vibraciones

1. Departamento de Aeronáutica
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
VIBRACIONES
DE UN GRADO DE LIBERTAD
Mecánica y Mecanismos
Pablo L. Ringegni / Andrés Martínez del Pezzo
Revisión 0
La Plata 2018

2. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
2
1. INTRODUCCIÓN
La vibración es un movimiento oscilatorio en torno a un punto de referencia. Los
movimientos vibratorios pueden clasificarse según varios criterios, he aquí algunos:
a) Según el número de grados de libertad
1. Vibraciones de sistemas a un grado de libertad
2. Vibraciones de sistemas de múltiples (dos o más) grados de libertad (finitos)
3. Vibraciones de sistemas a infinitos grados de libertad o continuos
b) Según las causas que producen el movimiento
1. Vibraciones naturales o libres: producidas por un impulso inicial y luego el sistema no
recibe más energía del exterior. Estas vibraciones pueden ser no amortiguadas
(teóricamente continuarían al infinito) o amortiguadas
2. Vibraciones sostenidas o forzadas: producidas en forma continua por la influencia de
una fuerza determinista (periódica) o aleatoria, exterior al sistema.
c) Según la forma de la ecuación diferencial del movimiento
1. Vibraciones lineales: cuya ecuación diferencial del movimiento es lineal
2. Vibraciones no lineales: gobernadas por ecuaciones diferenciales no lineales
d) Según la naturaleza del objeto que vibra
l. Vibraciones de máquinas: sea en su conjunto o de sus elementos constitutivos (árboles,
ruedas, álabes de turbinas, palas de helicópteros, resortes, etc.)
2. Vibraciones de vehículos: sea en su conjunto (automóviles, aviones, buques), sea de
sus elementos componentes (alas, hélices, ruedas, etc.).
3. Vibraciones de edificios y otras construcciones civiles.
4. Otros (líquidos, gases, etc)
e) Según la naturaleza del movimiento vibratorio
1. Vibraciones de traslación
2. Vibraciones de rotación
3. Vibraciones mixtas, etc.
1.1 VIBRACIÓN PERIÓDICA
La forma más simple de una vibración periódica está dada por el movimiento armónico
simple.

3. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
3
Figura 1
Su representación (Fig. 1) es la proyección sobre un eje vertical de un vector rotante que
rota con movimiento circular uniforme de velocidad angular ro constante.
Resulta:
𝑥 = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑤 ∙ 𝑡) (1.1)
Después de una rotación completa (ciclo) de 2 radianes, la onda se repite.
El tiempo requerido para completar un ciclo se define como período (T) del movimiento.
Como para un ciclo se cumple: T = 2, resulta:
𝑇 = 2 ∙ 𝜋
𝜔
⁄
La frecuencia (f) es la inversa del período:
𝑓 = 1
𝑇
⁄ = 𝜔
2 ∙ 𝜋
⁄
1.2 LIMITES ADMITIDOS PARA LA VIBRACIONES
A los fines de tener una visión más amplia de los problemas de las vibraciones pasamos
revista a los factores que limitan la magnitud de estas. Uno de los principales objetivos del
estudio y de la medición de las vibraciones es determinar cuantitativamente la magnitud
de las amplitudes de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones para constatar si
son superiores o inferiores a los límites admisibles. Se tratan entonces de conocer ciertos
límites admisibles para los numerosos elementos sometidos a vibraciones.
Las magnitudes características de las vibraciones están limitadas por los factores que a
continuación tratamos de exponer:
1.3.1 El efecto sobre el hombre
Las vibraciones tienen sobre el hombre efectos nocivos muy variados. Así por
ejemplo, las vibraciones muy lentas, características de los buques, pueden provocar el
mal de mar. Las vibraciones de los automóviles fatigan y son, a veces, la causa de

4. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
4
muchos problemas físicos del cuerpo de los pasajeros / conductores. En los edificios
destinados a viviendas u oficinas, las vibraciones son fastidiosas y molestas sobre todo
por sus efectos sobre el sistema nervioso. Para el hombre que trabaja en forma
permanente en un lugar sujeto a vibraciones - trátese de un conductor de vehículos, de un
operario atendiendo una máquina, etc. el efecto nocivo se presenta bajo forma de fatiga,
de disminución de la productividad, a la larga también bajo forma de enfermedades
profesionales.
Muchos investigadores en diferentes países han estudiado los efectos de las
vibraciones sobre el hombre para establecer las condiciones y las escalas de percepción,
así como los niveles admisibles de las vibraciones.
1.3.2 El efecto sobre las máquinas y los aparatos
Los daños que las vibraciones pueden provocar en las máquinas y aparatos
revisten varios aspectos. En primer lugar, es necesario considerar los efectos de fatiga
mecánica debido a las fuertes vibraciones después de las cuales algunos elementos de
máquinas pueden fallar o romperse. Las vibraciones pueden representar un obstáculo
para el desarrollo normal de un proceso de fabricación, dando origen a una calidad
deficitaria de los productos elaborados (por ejemplo, el caso de vibraciones en máquinas-
herramientas). Las vibraciones que llegan a los aparatos de medida pueden ser
extremadamente contraproducentes (falsean la medida) cuando están montados a bordo
de vehículos.
1.3.3 El efecto sobre los edificios
Las vibraciones producidas en los edificios pueden provocar (además de los
efectos sobre hombres y máquinas) daños a la construcción. Se comienza por la
destrucción del cielorraso, por los vidrios que se rompen y pueden llegar a fisuras en las
fundaciones, los pisos y columnas. El caso extremo está representado por los efectos
desastrosos de un terremoto.
Un gran número de estudios revelan los efectos de las vibraciones en los dominios
más variados de la técnica, teniendo como punto de partida una gran variedad de
factores. La documentación recogida hasta ahora ha permitido realizar algunas síntesis,
bajo forma de diagramas y tablas, y que, en ciertos países, revisten carácter de norma
obligatoria. No obstante, estas indicaciones no representan todavía una forma
universalmente aceptada, sea debido a los límites admisibles adoptados como con
relación a la magnitud física utilizada como criterio para apreciar la nocividad. Es por eso
que el lector, frente a la documentación técnica presentada, deberá realizar un análisis
crítico con respecto a los factores característicos del problema que él mismo debe
resolver.
El problema es simple cuando el criterio para apreciar la vibración está
representado por la deformación del material provocada por la vibración. En este caso, la
resistencia de materiales da la magnitud admisible para la deformación de los cuerpos
estudiados, así puede concluirse directamente el límite admisible de la vibración.

5. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
5
2 VIBRACIONES LIBRES DE SISTEMAS A UN GRADO DE LIBERTAD
2. 1 GENERALIDADES
Todo sistema mecánico al ser apartado de su posición de equilibrio estable por
una causa cualquiera oscila alrededor de esta posición produciendo las llamadas
vibraciones mecánicas. A este cambio o movimiento alrededor del equilibrio corresponde
una variación de las tensiones internas de los materiales, provocando, en general
sobretensión, su fatiga y, a veces, un colapso estructural (resonancia).
El estudio de las vibraciones es importante por cuanto afectan al confort humano
(caso de transporte de pasajeros) o a las máquinas o estructuras en general, produciendo
efectos nocivos. Asimismo, en el caso de algunos instrumentos de medición, es
necesarios aislarlos de las vibraciones porque pueden falsear su medida o deteriorarse
prematuramente. Sin embargo, a veces, las vibraciones son aprovechadas para medir
magnitudes físicas, tal como en el caso de tacómetros, acelerómetros, etc.
Los sistemas vibratorios comprenden elementos para almacenar energía potencial
(resorte), elementos para almacenar energía cinética (masa o inercia) y elementos por
medio de los cuales la energía se disipa gradualmente (amortiguador). La vibración de un
sistema implica la transferencia de energía en sus formas: potencial y cinética. También,
la vibración es producto de la interacción activa entre la elasticidad y la inercia del
sistema.
Aunque una estructura real o sistema continuo puede almacenar ambas formas de
energía y puede también disiparla, en lo que sigue consideraremos sistemas a
parámetros concentrados constituidos por resortes, masas y amortiguadores ideales
donde cada uno de estos elementos realiza una única función.
También debemos señalar que estudiaremos los sistemas lineales que son
aquellos para los cuales la relación entre excitación y respuesta admite el principio de
superposición. En otras palabras, el modelo matemático al que responden estos sistemas
se traduce en una ecuación de movimiento que es lineal. La linealidad es una hipótesis
que está contenida en la formulación matemática del problema y que algunos sistemas
responden a ella más que otros dependiendo, en general, de la aproximación deseada de
los resultados y del campo de variabilidad de los parámetros que definen el problema. De
todos modos, el estudio lineal siempre es importante por cuanto constituye, en muchos
casos, una primera aproximación del problema. Sin embargo, conviene subrayar que, en
la práctica, efectuar una linealización rápida sin un adecuado control experimental, puede
conducir a errores ya que puede carecer de significado práctico asumir la hipótesis de los
pequeños movimientos.
En los problemas más simples es posible determinar la configuración de los
sistemas mediante una sola coordenada: de ahí que se los conoce como sistemas a un
grado de libertad. Es de esta manera como se inicia el estudio de vibraciones
2.2 VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO (armónicas)
Para estudiar las vibraciones libres de un sistema de un grado de libertad,
analizamos el modelo matemático más simple formado por un resorte sin masa de
constante elástica k y una masa m proveniente del peso puntual W aplicado en uno de
sus extremos, según se muestra en la fig. 3, al que llamamos sistema masa-resorte (m-
k), donde m puede solamente moverse según el eje vertical

6. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
6
Figura 2
Cuando el peso W se cuelga del resorte, éste se estira un valor est, llamando
deflexión estática o alargamiento estático, hasta alcanzar la posición de equilibrio PE. En
esta posición, el efecto de la gravedad sobre m se equilibra con la fuerza elástica reactiva
del resorte y se cumple:
𝑘 ∙ 𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝑊 = 𝑚 ∙ 𝑔 (2.1)
(Relación que define la posición de equilibrio PE)
Si a partir de esta posición la masa m es desplazada una distancia x y luego se la
abandona, la única fuerza que actúa sobre m es la reacción del resorte y se inicia un
movimiento vibratorio gobernado por:
La ley fundamental de Newton ∑ 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑥̈, cuya aplicación da:
𝑊 − 𝑘 ∙ (𝑥 + 𝛿𝑒𝑠𝑡) = 𝑚 ∙ 𝑥̈
Teniendo en cuenta la relación (2.1) resulta:
𝑚 ∙ 𝑥̈ + 𝑘 ∙ 𝑥 = 0
que es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden.
K
m
X(t)

7. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
7
Si se divide x m:
𝑘
𝑚
⁄ = 𝑤0
2
= 𝑔/ 𝛿 𝑒𝑠𝑡
Nos queda:
𝑥̈ + 𝑤0
2
∙ 𝑥 = 0
Con
√
K
m
2
= 𝑤0 (Pulsación natural del sistema) 2.2
La solución general de esta ecuación diferencial es:
𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑤0. 𝑡) + 𝐵. cos(𝑤0. 𝑡)
Donde A y B son constantes que se determinan de acuerdo con las condiciones
iniciales que son, generalmente:
𝑡 = 0 → 𝑥 = 𝑥𝑜
𝑡 = 0 → 𝑥̇ = 𝑥𝑜
̇
Operando, se tiene:
𝐴 =
𝑥0
̇
𝑤0
y 𝐵 = 𝑥0
𝑥 =
𝑥0
̇
𝑤0
. 𝑠𝑒𝑛(𝑤0. 𝑡) + 𝑥0. cos(𝑤0. 𝑡) 2.3
La solución anterior es la superposición de dos armónicas desfasadas entre sí 90º.
En conclusión, el sistema m, k, luego de ser perturbado, posee una vibración
sinusoidal caracterizada por una pulsación angular natural o frecuencia angular propia w0
(a esta equivale una frecuencia natural f0) dada por (2.2). y que depende exclusivamente,
como se vio, de los parámetros característicos del sistema, es decir:
𝑤0 = √
𝑘
𝑚
= √
𝑔
𝛿𝑒𝑠𝑡
La expresión anterior muestra el valor de 0 es igual al que le corresponde a un
péndulo matemático de longitud igual a 𝛿𝑒𝑠𝑡
Como: 𝑤 = 2. 𝜋. 𝑓 =
2.𝜋
𝑇
Resulta: 𝑇0 =
2.𝜋
𝑤0
llamado período propio
𝑓0 =
𝑤0
2.𝜋
llamada frecuencia natural o propia

8. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
8
Como una función armónica puede considerarse como la proyección sobre el eje polar de
un vector rotante con velocidad angular w0, y modulo igual a amplitud de la armónica, la
solución 2.3 se puede escribir como:
𝑥 = 𝐶. cos(𝑤0. 𝑡 − 𝛼)
con:
𝐶 = √𝑥0
2
+ (
𝑥0
̇
𝜔𝑜
)
2
y tan 𝛼 = (
𝑥0
̇
𝑥0.𝜔0
)
C
Y
𝑤0. 𝑡 − 𝛼
𝛼
𝑤0. 𝑡
𝑥0
̇
𝜔𝑜
X0
X

9. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
9
2.3 Sistemas de más de un resorte
Cuando un sistema cuenta con más de un resorte se pueden dar dos posibilidades
de arreglo entre ellos, que se los considere en serie o en paralelo.
2.3.1 Resorte serie
Cuando se tienen los dos resortes
unidos por los extremos opuestos,
dispuestos como si fueran una cadena, el
desplazameinto de la masa será la suma de
los alargamientos de ambos resortes, o sea:
𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝛿𝑒𝑠𝑡1 + 𝛿𝑒𝑠𝑡2
Figura 3
En esta disposición, la carga se propaga por los dos (2) resortes por igual:
𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝑤
𝑘1
+
𝑤
𝑘2
= 𝑤. (
1
𝑘1
+
1
𝑘2
)
𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝑤. (
𝑘1 + 𝑘2
𝑘1. 𝑘2
)
Entonces: 𝑘𝑒 =
𝑘1.𝑘2
𝑘1+𝑘2
2.3.2 Resorte paralelo
En esta configuración los resortes
se encuentran unidos por los extremos
del mismo lado, de forma que ambos
resortes ven el mismo desplazamiento en
su extremo libre, de forma que:
𝑤1 = 𝑘1. 𝛿𝑒𝑠𝑡
𝑤2 = 𝑘2. 𝛿𝑒𝑠𝑡
Así es como:
𝑤1 + 𝑤2 = 𝛿𝑒𝑠𝑡. (𝑘1 + 𝑘2)
𝑤 = 𝛿𝑒𝑠𝑡. (𝑘1 + 𝑘2)
𝑘𝑒 = 𝑘1 + 𝑘2
Figura 4

10. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
10
2.4 Vibraciones torsionales libres
Muchas veces conviene analizar los sistemas no con el grado de libertad asociado
al desplazamiento x, sino a la rotación θ, por ejemplo, en sistema pendulares o sistemas
de ejes que trabajan a torsión, etre otros.
La rigidez de la barra se calcula
como:
𝑘𝑡 = 𝐽𝑝.
𝐺
𝑙
=
𝜋. 𝑑4
32
.
𝐺
𝑙
Figura 5
Entonces para este caso la ecuación del movimiento se expresa como:
𝐼. 𝜃̈ + 𝑘𝑡. 𝜃 = 0
Donde I = momento de inercia del disco
Con 𝑤0 = √
𝑘𝑡
𝐼
Y la solución está dada por:
𝜃 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0. 𝑡) + 𝐵. 𝑠𝑒𝑛(𝑤0. 𝑡)
I

11. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
11
3 Vibraciones forzadas armónicas
Cuando un sistema está sometido a una acción externa o excitación armónica
forzada, su respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación.
Fuentes comunes de excitación armónica son el desbalance en máquinas rotatorias,
fuerzas producidas por máquinas reciprocantes o el movimiento de la máquina misma,
entre otras. La excitación armónica es frecuente en sistemas de ingeniería. Son
comúnmente producidas por desbalances en maquinaria rotatoria. Aunque la pura
excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación, un
entendimiento de la conducta de un sistema que sufre excitación armónica es esencial
para comprender cómo el sistema responderá a tipos más generales de excitación. La
excitación armónica puede ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún
punto del sistema.
Sea el siguiente sistema masa resorte forzado:
𝑤 − 𝑘. (𝛿𝑒𝑠𝑡 + 𝑥) + 𝐹(𝑡) = 𝑚. 𝑥̈
𝑚. 𝑥̈ + 𝑘. 𝑥 = 𝐹(𝑡)
𝑚. 𝑥̈ + 𝑘. 𝑥 = 𝐹𝑜. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑥̈ + 𝑤0
2
. 𝑥 =
𝐹𝑜
𝑚
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3.1)
La solución general completa de esta ecuación consta de dos partes, la solución
general de la homogénea y la solución particular de la completa. La función de la general
homogénea en este caso es la correspondiente a la vibración libre inciso 2.2, y la
particular de la completa es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia  de la
excitación. Podemos suponer que dicha solución es de la forma:
𝑥𝑝 = 𝐴𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜃) (3.2)
Donde Ap es la amplitud de la oscilación y es la fase del desplazamiento con respecto a
la fuerza excitatriz.
La amplitud y la fase en la ecuación de arriba se calculan sustituyendo la (3.2) en la (3.1),
recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración
están adelantadas al desplazamiento en 90º y 180º respectivamente.
K
m
X(t)
F(t)
K

12. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
12
−𝐴𝑝. 𝜔2
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝜔0
2
. 𝐴𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) =
𝐹𝑜
𝑚
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝐴𝑝 =
𝐹𝑜
𝑚
.
1
(𝑤0
2 − 𝜔2)
=
𝐹𝑜
𝑚
.
1
𝑤0
2. (1 −
𝜔2
𝑤0
2)
=
𝐹𝑜
𝑘
.
1
(1 −
𝜔2
𝑤0
2)
Donde sustituyendo 𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝐹𝑜
𝑘
, la solución de la (3.1) queda :
𝑥 = 𝐶1. 𝑠𝑒𝑛(𝜔0𝑡) + 𝐶2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡) +
𝛿𝑒𝑠𝑡
(1−
𝜔2
𝜔0
2)
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
Para completar el análisis de la respuesta a estos sistemas forzados se analiza a
la solución por separado de lo que corresponde al régimen transitorio y al régimen
permanente. Por el alcance de este curso, nos limitaremos al análisis del régimen
permanente exclusivamente, el cual es dominado por la presencia de la fuerza externa.
3.1 RÉGIMEN PERMANENTE
Como se mencionó anteriormente este régimen está determinado exclusivamente
por la existencia de la fuerza externa, la cual posee una frecuencia de excitación , y la
solución que determina el comportamiento del cuerpo en este régimen está definido por la
solución de la particular de la completa, que para este caso que no existe
amortiguamiento queda:
𝑥 =
𝛿𝑒𝑠𝑡
(1 −
𝜔2
𝜔0
2)
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
Donde
1
(1−
𝜔2
𝜔0
2)
es el “factor de amplificación dinámico” (FA), que es el que pone de
manifiesto la contribución dinámica del sistema.
En la gráfica siguiente se aprecia la gráfica del factor de amplificación:
Efecto de la vibración propia (libre) Efecto de la vibración originada por
la fuerza externa perturbadora

13. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
13
Figura 6
Se puede ver que:
- Cuando la relación
𝜔
𝜔0
→ 0, 𝐹𝑎 → 1,. La fuerza global es casi igual a la fuerza
del resorte y el desplazamiento corresponde al alargamiento del resorte:
𝑥 =
𝐹𝑜
𝑘
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
- Cuando
𝜔
𝜔0
≅ 1 , 𝐹𝑎 → ∞, con la consecuencia que 𝑥 → ∞. Esta región se
llama zona de resonancia.
Estas excitaciones pueden ser indeseables para equipos cuya operación puede
ser perturbada o, para la seguridad de la estructura si se desarrollan grandes amplitudes
de vibración. La resonancia debe ser evitada en la mayoría de los casos y, para evitar que
se desarrollen grandes amplitudes, se usan frecuentemente amortiguadores.
- En la zona donde
𝜔
𝜔0
> 1 , la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en
vencer la gran fuerza de inercia. Acá, el FA se hace pequeño (menor a 1), con
la consecuencia que 𝑥 → 0.
4 Vibraciones libres con amortiguamiento
Cuando se excita un sistema lineal con un grado de libertad, su respuesta libre
dependerá de su frecuencia natural (rigidez y masa) y del amortiguamiento que éste
presente. La ecuación del movimiento será de la forma:
𝑚. 𝑥̈ + 𝐹𝑑 + 𝑘. 𝑥 = 0
Y el modelo representativo será:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
F
A
/o
Factor de amplificación (Valor Absoluto)

14. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
14
(t)
Figura 7
donde Fd es la fuerza de amortiguamiento. La descripción real de Fd no es sencilla pero se
pueden utilizar modelos ideales de amortiguamiento que a menudo permitirán una
satisfactoria predicción de la respuesta. Entre tales modelos, la fuerza de
amortiguamiento viscoso, proporcional a la velocidad, es el que permite un tratamiento
matemático simple.
La fuerza de amortiguamiento viscoso se expresa como
𝐹𝑑 = 𝑐 ∙ 𝑥̇
donde c es una constante de proporcionalidad (característica propia del amortiguador o
constante de amortiguamiento). Simbólicamente se la representa por medio de un
cilindro-pistón como en la Fig. 8. La ecuación de movimiento queda:
𝑚. 𝑥̈ + 𝑐. 𝑥̇ + 𝑘. 𝑥 = 0
El método tradicional para resolver la ecuación
𝑚. 𝑥̈ + 𝑐. 𝑥̇ + 𝑘. 𝑥 = 0 (4.1)
es suponer una solución de la forma:
𝑥 = 𝐶. 𝑒𝑠∙𝑡
(4.2)
donde C y s son constantes.
Si dividimos la (4.1) por la masa m nos queda:
𝑥̈ + 2ℎ. 𝑥̇ + 𝑤0
2
. 𝑥 = 0 (4.3)
Donde 2. ℎ =
𝑐
𝑚
y 𝑤0 = √
𝑘
𝑚
Ahora utilizando la solución (4.2) para resolver la (4.3) obtenemos la ecuación
característica:
𝑠2
+ 2ℎ. 𝑠 + 𝑤0
2
= 0

15. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
15
La solución de esta da las raíces s1 y s2, cuyos valores dependen de su
discriminante. Así la solución general de la ecuación diferencial será la combinación lineal:
𝑥 = 𝐶1 ∙ 𝑒𝑠1∙𝑡
+ 𝐶2 ∙ 𝑒𝑠2∙𝑡
(4.4)
Donde C1 y C2 son constantes que deben evaluarse por medio de las condiciones iniciales
𝑥(0) y 𝑥̇(0)
Las raíces de la ecuación característica quedan:
𝑠1,2 = −ℎ ± √ℎ² − 𝑤0²
Sustituyendo esta última en la (4.4) se obtiene:
𝑥(𝑡) = 𝑒−ℎ.𝑡
. (𝐶1. 𝑒√ℎ2−𝑤0
2.𝑡
+ 𝐶2. 𝑒−√ℎ2−𝑤0
2.𝑡
) (4.5)
El primer término 𝑒−ℎ∙𝑡
es simplemente una función decreciente exponencialmente
con el tiempo. El comportamiento de los términos entre paréntesis depende, sin embargo,
de si los valores numéricos dentro del radical son positivos, nulos o negativos.
Cuando el término del amortiguamiento ℎ2
es mayor que 𝑤0
2
, los exponentes en la
ecuación de arriba son números reales y no hay oscilaciones posibles. Nos referimos a
este caso como sobre-amortiguamiento.
Cuando el término ℎ2
es menor que 𝑤0
2
, el exponente se vuelve imaginario
(±𝑖 ∙ √𝑤0
2 − ℎ2 ∙ 𝑡) y como:
𝑒±𝑖∙√𝑤0
2−ℎ2∙𝑡
= 𝑐𝑜𝑠√𝑤0
2 − ℎ2 ∙ 𝑡 ± 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛√𝑤0
2 − ℎ2 ∙ 𝑡
los términos de la Ec. (4.5), dentro del paréntesis, son oscilatorios. Este es el caso sub-
amortiguado.
Como caso límite entre los dos, definimos amortiguamiento critico como el valor de
c que anula la raíz. Es ahora aconsejable examinar éstos tres casos en detalle y en
términos de cantidades que se usan en la práctica. Comenzamos por el amortiguamiento
crítico.
2.5.1 Amortiguamiento crítico
El valor de C que hace cero la raíz de la ec. (4.5) se llama amortiguamiento crítico
y se lo denomina Cc, y se lo obtiene a partir de:
ℎ2
= 𝑤0
2
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (
𝐶𝑐
2. 𝑚
)
2
=
𝑘
𝑚
Despejando se obtiene la constante de amortiguamiento crítico:
𝐶𝑐 = 2. √𝑘. 𝑚
En determinadas ocasiones resulta más práctico utilizar la relación  para definir el
comportamiento del sistema en función de si = 1 amortiguamiento crítico,  1 sobre-
amortiguado  sub-amortiguadodonde se define como:

16. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
16
𝜀 = (
𝐶
𝐶𝑐
)
De esta forma podemos calcular las raíces de la (2.6) en función de :
𝑠1,2 = (−𝜀 ± √𝜀² − 1) ∙ 𝑤0 (4.6)
1. Caso Sub-amortiguado
En este caso  <1 y sustituyendo la (4.6) en la (4.4) y operando obtenemos:
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜀∙𝑤0∙𝑡
∙ (𝐶1 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑐𝑜𝑠√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡)
La cual si utilizamos las condiciones iniciales 𝑥(0) y 𝑥̇(0) nos queda como:
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜀∙𝑤0∙𝑡
∙ (
𝑥̇(0)+𝜀∙𝑤0∙𝑥(0)
𝑤0∙√1−𝜀2
∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡 + 𝑥(0) ∙ 𝑐𝑜𝑠√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡) (4.7)
Por analogía la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas (pseudofrecuencia) en este
caso vale:
𝑤𝑑 =
2 ∙ 𝜋
𝑇𝑑
= 𝑤0 ∙ √1 − 𝜀2
Lo cual define un movimiento aperiódico según puede verse en la siguiente figura:
Figura 8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7
x(t)
0.t
Desplazamiento caso sub-amortiguado
-𝑥 0 . 𝑒−𝜀.𝑤0.𝑡
𝑥(0). 𝑒−𝜀.𝑤0.𝑡
𝑥(𝑡)

17. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
17
2. Caso Sobre-amortiguado
En este caso  >1 y la solución general queda:
𝑥(𝑡) = 𝐶1 ∙ 𝑒(−𝜀+√𝜀2−1)∙𝑤0∙𝑡
+ 𝐶2 ∙ 𝑒(−𝜀−√𝜀2−1)∙𝑤0∙𝑡
Donde:
𝐶1 =
𝑥̇(0) + (−𝜀 + √𝜀2 − 1) ∙ 𝑤0 ∙ 𝑥(0)
2 ∙ 𝑤0 ∙ √𝜀2 − 1
𝐶2 =
𝑥̇(0) + (−𝜀 − √𝜀2 − 1) ∙ 𝑤0 ∙ 𝑥(0)
2 ∙ 𝑤0 ∙ √𝜀2 − 1
El movimiento es una función exponencial decreciente del tiempo (aperiódica), como se
aprecia en la siguiente figura:
Figura 9
3. Caso Amortiguamiento crítico
Para este caso  = 1 o sea que las raíces s1 = s2 = -0 y la (4.4) queda:
𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2) ∙ 𝑒−𝑤0∙𝑡
= 𝐶3 ∙ 𝑒−𝑤0∙𝑡
-4
-2
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x(t)
0.t
Desplazamiento caso sobre-amortiguado
𝐶2. 𝑒 −𝜀− 𝜀2−1 .𝑤0.𝑡
𝑥 𝑡
𝐶1. 𝑒(−𝜀+√𝜀2−1).𝑤0.𝑡

18. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
18
Que no contiene el número de constantes requerido para satisfacer las dos condiciones
iniciales. La solución para las condiciones iniciales 𝑥(0) y 𝑥̇(0) y pueden encontrarse a
partir de la (4.7) haciendo 𝜀 → 1
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑤0∙𝑡
∙ {[𝑥̇(0) + 𝑤0 ∙ 𝑥(0)] ∙ 𝑡 + 𝑥(0)}
La figura siguiente muestra tres alternativas de respuesta con 𝑥(0).
Figura 10
2.6 DECREMENTO LOGARÍTMICO:
Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento en un sistema
consiste en medir la proporción de caída de las oscilaciones libres. A mayor
amortiguamiento, mayor proporción de caída.
A partir de definir lo que denominaremos decremento logarítmico que se define
como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera, cuya
expresión resulta:
𝛿 = 𝑙𝑛
𝑥𝑛
𝑥𝑛+1
= 𝑙𝑛
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛. seno(√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0. 𝑡𝑛 − 𝜃)
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛+1. seno(√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0. 𝑡𝑛+1 − 𝜃)
Y puesto que los valores de los senos son iguales cuando el tiempo se incrementa
en el período amortiguado Td, la razón de arriba se reduce a:
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
x(t)
0t
Desplazamiento caso amortiguamiento crítico
x*(0)<0
x*(0)=0
x*(0)>0

19. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
19
𝛿 = 𝑙𝑛
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛+1
Donde:
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + 𝑇𝑑
Sustituyendo 𝛿 = 𝑙𝑛(𝑒𝜀∙𝑤0.𝑇𝑑) = 𝜀 ∙ 𝑤0. 𝑇𝑑
Sustituyendo el período amortiguado por:
𝑇𝑑 =
2𝜋
𝑤0 ∙ √1 − 𝜀2
La expresión del decremento logarítmico queda:
𝛿 =
2𝜋∙𝜀
√1−𝜀2
que es una ecuación exacta.
Si despejamos  de esta última obtenemos la razón de amortiguamiento en función
del decremento logarítmico:
𝜀 =
𝛿
√4𝜋2−𝛿2
(4.8)
Si medimos experimentalmente x(t) de un gráfico como en la figura siguiente,
correspondiente a picos sucesivos xn(t) y xn+1(t) se puede utilizar la ecuación (4.9) para
estimar el valor de , y reemplazarlo en la (4.8) para calcular la razón de amortiguamiento.
𝛿 = 𝑙𝑛
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡+𝑇𝑑)
(4.9)
Figura 11
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7
x(t)
0.t
Desplazamiento caso sub-amortiguado
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)

20. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
20
Vale aclarar que la (4.8) se puede extrapolar más allá de dos medidas adyacentes
de x(t), de forma de aumentar la precisión del cálculo, o sea:
𝛿 =
1
𝑛
∙ 𝑙𝑛
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡 + 𝑛 ∙ 𝑇𝑑)
Donde n es el número de picos positivos sucesivos. Si bien este método entrega
valores con buena precisión, hace un tiempo se han elaborado Técnicas de Análisis
Modal para realizar estos cálculos, las cuales escapan al alcance de este apunte y que
poseen mayor precisión.
5 Vibraciones forzadas amortiguadas
En este caso cuando el sistema esta amortiguado y posee una excitación
armónica externa, el modelo es el siguiente
𝐹(𝑡) = 𝐹0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
y la ecuación del movimiento se puede escribir de la siguiente manera:
𝑚. 𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘. 𝑥 = 𝐹(𝑡) = 𝐹0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (5.1)
o
𝑥̈ + 2ℎ. 𝑥̇ + 𝑤0
2
. 𝑥 =
𝐹0
𝑚0
∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
De la misma manera que para el caso excitado sin amortiguamiento, la solución de esta
ecuación consta de dos partes, la solución de la homogénea y la particular de la completa.
La función de la general homogénea en este caso es la correspondiente a la vibración
amortiguada libre inciso 2.5, y la particular de la completa es una oscilación estacionaria
de la misma frecuencia  de la excitación. Nuevamente podemos suponer que dicha
solución es de la forma:
𝑥𝑝 = 𝐵𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) (5.2)
Donde Bp es la amplitud de la oscilación y φes la fase del desplazamiento con respecto a
la fuerza excitatriz
F(t)
K

21. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
21
Para este caso
𝐵𝑝 =
𝛿𝑒𝑠𝑡
√(1−
𝜔2
𝜔0
2)
2
+[2𝜀∙(
𝜔
𝜔0
)]
2
𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝐹0
𝑘
y tan 𝜑 =
2.ℎ.𝑤
𝑤0
2−𝑤2
Que sustituyendo obtenemos:
𝑥 = 𝑒−ℎ𝑡
. (𝐶1. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝐶2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)) +
𝛿𝑒𝑠𝑡
√(1 −
𝜔2
𝜔0
2)
2
+ [2𝜀 ∙ (
𝜔
𝜔0
)]
2
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑)
Nuevamente, para completar el análisis de la respuesta a estos sistemas forzados
se analiza a la solución por separado de lo que corresponde al régimen transitorio y al
régimen permanente. Por el alcance de este curso, nos limitaremos al análisis del régimen
permanente exclusivamente, el cual es dominado por la presencia de la fuerza externa.
3.1 RÉGIMEN PERMANENTE
Como se mencionó anteriormente este régimen está determinado exclusivamente
por la existencia de la fuerza externa, la cual posee una frecuencia de excitación , y la
solución que determina el comportamiento del cuerpo en este régimen está definido por la
solución de la particular de la completa:
𝑥 =
𝛿𝑒𝑠𝑡
√(1 −
𝜔2
𝜔0
2)
2
+ [2𝜀 ∙ (
𝜔
𝜔0
)]
2
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑)
Donde
1
√(1−
𝜔2
𝜔0
2)
2
+[2𝜀∙(
𝜔
𝜔0
)]
2
es el “factor de amplificación dinámico” (Fa), o sea que pone de
manifiesto la contribución dinámica del sistema.
En la gráfica siguiente se aprecia la gráfica del factor de amplificación:
Efecto de la vibración propia (libre) Efecto de la vibración originada por
la fuerza externa perturbadora

22. Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0
22
Figura 12
- Cuando la relación
𝜔
𝜔0
→ 0, 𝐹𝑎 → 1, con lo cual las fuerzas de inercia como las
de amortiguamiento son pequeñas, lo que produce que la magnitud de la
fuerza global es casi igual a la fuerza del resorte. Equivale a tener la carga
aplicada estáticamente.
- Cuando
𝜔
𝜔0
≅ 1 , la fuerza de inercia, que ahora es mayor, es equilibrada por la
fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de
amortiguación, por lo cual 𝐹𝑎 > 1, pero ya es mensurable a diferencia del caso
no amortiguado donde tendía a infinito. Esto tiene como consecuencia que
𝑥 > 1. Esta región por analogía con el caso no amortiguado, se llama zona de
resonancia. Se puede apreciar que para c/c0 = 0, se tiene la curva para el caso
no amortiguado
- Cuando, en la zona donde
𝜔
𝜔0
> 1 el sistema tiende a estabilizarse hasta
desaparecer el movimiento vibratorio, ubicándose en la posición de equilibrio
con la carga estática solamente actuando. La fuerza aplicada se emplea casi
enteramente en vencer la gran fuerza de inercia.
Curvas de desfasaje
Dan el desfasaje φ, entre el movimiento de la masa x(t) y la fuerza perturbadora F(t) está
dado por
tan 𝜑 =
2. ℎ. 𝑤
𝑤0
2
− 𝑤2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Fa
/0
Factor de amplificación dinámico (Fa)
C/C0=0
C/C0=0,2
C/C0=0,4
C/C0=0,6
C/C0=0,8
C/C0=1