diversos tipos de edificaciones.
c) Investigue qué acciones de mejora han ejecutado las autoridades de los gobiernos
local, regional y/o nacional con el fin de reconstruir las zonas afectadas por los
sismos.
d) Investigue que materiales alternativos se deben promocionar en la construcción de
viviendas sismos resistentes. Muestre gráficos que ilustren la aplicación de estos
materiales.
d1) ¿Se aplican en la actualidad en el Perú?
d2) ¿En qué localidades de nuestro país se están utilizando estos materiales
alternativos den la construcción de viviendas?
d3) ¿Qué instituciones privadas o del gobierno promocionan el uso de estos materiales
alternativos?
II. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA.
Suponga que una compañía fabrica dos productos que se usan como insumos en la
construcción de edificios. Para obtener un dólar por la venta del producto B, la compañía
gasta $0,35 en materiales, $0,15 en mano de obra y $0,10 en gastos generales. Para
obtener un dólar por la venta del producto C, la compañía gasta $0,35 en materiales,
$0,25 en mano de obra y $0,15 en gastos generales
a) Defina dos vectores, 𝒃⃗⃗ y 𝒄⃗ , que representen el costo por dólar de ingreso de los dos
productos.
b) Suponga que el directorio de la compañía quiere invertir 𝑥1 dólares en la fabricación
del producto B y 𝑥2 dólares en la fabricación del producto C. Modele un vector que
describa los diversos costos que tendrá la compañía en materiales, mano de obra y
gastos generales.
c) Defina una matriz 𝑈 cuyas columnas describan los costos por dólar de producción
para los productos B y C. Esta matriz se llamará matriz de costo unitario.
d) Sea 𝒙⃗⃗ = (𝑥1; 𝑥2) un vector de producción, se define la transformación 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
como
𝑇(𝒙⃗⃗ ) = 𝑈𝒙⃗⃗ .
d1) Modele la regla de correspondencia de la transformación lineal 𝑇.
d2) Interprete, en términos de la situación problemática planteada, la linealidad de 𝑇.
Plantee algunos ejemplos que ilustren sus respuesta.
SEGUNDA ETAPA:
3.2 Estudio de casos
CASO 1: Vibraciones en un edificio de una sola planta.
A modo de introducción, comenzamos
modelando las vibraciones en un edificio de
una sola planta. En cualquier caso, cuando se
inicia la catástrofe, el edificio experimenta
excesiva deflexión lateral, causando daño
permanente a la estructura. Es muy difícil
modelar los detalles del movimiento de un

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edificio. Sin embargo, el modelo de edificios como estructuras idealizadas consta
de pisos relativamente pesados, extensos y paredes elásticas. Teniendo en
cuenta cada planta de un edificio como una masa puntual situada en el centro de
masa del piso (figura 1), la analogía con el sistema masa/ resorte/ amortiguador
del sistema (figura 2) es clara.
Las paredes proporcionan fuerzas elásticas que actúan en dirección opuesta a la
dirección del movimiento cuando cada planta se desplaza de su posición de
equilibrio. La rigidez total del edificio depende de las rigideces de las partes de la
estructura.
La primera tarea es derivar la ecuación de movimiento para un edificio de una
sola planta. A continuación examinamos diversas vibraciones libres y
amortiguadas del edificio. Continuando, vemos los efectos de una fuerza
sinusoidal considerando tanto la ausencia y presencia de amortiguación. Con
una comprensión del comportamiento básico en un edificio de una sola planta,
se procede luego en edificios de varios pisos. Ambas vibraciones forzadas y no
forzadas son consideradas. Por último, uno de los pisos del edificio se modela
por el comportamiento real del edificio a ser observado.
a) Ignorando los efectos de amortiguación (omitir los amortiguadores en las
figuras 1 y 2), muestre que los argumentos estándares nos conducen al
problema con valor inicial (PVI) para el desplazamiento del centro de masa
del techo:
𝑚𝑢′′
+ 𝑘𝑢 = 0, 𝑢(0) = 𝑢0, 𝑢(0) = 𝑢1 (1)
Las constantes 𝑚 y 𝑘 representan la masa total del techo y la rigidez general
de las paredes, respectivamente.
b) ¿Puede decir usted cómo el edificio reacciona a diversas condiciones
iniciales?
c) ¿Puede suponer si el desplazamiento inicial 𝑢0 y la velocidad inicial 𝑢1 son
diferentes de cero.
d) Desde que √𝑚/𝑘 tiene unidades de tiempo, haga
𝑡 = √
𝑚
𝑘
𝜏 ; 𝑢 = 𝑢0 𝑦
en el PVI de (1) y reduzca al PVI no dimensional
𝑦′′
+ 𝑦 = 0 ; 𝑦(0) = 1 ; 𝑦′(0) = 𝑣 =
𝑢0
𝑢1
√
𝑚
𝑘
(2)
donde la derivada es con respecto a la variable 𝜏.
e) Multiplique la EDO dada en (2) por y′, y obtenga

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𝑑
𝑑𝜏
𝐸(𝜏) = 0
donde 𝐸(𝜏) =
1
2
[(𝑦′)2
+ 𝑦2]
Se exige a los estudiantes interpretar este resultado analíticamente (la
derivada de la energía es cero), y grafíquela a través de un diagrama de fase
(círculo centrado en el origen), que les permite concluir que la energía se
conserva en el sistema. Note que para este sistema particular, la energía es
proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen hasta la trayectoria.
Es fácil ver el cambio de la energía cinética y potencial en el plano de fase.
Cuando 𝑦′ = 0, toda la energía se almacena elásticamente por el resorte, y
cuando 𝑦 es cero, toda la energía es cinética.
CASO 2: Vibraciones forzadas
En el caso anterior, la dinámica del sistema depende de ciertas constantes intrínsecas a
él. Supongamos ahora que se aplican una fuerza externa llamada excitación 𝐹𝐸 sobre el
sistema masa-resorte-amortiguador.
En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por
𝐹 = 𝐹𝑅 + 𝐹𝐴 + 𝐹𝐸 = −𝑘𝑥 − 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐹𝐸
donde donde 𝑐 > 0 es la constante de proporcionalidad.
De acuerdo con la segunda ley de Newton y ordenando los términos, se obtiene
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐹𝐸
O bien la forma
𝑚𝑥′′(𝑡) + 𝑐𝑥′(𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 𝐹𝐸 (3)
La fuerza externa de excitación 𝐹𝐸 desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas
internas del sistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras
provoca un aumento. Cuando la fuerza de excitación 𝐹𝐸 sea distinta de cero, diremos que
el sistema masa-resorte-amortiguador está forzado.
a) Considere 𝐹𝐸 = 𝐹0 cos(𝜔 𝑒 𝑡). Explique la relación que debe existir entre las soluciones
de la EDO homogénea y 𝜔 𝑒, para determinarla solución de la EDO dada por (3).
b) Un sistema masa-resorte-amortiguador, con masa igual a 5 kg, constante 𝑐 igual a 5
N.s/m y 𝑘 = 1,03N. Si se aplica una fuerza de excitación 𝐹𝐸 = 150 cos(2𝑡)
b1) Resuelva la EDO que se obtiene al sustituir en (3) los valores dados.
b2) Determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo, suponiendo que
𝑥(0) = 0 metros y 𝑣(0) = 0 m/s.
b3) ¿Qué tipo de movimiento provoca la fuerza de excitación a medida que trascurre el
tiempo?

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Tercera Etapa:
3.3 Responsabilidad social y contaminación ambiental.
El cuerpo humano siempre está expuesto a vibraciones mecánicas producidas por
diferentes tipos de fuentes. La vibración es un agente o fenómeno físico complejo que
puede producir diversidad de efectos nocivos sobre el cuerpo humano que van desde
sensación de incomodidad o molestia hasta efectos en tejidos blandos y sistema
circulatorio. Las vibraciones también pueden influir en la capacidad de ejecución de
tareas o representar un riesgo para la salud o la seguridad de las personas.
Las vibraciones mecánicas pueden medirse
en todos los ámbitos donde sean producidas
ya sea por maquinaria (sistemas HVAC,
compresores, ascensores, bombas, etc.),
vehículos (tierra, mar y aire), actividades
(industriales, ocio, domésticas) y vibraciones
estructurales en edificios percibidas por el
cuerpo humano.
El uso del término contaminación acústica se
ha generalizado a nivel mundial entre
organismos públicos, organizaciones no
gubernamentales y diversos investigadores
que se abocan a la atención y al estudio del problema del ruido.
a) Elabore un organizador gráfico que ilustre algunas situaciones típicas de trabajo y
entretenimiento que causan vibraciones mecánicas
b) Describa con detalle las consecuencias más importantes de la contaminación acústica
para la salud.
c) Investigue lo relacionado con el día internacional contra el ruido. ¿En nuestro país
se toma en serio la contaminación sonora?
d) Investigue si, en materia de contaminación por vibraciones mecánicas, a la fecha
existe alguna Norma Oficial Peruana por medio de la cual se pueda regular la emisión
de este agente contaminante.
e) Elabore un cuadro en el que se muestren los conceptos sonido, ruido, presión acústica
y sus respectivas unidades de medida.
f) Elabore una gráfica en la que se muestra la escala comparativa de medición del
sonido.
4. REFERENCIAS
[1] Portal web de la Dirección Nacional de Construcción: www.vivienda.gob.pe/dnc
[2] Rich Marchand. Learning Differential Equations by Exploring Earthquake Induced
Estructural Vibrations: A case Study. Journal de Ingeniería, vol 15-N◦6, pag 477-485,
1999.
[3] PAOT. Contaminación por ruido y vibraciones: Implicaciones en la salud y calidad de
vida de la población urbana. México
[4] Ortiz, L. Identificación de cambios en el comportamiento estructural de un edificio
experimental, mediante el análisis de vibración ambiental y vibración forzada, empleando
técnicas de identificación de sistemas. Tesis. México. 2010
http://www.gripweb.org/gripweb/sites/default/files/TESIS_LG_Ortiz.pdf /
Fuente: imágenes de google