Probabilidad y Estadística 2

2 PRELIMINARES
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2011.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 6,598 ejemplares.
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero
Director Académico
Ing. Arturo Sandoval Mariscal
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Ing. Raúl Leonel Durazo Amaya
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Primera edición 2011. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaborador:
María Elena Conde Hernández
Revisión Disciplinaria:
Alma Lorenia Valenzuela Chávez
Corrección de Estilo:
Alejandro Ernesto Rivas Santoyo
Apoyo Metodológico:
Alma Lorenia Valenzuela Chávez
Supervisión Académica:
Luz María Grijalva Díaz
Diseño:
Joaquín Rivas Samaniego
Edición:
Bernardino Huerta Valdez
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Diana Irene Valenzuela López
Coordinación General:
Ing. Arturo Sandoval Mariscal

3
PRELIMINARES
Ubicación Curricular
COMPONENTE:
FORMACIÓN PROPEDÉUTICA
GRUPO: 3 y 4
ECONÓMICO ADMINISTRATIVO /
HUMANIDADES Y CIENCIAS
SOCIALES
HORAS SEMANALES:
03
CRÉDITOS:
06
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: _______________________________________________________________
Plantel: __________________________________________________________________
Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________
E-mail: _________________________________________________________________
Domicilio: ______________________________________________________________
_______________________________________________________________________

5
PRELIMINARES
Presentación .........................................................................................................................................................7
Mapa de asignatura..............................................................................................................................................8
BLOQUE 1: DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDINATE DIFERENTES TÉCNICAS
DE CONTEO ...........................................................................................................................................9
Secuencia Didáctica 1: Cálculo de probabilidades de eventos simples y compuestos ..................................10
• Métodos para asignar probabilidades .......................................................................................................12
• Propiedades de la probabilidad.................................................................................................................15
• Regla del complemento de la probabilidad...............................................................................................16
• Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o”..................................................................................17
Secuencia Didáctica 2: Principio fundamental de conteo .................................................................................27
• Conteo mediante una lista sistemática ......................................................................................................30
• Principio fundamental de conteo................................................................................................................35
• Factoriales...................................................................................................................................................38
Secuencia Didáctica 3: Teoría combinatoria......................................................................................................45
• Permutaciones ............................................................................................................................................48
• Combinaciones...........................................................................................................................................54
BLOQUE 2: EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL .................................................................63
Secuencia Didáctica 1: Probabilidad condicional .............................................................................................64
• Probabilidad condicional ............................................................................................................................66
• Regla general de la multiplicación de probabilidades...............................................................................69
• Eventos independientes .............................................................................................................................70
• Regla especial de la multiplicación de probabilidades .............................................................................71
Secuencia Didáctica 2: Teorema de Bayes .......................................................................................................79
• Teorema de Bayes......................................................................................................................................81
BLOQUE 3: RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS................................87
Secuencia Didáctica 1: Distribución de probabilidad para variables discretas................................................88
• Distribución de probabilidad ......................................................................................................................90
• Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas..........................................................91
• Valor esperado y varianza de una distribución de probabilidad discreta .................................................92
• Distribución binomial ..................................................................................................................................98
Secuencia Didáctica 2: Distribución de probabilidad para variables continuas.............................................109
• Distribución de probabilidad para variables continuas ...........................................................................111
• Modelos de distribuciones de probabilidad de variables continuas.......................................................118
• La distribución normal ..............................................................................................................................118
Secuencia Didáctica 3: Aproximación de la distribución binomial a la normal...............................................131
• Aproximación de la distribución binomial a la normal .............................................................................133
• Teorema central del límite .......................................................................................................................135
• Regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal ............136
Bibliografía ........................................................................................................................................................143
Índice

7
PRELIMINARES
“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.
El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso
que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las
competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un
mismo propósito en un determinado contexto.
El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Probabilidad y Estadística 2, es una herramienta de suma
importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se
establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está
implementando a nivel nacional.
El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de
estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios
local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias
didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y
cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las
preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a
abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos
conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que
tu aprendizaje sea significativo.
Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que
realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.
En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y
actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma
individual, binas o equipos.
Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de
campo, etc.
La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa,
de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una
visión general del logro de los aprendizajes del grupo.
Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a
través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el
propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este
ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para
mejorar tu aprendizaje.
Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la
finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las
actitudes de responsabilidad e integración del grupo.
Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que
les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que
contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser
receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización
de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir
juntos.
Presentación

8 PRELIMINARES
Probabilidadyestadística2
Bloque 1.
Determina la probabilidad de eventos
medinate diferentes décnicas de conteo.
Secuencia Didáctica 1.
Cálculo de probabilidades de eventos
simples y compuestos.
Principio fundamental de conteo.
Teoría combinatoria.
Bloque 2.
Emplea la proabilidad condicional.
Probabilidad condicional.
Teorema de Bayes.
Bloque 3.
Resuelve problemas de aplicación
mediante la distribución de probabilidades
de variables discretas y continuas.
Distribución de probabilidad para variables
discretas.
Distribución de probabilidad para variables
continuas.
Aproximación de la distribución binomial a
la normal.

Tiempo asignado: 18 horas
Determina la probabilidad de eventos
mediante diferentes técnicas de conteo.
Competencias profesionales:
 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,
mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su
comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades
físicas de los objetos que lo rodean.
 Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.
 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Unidad de competencia:
 Estructura ideas y argumenta de manera clara y coherente, los resultados de la probabilidad conjunta, mediante el
uso de técnicas de conteo.
 Identifica los tipos de eventos y las reglas de probabilidad, para resolver problemas en situaciones de la vida
cotidiana.
 Utiliza el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos.
 Identifica las diferentes formas de contar agrupaciones de objetos, para resolver problemas relacionados con su
entorno.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye
al alcance de un objetivo.
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su
relevancia y confiabilidad.
7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con
pasos específicos.
8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de
distintos equipos de trabajo.

10
DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO
Secuencia didáctica1.
Cálculo de probabilidades de eventos simples
y eventos compuestos.
Inicio
Responde a los siguientes cuestionamientos.
1. En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de
satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los
resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla.
Satisfecho con
la carrera
Satisfecho con su progreso TOTAL
Si No
Si 362 350 712
No 18 70 88
Total 380 420 800
Si se elige una encuesta al azar, determina la probabilidad de que:
a) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera.
b) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera y con su progreso en la misma.
c) El alumno no se encuentre satisfecho ni con la carrera ni con su progreso.
d) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera, pero no con su progreso.
2. Normalmente en una moneda mexicana, el águila es el sello (s) emblema de nuestra bandera, y cara (c) es
la imagen del rostro del personaje que aparece en cada moneda. Si se lanzan dos monedas normales al
aire, determina la probabilidad de que una de ellas sea cara y otra sello.
3. Se arroja un dado sin truco y se observa el número de puntos que muestra la cara superior, ¿cuál es la
probabilidad de que el número observado sea par?
Actividad: 1

11BLOQUE 1

 
Evaluación
Actividad: 1 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Distingue los distintos métodos
de asignar probabilidades.
Calcula probabilidades empleando
las propiedades de la misma.
Muestra interés siguiendo
instrucciones de manera reflexiva
Autoevaluación
C MC NC Calificación otorgada por el
docente
4. Una escuela de idiomas necesita delimitar espacios para aquellas personas que estudian
sólo un idioma. Distribuye en el diagrama de Venn la siguiente información y responde a los
siguientes cuestionamientos. 25 personas estudian francés (conjunto 𝐹); 45 estudian inglés
(conjunto 𝐼); 10 estudian alemán (conjunto 𝐴); 12 estudian francés e inglés; 5 estudian los
tres idiomas; y 8 estudian francés y alemán. Si se elige una persona al azar, determina la
probabilidad de que:
a) Estudie los tres idiomas.
b) Estudie francés o alemán.
c) Estudie solamente inglés.
d) Estudie francés e inglés, pero no alemán.
e) Estudie alemán e inglés.
f) Estudie francés, pero no inglés.
Actividad: 1 (continuación)

12
Desarrollo
Métodos para asignar Probabilidades.
En el curso pasado de Probabilidad y Estadística 1, viste que la probabilidad de un evento, siendo ésta una medida
numérica de la verosimilitud del evento, se determina de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o
teóricamente. Los siguientes ejemplos con eventos simples te harán recordar y aclarar la diferencia entre estas dos
interpretaciones de la probabilidad.
Ejemplo 1. Si se lanza una moneda al aire, determina la probabilidad de que caiga con la cara hacia arriba.
No hay razón aparente para que uno de los lados de la moneda, a la larga, caiga hacia arriba con mayor frecuencia
que el otro, de modo que normalmente se supone que cara y sello son igualmente probables de salir. Esta suposición
puede remarcarse si la moneda está no defectuosa o alterada. Ahora el experimento aquí es el lanzamiento de una
moneda con estas características. El espacio muestral es:
{ }
y el evento de que caiga cara, cuya probabilidad se busca, se llama { }. Como uno de los dos resultados
posibles es cara, la probabilidad es el cociente de 1 y 2:
) .
De manera simbólica, esto se expresa como:
) .
Ejemplo 2. Si se lanza al aire una taza de plástico, determina la probabilidad de que
caiga hacia abajo.
Intuitivamente, es probable que una taza caiga de lado, mucho más a menudo que
hacia arriba o hacia abajo. Pero no queda claro exactamente qué tan a menudo.
Para tener una idea, se realiza el experimento de lanzar la taza 50 veces, y observar
la frecuencia de los resultados. Supóngase que cayó de lado 44 veces, boca abajo
5 veces y hacia arriba sólo una vez. Por la frecuencia de “éxitos” en este
experimento, se concluye que:
) .
Observa en el ejemplo 1, que implica el lanzamiento de una moneda no
defectuosa, el número de resultados posibles es obviamente dos, ambos
igualmente probables, y uno de los resultados es una cara. No se requirió un
experimento real. La probabilidad deseada se obtuvo teóricamente. Las
probabilidades teóricas se aplican a toda clase de juegos de azar (lanzamiento de
dados, juegos de cartas, ruletas, lotería, etc.), y aparentemente también a muchos
fenómenos de la naturaleza. Laplace, en su famosa Teoría Analítica de la
Probabilidad, publicada en 1812, dio una fórmula que se aplica a cualquiera de
tales probabilidades teóricas, siempre y cuando el espacio muestral sea finito y
los resultados sean igualmente probables, es decir, sean equiprobables.
Pierre Simon Maqués de Laplace
(1749 -1827).
Astrónomo, físico y matemático
francés, conocido por el Teorema
de Laplace, Transformada de
Laplace y Determinismo científico

13BLOQUE 1
Fórmula de la probabilidad teórica
Si todos los resultados en un espacio muestral son igualmente probables, y es un evento en , entonces la
probabilidad teórica del evento está dada por:
)
Por otra parte, en el ejemplo 2 implicó tener que lazar una taza al aire, donde las probabilidades de los diferentes
resultados no estaban claras intuitivamente. Se efectuó un experimento real para llegar a un valor de probabilidad de
un décimo. Este valor se encontró de acuerdo con la fórmula de la probabilidad experimental o empírica.
Fórmula de la probabilidad empírica
Si es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento
está dada por:
)
En la cual la asignación de las probabilidades de los sucesos o eventos de interés se basan en la información
observada y no en el conocimiento previo del proceso.
Por lo general, en las aplicaciones queda claro cuál de las dos fórmulas de probabilidad debe usarse. Más ejemplos
al respecto:
Ejemplo 3. Claudia quiere tener exactamente dos niñas. Suponiendo que niño y niña son igualmente probables,
determina la probabilidad de éxito en cada uno de los casos siguientes:
a) En total tiene dos hijos.
Aquí, la suposición de igual probabilidad permite el uso de probabilidad teórica. Observa que el espacio muestral
lo forman las parejas:
{ ) ) ) )}
El único resultado favorable para el evento , que sean exactamente dos mujeres: es la pareja { )}.
Por medio de la fórmula de probabilidad teórica:
) .
b) En total ella tiene tres hijos.
Ahora el espacio muestral para este caso es:
{ ) ) ) ) ) ) ) )}
De modo que son tres los casos favorables al evento exactamente dos niñas, indicadas en el espacio muestral con
negritas. Luego la probabilidad de es:
) .

14
Aunque en este ejemplo se supuso que tanto niños como niñas tienen la misma probabilidad de ocurrir, por lo común,
los nacimientos de niños ocurren con un frecuencia un poco mayor. A la vez, por lo regular hay siempre más mujeres
en cualquier momento dado, debido al mayor índice de mortalidad entre hombres y a la esperanza de vida más larga
en las mujeres, en general. Para cerciorarte de este comentario consulta los censos poblacionales del INEGI en la
página:
http://cuentame.inegi.gob.mx/poblacion/mujeresyhombres.aspx?tema
Ejemplo 4. En un año reciente, los nacimientos en México incluían 1, 613 millones de hombres y 1, 531 millones de
mujeres. Si una persona fue seleccionada aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año. ¿Cuál es la
probabilidad de que la persona fuese hombre?
Ya que los nacimientos de hombres y mujeres no son igualmente probables, y se tiene información específica
experimental que respalda este hecho, se calcula la probabilidad empírica.
)
)
Ahora piensa nuevamente en la taza del ejemplo 2. Si se lanza 100 veces en lugar de 50, el nuevo valor sería
probablemente diferente (al menos un poco) del que se obtuvo. Aún sería una probabilidad empírica, pero sería mejor
en el sentido de que se basa en un conjunto mayor de resultados. Conforme el número de lanzamientos se hace cada
vez más grande, los valores de la probabilidad empírica resultante pueden aproximarse a algún valor particular. Si es
así, ese número puede definirse como la probabilidad teórica de que esa taza caiga boca abajo. Este valor “limite”
sólo puede ocurrir cuando el número real de lanzamientos observados se aproxime al número total de lanzamientos
de la taza. Como potencialmente existe un número infinito de posibles lanzamientos, en realidad nunca se encontraría
la probabilidad teórica que se pretende. Pero aún se puede suponer que tal número existe, y cuando el número real
de lanzamientos observados aumente, la probabilidad empírica resultante debe tender a estar más cerca del valor
teórico. Este importante principio se conoce como ley de los grandes números o en algunas ocasiones como ley de
los promedios.
Ley de los grandes números
Cuando un experimento se repite más y más veces, la proporción de resultados favorables a cualquier evento tenderá
a estar cada vez más próxima a la probabilidad teórica de ese evento.
Ejemplo 5. ¿Una moneda no defectuosa se lanzó 35 veces, produciendo la siguiente secuencia de resultados.
Calcular la razón del número de caras al número total de lanzamientos, después del primer lanzamiento, el segundo
lanzamiento, el tercer lanzamiento y así, sucesivamente, hasta completar los 35 lanzamientos, y con ayuda del Excel
mostrar estas razones en una gráfica.
Para obtener las razones se toma en cuenta que los dos primeros resultados son sellos, de ahí que los dos primeros
lugares sean 0.00. Luego el tercer resultado es cara, es decir, ⁄ , el cuarto lanzamiento vuelve a ser cara, por
lo que ⁄ . El quinto lanzamiento nuevamente es cara, así que la razón es ⁄ , el sexto lanzamiento es
sello, de ahí que la razón sea ⁄ , y así sucesivamente.
Las primeras razones a dos lugares decimales, son 0.00, 0.00, 0.33, 0.50, 0.60, 0.50,…resultado de dividir
respectivamente , , , , , , etc. La gráfica muestra cómo las fluctuaciones alrededor del 0.50 son más pequeñas,

15BLOQUE 1
conforme el número de lanzamientos aumenta, y la razón parece que se aproxima a 0.50 en la parte derecha de la
gráfica, de acuerdo con la ley de los grandes números.
Observa que la ley de los grandes números proporciona una conexión importante entre las probabilidades empírica y
teórica. Conocer la probabilidad empírica para un evento permite estimar su probabilidad teórica. Entre más grande
sea el número en que se basa la estimación, más confiable será esta. De manera similar, conocer la probabilidad
teórica de un evento permite predecir la fracción de veces que ocurrirá en una serie de experimentos repetidos,
simplemente por deducción. La predicción será más precisa, claro está, para un número grande de repeticiones.
Propiedades de la probabilidad.
De la fórmula de probabilidad teórica se deducirán algunas propiedades de la probabilidad.
Para el experimento de lanzar dos monedas al aire no defectuosas se tiene el espacio muestral:
{ ) ) ) )}
La probabilidad del evento que salgan dos caras es:
) ,
en tanto que si se considera el espacio muestral con resultados no igualmente probables, se tiene que:
{ }
La probabilidad de que salgan dos caras: ) , lo cual es incorrecto, ya que la expresión que calcula la
probabilidad, aplica para espacios con igual probabilidad (equiprobables).
Para que te convenzas de que ⁄ es mejor que ⁄ , realiza el experimento de lanzar dos monedas no defectuosas
100 veces y calcula esta probabilidad de forma empírica.
Como cualquier evento es subconjunto de , se sabe que el número de elementos del conjunto es mayor que
cero, pero menor que el número de elementos de . Esto se puede expresar mediante la cardinalidad de un conjunto
como sigue ) ), donde ) es el número de elementos del conjunto en este caso. Al dividir todo
entre el número de elementos del espacio muestral queda:
)
)
)
)
)
o ) .

16
En palabras esto significa que la probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive.
Si el evento es imposible (no puede suceder), entonces el número de elementos de ese conjunto debe ser 0 ( es el
conjunto nulo o vacío), por lo tanto ) Por otro lado, si un evento es seguro (es inevitable que ocurra),
entonces el número de elementos de es igual al número de elementos del espacio muestral, por lo que:
)
)
)
)
.
Estas propiedades se resumen a continuación:
Sea un evento en el espacio muestral , esto es, es un subconjunto de . Entonces:
1. ) . La probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive.
2. ) . La probabilidad de un evento imposible es cero.
3. ) . La probabilidad de un evento seguro es uno.
Ejemplo 6. En el lanzamiento de un dado regular (sin truco) determina la probabilidad de cada uno de los siguientes
eventos:
Para cada caso se obtiene primeramente el espacio muestral, para luego marcar dentro de este los casos favorables
del evento simple en cuestión:
a) Obtener el número 2.
{ }
) .
b) Obtener un número distinto de 2.
{ }
) .
c) Obtener el número 7.
{ }
) .
d) Obtener un número menor que 7.
{ }
) .
Observa que los incisos c) y d) del ejemplo anterior ilustran las propiedades 2 y 3 respectivamente. Observa también
que los eventos en los incisos a) y b) son complemento uno del otro y que sus probabilidades suman 1, lo cual es
cierto para cualesquiera dos eventos complementarios; esto es, ) ) . Reagrupando términos, se puede
escribir esta ecuación de dos formas equivalentes, de las cuales, la más útil se indica en la siguiente regla.
Regla del complemento de la probabilidad.
La probabilidad de que un evento ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra.
) )

17BLOQUE 1
El siguiente ejemplo ilustra la forma en que la regla del complemento permite calcular probabilidades de forma
indirecta, cuando ello resulta más sencillo.
Ejemplo 7. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que la
carta seleccionada sea distinta a un rey?
Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos:
espadas negras,
corazones rojos,
diamantes rojos,
tréboles negro.
El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominaciones As, 2,
3,…,9, 10, J, Q, K. Dependiendo del juego el As también es considerado como la última carta.
Es más fácil contar las cartas que son reyes, que las que no son reyes. Sea el evento de no tomar un rey. Por lo
tanto:
) ) .
Donde es el evento tomar un rey.
Ahora se considerarán ejemplos de eventos compuestos, recuerda que estos eventos se caracterizan por combinar
eventos simples mediante conectivos lógicos como “o”, “y”, por mencionar algunos.
En tu curso de probabilidad pasado se desarrolló la teoría de conjuntos, donde se vieron ejemplos de operaciones
con conjuntos (unión, intersección) que en teoría de probabilidad equivale a eventos compuestos. En esta secuencia,
el objetivo es calcular la probabilidad de estos eventos compuestos, por ejemplo: para los eventos simples y , se
desea calcular ) o ), recuerda que es el evento en el que ocurre por lo menos uno de los dos
eventos simples.
Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o”
Ejemplo 8. Se escoge un número de manera aleatoria del conjunto:
{ }
Determina la probabilidad de que sea un número impar o múltiplo de 3.
Primeramente se dará nombre a los eventos simples de la siguiente manera:
que el número sea impar y que el número sea múltiplo de 3. Se tienen entonces de cada evento los siguientes
elementos:
{ } { }
Distribuyendo los elementos de estos conjuntos en un diagrama de Venn quedan.

18
El diagrama muestra la posición de los 10 elementos dentro del espacio muestral y se ve que { }. El
evento compuesto corresponde al conjumto . Por lo tanto, mediante la fórmula de la probabilidad teórica,
) )
En general, no se puede tan sólo sumar probabilidades individuales de cada uno de los eventos simples que
intervienen en el evento compuesto de la forma . Si se hubiera hecho así, en este ejemplo el resultado que se
hubiera obtenido sería.
Lo cual es incorrecto ya que se estarían contando los resultados que están dentro de la intersección dos veces. Los
enteros 3 y 9 son tanto números impares como múltiplos de 3. La regla correcta se establece de la siguiente forma.
(Ya que los conectivos lógicos “o” e “y” corresponden a las operaciones de conjuntos (unión) e (intersección)
respectivamente, se puede establecer dos versiones de esta regla).
Regla general para la suma de probabilidades
Si y son dos eventos cualesquiera, entonces:
) ) ) )
) ) ) )
Enseguida se muestra un ejemplo del uso de esta regla.
Ejemplo 9. De los 20 programas de televisión que se presentarán esta noche, Paco planea ver uno que elegirá de
forma aleatoria cerrando los ojos y seleccionando con el dedo el desplegado impreso de la programación televisiva.
Si 8 de los programas son educativos, 9 son interesantes y 5 son educativos e interesantes, determina la probabilidad
de que el programa que vea tenga por lo menos uno de estos atributos.
Si que el programa sea educativo, que el programa sea interesante, que un programa tenga por lo menos uno
de estos atributos significa: o que el programa es educativo o que es interesante. Así que se pide calcular la
probabilidad de . Utilizando la regla general de la suma de probabilidades se tiene:
) ) ) )
Por otra parte ) , ) y ) . Por lo que:
) .
Ejemplo 10. Supóngase que se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas. Determina la
probabilidad de que sea espada o roja.

19BLOQUE 1
Recuerda, la baraja inglesa consta de 26 cartas rojas (diamantes y corazones) y 26 negras (espadas y tréboles), y hay
13 cartas por palo como se muestra en la figura.
Sea que la carta sea espada y que la carta sea roja, pero el evento de que la carta seleccionada sea espada y
roja, no es posible que pueda suceder, ya que no existen cartas de espadas rojas (todas las espadas son negras).
Por lo tanto, el tercer término de la fórmula para la suma será 0 (por la propiedad 2 de la probabilidad) por lo que
puede omitirse. De ahí que:
) .
En este ejemplo se vio que el evento sea “espada y roja” tiene probabilidad cero porque, al tomar sólo una carta no es
posible que la espada y el color rojo salgan al mismo tiempo. De forma general, cuando dos eventos no pueden darse
al mismo tiempo se dice que son mutuamente excluyentes. (En teoría de conjuntos recuerda que a dichos eventos se
les denomina “ajenos” o “disjuntos”).
Para cualesquiera dos eventos mutuamente excluyentes, la regla de la suma de probabilidades adquiere una
forma más sencilla.
Regla especial para la suma de probabilidades
Si y son dos eventos mutuamente excluyentes en un experimento dado, entonces:
) ) )
) ) )
A menudo es posible encontrarse con casos en los que necesitan considerarse composiciones de más de dos
eventos. Cuando cada evento asociado es mutuamente excluyente de todos los demás, puede aplicarse una
extensión de la regla especial de la suma.
Ejemplo 11. Ana cree que existe una pequeña probabilidad de que pueda terminar su tarea en tan sólo una hora esta
noche. De hecho, si representa el número de horas dedicadas a la tarea, entonces ella asigna probabilidades a los
diferentes valores de , como se muestra en la siguiente tabla:
)
1 0.05
2 0.10
3 0.20
4 0.40
5 0.10
6 0.15

20
(Se está suponiendo que el tiempo real necesario se redondeará a la hora más cercana y que no tomará menos de
una hora ni más de 6. Los 6 períodos determinados son mutuamente excluyentes entre sí, ya que si Ana requiere de 3
horas para hacer su tarea, entonces no necesitará ni 2 horas, ni 4 horas, ni cualquiera de las otras opciones, para
terminar su tarea).
Determina la probabilidad de que Ana termine su tarea en cada uno de los siguientes períodos:
a) Menos de 3 horas.
“Menos de 3 horas” significa 1 o 2, esto se puede expresar con la siguiente desigualdad ) Por lo tanto
) .
b) Más de 2 horas.
Utilizando una desigualdad como el caso anterior “más de 2 horas” se expresa )significando esto que
sean 3 o 4 o 5 o 6 horas, por lo que:
) ) ) ) )
) .
c) Más de una hora, pero no más de 5.
Es decir estudiar 2 o 3 o 4 o 5, esto es ), por lo que
)
Eventos compuestos que incluyen el conectivo “y”
En el párrafo anterior se desarrollaron reglas para determinar la probabilidad de eventos de la forma .
Básicamente se sumaron las probabilidades del evento y del evento , cuando los eventos son mutuamente
excluyentes o ajenos, debiendo ajustar la fórmula restando la probabilidad del evento en aquellos casos donde
los eventos no son mutuamente excluyentes.
Ahora se considera, de manera general, cómo determinar la probabilidad de cualquier evento de la forma .
Ejemplo 12. En una clase universitaria de ciencias hay 30 alumnos, de los cuales 5 estudian física, 15 matemáticas y
10 biología. De estos mismos, 22 son mujeres y el resto hombres. Si se escoge un estudiante al azar para pasar al
pizarrón, ¿cuál sería la probabilidad de que este sea hombre y estudiante de matemáticas?
De acuerdo al diagrama de árbol, la tarea consta de dos etapas. Primero se calculará la probabilidad del evento
que sea hombre. Para esto se sabe que son 30 alumnos (casos posibles) y que de ellos 22 son mujeres, por lo que 8
son hombres (casos favorables). Por medio de la fórmula de probabilidad teórica se tiene:
)
22 mujeres
8 hombres
5
15
10
Física
Matemáticas
Biología
5
15
10
Física
Matemáticas
Biología

21BLOQUE 1
Ahora se calculará la probabilidad del evento ser estudiante de matemáticas. Recuerda que 30 son los casos
posibles, y que de estos, 15 estudian matemáticas (casos favorables). Así se tiene que:
)
La probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente, será el producto de las probabilidades de cada
suceso. Es decir:
) ( ) ( )
Ejemplo 13. Si se elige un número de manera aleatoria del conjunto { } determine la probabilidad
de que el número seleccionado sea par y múltiplo de 3.
El espacio muestral para este caso es todo el conjunto proporcionado
{ },
Sea que el número sea par y que el número sea múltiplo de 3, entonces:
{ } { }
El evento compuesto corresponde al conjunto ( ) { }. Por lo tanto por medio de la fórmula de
probabilidad teórica,
) .
La fórmula general de probabilidad del evento , que se verá más adelante, exigirá que se multipliquen las
probabilidades individuales del evento . Pero, como se muestra en el ejemplo 13, eso debe hacerse con
precaución. Aunque ) y ) , al multiplicar simplemente estos dos números se hubiera obtenido
.
Lo cual es incorrecto; el procedimiento correcto es calcular la probabilidad del segundo evento bajo la suposición de
que ha ocurrido el primer evento (o está ocurriendo u ocurrirá, pues el tiempo carece aquí de importancia). Este tipo
de probabilidad, calculada bajo alguna suposición especial, se conoce como probabilidad condicional, que se
estudiará en el siguiente bloque.

22
En equipo resuelvan los siguientes problemas.
1. Se considera el tipo de secadora de ropa (de gas o eléctrica) comprada por cinco clientes de
una tienda. Si la probabilidad de que a lo más uno compre secadora eléctrica es de 0.087.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 compren secadora eléctrica?
2. El evento 𝐴 es que el próximo préstamo de una biblioteca sea un libro que no es de ficción y 𝐵 que sea de
ficción. Supongamos que 𝑃 𝐴) y 𝑃 𝐵) .
a) Calcula 𝑃 𝐴 𝑐)
b) Calcula 𝑃 𝐴 𝑜 𝐵)
3. Las tres opciones preferidas en cierto automóvil nuevo son:
 Transmisión automática 𝐴)
 Dirección hidráulica 𝐵)
 Seis cilindros 𝐶)
Se sabe que: el 70% de los compradores piden 𝐴; el 80% pide el tipo 𝐵, 75% piden 𝐶; 85% piden 𝐴 𝑜 𝐵; 90%
𝐵 𝑜 𝐶; 98% piden 𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝐶.
a) Elabora un diagrama de Venn Euler para representar los tres eventos.
Actividad: 2

23BLOQUE 1
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:
Saberes
Reconoce las propiedades y
reglas de la probabilidad.
Calcula la probabilidad de eventos
simples y compuestos mediante
las propiedades y reglas de la
probabilidad.
Aporta ideas y respeta las
aportaciones de sus
compañeros.
Autoevaluación
docente
Sitios Web recomendados:
Ingresa a los siguientes sitios para que consultes y dispongas de información de
interés:
http://www.wiris.net/planetamatematico.com/whiteboard/es/index-sta.htm
http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI
http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k
http://www.youtube.com/watch?v=wPmi1pcoDq8
http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k&playnext=1&list=PL03A6D9A990D7F560
http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E08
http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI&feature=fvsr
b) Determina la probabilidad de que un comprador elija al menos una de las tres opciones.
c) Determina la probabilidad de que un comprador no seleccione ninguna de las tres opciones.
4. La madrina de recuerdos de una boda ha comprado dos tipos de arreglos: 50 velas y 50 centros de mesa
para los invitados, ¿cuál es la probabilidad de que a un invitado le toque recuerdo de vela o centro de mesa,
si es que llegaron 150 invitados y a cada uno sólo le obsequian un recuerdo?
5. Si se lanzan 2 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos?

24
Cierre 
Resuelve los siguientes problemas.
1. En el último año las compañías de teléfonos han hecho grandes esfuerzos para atraer nuevos
clientes. Supón que en una muestra de 400 familias una compañía telefónica obtuvo
información sobre el interés de planes de larga distancia y sobre las necesidades semanales
de realizar llamadas de larga distancia internacional. Los datos de esta encuesta se presentan
en la siguiente tabla.
Necesidad de llamar semanalmente al exterior
Adherido a algún plan de larga distancia
Total
Si No
Si 120 120 240
No 30 130 160
TOTAL 150 250 400
A partir de la información de la tabla:
a) Proporciona un ejemplo de evento simple y determina su probabilidad
b) ¿Cuál es el evento complemento de tener necesidad de llamar semanalmente al exterior?, ¿qué probabilidad
tiene?
Si se selecciona una familia de las encuestadas al azar:
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga necesidad de llamar al exterior y esté adherida a un plan de
larga distancia?
Actividad: 3

25BLOQUE 1
d) ¿Cuál es la probabilidad que la familia seleccionada no se haya adherido a ningún plan de
larga distancia?
e) Di si los eventos 𝐴 ∶ Está adherido a un plan de larga distancia y 𝐵 Tiene necesidad de llamar al exterior
semanalmente, son mutuamente excluyentes. Justifica tu respuesta.
2. De 46 alumnos de un grupo, 18 juegan futbol, 16 juegan beisbol y 14 volibol.
2 alumnos juegas los 3 deportes
3 alumnos juegan futbol y beisbol
2 alumnos juegan futbol y voleibol
3 alumnos juegan beisbol y voleibol
Elabora un diagrama de Venn Euler. Si escogemos al azar un alumno: ¿Cuál es la probabilidad de que…:
a) juegue futbol o beisbol?
b) juegue volibol?
c) no juegue volibol?
d) practique los tres deportes?
e) juegue futbol o volibol?
f) no juegue volibol o beisbol?
3. Simultáneamente se arrojan un dado y una moneda. Escribe el espacio muestral y contesta a las siguientes
preguntas.
a) Las parejas resultantes son:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 4?

26
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


Evaluación
Saberes
Comprende las propiedades y
reglas de la probabilidad, tanto
en eventos simples como en
compuestos.
Aplica propiedades y reglas de
probabilidad para calcular la
probabilidad de eventos.
Realiza la actividad mostrando
interés en la misma, externando
sus ideas.
Autoevaluación
docente
c) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un sello?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan 4 y un sello?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan una cara y un 5?
4. Un cubo de madera se pinta de blanco y lego se separa en cubitos (como indica la figura) Si se escoge uno
de estos cubitos al azar, ¿qué probabilidad hay de que…:
a) tenga 6 caras blancas?
b) tenga 3 caras blancas?
c) tenga una cara blanca?
d) no tenga caras blancas?
e) no tenga ninguna cara blanca?

27BLOQUE 1
Secuencia didáctica 2.
Inicio
Desarrolla lo que se solicita.
1. Considera un club con cinco miembros: Andrea, Beto, Carla, Daniel y Eva, para abreviar
usaremos las letras 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 (suponiendo que todos los miembros son elegibles).
a) Elabora una lista de las diferentes formas de elegir estos tres puestos.
Presidente, secretario, tesorero
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
b) Si se eligen dos personas como representantes del Club, en la presentación de una conferencia, ¿de cuántas
y cuáles formas se pueden elegir? Utiliza la siguiente tabla como apoyo para la selección.
A:Andrea B:Beto C:Carla D:Daniel E:Eva
A:Andrea
B:Beto
C:Carla
D:Daniel
E:Eva
2. Escribe en la tabla todos los números de dos dígitos que se pueden escribir con los números { }.
2do. dígito
1er.dígito
1 2 3
1
2
3
Actividad: 1

28
3. En una tabla escribe todos los posibles resultados que se obtienen cuando se lanzan dos
dados comunes.
4. A: Andy, B: Betty, C: Clau y D: Dany, tienen boletos para cuatro asientos reservados en primera fila para un
concierto de rock. Escribe 3 maneras diferentes en las que pueden sentarse, de modo que Andy y Betty
estén juntos.
_________,________,_______,__________
_________,________,_______,__________
_________,________,_______,__________
5. ¿Cuántos triángulos comprende la figura? Comenta con tus compañeros la forma de conteo que utilizaste
para obtener la respuesta.
________ triángulos.

29BLOQUE 1
Evaluación
Actividad: 1 Producto: Esquemas. Puntaje:
Saberes
Identifica diferentes formas de
conteo.
Construye los posibles resultados
de un proceso de conteo.
Muestra interés y apertura en el
desarrollo de la actividad.
Autoevaluación
docente
6. En un restaurante se prepara un menú que consta de 3 sopas (tortillas, verduras y fideos), 2
guisados (estofado y pescado) y 3 sabores de helado como postre (nuez, chocolate y
queso). Apoyándote del esquema, escribe 5 formas diferentes en las que puedes combinar
los platillos del menú.
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______

30
Desarrollo
Conteo mediante una lista sistemática.
En esta secuencia se tratarán las cuestiones elementales de teoría combinatoria, que puede definirse como la parte
de la Matemática que se dedica al estudio de los problemas relativos al cálculo del número de formas diferentes en
que pueden agruparse una cantidad dada de objetos que poseen características determinadas cuando se toman
todos o algunos de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier
naturaleza: números, personas, objetos, empresas, artículos producidos por una fábrica, entre otros.
La teoría combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que se pueden obtener bajo algún modo de
composición de los elementos, teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellos. Para ello, distingue
básicamente tres diferentes formas que hay para llevar a cabo estos agrupamientos: Permutaciones y
Combinaciones.
Para calcular probabilidades, es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado, o la cantidad de
elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que se pueden formar tomando algunos de los elementos. A
menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa, sin embargo, para poder contar resulta de mucha utilidad el
llamado Principio fundamental de conteo y los aportes realizados por la teoría combinatoria.
Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posibles
resultados para una determinada tarea. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. Hay otros métodos
desarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas.
Cuando se listan todos los posibles resultados, es muy importante emplear un método sistemático. Si sólo enlistas las
posibilidades conforme se te van ocurriendo, es muy probable que se te olvide nombrar algunas.
Ejemplo 1. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números{ }.
Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar un primer dígito, luego elegir el segundo. Los resultados pueden
representarse en una tabla de la siguiente manera:
2do. dígito
1er.dígito
1 3 5 7
1 11 13 15 17
3 31 33 35 37
5 51 53 55 57
7 71 73 75 77
Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11,13, 15, 17, 31, 33, 35,37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.
Existen 16 posibilidades. Como ves, sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidar
ninguno de ellos.
Cuando una tarea consta de más de dos etapas, no es fácil analizarla mediante una tabla, ya que necesitarías una
tabla de más de dos dimensiones, que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. Otra herramienta útil es el
diagrama de árbol, como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 2. La impresora de la computadora de una oficina permite configuraciones especiales con un panel de cuatro
conmutadores en hilera. ¿Cuántas configuraciones diferentes pueden seleccionarse, si ningún par de conmutadores
adyacentes puede estar apagado al mismo tiempo?

31BLOQUE 1
Esta situación es característica de opciones seleccionadas por el usuario de diferentes dispositivos, como son los
equipos de computación, los mecanismos para abrir una puerta de cochera y otros equipos. En el diagrama de árbol
se representa el “encendido” con el número 1, y “apagado” con el 0 (una práctica común).
Observa que cada vez que un conmutador indica que está apagado (0) en el diagrama de árbol, el siguiente
conmutador sólo puede estar encendido (1). Esto es para satisfacer la restricción de que ningún par de conmutadores
adyacentes puede estar al mismo tiempo apagado. Por tanto, son 8 las configuraciones diferentes que pueden
seleccionarse.
Ejemplo 3: Una familia desea adquirir una vivienda en cierta zona de la ciudad, y se le presentan las siguientes
posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuántos tipos posibles de
vivienda tiene a disposición?
El diagrama de árbol facilitará el listado de los posibles resultados.
Existen dos etapas para esta tarea; se tienen 2 opciones para la primer etapa (casa o apartamento) y 3 opciones para
la segunda (número de dormitorios). Por lo que son 6 los posibles tipos de vivienda que la familia tiene a disposición.
Ejemplo 4. ¿Cuántos triángulos comprende la figura?
1er.
Conmutador
2do.
Conmutador
0 1
1
0
1
0
1
3er.
Conmutador
1
0
1
4to.
Conmutador
1
0
0
1
1
0
1
1
Configuración
de los
conmutadores
0101
0110
0111
1010
1011
1101
1110
1111
G F
D
CBA
E
H
I
1 Dormitorio
Casa
Apartamento
2 Dormitorios
3 Dormitorios
1 Dormitorio
2 Dormitorios
3 Dormitorios

32
Un método sistemático es marcar los puntos, como se muestra en la figura, iniciando con A, luego proceder en orden
alfabético para escribir todas las combinaciones de tres letras y, finalmente, tachar las que no son triángulos en la
figura.
Por último en la figura hay 16 triángulos diferentes ¿Por qué no están incluidas las ternas y (y muchas otras)
en la lista?
Otro método podría ser identificar primero los triángulos que constan cada uno de una sola región:
. Luego, listar los que constan de dos regiones cada uno: ; y
los de cuatro regiones cada uno: . No hay triángulos de tres regiones. El total es nuevamente 16
triángulos.
Observa en todos estos ejemplos que utilizar un sistema definido asegurará una lista completa de todos los posibles
resultados para varias tareas. Sin embargo, si el número total de posibles resultados es todo lo que necesitas saber,
entonces no es necesario elaborar una lista, ya que con frecuencia es muy tedioso y díficil obtenerla, en especial
cuando la lista es larga, como es el caso del ejemplo 3. Enseguida, verás formas de calcular “cuántos” por medio del
principio fundamental de conteo.
En equipos de cuatro, desarrollen lo que se solicita.
1. De todos los posibles resultados del lanzamiento de dos dados, escriban las parejas de
números para los que la suma (de los puntos de la cara de ambos dados) sea la siguiente:
Suma Resultados
2
8
Par
Entre 6 y 10
De 6 a 8
Menor que 5
Impar
7
2. Elaboren una tabla donde escriban todos los posibles números de 2 dígitos que se pueden formar con el
conjunto de números { } suponiendo que:
a) Se permite repetir los dígitos.
Actividad: 2

33BLOQUE 1
b) No se permite repetir los dígitos.
3. De los treinta y seis números de la tabla del problema 2, listen los que pertenecen a cada una de las
siguientes categorías.
a) Números impares.
b) Números primos.
c) Números con dígitos repetidos.
d) Potencias de dos.
e) Múltiplos de 6.
f) Números cuadrados.
4. Elaboren un diagrama de árbol donde se muestren todos los resultados posibles cuando se lanzan tres
monedas. Luego listen los resultados:
a) Al menos dos caras.
b) Menos de dos caras.
c) Más de dos caras.
d) No más de dos caras.

34
Evaluación
Actividad: 2
Producto: Listas sistemáticas de
conteo
Puntaje:
Saberes
conteo.
Representa sistemáticamente los
posibles resultados de un proceso
de conteo.
Aprecia la facilidad de la
sistematización en el conteo.
Es respetuoso con sus
compañeros y aporta ideas en la
resolución de la actividad.
Autoevaluación
docente
5. En el patrón que se observa abajo, los puntos están a una unidad de distancia, tanto horizontal
como vertical. Si un segmento puede unir dos puntos cualesquiera, ¿cuántos segmentos
pueden dibujarse con cada una de las longitudes siguientes?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
________, _________, __________, ____________, _________
6. Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendo
que no hay restricciones para los interruptores elaboren un diagrama de árbol para listar todas las posibles
activaciones del panel.
7. Cuando se lanzan dos dados se tienen 36 resultados diferentes, ¿cuántos habrá si se tiran tres dados?

35BLOQUE 1
El principio fundamental de conteo también conocido como regla de la multiplicación se puede utilizar para
determinar los posibles resultados cuando una tarea consta de varias etapas, esto es, que hay dos o más
características que pueden variar. Este principio establece que todos los posibles resultados en una situación dada se
pueden encontrar multiplicando el número de formas en la que puede suceder cada evento.
Ejemplo 1. ¿Cuántos números de dos dígitos hay en nuestro sistema (base diez) de números naturales? La “tarea” es
seleccionar, o diseñar, un número de dos dígitos. Esta labor consta de dos partes o etapas.
Primera etapa:
Seleccionar el primer dígito. Aunque 80 es un número de dos dígitos, 08 no lo es; por lo que hay nueve formas de
seleccionar el primer dígito (de 1 a 9).
Segunda etapa:
Seleccionar el segundo dígito. Como ya se mencionó, el cero es posible para esta etapa; de aquí que haya 10 formas
de seleccionar el segundo dígito (de 0 a 9).
Por lo tanto, el número total de posibilidades es .
En este ejemplo, el segundo dígito podría haberse elegido primero, con diez opciones posibles. Luego, hay nueve
opciones para el primer dígito. Nuevamente, el total es .
Ejemplo 2. ¿Cuántos números de dos dígitos no contienen dígitos repetidos? (por ejemplo 66 no se permite).
La tarea básica, de nuevo, es seleccionar un número de dos dígitos y hay dos etapas o partes para hacerlo.
Primera etapa:
Elegir el primer dígito. Como el número debe estar formado por dos dígitos, no se considera el cero para esta etapa,
ya que, 01, 02, 03, en realidad son números de un dígito. Por lo tanto hay nueve opciones posibles para el primer
dígito (de 1 a 9).
Segunda etapa:
Elegir el segundo dígito. La restricción del número de dos dígitos es que estos no se repitan, por lo tanto, se debe de
descartar el dígito seleccionado en la primera etapa, esto daría como resultado 8 opciones, pero se debe considerar
el 0 como una opción para el segundo dígito, ya que si tiene sentido hablar de 20, 30, 40 como números de dos
dígitos por ejemplo. Luego quedan nueve opciones para el segundo dígito.
Por lo que el número total de posibilidades de elegir un números de dos cifras de las cuales estas no se repitan
es .
𝑛 𝑛 𝑛 ⋯ 𝑛 𝑘
Principio fundamental de conteo
Cuando una tarea consiste en 𝑘 etapas separadas, si la primera puede realizarse
en 𝑛 formas, la segunda en 𝑛 formas, etc., hasta la 𝑘 é𝑠𝑖𝑚𝑎 etapa, que puede
hacerse de 𝑛 𝑘 formas, entonces el número total de resultados posibles para
completar la tarea está dado por el producto

36
Si se hubiera empezado por el segundo dígito en el ejemplo 2, como en el caso anterior, se habrían tenido problemas,
porque después de observar que existen 10 opciones para el segundo dígito, no sería posible decidir el número de
opciones para el primer dígito, ya que no hay manera de saber si el segundo dígito fue cero u otro distinto de cero.
Para evitar esta clase de ambigüedades, es mejor empezar por cualquier parte de la tarea que tenga alguna
restricción especial. En ambos ejemplos el primer dígito está restringido a que no puede ser cero, así que considéralo
primero.
Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras puede un grupo escolar elegir de entre 5 candidatos, 3 mujeres y 2 hombres, a su
presidente, secretario y tesorero, si el secretario debe ser hombre?
Como la restricción especial se aplica al secretario, considera primero ese cargo. Hay dos opciones, luego quedan
cuatro opciones para presidente (las tres mujeres junto con el hombre que no quedó como secretario). Por último hay
tres opciones para tesorero (las tres personas que hasta el momento no han sido elegidas para un cargo). El número
total de formas es .
Ejemplo 4. ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay en nuestro sistema de números de conteo (naturales)?
La tarea de seleccionar un número de cuatro dígitos se compone de cuatro etapas. No hay restricción asociada, salvo
que el primer dígito debe ser distinto de cero. Por lo que hay posibles números de cuatro
dígitos.
Ejemplo 5. La numeración de las placas de matrícula para carros particulares en México, se
compone de 3 letras seguidas de 4 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes son posibles, antes
que sea necesario un nuevo esquema?
La tarea básica es diseñar una numeración que conste de tres letras seguidas por tres
dígitos. Hay seis partes o etapas que componen esta tarea. Como no hay restricciones sobre las letras o los dígitos
que se utilizarán, considerando que el alfabeto tiene 26 letras, el principio fundamental de conteo muestra que existen.
placas.
Mediante el principio fundamental de conteo resuelve lo siguiente:
1. Explica con tus propias palabras el principio fundamental de conteo.
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
2. Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendo
que no hay limitaciones para los interruptores, utiliza el principio fundamental de conteo para determinar el
número total de posibles activaciones.
Actividad: 3

37BLOQUE 1
3. Suponiendo que no hay restricciones, elabora un diagrama de árbol para listar todas las
posibles activaciones del panel del problema 2.
4. Del problema 2, considera que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado. Puedes usar
el principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones. Argumenta tu
respuesta.
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
5. Construye un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel con la restricción del
problema 4.
6. El club de porristas formado por los siguientes elementos {𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑠 𝐵𝑒𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡 𝑦 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑 𝐸𝑚𝑚𝑎}, se está
preparando para una presentación en su escuela.
a) ¿De cuántas maneras pueden alinearse en una fila los cinco miembros para una fotografía?
b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dos miembros uno para iniciar la presentación y otro para
clausurarla, dado que Beto no estará presente?
c) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse un hombre y una mujer para que hagan la decoración del
escenario?

38
Factoriales.
La cantidad de números de cuatro dígitos diferentes que se pueden formar puedes calcularla como sigue
. Como este tipo de producto aparece con mucha frecuencia en las aplicaciones, se le conoce con un nombre
y un símbolo.
Por ejemplo evalúa el factorial de las siguientes cantidades:
a) ) ) ) 1.
b) )
c) ( )
d) .
e)
⋯
Observa las diferencias entre los incisos c) y e) y entre los incisos b) y d) anteriores.
Con el fin de que el factorial sea definido para todos los números naturales, incluido el cero, se define el cero factorial
de la siguiente manera.
Más adelante te darás cuenta que esta definición especial hace que otros resultados sean más fáciles de expresar.
Siempre que necesites conocer el número total de formas de ordenar o acomodar un número de objetos distintos,
puedes utilizar un factorial, el principio fundamental de conteo lo hace, como ya lo vimos con anterioridad, pero los
factoriales proporcionan una forma más corta.
Evaluación
Saberes
Comprende el principio
fundamental de conteo en la
solución de problemas
cotidianos.
Utiliza el principio fundamental de
conteo para solucionar problemas
cotidianos.
Se interesa en el análisis de los
problemas.
Autoevaluación
docente
Fórmula de factorial
Para cualquier número natural (número de conteo) 𝑛, el producto de todos los
números naturales de 𝑛 a 1, se denomina 𝒏 factorial, se denota con 𝑛 y está dada
por:
𝑛 𝑛 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 ) .

39BLOQUE 1
Ejemplo 1. Emilia tiene nueve trabajos que incluir en su portafolio de evidencia en la asignatura de química. ¿De
cuántas formas diferentes puede acomodarlos?
Si el portafolio tuviera secciones como folders, para acomodar el primer trabajo, Emilia tendría nueve posibles lugares
donde acomodarlo; para el segundo trabajo tendría ocho posibles lugares, puesto que el primero ya ocupa un lugar,
para el tercero tendría siete posibles lugares, y así sucesivamente hasta acomodar el último trabajo que sólo tendría
una opción de acomodo. Por lo que el número de formas de acomodar nueve objetos distintos es.
.
Ejemplo 2. Cada vez que Ana, bibliotecaria de una escuela, tiene que acomodar las nuevas adquisiciones de libros, lo
hace de tal manera que todos los libros de la misma asignatura queden juntos. Si le llegaron 12 libros de Álgebra de
distintas editoriales, ¿de cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?
Doce libros de Álgebra pueden acomodarse entonces de:
.maneras diferentes.
Si compruebas este resultado con el principio fundamental de conteo, te darás cuenta que, para acomodar el primer
libro tiene 12 maneras distintas de hacerlo, luego para acomodar el segundo libro tiene 11 maneras de hacerlo puesto
que el primer libro ya ocupó un lugar, para el tercer libro entonces, tiene 10 maneras de colocarlo, siguiendo este
proceso, al colocar el último libro, éste tendrá sólo una manera de ser colocado, por lo que las maneras
diferentes de acomodar los 12 libros de álgebra puede ser expresada por el producto:
.
Para facilitar la tarea de cálculo del factorial de un número, las máquinas calculadoras cuentan con una tecla que te
proporciona el resultado directo. La función o , dependiendo del modelo, se activa presionando la tecla de
segunda función (que en algunas máquinas es la tecla SHIFT, 2nd F o INV). Así, para calcular tienes que presionar
primero el número, después la tecla de factorial previamente activada con SHIFT.
𝑛
Ordenamiento de 𝒏 objetos
El número total de formas diferentes para acomodar 𝑛 objetos es :

40
Contesta a los siguientes cuestionamientos.
1. Describe de qué manera conviene usar el factorial en problemas de conteo.
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
2. Explica si los siguientes resultados son o no verdaderos, en general, y justifica tu respuesta con ejemplos
específicos.
a) 𝑚 𝑛) 𝑚 𝑛
b) 𝑚 ∙ 𝑛) 𝑚 ∙ 𝑛
3. Sin utilizar calculadora evalúa las siguientes expresiones.
a)
b)
− )
c)
d)
− )
e)
− )
Actividad: 4

41BLOQUE 1
Evaluación
Actividad: 4 Producto: Ejercicios. Puntaje:
Saberes
Reconoce y describe la utilidad
del factorial.
Aplica la definición de factorial para
obtenerlo.
Realiza el ejercicio con limpieza y
claridad.
Autoevaluación
docente
4. Emma tiene siete ensayos que incluir en su carpeta de Inglés ¿De cuántas formas diferentes
puede acomodarlos?
5. Cada vez que Laura lleva al parque a los nueve niños que tiene a su cuidado, todos ellos quieren estar
siempre al frente de la fila. ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?
Ingresa a los siguientes sitios para que consultes e interactúes,
calculando el número de formas en las que se pueden agrupar un
número de objetos.
http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/
http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm

42
Cierre
1. El código postal de Nicasio Mendoza es 83120. ¿Cuántos códigos postales de cinco dígitos
en total pueden formarse utilizando todos los dígitos del código postal de Nicasio?
2. El restaurante La Casa Loma ofrece cuatro opciones en la categoría de sopa y ensalada (dos sopas y dos
ensaladas), dos opciones en la categoría de pan, y tres opciones en la categoría de platillo fuerte. Determina
el número de comidas disponibles en cada uno de los siguientes casos:
a) Se debe incluir un elemento de cada una de las tres categorías.
b) Sólo se incluirá una sopa y un platillo fuerte.
c) Sólo se incluirá una sopa, un pan y una ensalada.
3. Un distribuidor de equipo musical tiene diez guitarras diferentes, cuatro estuches para guitarra, seis
amplificadores y tres procesadores de efectos, con todos los artículos compatibles y todos adecuados para
principiantes. ¿Cuántos equipos completos puede Leo seleccionar para iniciar su carrera musical?
4. Jorge guarda cuatro libros de texto y tres novelas en su escritorio. ¿De cuántas maneras diferentes los
puede acomodar en una hilera? si:
a) Los libros de texto deben estar a la izquierda de las novelas.
b) Las novelas deben ir juntas.
c) Ningún par de novelas debe estar junto.
5. Andy (A), Betty (B), Claudia (C), David (D), Emma (E) y Fernando (F) tenían reservados seis lugares en la fila
de un teatro, iniciando en un asiento de pasillo.
a) Si A se sentó primero, ¿cuántos asientos están disponibles para él?
b) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para B?
c) Ahora, ¿cuántos para C?
Actividad: 5

43BLOQUE 1
d) Ahora, ¿cuántos para D?
e) Ahora, ¿cuántos para E?
f) Ahora, ¿cuántos para F?
g) Ahora multiplica las seis respuestas anteriores.
6. ¿De cuántas formas pueden sentarse de modo que Andy y Betty estén juntos? Apóyate de siguiente
esquema, primero da respuesta a la siguiente serie de preguntas.
1 2 3 4 5 6
X X — — — —
— X X — — —
— — X X — —
— — — X X —
— — — — X X
a) ¿Cuántos pares de asientos pueden ocupar A y B?
b) Ahora, dados los dos asientos para A y B, ¿en cuántos órdenes pueden sentarse ellos?
c) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para C?
d) ¿Cuántos para C?
e) ¿Cuántos para D?
f) ¿Cuántos para E?
g) ¿Cuántos para F?

44
Evaluación
Saberes
Distingue el uso del principio
fundamental de conteo y
factoriales en problemas de
aplicación.
Aplica el principio fundamental de
conteo en la resolución de
problemas cotidianos.
Expresa sus dudas y corrige sus
errores.
Autoevaluación
docente
7. Rodrigo es estudiante de Ciencias en Computación, está preparando su calendario de clases
del próximo semestre, que debe incluir una clase de cada una de las cuatro categorías que se
muestran aquí.
Inscripción en universidades locales, 2005.
Categoría Opciones Número de opciones
Inglés Literatura contemporánea 3
Redacción
Poesía moderna
Matemáticas Álgebra 2
Trigonometría
Ciencias de la computación
Introducción a las hojas de cálculo
Procesadores avanzados de texto
Programación en C
Programación en R
4
Sociología
Problemas sociales
Sociología de Latinoamérica
4
La mujer en la cultura hispana
Minorías étnicas
Total 13
Origen: Datos ficticios, solamente a modo de ilustración.
Utiliza la tabla para que determines el número de formas que tiene Rodrigo de elegir su horario, si:
a) Todas las clases mostradas están disponibles.
b) No puede tomar Álgebra ni Programación en R.
c) Todas las secciones de Minorías étnicas y la mujer en la cultura hispana ya están llenas.
d) No cumple con los requisitos previos para la literatura contemporánea y programación en C.
e) Se retiraron los fondos para tres de los cursos de computación y para dos de los cursos de sociología.

45BLOQUE 1
Secuencia didáctica 3.
Teoría combinatoria.
Inicio
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙
Desarrolla lo que se solicita.
1. Simplifica las siguientes expresiones:
2. Evalúa cada expresión con ayuda de una calculadora.
a)
b)
− )
c)
d)
∙
Actividad: 1

46
3. Melvin quiere comprar cuatro libros diferentes, supongamos A, B, C, y D, pero sólo se puede
costear 2. Escribe en una lista las opciones de compra que Melvin puede hacer, y determina
cuántas son.
4. El club de porristas formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, quiere elegir a un presidente y a un
secretario, ¿de cuántas maneras pueden ser elegidos si nadie puede ocupar más de un cargo?
5. ¿Cuántos comités diferentes de tres miembros pueden elegirse del club de porristas del problema 4 de modo
que haya sólo una mujer en el comité?
6. Del conjunto formado por las letras {𝑎 𝑏 𝑐 𝑑}, elabora una lista de todas las permutaciones de tres elementos
que se puedan formar. Anótalos en la siguiente tabla.
7. Del mismo conjunto del problema 1, lista ahora los subconjuntos de tres elementos que se pueden formar.
Considerando que los subconjuntos 𝑎 𝑏 𝑐) 𝑎 𝑐 𝑏) 𝑏 𝑎 𝑐) por ejemplo, son el mismo.

47BLOQUE 1
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Ejercicios y problemas
aplicados.
Puntaje:
Saberes
conteo.
Determina el número de posibles
resultados mediante principio
fundamental de conteo y
factoriales.
Muestra interés y apertura en el
desarrollo de la actividad.
Autoevaluación
docente
8. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es la
probabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey?
Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos:
Espadas negras.
Corazones rojos.
Diamantes rojos.
Tréboles negros.
El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominaciones
As, 2, 3,…,9, 10, J, Q, K.
9. Lupita toma tres bolas, sin reemplazo, de la urna mostrada abajo. Determina la probabilidad de que las bolas
que obtenga sean negra, blanca y gris, en ese orden (sabiendo que la urna contiene 3 bolas grises, 10
negras y 7 blancas).
10. Si se sacan cinco cartas, sin reemplazo, determina la probabilidad de que todas sean de corazones.
11. Elabora una lista de los comités diferentes de tres miembros que podrían designar el club formado por
Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, de modo que haya sólo un hombre.
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
_________,________,_______
Actividad: 1

48
Desarrollo
Permutaciones.
En el bloque anterior viste el factorial como una manera de contar el número de ordenamientos o arreglos de un
determinado conjunto de objetos. Refrescando un poco la memoria, un ordenamiento es el número total de formas
diferentes para acomodar objetos, es decir, es el número total de arreglos o disposiciones diferentes que se pueden
formar con objetos. Por ejemplo, el club integrado por Andrés, Beto Cathy, David y Emma puede acomodarse en
una fila para tomarse una fotografía, en formas diferentes. { } { } { }
{ } son sólo 4 arreglos o disposiciones, escritos de manera abreviada, de los 120 que hay. Usar el factorial,
por lo común es más eficaz que aplicar el principio fundamental de conteo. También has utilizado listas, diagramas
de árbol, tablas y el principio fundamental de conteo para responder preguntas como: ¿de cuántas formas puede
elegir el club a un presidente, un secretario y un tesorero, sin que nadie pueda ocupar más de un cargo? Una vez
más, esto es cuestión de ordenamientos o arreglos. La diferencia es que sólo tres de los miembros, en lugar de los
cinco, están incluidos en cada caso.
Observa, el club tiene 5 maneras de elegir al presidente, cualquiera de ellos podría ser, una vez elegido al presidente,
ya que nadie puede ocupar más de un cargo, el club tiene 4 formas para elegir al secretario y 3 maneras de elegir al
tesorero. Algunos arreglos o disposiciones de esta elección, considerando que la primera entrada corresponde al
cargo de presidente, la segunda al secretario y la tercera al tesorero, son: { } { } { } { }
{ } { }. La respuesta, según el principio fundamental de conteo, es formas o arreglos
diferentes de hacer la elección. Los factores empiezan con el 5 y continúan de manera decreciente, al igual que en un
producto factorial, pero sin llegar a 1. (En este ejemplo, el producto se detiene cuando hay tres factores.) Otra forma
de elaborar la misma pregunta es: ¿cuántos arreglos o disposiciones hay de cinco cosas tomadas de tres en tres?
En el contexto de los problemas de conteo, con frecuencia los arreglos se conocen como permutaciones; el número
de permutaciones de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se denota por ). Como
el número de objetos que se acomodará no puede exceder el número total disponible, para este propósito se supone
que . Al aplicar el teorema fundamental de conteo para arreglos de este tipo, se obtiene:
) ) ) [ )]
Al simplificar el último factor se obtiene la fórmula siguiente.
Los factores de este producto empiezan de y descienden hasta que el número total de factoresque son . Esto se
debe a que el primer lugar del grupo puede estar ocupado por uno cualquiera de los elementos, mientras el
segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los elementos que no están en el primer lugar, es decir, por uno
de los ) elementos restantes, ya que los elementos deben ser diferentes. El tercer lugar puede estar ocupado
por cualquiera de los elementos que no están ni en el primer lugar ni en el segundo, es decir por uno cualquiera de
los ) elementos restantes. Si se continúa el razonamiento, para ocupar el é lugar se tendrán )
elementos posibles.
𝑃𝑘
𝑛
𝑛) 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 𝑘 )
Fórmula para las permutaciones
El número de permutaciones o arreglos de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos
de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, está dada por:

49BLOQUE 1
Ahora, el número de formas en las que el club puede elegir a un presidente, un secretario y un tesorero puede
denotarse por:
) ) ) ) ) ) )
Observa que en estos arreglos de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se cumple que:
 No entran todos los elementos.
 Sí importa el orden.
 No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los elementos son distintos.
Ejemplo 1. Evalúa cada permutación:
a) ) ) ;
Empieza en 4, disminuye hasta que haya dos factores.
b) ) ) ;
Empieza en 5, disminuye hasta que haya dos factores.
c) ) ) ) ;
Empieza en 7, disminuye hasta que haya tres factores.
d) ) ) ) ) ) ;
Empieza en 8, y utiliza cinco factores.
e) ) ) ) ) ) ;
Empieza en 5, y utiliza cinco factores.
Observa que . Para todos los números enteros positivos se cumple que:
.
(Esto es el número de posibles resultados de objetos distintos tomados todos a la vez).
En general las permutaciones también pueden relacionarse con los factoriales de la siguiente manera. Recuerda que:
) ) ) )
Al ampliar este producto hasta llegar a 1 se obtiene:
) ) ) ) ) ) ) )
Multiplicando la expresión de permutaciones , por un uno conveniente como se observa a continuación:
) ) ) ) ⋯ )
) ) ⋯ )
) ) ⋯ )
Tenemos en la parte del numerador de manera completa el factorial de , mientras que en la parte del
denominador se tiene el factorial de .
) ) ) ) ⋯ ) ) ) ⋯ ) )
) ) ⋯ ) )
Este cociente es igual a
− )
, y como se obtuvo multiplicando y dividiendo por la misma cantidad la expresión de
, por lo que debe ser igual a
Esta fórmula siempre puede utilizarse para evaluar permutaciones.

50
Si y son muy grandes, una calculadora con una tecla para factorial y ésta fórmula ahorrarán mucho trabajo
cuando se determinen permutaciones. O mejor aún, una calculadora con la tecla de cálculo directo para
permutaciones.
La fórmula anterior también muestra que cuando ). El número de permutaciones de elementos tomados de
en , (o todos a la vez) se calcula:
)
O también,
)
En otras palabras, el número de objetos tomados en grupos de 0 a la vez, es 1. Esto es razonable, puesto que,
hay una sola forma en que no se puede acomodar ninguno de los objetos.
Ejemplo 2. Calcular las permutaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.
) )
O bien,
Ejemplo 3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: { }?
Observa que se cumple inmediatamente que:
No entran todos los elementos. De los 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Es decir, los números 123, 231, 321 son distintos entre sí.
No se repiten los elementos. El enunciado pide que las cifras sean diferentes. Utilizando la fórmula de factorial
para las permutaciones, se tiene que:
Por lo que la cantidad de números de tres cifras diferentes que se pueden formar son:
Ejemplo 4. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: { }?
Del problema tienes que .
Para dar respuesta al problema, se tratará la situación por partes. Se sabe que el número a formar se compone de
tres dígitos, cdu, el primero de ellos es el dígito de las centenas, el segundo las decenas y el tercero las unidades.
Si notas en el conjunto de dígitos a seleccionar se encuentra el 0; el número que se quiere formar de tres cifras
diferentes, no puede comenzar por cero (excepto los de las matrículas, los de la lotería y otros casos
particulares), lo que significa que el primer dígito de la cifra (las centenas) lo puede ocupar sólo uno de los 5
números . Así que las formas en que se puede elegir el primer dígito con , es:
.
𝑃𝑘
𝑛
𝑛
𝑛 𝑘)
Fórmula factorial para las permutaciones
El número de permutaciones o arreglos, de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos
de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, puede calcularse como:

51BLOQUE 1
El segundo dígito del número de tres cifras, (las decenas) lo puede ocupar cualquier número del conjunto de
dígitos, menos el que se ocupó en las centenas, ya que los dígitos no se pueden repetir. De esta manera, con
las formas en las que se puede seleccionar este segundo dígito son:
.
Si te fijas, en el cálculo de esta última permutación van incluidas las formas en las que se puede seleccionar el
dígito de las unidades, que son 4, ya que el factor 5 representa el número de formas en las que se puede
seleccionar el dígito de las decenas. (Cabe mencionar que el 0 si puede ocupar el dígito de las decenas o el de
unidades). En la expresión de las permutaciones , esta calcula la cantidad de números de dos dígitos, es decir,
los números que se componen de decenas y unidades. Por lo que la cantidad de números de tres cifras que se
pueden formar con los 6 dígitos, es:
.
Ejemplo 5. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas, entre ellas la obra de un
novelista mexicano. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit (mención honorífica).
a) ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los cuadros de honor, la novela mexicana resulte ganadora?
a) De la información que proporciona el problema, 10 candidatos hacen que y 3 conforman el cuadro de
honor significa que .
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Se supone que cada candidato presenta una sola obra.
− )
cuadros de honor.
b) Recuerda que la probabilidad de un evento se calcula dividiendo los casos favorables entre los casos totales.
Así que de los 720 cuadros de honor que se pueden formar, en sólo 72 de ellos aparece el novelista mexicano
como ganador. Ya que si el mexicano es ganador, la posición de finalista la puede ocupar cualquiera de los 9
candidatos que quedan, y la posición de accésit puede ser ocupada por cualquiera de los 8 candidatos que
no han logrado una posición en el concurso. Por lo que la probabilidad de que en uno de los cuadros de
honor, la novela mexicana resulte ganadora es:
)
Ejemplo 6. De una caja que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4 se extraen sucesivamente 2 sin reposición, es
decir, sin devolverlas a la caja.
a) ¿Cuántas extracciones diferentes pueden resultar si se supone que interesa el orden de extracción?
.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones diferentes, se extraiga primero la bola 4?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones, la suma de los números de las bolas sea un número par?
a) Las diferentes posibilidades son todas las agrupaciones o arreglos de 2 bolas seleccionadas de las 4 que hay, es
decir, todos los pares ordenados posibles: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
extracciones diferentes.

52
b) De los pares ordenados posibles que han sido listados anteriormente, observa que solo en tres de ellos,
aparece la bola 4 en primer lugar de extracción, de modo que, la probabilidad de que de los pares
ordenados se extraiga primero la bola 4, es.
)
c) De la misma manera, de los pares ordenados, observa que cuatro son los pares que sumados sus números
dan un número par, por lo que la probabilidad que de las extracciones la suma de un número par, es.
)
Mediante la fórmula de permutaciones resuelve lo siguiente:
1. Determina el número de permutaciones (arreglos) en cada uno de los siguientes ejercicios.
a) 7 objetos tomados en grupos de 4 a la vez.
b) 12 objetos tomados en grupos de 3 a la vez.
c) 41 objetos tomados en grupos de 2 a la vez.
2. ¿Cuántas placas para carros de trabajo se pueden hacer, si cada placa consta de dos letras diferentes
seguidas de 3 dígitos diferentes? Considera que el alfabeto tiene 26 letras.
3. Del problema anterior, ¿cuántas placas pueden hacerse si el primer dígito no puede ser cero?
4. Explica cómo están relacionados los factoriales con las permutaciones.
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
Actividad: 2

53BLOQUE 1
Evaluación
Saberes
Conoce las características de
los arreglos a formar de un
conjunto de objetos.
Resuelve permutaciones mediante
problemas aplicados.
Aprecia la facilidad de utilizar
permutaciones en el conteo de
arreglos.
Autoevaluación
docente
5. En una carrera intervienen 3 nadadores: A, B y C. ¿Cuáles son los resultados posibles de la
carrera y cuántos son?
6. ¿Cuántos números distintos de 5 dígitos, se pueden formar con los dígitos del conjunto { }?
5. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de cada una de las palabras?
a) Tema
b) Campana
c) Estadística

54
Combinaciones.
Hasta aquí, has estudiado las permutaciones para evaluar el número de arreglos de objetos tomados en grupos de
a la vez, en donde no se permiten las repeticiones. El orden de los elementos fue importante. Recuerda que el club
formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, podía elegir a 3 directivos de:
) ) formas diferentes.
Por otro lado, con comités de tres miembros el orden no es importante. Los comités ) y
) no son diferentes. El número posible de comités no es el número de arreglos de tamaño 3, sino
que es en realidad, el número de subconjuntos de tamaño 3 (ya que el orden de los elementos que se listan en un
conjunto no tiene importancia).
Los subconjuntos en este nuevo contexto se denominan combinaciones. El número de combinaciones de objetos
tomados en grupos de a la vez (esto es el número de subconjuntos de tamaño , dado un conjunto de tamaño )
se escribe ).
La lista de todos los comités de tamaño 3 (subconjuntos) del club (conjunto) formado por {Andrea, Beto, Carla, Daniel
y Elsa} es:
{ } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { }.
Hay 10 subconjuntos de 3 elementos, de modo que diez es el número posible de comités de 3 miembros. Lo mismo
que con las permutaciones, las repeticiones no se permiten. Por ejemplo, { } no es un subconjunto válido de tres
elementos, al igual que { } no es un comité válido de tres miembros.
Para ver cómo encontrar el número de tales subconjuntos sin listarlos todos, observa que cada subconjunto
(combinación) de tamaño 3 da origen a seis arreglos (permutaciones) de tamaño 3. Por ejemplo, con la combinación
{ } se obtienen las 6 permutaciones { } { } { } { } { } { }.
Así, hay seis veces más permutaciones de tamaño 3, o desde otro punto de vista, hay un sexto más de
combinaciones que de permutaciones. Por lo tanto,
∙ ∙
El 6 aparece en el denominador ya que existen seis formas diferentes de acomodar un conjunto de tres objetos
(puesto que ∙ ∙ ). Generalizando de este ejemplo, objetos pueden acomodarse de formas diferentes,
con lo que se obtiene la fórmula siguiente.
Con anterioridad viste que las permutaciones se pueden expresar completamente en términos de factoriales:
)
Empleando esta fórmula, se obtiene:
− )
)
𝐶 𝑘
𝑛
𝑃𝑘
𝑛
𝑘
𝑛 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 𝑘 )
𝑘 𝑘 ) 𝑘 ) ) )
Fórmula de las combinaciones
El número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados en
grupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, está dada por:

55BLOQUE 1
Con este resultado, las combinaciones también pueden calcularse mediante factoriales. Empleando esta fórmula y
considerando el hecho de que , para cualquier número entero positivo :
− ) ∙
.
Esto significa que hay exactamente una combinación de objetos tomados en grupos de 0 a la vez. Lo que significa
que un subconjunto de objetos tiene exactamente un subconjunto “vacío”.
Observa que en estos subconjuntos de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se cumple que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los elementos son distintos.
Ejemplo 1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
Utilizando factoriales queda:
)
Ejemplo 2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités
diferentes se pueden formar?
Como en una combinación:
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana o Ana, Juan forman el mismo comité.
No se repiten los elementos. Una persona no puede ocupar dos puestos diferentes dentro del comité.
)
Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir los números del sorteo melate? ¿Cuál es la probabilidad de
ganar el sorteo?
Para jugar en el sorteo melate se tienen que elegir 6 dígitos entre los números del 1 al 54. El orden de los dígitos
que conforman el número elegido no importa, es decir, las posibilidades (2, 7, 18, 45, 34, 54), (34, 7, 54, 45, 2,
18), (7, 2, 34, 45, 18, 54), (2, 7, 18, 45, 34, 54), (54, 45, 18, 7, 34, 2), por mencionar algunas, son cubiertas por la
sexteta (2, 7, 18, 45, 34, 54).
Para dar respuesta a la primera pregunta del problema, hay que tener en cuenta en los subconjuntos a formar
que:
No entran todos los elementos, sólo 6 de los 54 números.
No importa el orden como ya vimos anteriormente.
No se repiten los elementos, es decir, no se repiten los números dentro de cada sexteta, por lo que hay:
)
maneras de elegir los números en el sorteo melate.
𝐶 𝑘
𝑛
𝑃𝑘
𝑛
𝑘
𝑛
𝑘 𝑛 𝑘)
Fórmula factorial para las combinaciones
El número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados en
grupos de𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, puede calcularse como:

56
Entonces la probabilidad de ganar el sorteo melate, es:
)
¿Conviene jugar al melate sabiendo que son tantas las opciones a elegir?
Como has visto a lo largo de este bloque, muchos problemas de conteo comprenden la selección de algunos
elementos de un conjunto dado. Las condiciones particulares del problema determinarán qué técnica específica
utilizar. Como la selección de la técnica apropiada es fundamental, considera las siguientes sugerencias.
1. Si los elementos seleccionados se pueden repetir, utiliza principio fundamental de conteo.
Ejemplo: ¿Cuántos números de cinco dígitos existen?
2. Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden es importante, utiliza permutaciones.
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden formar en una fila de una taquilla tres de siete personas?
3. Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden no es importante, utiliza combinaciones.
Ejemplo: ¿De cuántas formas se puede seleccionar un comité de cuatro de un grupo de 10 personas?
Mediante la fórmula de combinaciones resuelvan lo siguiente:
1. Explica en qué se diferencian las permutaciones y las combinaciones.
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
2. ¿Cuántos comités diferentes de cinco miembros podrían formarse de los 100 senadores de Estados Unidos?
3. Si dos puntos cualesquiera determinan una línea, ¿cuántas líneas están determinadas por siete puntos en un
plano, en el que ningún conjunto de tres puntos es colineal?
4. ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un cargamento de
veinticuatro reproductores?
5. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras de
tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos?
Actividad: 3

57BLOQUE 1





Cierre
Evaluación
Saberes
Conoce las características de
los subconjuntos a formar de un
conjunto de objetos.
Resuelve combinaciones mediante
problemas aplicados.
Reconoce la facilidad de utilizar
combinaciones en el conteo de
subconjuntos. Expone sus dudas.
Autoevaluación
docente
Ingresa a los siguientes sitios de internet para que experimentes
e interactúes los temas vistos aquí.
http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/
http://miwikideaula.wikispaces.com/Applets
http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_co
ntent&task=view&id=118&Itemid=158
6. ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un
cargamento de veinticuatro reproductores?
7. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras de
tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos?
8. ¿Cuántos triángulos están determinados por veinte puntos en el plano, en donde ningún conjunto de tres
puntos es colineal?
9. En la lotería conocida como ⁄ , tú eliges siete números distintos del conjunto formado por los números
del 1 al 39, en donde el orden no tiene importancia. ¿De cuántas formas diferentes puedes hacer tu
elección?

58
1. ¿Es posible evaluar 𝑃 ? Explica tu respuesta.
_________________________________________________________________________________________________
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2. Considera que ciertos números de cuenta constan de dos letras seguidas por cuatro dígitos y luego tres
letras más, donde las repeticiones de letras o dígitos no se permiten dentro de cada uno de los tres grupos,
pero el último grupo de letras puede contener una o ambas letras de las usadas en el primer grupo. ¿Cuál es
la probabilidad de que a un cuentahabiente le toque la numeración AG3645ZH? (Considera el alfabeto con 26
letras).
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
4. ¿De cuántas formas podrían dividirse veinticinco personas en cinco grupos que comprendan,
respectivamente a tres, cuatro, cinco, seis y siete personas?
5. ¿Cuántas cartas deben sacarse (sin reposición) de una baraja de 52 cartas, para garantizar que al menos
dos de ellas sean del mismo palo?
6. Roberto, un contratista, construye casas de ocho modelos diferentes y actualmente tiene cinco lotes para
construirlas, ¿cuál es la probabilidad de que a un comprador le toque una casa en esos lotes? Suponga que
se construirán cinco modelos diferentes.
Actividad: 4

59BLOQUE 1
7. ¿De cuántas maneras puede presentarse el primero, segundo y tercer lugar en una carrera en
la que compiten seis corredores?
8. Del problema 7, ¿cuál es la probabilidad de que Ángel, uno de los competidores, llegue en cualquiera de los
tres lugares?
9. ¿Es posible evaluar 𝐶 ? Explica tu respuesta.
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10. Se elegirá un comité de cuatro congresistas de un grupo de siete demócratas y tres republicanos.
Determina el número de formas de obtener cada uno de los puntos siguientes:
a) Solamente dos demócratas
b) Sólo cuatro demócratas
c) Exclusivamente cuatro republicanos
d) Dos demócratas y dos republicanos
11.De los Coyotes, un equipo joven en una liga de béisbol, forman parte siete jugadores que sólo lanzan; y doce
jugadores más que pueden jugar cualquier posición, excepto la de lanzador. Para el juego del sábado, el
entrenador aún no ha determinado cuáles serán los nueve jugadores que utilizará ni qué orden de bateo
tendrán, excepto que el lanzador bateará al final. ¿Cuántas órdenes de bateo diferentes puede haber?

Probabilidad y Estadística 2

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