CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 1

2 PRELIMINARES
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2012.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 2,160 ejemplares.
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero
Director Académico
Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Ing. Raúl Leonel Durazo Amaya
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Segunda edición 2012. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaborador:
Alma Lorenia Valenzuela Chávez
Revisión Disciplinaria:
Margarita León Vega
Corrección de Estilo:
María Esperanza Brau Santacruz
Supervisión Académica:
Mtra. Luz María Grijalva Díaz
Diseño:
Joaquín Alfredo Rivas Samaniego
Edición:
Bernardino Huerta Valdez
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Diana Irene Valenzuela López
Coordinación General:
Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela

3PRELIMINARES
Ubicación Curricular
HORAS SEMANALES:
03
CRÉDITOS:
06
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: _______________________________________________________________
Plantel: __________________________________________________________________
Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________
E-mail: _________________________________________________________________
Domicilio: ______________________________________________________________
_______________________________________________________________________
COMPONENTE:
FORMACIÓN PROPEDÉUTICA
GRUPO:
FÍSICO – MATEMÁTICO Y
QUÍMICO – BIOLÓGICO

5PRELIMINARES
Presentación .........................................................................................................................................................7
Mapa de asignatura..............................................................................................................................................8
BLOQUE 1: ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS
DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES .....9
Secuencia Didáctica 1: Antecedentes del Cálculo ............................................................................................10
• Evolución del cálculo..................................................................................................................................11
Secuencia Didáctica 2: Modelación de problemas ...........................................................................................15
• La variación de fenómenos ........................................................................................................................16
• Modelación con funciones .........................................................................................................................19
BLOQUE 2: RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER
ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL ....................................................................31
Secuencia Didáctica 1: Límite de una función...................................................................................................32
• Noción intuitiva de límite.............................................................................................................................34
• Teoremas de límites....................................................................................................................................46
• Límite de funciones algebraicas.................................................................................................................51
• Límites de funciones trascendentes...........................................................................................................60
• Límites en el infinito.....................................................................................................................................65
Secuencia Didáctica 2: Continuidad de una función.........................................................................................74
• Funciones continuas o discontinuas..........................................................................................................75
BLOQUE 3: ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES ...........85
Secuencia Didáctica 1: La derivada como razón de cambio instantáneo........................................................86
• Razón de cambio instantáneo....................................................................................................................93
Secuencia Didáctica 2: Reglas de derivación..................................................................................................107
• Derivada de una función...........................................................................................................................109
BLOQUE 4: CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE
OPTIMIZACIÓN ..................................................................................................................................135
Secuencia Didáctica 1: Aplicaciones de la derivada.......................................................................................136
• Puntos críticos de una función .................................................................................................................139
• Criterio de la primera derivada para la clasificación de los puntos críticos de una función...................146
• Resolución de problemas de optimización..............................................................................................160
Secuencia Didáctica 2: Concavidad de una función.......................................................................................166
• Criterio de la segunda derivada ...............................................................................................................167
Bibliografía ........................................................................................................................................................178
Índice

7PRELIMINARES
“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.
El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso
que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las
competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un
mismo propósito en un determinado contexto.
El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Calculo Diferencial e Integral 1, es una herramienta de suma
importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se
establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está
implementando a nivel nacional.
El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de
estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios
local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias
didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y
cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las
preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a
abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos
conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que
tu aprendizaje sea significativo.
Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que
realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.
En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y
actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma
individual, binas o equipos.
Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de
campo, etc.
La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa,
de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una
visión general del logro de los aprendizajes del grupo.
Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a
través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el
propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este
ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para
mejorar tu aprendizaje.
Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la
finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las
actitudes de responsabilidad e integración del grupo.
Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que
les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que
contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser
receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización
de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir
juntos.
Presentación

estas son
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
La evolución del Cálculo
Modelar problemas
Límites de funciones
Continuidad
La derivada de la
función
Teoremas sobre
derivadas
 Polinomiales
 Racionales
 Trigonométricas
 Logarítmicas
 Exponenciales
Teoremas
 Límites unilaterales.
 Límites absolutos.
 Límites en el infinito y
al infinito.
Razón de cambio
Criterio de la
primera derivada
Optimización de
funciones
Concavidad de
funciones
Trazo de curvas
Valores máximos y
mínimos
contiene
con el fin de
para
se determinan los
se interpreta como
para obtener
en relación con
para
para
Resolver problemas de diferentes sectores
productivos, ambientales y sociales
mediante
aplicando
se define como
Funciones algebraicas Funciones trascendentales
Criterio de la
segunda derivada
Funciones crecientes
y decrecientes
La pendiente de la
recta tangente
se interpreta como se calculan por medio del
para determinar

Tiempo asignado: 10 horas
Argumenta el estudio del cálculo mediante el análisis
de su evolución, sus modelos matemáticos y su
relación con hechos reales.
Competencias disciplinares:
 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el
lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su
comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de
los objetos que lo rodean.
 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Unidad de competencia:
 Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del cálculo y los contrasta
con su aplicación en situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos matemáticos sencillos y su representación gráfica.
 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos
matemáticos.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al
alcance de un objetivo.
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su
relevancia y confiabilidad.
7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos
específicos.
8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos
equipos de trabajo.

10 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES
Secuencia didáctica 1.
Antecedentes del Cálculo.
Inicio
Evaluación
Actividad:1
Producto: Descripción y
cuestionario.
Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Reconoce personajes que
contribuyeron al desarrollo de
las Matemáticas.
Explica las contribuciones a las
Matemáticas de personajes de la
historia.
Describe en forma clara y limpia
las contribuciones de diferentes
personajes de la historia, a las
Matemáticas.
Autoevaluación
C MC NC Calificación otorgada por el
docente
Realiza lo siguiente.
I. Enuncia cinco personajes de la historia que hayan contribuido con el desarrollo de las
Matemáticas.
1) __________________________________________________________________________________________
2) __________________________________________________________________________________________
3) __________________________________________________________________________________________
4) __________________________________________________________________________________________
5) __________________________________________________________________________________________
II. Describe cuáles fueron las aportaciones de los personajes que mencionaste.
III. ¿Por qué crees que es importante conocer la historia de las Matemáticas?
IV. ¿Cuáles crees que son los beneficios que han aportado las Matemáticas en tu vida?
Actividad: 1

11BLOQUE 1
Desarrollo
Evolución del Cálculo.
El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de
curvas, valores máximos y mínimos de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Se utiliza
para el análisis y la solución de múltiples problemas que se presentan en la naturaleza, en la ciencia y en la vida
diaria.
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Línea del tiempo. Puntaje:
Saberes
Describe el origen del Cálculo y
sus aportaciones.
Representa el origen del Cálculo y
sus aportaciones.
Es creativo al realizar la
representación de los
acontecimientos que dieron
origen al Cálculo.
Autoevaluación
docente
Realiza lo que se te solicita.
1. Investiga cómo se originó el Cálculo y las aportaciones que se hicieron al mismo.
2. Realiza una línea del tiempo en donde plasmes los acontecimientos, incluyendo fechas, hechos e imágenes
de los principales aportadores.
3. Una vez que hayas elaborado la línea del tiempo, pégala en el siguiente espacio, de manera que quede
doblado en el interior del módulo y no haya dificultad alguna al momento de mostrarlo a tu profesor.
Actividad: 2

Evaluación
Actividad: 3 Producto: Presentación. Puntaje:
Saberes
Expone una breve biografía de
un personaje que aportó en gran
medida al desarrollo del Cálculo.
Sintetiza la información obtenida y
la reestructura en una
presentación.
Cumple con los requisitos de la
exposición.
Coevaluación
docente
Realicen en equipo lo siguiente:
I. Elijan un personaje que haya contribuido en gran medida al desarrollo del Cálculo, escribe su
nombre en la línea.
___________________________________________________
II. Realicen una presentación en Power Point, que contenga los siguientes puntos:
1. Datos generales del personaje (nombre completo, lugar, fecha de nacimiento y ocupación).
2. Aspectos de su infancia y adolescencia.
3. Su trayectoria como científico.
4. Cuáles fueron sus aportaciones al Cálculo.
III. La presentación deberá contener imágenes alusivas al personaje y su duración será de máximo 10 minutos.
IV. En la presentación incluirán una diapositiva final que contenga el nombre de los integrantes del equipo, su
aportación a la investigación y presentación del personaje.
V. Estos son algunos de los aspectos que deberán cuidar en la exposición.
Aspectos generales:
 Puntualidad.
 Uso del tiempo.
 Originalidad en la presentación.
 Contacto visual.
 Tono de voz.
Contenido:
 Vocabulario.
 Dominio del contenido.
 Procura la atención de sus compañeros.
 Secuencialidad.
Lámina:
 Tamaño de letra
 Ortografía.
 Rotulado.
 Calidad del contenido presentado.
Actividad: 3

13BLOQUE 1
Cierre
Realiza lo siguiente:
I. Escribe con tus propias palabras una cuartilla sobre la importancia del Cálculo en la
sociedad actual. Para hacerlo tienes que dar respuesta a los siguientes cuestionamientos.
1) ¿Qué es el Cálculo Diferencial e Integral?
2) ¿Cómo se ha desarrollado a través del tiempo?
3) ¿Cuáles son las aplicaciones del Cálculo en la actualidad?
4) ¿En tu entorno, dónde se aplica el Cálculo?
II. Para realizar tu escrito considera los siguientes aspectos:
 Estructura el título.
 Utiliza las palabras más adecuadas para expresar tus ideas.
 Elabora las oraciones de forma coherente y lógica.
 Revisa que estén correctos los signos de puntuación, letras mayúsculas y los acentos.
 Elabora un borrador para que te ayude a estructurar mejor tu escrito final y lo plasmes en la siguiente
hoja.
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_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
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Actividad: 4

Evaluación
Actividad: 4 Producto: Escrito. Puntaje:
Saberes
Identifica las aplicaciones del
Cálculo y su desarrollo a través
del tiempo.
Opina sobre la importancia del
Cálculo en la sociedad actual.
Cumple con los requisitos
indicados para realizar el escrito.
Autoevaluación
docente
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
Actividad: 4 (continuación)

15BLOQUE 1
Modelación de problemas.
Inicio
Evaluación
Actividad:1
Producto: Complementación de la
tabla.
Puntaje:
Saberes
Identifica el nombre, figura y
fórmulas de diferentes figuras
geométricas.
Expresa el nombre, figura y
fórmulas de diferentes figuras
geométricas.
Despeja variables de fórmulas.
Se interesa por realizar la
actividad.
Autoevaluación
docente
Completa la siguiente tabla.
Nombre Figura geométrica Fórmulas Despeje
Rectángulo
h2b2P  b
hbA  b
b
a
h
A h
V a
r
b
r2P  r
2
rA  r
Esfera
2
r4A  r
3
r
3
4
V  r
r
b h
r
b
A r
V h
Cono
hr
3
1
V 2
 h
222
rhrrA   h
Actividad: 1

Desarrollo
La variación de fenómenos.
Es imposible imaginar al mundo que nos rodea sin movimiento; ¿has notado que todo lo que te rodea está
cambiando? Cambia la distancia a la que se encuentran dos personas cuando se aleja una de otra, la altura en que
se encuentra una persona cuando se tira en paracaídas; la temperatura de un líquido al aplicarle calor, la velocidad
con que se transporta un sujeto en su automóvil, de una ciudad a otra, etc. y no nada más a los cambios que surgen
en el transcurrir del tiempo, sino a cambios que se establecen para optimizar el desarrollo de la sociedad, como son:
la distribución de las casas, los materiales con los que están hechas, el cambio de las rutas del trasporte urbano
conforme crece la población, y así como estos ejemplos, podrías encontrar una gran diversidad de problemas en los
que es necesario la optimización de alternativas que tienen que ver con las variables involucradas y sus cambios.
En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes
formas, como son: tablas, gráficas, analíticas, entre otras, esto lo manejaste en Matemáticas 4.
Conjugar las diferentes representaciones ayuda a tener una mejor perspectiva de los problemas para así poder darles
solución.
Para encontrar la representación analítica de un problema, es importante establecer la dependencia de las variables,
es decir, determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, en otras palabras, cuándo una cantidad está en
función de otra. Por ejemplo:
 El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, depende de la
velocidad que lleva.
 El volumen de un recipiente, depende de la forma y el tamaño.
 La cantidad de líquido en un recipiente que se coloca en el fuego, depende del tiempo
que se exponga y la intensidad de calor.
 El nivel de agua en una presa, depende de muchas variables,
algunas de ellas son, la cantidad que pierde al evaporarse, la
cantidad de agua que ingresa de otras afluencias, la cantidad
de lluvia, la cantidad que pierde al abastecer a las diferentes
comunidades, etc.
 El costo de elaboración de un recipiente cilíndrico de determinado volumen, depende del
material con que se elabora, del área de la superficie del cilindro, etc.
 El costo de producción del recipiente anterior, tiene muchas variables, depende de la cantidad
de trabajadores, de la calidad del producto, del tiempo de producción, de la maquinaria, etc.

17BLOQUE 1
En equipo, analicen de qué depende cada una de las siguientes situaciones y enumera la
mayor cantidad posible.
1. El volumen de un globo que se está inflando.
2. El nivel del agua de un recipiente cilíndrico cerrado que es llenado hasta la mitad al ir girando hasta 180o
, es
decir, que la tapa queda como base.
3. La velocidad a la que cae una pelota.
4. La distancia a la que llega un proyectil.
5. Lo que pagas por consumo de luz en un mes.
Actividad: 2

Evaluación
Actividad: 2 Producto: Descripción. Puntaje:
Saberes
Identifica las relaciones entre las
variables que componen una
situación.
Distingue las relaciones entre las
variables que componen una
situación.
Es respetuoso y muestra interés
en la opinión de sus compañeros.
Aporta ideas claras para la
realización de la actividad.
Coevaluación
docente
6. El área de un círculo.
7. El volumen de un cilindro.
8. El volumen de un prisma.
9. El sueldo de un trabajador.
10. El costo de un determinado artículo.

19BLOQUE 1
Modelación con funciones.
Una de las representaciones más usadas en los laboratorios e industrias son los registros numéricos o tablas, ésta se
lleva a cabo, tomando el registro del comportamiento de la situación en cada instante de tiempo, con instrumentos
especializados, donde se puede medir la velocidad, la temperatura, la posición de una partícula, la presión, la fuerza,
etc.
Cuando se tiene el registro numérico de un problema, se pueden analizar varios aspectos como es la velocidad con
que cambian los factores involucrados, también se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una gráfica o
bien, si no se tiene toda la información del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se
llevó a cabo.
Desafortunadamente, la exactitud del análisis de una tabla depende del número de registros que se hayan recabado,
además del tamaño de intervalos en los que se tomó la lectura, como por ejemplo:
Tres personas hicieron 10 registros con sensores conectados a una computadora, de la posición de un automóvil que
transita por una carretera recta al transcurrir el tiempo y obtuvieron los siguiente resultados.
Donde “t” es el tiempo transcurrido en segundos y “x” es la posición del automóvil medida en metros.
Si no se tuviera la información del problema, a simple vista se podría pensar que se trata de tres situaciones
diferentes, pero al observar las tablas anteriores se puede determinar que se trata del mismo auto o tres automóviles
que salieron al mismo tiempo y llevan hasta los 2.25 s la misma velocidad constante; debido a que en las tres tablas
la posición inicial es de 20 m.
Para complementar el análisis de un problema, se puede utilizar la representación gráfica, utilizando los datos de una
tabla, con el propósito de obtener información más detallada del problema. Por supuesto, si se tiene la representación
analítica (función) de una situación, se conoce exactamente el comportamiento numérico y gráfico en cada instante.
Como por ejemplo, si se grafican las tablas anteriores, se observa que tienen la misma inclinación, cortan al eje
vertical en el mismo punto y se pueden modelar mediante una función lineal, como se muestra a continuación.
t x
0 20
1 50
2 80
3 110
4 140
5 170
6 200
7 230
8 260
9 290
t x
0.0 20
0.5 35
1.0 50
1.5 65
2.0 80
2.5 95
3.0 110
3.5 125
4.0 140
4.5 155
t x
0.00 20.0
0.25 27.5
0.50 35.0
0.75 42.5
1.00 50.0
1.25 57.5
1.50 65.0
1.75 72.5
2.00 80
2.25 87.5
Persona 2 Persona 3
.
Persona 1

            































t(s)
x(m)
            































t(s)
x(m)
            































t(s)
x(m)
La función anterior se conoce como función lineal y en Matemáticas 3 la conociste en su forma pendiente-ordenada
en el origen.
En ocasiones, a partir de un registro numérico, se puede generalizar y establecer en forma analítica (función) la
relación que existe entre las variables involucradas y de esta forma, llevar a cabo un análisis más completo del
comportamiento del problema y así poder determinar con exactitud la gráfica.
Además, si se tiene de forma detallada alguna situación, se puede modelar con una función y así poder encontrar
aspectos importantes para su manejo y solución.
Enseguida se presentan la modelación con funciones, mediante la descripción detallada de algunas situaciones.
Ejemplo 1.
El volumen de una caja rectangular sin tapa, en función de los cuadrados de longitud “x” que se recortan en los
extremos de una lámina de 60 cm de largo, por 40 cm de ancho.
60 – 2x
40 – 2x
x
60
x
40
)x)(x240)(x260()x(V 
x2400x200x4)x(V 23

20t30)t(x 
Posición inicial
Velocidad del automóvil

21BLOQUE 1
Si se conoce la representación analítica de un problema, se pueden representar de forma numérica y gráfica los
factores más importantes que intervienen en el análisis de la situación; como por ejemplo, la función que se obtuvo
del volumen de la caja sin tapa, quedó determinada de la siguiente forma:
x2400x200x4)x(V 23

De tal manera que, si se quiere conocer cómo varía el volumen cuando cambia la longitud del cuadrado recortado,
sólo es necesario asignarle valores a la longitud y se obtendrán los respectivos valores del volumen, como se
mencionó con anterioridad, el registro numérico será tan exacto como tú quieras, debido a la forma en que vayas
proporcionando el incremento de la longitud, por ejemplo:
x V(x)
3 5508
4 6656
5 7500
6 8064
7 8372
8 8448
9 8316
10 8000
Si se observa la tabla, se puede notar cómo a medida que cambia la longitud, varía el volumen y si se sustituyen más
valores de “x” en la tabla, se puede obtener un mejor acercamiento de la gráfica, como se muestra a continuación:
La tabla se realizó mediante Excel; de tal manera, que si deseas hacer una tabla con
incrementos más pequeños, comenta con tu maestro y con el mismo paquete
informático, puedes hacer una gráfica más fina que la anterior, para que puedas
tener una información más exacta del problema.
x V(x)
0 0
1 2204
2 4032
3 5508
4 6656
5 7500
6 8064
7 8372
8 8448
9 8316
10 8000
11 7524
12 6912
13 6188
14 5376
15 4500
16 3584
17 2652
18 1728
19 836
20 0
V(x)
x
(
c
m
.
)

Evaluación
Actividad: 3 Producto: Cuestionario. Puntaje:
Saberes
Reconoce características
importantes para la solución del
problema.
Detecta algunas características del
problema, para graficarlo y darle
solución.
Se interesa en el análisis de los
cuestionamientos y aporta ideas
claras y concisas de su solución.
Autoevaluación
docente
De la información antes obtenida del problema de la caja, analiza y comenta en clase
las respuestas a las siguientes preguntas.
1. ¿Qué ocurre con el volumen de la caja a medida que se cortan cuadros cada vez más grandes?
2. ¿Cuál es el cuadrado tomado como base de la caja de mayor tamaño que se puede recortar?
3. ¿Existe una caja que tenga el volumen máximo? Justifica tu respuesta.
4. ¿Cuál será la longitud del cuadrado base que se recorta para construir la caja de máximo volumen?
5. ¿De qué forma se podría conocer la longitud del cuadrado, tomado como base de la caja que nos da mayor
volumen?
6. ¿Cómo sería la gráfica de la función que describe a este problema?
Actividad: 3

23BLOQUE 1
Ejemplo 2.
Expresar el área de la caja anterior, en función de la longitud del lado de los cuadrados.
Para expresar el área de la caja, se tiene que encontrar primero el área de cada uno de los rectángulos que la
forman.
VIVIIIIII AAAAA)x(A 
2400x200x4A
x40x2AA
x60x2AA
2
III
2
IVII
2
VI



Por lo tanto, la función queda:
2400x4)x(A
2400x200x4)x40x2(2)x60x2(2)x(A
2
222


Ejemplo 3.
Una bola de billar recorre la trayectoria indicada por el diagrama siguiente:
Para expresar la longitud L en función del ángulo , es
necesario recordar los temas de triángulos semejantes y
funciones trigonométricas, debido a que los ángulos de
los triángulos ACB y DCE tienen la misma medida. Si al
segmento BC se le asigna la letra x, se obtiene la
siguiente expresión:
x
x52.1
73.0
L 

)x52.1)(73.0()x)(L( 
Al realizar el despeje de L se obtiene:
73.0
x
1096.1
L 
De tal forma que utilizando las funciones trigonométricas, la longitud L en función de  es:
73.0tan52.1)(L  
I
III
60 – 2x
40 – 2xII IV
V
E
C
A
B D
0.73 m
 
L
1.52 m

Ejemplo 4.
Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2
en dos porciones
iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en término de la longitud
“x”.
La cantidad de alambre (perímetro) se expresa mediante la
fórmula
y3x2L 
Tomando en cuenta que el área es de 1800 m2
, se obtiene la
siguiente expresión:
xy1800 
De tal forma que la cantidad de alambre en función de “x” es:
x
5400
x2)x(L 
x
1800 m2
y
En equipo, redacten 5 preguntas para cada uno de los ejemplos 2, 3 y 4 de esta
secuencia, de tal forma que describa el comportamiento de cada función, para
posteriormente dar una conclusión grupal a cada una de ellas.
Descripción Dibujo Función que lo modela
Expresar el área de la caja anterior
en función de la longitud de los
lados de los cuadrados.
I
III
60 – 2x
40 – 2xII IV
V
2400x4)x(A 2

Preguntas
Conclusión:
Actividad: 4

25BLOQUE 1
Descripción Dibujo
Función que lo
modela
Una bola de billar
recorre la trayectoria
indicada por el
diagrama. Expresar la
longitud L en función
del ángulo .
73.0tan52.1)(L 
Preguntas
Conclusión:

Evaluación
Actividad: 4 Producto: Conclusión grupal. Puntaje:
Saberes
Comprende las características
principales de las funciones que
describen el problema.
Diseña cuestionamientos que
describe el comportamiento de la
función que modela el problema.
Es propositivo para diseñar las
preguntas, escucha y respeta las
opiniones de sus compañeros.
Coevaluación
docente
Descripción Dibujo Función que lo modela
Expresar la cantidad de alambre (L)
necesaria para cercar un terreno
rectangular de 1800 m2
en dos
porciones iguales, con una cerca
adicional paralela a dos de los
lados, como se muestra en la
figura, en término de la longitud “x”.
x
1800 m2
y
x
5400
x2)x(L 
Preguntas
Conclusión:

27BLOQUE 1
Cierre
Modela los siguientes problemas:
1. Expresa el área de un cono circular en función de la altura, si el volumen es de 50 cm3
.
2. Se desea construir un cilindro de 60 cm3
de volumen, expresa el área del cilindro en función de su radio.
Actividad: 5

3. Se desea fabricar un tanque de gas estacionario en forma de cilindro circular horizontal de
3.5 m de largo, para una fábrica de muebles. Expresa el volumen en función del radio.
4. Don Agustín heredó a su hijo un terreno rectangular de 1,500 m2
. Si tiene la oportunidad de elegir las
dimensiones del terreno, determina la longitud del alambre que utilizará para cercarlo, en función de uno de
sus lados.

29BLOQUE 1
Evaluación
Actividad: 5 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:
Saberes
Relaciona las variables que
componen un problema.
Construye la función que modela
un problema.
Es creativo y muestra interés en
realizar la actividad.
Autoevaluación
docente
5. Un alambre de 1 m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado
formando un cuadro y otro formando un círculo, expresa la suma de las áreas de las dos
figuras en función de la cantidad “x” que debe ser cortada del alambre.

Tiempo asignado: 15 horas
Resuelve problemas de límites en situaciones
de carácter económico, administrativo, natural
y social.
Competencias disciplinares:
 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el
lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su
comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de
los objetos que lo rodean.
 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Unidad de competencia:
 Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la
vida cotidiana.
 Calcula límites a partir de la elaboración de gráficas en algún software y su interpretación de las representaciones gráficas
de funciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al
alcance de un objetivo.
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su
relevancia y confiabilidad.
7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos
específicos.
8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos
equipos de trabajo.

32 RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL
Límite de una función.
Inicio
Realiza lo siguiente:
1. Una agencia de renta de automóviles cobra $60 diarios por alquiler de un automóvil, más $0.40
por km.
a) Escribe la fórmula del costo total de la renta por día.
b) Si rentas un carro por un día, ¿cuántos kilómetros podría recorrer por $220?
2. El precio de una computadora personal (en pesos) está dado por la expresión , donde “x”
es el tiempo en meses.
a) ¿Cuál será el precio de una computadora dentro de 6 meses?
b) ¿Cuánto bajará el precio del séptimo al octavo mes?
c) ¿En qué tiempo será de $9,200?
d) ¿Qué pasa con el precio conforme aumenta el tiempo?
e) ¿Consideras posible que la computadora salga gratis en un determinado número de meses? Justifica tu
respuesta.
Actividad: 1

33BLOQUE 2
Evaluación
Actividad:1 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:
Saberes
Describe el comportamiento de la
función que modela un problema
de la vida cotidiana.
Analiza el comportamiento de
funciones que modela problemas de
la vida cotidiana.
Muestra interés al realizar la
actividad, expresa sus ideas y
corrige sus errores.
Autoevaluación
docente
3. Traza la gráfica de una función que satisfaga las siguientes condiciones:
 Es creciente en el intervalo [−6, 0 ).
 Es constante de valor −2 en el intervalo [0, 5]
 Es decreciente en (5, 10]
 y

Desarrollo
Noción intuitiva de límite.
En el lenguaje ordinario, la palabra límite tiene un carácter estático y significa término, confín o lindero. Sin embargo, en
Cálculo, el concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un punto
o un valor. En otras ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo más posible del origen, o hacer lo más grande
posible un número. A continuación se verá la noción de límite a partir de ejemplos prácticos.
Si se observa el velocímetro de un automóvil cuando está en marcha, sobre todo en el tráfico de una ciudad, la aguja de
éste se mueve constantemente, debido a que registra la velocidad definida en cada momento, puede verse que la aguja
no permanece inmóvil mucho tiempo, es decir, la velocidad del auto no es constante. Al observar el velocímetro, se
supone que el vehículo tiene una velocidad definida en cada momento, la cual se denomina velocidad instantánea. Sin
este instrumento sería prácticamente imposible conocer la velocidad instantánea, sin embargo, se puede calcular la
velocidad promedio del automóvil, dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Para conocer la velocidad
instantánea a partir de las velocidades promedio, es necesario recurrir al límite, como se observará en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 1.
Se deja caer una pelota desde lo alto de la torre Latinoamericana, la cual mide 204 m de altura.
Encontrar la velocidad de la pelota a los 5 segundos después de que se soltó.
Para resolver este problema se tiene que tomar en cuenta el descubrimiento que hizo Galileo
Galilei en el siglo XVI, el cual determinó que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae
libremente, es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. Si la distancia
recorrida después de t segundos se denota mediante d(t) y se mide en metros, entonces la ley
de Galileo se expresa con la ecuación:
  2
t9.4td 
En el problema se desea encontrar la velocidad instantánea, debido a que especifica el momento en que se requiere
saber la velocidad, la cual es a los 5 segundos, es por ello que se recurrirá a la velocidad promedio o media (vm) para
calcular éste valor.
dotranscurriTiempo
recorridaciatanDis
mediaVelocidad 
Entonces, si se considera el intervalo de tiempo desde t=5 hasta t=5.5, la velocidad promedio es:
if
if
m
tt
dd
V



Donde fd es la distancia en el tiempo final 5.5tf  y id es la distancia en el tiempo inicial 5tf  , de tal manera que la
velocidad media se obtiene de la siguiente manera:
55.5
)5(d)5.5(d
Vm



Como la distancia recorrida después de “t” segundos está expresada por   2
t9.4td  , se tiene:
s
m
22
m 45.51
55.5
)5(9.4)5.5(9.4
v 



El resultado anterior corresponde a la velocidad promedio en el intervalo de [5.5−5] segundos; como se desea saber la
velocidad exactamente a los 5 segundos, se irá acortando el intervalo de manera que se haga lo suficientemente pequeño
y cercano a 5 segundos, para aproximar cuál será la velocidad en ese instante.

35BLOQUE 2
Ahora se tomará el intervalo un intervalo más pequeño. Por lo tanto, la velocidad media para ese intervalo será:
s
m
22
m
49.49
51.5
)5(9.4)1.5(9.4
51.5
)5(d)1.5(d
v







Mediante cálculos similares, se pueden ir tomando intervalos cada vez más pequeños, como se aprecian en la siguiente
tabla:
Intervalo de tiempo
(s)
Velocidad promedio
(m/s)
5 – 5.5 51.45
5 – 5.1 49.49
5 – 5.05 49.245
5 – 5.01 49.049
5 – 5.005 49.0245
5 – 5.001 49.0049
5 – 5.0005 49.00245
5 – 5.0001 49.00049
En ella se observa que, conforme se acorta el periodo de tiempo, la velocidad promedio se aproxima a 49 m/s. Por lo que,
la velocidad instantánea, cuando t=5, se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos
cada vez más cortos que se inician en t=5. Por consiguiente, la velocidad (instantánea) a los 5 segundos de lanzada la
pelota, es:
s
m49v 
Realiza lo que se te solicita:
1. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 pies/s, su altura en pies, después de t
segundos, se expresa por y(t)=40t−16t2
.
a) Encuentra la velocidad promedio en cada uno de los intervalos que especifica la tabla.
Intervalo de tiempo
(s)
Velocidad promedio
(pies/s)
2 – 2.5
2 – 2.1
2 – 2.01
2 – 2.001
2 – 2.0001
b) Estima la velocidad instantánea para t=2.
Actividad: 2

2. Se dispara una flecha hacia arriba, con una velocidad de 58 m/s, su altura en metros, después
de t segundos, se expresa por h(t)=58t-0.82t2
.
a) Encuentra la velocidad promedio durante los intervalos:
[2.5−3], [2.9−3], [2.95−3], [2.99−3], [2.995−3],[2.999−3]
b) Estima la velocidad instantánea para t=3.
3. El desplazamiento oscilatorio de una partícula está dado por la función , donde el tiempo
se mide en segundos y el desplazamiento en centímetros.
a) Encuentra la velocidad promedio para el periodo que se inicia cuando t=1 y dura:
0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005 y 0.001 seg.
b) Estima la velocidad instantánea de la partícula cuando t=1.
4. Como observaste, en los problemas anteriores se toman intervalos antes o después del tiempo en el que se
desea conocer la velocidad instantánea, ¿cambiaría el resultado de la velocidad instantánea si los intervalos se
toman de forma contraria?, es decir, si por ejemplo en cada intervalo del primer problema los intervalos se toman
antes del tiempo indicado, justifica tu respuesta.

37BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 3 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:
Saberes
Identifica el límite de las
velocidades promedio, como
velocidad instantánea.
Estima el límite de las velocidades
promedio.
Es reflexivo al resolver la actividad.
Expresa las dudas al docente.
Autoevaluación
docente
En los problemas anteriores se observó que se requiere conocer el concepto de límite para establecer cantidades
importantes como es la velocidad instantánea de partículas, objetos, entre otros.
A continuación se observa la gráfica de la función 2
t9.4)t(d  que
describe el ejemplo 1, en ella se puede visualizar que, a medida que
transcurre el tiempo, la distancia que ha recorrido la pelota crece más
rápidamente, esto significa que su velocidad va aumentando a medida
que la pelota se acerca al piso.
Para graficar la velocidad de la pelota al transcurrir el tiempo, se tendría
que calcular las velocidades instantáneas en todo momento, desde que
se suelta a una altura de 204 m hasta que toca el suelo, resultando
tedioso determinar la gráfica de la velocidad de la pelota mediante
tablas, como se hizo en el ejemplo anterior. Por ello, se requiere conocer
un poco más de límites de funciones para poder generalizar.
Para completar el análisis se te proporcionará a continuación la gráfica
de la velocidad que lleva la pelota en cada instante de tiempo.
En el ejemplo 1, se tomó como intervalo inicial a [5 – 5.5] y
posteriormente se fueron tomando intervalos más pequeños
acercándose a 5. Nótese que los intervalos tomados estaban a la
derecha del 5 y a medida que se acercaron a él, el valor de la
velocidad promedio se aproximó a 49 m/s.
Con ello se puede decir que el límite por la derecha, cuando t se
acerca a 5, da como resultado que las velocidades promedio se
aproximen a 49 m/s.
Cabe mencionar que si se hubieran tomado intervalos, que se
acercaran a 5 por la izquierda, se obtendría el mismo resultado.
Como se observa en la gráfica, mientras los valores del tiempo se
acercan a t=5 tanto por la izquierda como por la derecha; los
valores de la velocidad promedio se aproximan a 49 m/s, tanto por
abajo como por arriba, respectivamente.
        























t
d(t)
        











t
v(t)

A continuación se desarrollará de manera general la noción de límite de una función, analizando las gráficas y
posteriormente se llevará a cabo la obtención algebraica del límite de una función.
Ejemplo 2.
Dada la gráfica de la función, determinar el límite en los valores indicados.
a) Cuando “x” tiende (se aproxima) a −4.
b) Cuando “x” tiende a 0.
c) Cuando “x” tiende a 2.
d) Cuando “x” tiende a 4.
Si utilizan flechas azules para indicar cómo se aproxima al valor por la izquierda y flechas rojas para observar cómo se
aproxima al valor por la derecha, éstas también auxilian al momento de ubicar el valor del límite de la función.
               











x
f(x)
               











x
f(x)

39BLOQUE 2
En seguida, se analizará cada uno de los límites que se solicitan en los incisos anteriores y se expresarán cada uno de los
límites en su forma algebraica.
a) Cuando “x” tiende a −4 por la izquierda, la cual se denota como 
 4x , se observa como la función va
incrementando su valor hacia 3; de igual forma, cuando “x” tiende a −4 por la derecha  
 4x la función va
disminuyendo su valor hacia 3, por lo tanto, se puede decir que el límite de la función cuando “x” tiende a −4
 4x  es 3.
El hecho de que el valor de la función en x=−4 no exista (punto hueco) no invalida el límite, porque precisamente se
acerca infinitamente a −4 sin tomar el valor exacto.
Forma algebraica Se lee
3)x(flim
4x



El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la izquierda es 3.
3)x(flim
4x



El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la derecha es 3.
3)x(flim
4x


El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 es 3
b) Cuando “x” tiende a 0 por la izquierda  
 0x , la función decrece hacia 5, y cuando “x” tiende a 0 por la derecha
 
 0x la función incrementa su valor aproximándose a 5, por lo tanto, el límite de la función cuando “x” tiende a 0
 0x  es 5.
5)x(flim
0x



5)x(flim
0x



5)x(flim
0x

 El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 es 5.
c) Cuando “x” tiende a 2 por la izquierda  
 2x , la función disminuye su valor aproximándose a 3; cuando “x” tiende a
2 por la derecha  
 2x la función aumenta su valor aproximándose a 2; como ambos límites se aproximan a
valores diferentes de la función, este límite no existe.
3)x(flim
2x



2)x(flim
2x





)x(flim
2x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 no existe.
d) Al igual que el inciso anterior, el límite de la función cuando “x” tiende a 4 no existe, debido que el límite cuando “x”
tiende a 4 por la izquierda  
 4x se va hacia  , y el límite de la función cuando “x” tiende a 4 por la derecha
 
 4x se va hacia  .



)x(flim
4x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la izquierda es − .



)x(flim
4x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la derecha es .


)x(flim
4x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 no existe.

Los límites que se obtienen por uno de los lados, ya sea por la derecha o por la izquierda, se les conoce como límites
unilaterales y cuando estos son iguales, el límite de la función existe y es igual al valor de los límites unilaterales, pero
cuando ambos límites se van al infinito ( ) o al menos infinito ( − ), se dice que el límite de la función no existe.
Escribe los límites que se indican en cada una de las gráficas.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Actividad: 4
           

















x
h(x)
           















x
f(x)

41BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 4 Producto: Ejercicios. Puntaje:
Saberes
Identifica el límite de una función
dada su gráfica.
Obtiene el límite de una función dada
su gráfica.
Aprecia la facilidad de ubicar los
límites de una función cuando se
conoce su gráfica.
Autoevaluación
docente
a)
b)
c)
a)
b)
c)
        











x
g(x)
             















x
L(x)

Los límites también son útiles para obtener el comportamiento de la gráfica de una función, cuando se conoce la
representación analítica de ésta, como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 3.
Graficar la función
x3
x9
)x(f
2


 .
La función f(x) es racional y se indefine cuando x=−3, debido a que el denominador en ese valor se hace cero.
Para graficarla se toman algunos valores de su dominio y se sustituyen en la función para encontrar las coordenadas de
los puntos.
x )x(f
−5 8
−4 7
−3
−2 5
−1 4
0 3
1 2
2 1
3 0
4 −1
5 −2
Para observar el comportamiento alrededor de −3, se sustituyen valores muy cercanos a −3, tanto por la derecha como
por la izquierda, como se muestra en las siguientes tablas.
x )x(f x )x(f
−3.1 6.1 −2.9 5.9
−3.01 6.01 −2.99 5.99
−3.001 6.001 −2.999 5.999
−3.0001 6.0001 −2.9999 5.9999
−3.00001 6.00001 −2.99999 5.99999
Se puede observar que cuando “x” se acerca a –3 por la izquierda o por la derecha los valores de )x(f se aproximan a 6.
Este comportamiento se representa matemáticamente de la siguiente forma:
6)x(f  cuando 3x 
o bien, de manera formal:
6
x3
x9
lím
2
3x




Una vez obtenido el límite de la función, se puede ubicar el punto hueco a la altura de 6 y unir los puntos, como se
muestra a continuación.
           










x
f(x)

43BLOQUE 2
Ejemplo 4.
Elaborar la gráfica y obtener )x(flim
3x
, donde la función es:







3xsi13x
3xsi2x2
)x(f
En esta función, el dominio está formado por todos los números reales; se sabe que la gráfica de la primera parte de la
función es un “trozo” de una línea en forma de “V” debido a que es una función de valor absoluto, y la otra parte resultará
en una porción de una media parábola horizontal abierta hacia la derecha, dado que es una función irracional. Sin
embargo, no se sabe si esas dos partes se juntarán en un punto, para ello se debe considerar para qué intervalo de los
números reales es válida cada una de ellas.
Para este ejemplo, se sustituirá el valor de 3x  en la función de valor absoluto de manera abierta, es decir, con
paréntesis, pues dicho valor no se incluye en esa parte; sin embargo, para la función irracional, ese mismo valor sí se
incluirá pues sí está dentro de los valores correspondientes. De esta manera, la tabla de valores queda:
x 2x2)x(f  x 13x)x(f 
-1 6 [3] 1
-0 4 4 2
1 2 5 2.41
2 0 6 2.73
(3) (2) 7 3
La gráfica correspondiente a la función dada es:
           










x
f(x)
x<3
        







x
f(x)

Se puede notar en esta gráfica que las dos partes de la función quedan separadas; ahora, para obtener )x(flim
3x
se debe
tener la precaución de tomar los límites unilaterales correctos, debido a que las partes de las que se conforma la función
tienen restringido su dominio.
Debido a lo anterior, los límites se expresan de la siguiente forma:

 3x 
 3x
x 2x2)x(f  x 13x)x(f 
2.9 1.8 3.1 1.31
2.99 1.98 3.01 1.1
2.999 1.998 3.001 1.03
2.9999 1.9998 3.0001 1.01
2.99999 1.99998 3.00001 1.003
2)x(flim
3x



y 1)x(flim
3x



Como estos dos límites son diferentes, el límite buscado no existe:


)x(flim
3x
De todo lo anterior se desprende que, de manera intuitiva, el límite de una función es el valor al que se aproxima f(x)
cuando la variable “x” tiende a un valor dado. También se deduce que el límite existe, siempre y cuando, los límites
unilaterales coinciden, aun cuando la función no esté definida para el valor hacia donde “x” se aproxima. Así mismo, que
el límite no existe cuando los límites unilaterales no coinciden en el mismo valor, o cuando alguno de ellos se vaya al
infinito o al menos infinito.
Elabora la gráfica correspondiente de cada una las funciones y construye tablas de valores
para encontrar el límite dado:
1.
2.
Actividad: 5

45BLOQUE 2
3.
4.
5.

Evaluación
Saberes
dado una tabla de valores y su
gráfica.
Obtiene el límite de una función, a
partir de una tabla de valores y la
gráfica correspondiente.
Aprecia la necesidad de utilizar
algún software para graficar
funciones.
Autoevaluación
docente
Teoremas de límites.
En el tema anterior, se te presentó la noción intuitiva de límite, con el fin de introducirte al tema de una manera más o
menos sencilla e informal. Sin embargo, como te habrás dado cuenta, no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de
valores para obtener el límite, pues resulta un poco tardado y tedioso. Por esta razón, ahora se formaliza la obtención de
los límites mediante la utilización de algunos teoremas que ayudarán obtener de manera rápida, el límite de una función.
En estos teoremas sobre límites, “a” representa el valor hacia donde tiende “x”.
1. Límite de una constante:
Si c es una constante, entonces, cclim
ax


Ejemplos:
 1010lim
3x



44
4x
7)7(lim 

En otras palabras, este teorema indica que el límite de una función constante es la misma constante; recuerda que una
función constante es aquella en la cual no aparece la variable independiente “x”.
Para el siguiente teorema, la aproximación de “x” hacia el valor dado “a” es tan cercana, que bien se puede suponer una
sustitución de dicho valor en la función f(x), como se expresa a continuación:
2. Límite de la función identidad:
axlim
ax


Ejemplos:
 1xlim
1x


 5xlim
5x


 5xlim
5x



47BLOQUE 2
Aquí, el teorema dice que la función se acerca siempre al mismo valor hacia donde tiende la variable independiente “x”.
3. Límite de una constante multiplicada por una función:
Si c es una constante, entonces, )x(flimc)x(cflim
axax 

Ejemplos:
 15)3()5(xlim5x5lim
3x3x


   4)6()(xlimxlim
3
12
3
2
6x3
2
3
2
6x
 



4. Límite de una suma, de un producto y de un cociente:
Si 1
ax
L)x(flim 

y 2
ax
L)x(glim 

, entonces:
a) El límite de una suma de funciones es la suma de los
límites:
  21
axaxax
LL)x(glim)x(flim)x(g)x(flim 

b) El límite de un producto de funciones es el producto
de los límites:
  21
axaxax
LL)x(glim)x(flim)x(g)x(flim 

c) El límite de un cociente de funciones es el cociente de
los límites, siempre y cuando el límite del
denominador sea diferente de cero:
0L,
L
L
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
lim 2
2
1
ax
ax
ax




Ejemplos:
 2limxlim52limx5lim)2x5(lim
3x3x3x3x3x 
 172)3)(5( 
 xlim)3(7lim)x3(lim7lim)x37(lim
2x2x2x2x2x 
 1367)2()3(7 
5. Límite de una potencia.
Si n es un entero positivo, entonces:
a) nn
ax
axlim 

b)   n
ax
n
ax
)]x(flim[)x(flim



Ejemplos:
 343]7[]xlim[xlim 33
7x
3
7x


 423)5(4)5(3limx4limxlim)3x4x(lim 2
5x5x
2
5x
2
5x



 
  2
1
200
10
2limxlimxlim
1limxlim
2xxlim
1Xlim
2xx
1x
lim
0x0x
2
0x
0x0x
2
0x
0x
20x






















6. Límite de una raíz.
Si existe )x(flim
ax
, entonces:
n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim


Siempre y cuando “n” sea un entero positivo impar, o
bien, “n” sea un entero positivo par y 0)x(flim
ax


.
Ejemplos:
 112)1)(3(2limxlim3)2x3(lim2x3lim 55
5
1x1x
5
1x
5
1x


 2
7
14
18
216
1)4(2
4)4(4
1limxlim2
xlimxlím4
1x2
xx4
lim
4x4x
4x4x
4x















             008428limxlim28limx2lim8x2lim8x2lim
33
3
4x4x
3
4x4x
3
4x
3
4x


       

3limxlim3xlim3xlim
3x3x3x3x
Aunque el resultado algebraico es 0, el límite no existe, debido a que es una de las condiciones del teorema; el 3xlim
3x


debe ser mayor que 0, por ser una raíz cuadrada, de no ser así, el límite no existe.
En la siguiente actividad analizarás esta condición y concluirás el por qué se establece en el teorema.

49BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 6 Producto: Conclusión grupal. Puntaje:
Saberes
Identifica el comportamiento de
una función, para determinar el
límite de la misma a un valor
determinado.
Contrasta el límite de una función
con el comportamiento de la misma
visualizado en su gráfica.
Es respetuoso con sus
compañeros, realiza aportaciones
en el desarrollo de la actividad.
Coevaluación
docente
En equipo, realicen lo que se les solicita.
1. Tracen las gráficas de las dos últimas funciones de los ejemplos anteriores, analicen y justifiquen
los resultados de sus límites.
2. Comenten sus observaciones con el grupo y escriban en siguiente espacio la conclusión a la que llegaron.
Actividad: 6

Evaluación
Saberes
Identifica los teoremas que
requiere aplicar para resolver
límites de funciones.
Aplica los teoremas de límites para
resolver límites de funciones.
Realiza el proceso con limpieza y
claridad.
Autoevaluación
docente
Calcula el valor de los siguientes límites, utilizando los teoremas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Actividad: 7

51BLOQUE 2
Límites de funciones algebraicas.
A continuación se abordarán los límites de funciones, analizando comportamientos similares dependiendo de su
clasificación.
En la sección anterior se determinaron los teoremas sobre límites, y al aplicarlos de forma literal se hace el proceso un
poco tedioso, a continuación se mostrará un nuevo teorema que engloba la mayoría de los teoremas y agiliza el resultado
de los límites.
Límites de funciones polinomiales.
Una función polinomial es aquella que se expresa como:
  01
2
2
3n
3n
2n
2n
1n
1n
n
n axaxa...xaxaxaxaxf  





Donde an, an.1,…, a1, a0 son constantes y n es un número no negativo.
El dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales.
Debido a la forma que tienen las funciones polinomiales, se requieren los cinco primeros teoremas de límites,
exceptuando la multiplicación y división de funciones, es por ello que, éstos se conjugan en un nuevo teorema que agiliza
el proceso.
7. Límite de un polinomio.
Si f(x) es una función polinomial y “a” es cualquier número
real, entonces:
   afxflim
ax


Ejemplo 1.
Calcular el
2
9
lim
2x


y verificar el resultado, graficando la función.
Este límite se resuelve con el teorema de límite de una función constante, o bien con este último, sólo que al no haber
variable independiente (x) no existe lugar dónde sustituir, es por ello que permanece como resultado la misma constante.
2
9
2
9
lim
2x


Esto se puede verificar con la gráfica de la función
2
9
)x(f 
En la gráfica también se refleja una especie de comprobación del
teorema, porque independientemente del número al que se aproxime
“x”, el valor del límite siempre será la misma función constante.          









x
f(x)

Ejemplo 2.
Calcular el x4lim
2x


y verificar el resultado graficando la función.
Sustituyendo el valor en la función se obtiene el límite:
  824x4lim
2x


Se utiliza una tabla de valores para graficar la función y comprobar el resultado del límite.
Ejemplo 3.
Calcular el )3xx2(lim 2
3x


y verificar el resultado graficando la función.
Utilizando el teorema anterior, se tiene:
    183332)3xx2(lim 22
3x


Ahora se le dan distintos valores a “x” (de preferencia alrededor de x=3), para
encontrar los puntos que pertenecen a la función y así poder graficarla, a esto
se le conoce como el método de tabulación, para realizar una gráfica.
x y
−3 12
−2 3
−1 −2
0 −3
1 0
2 7
3 18
4 33
x y
−3 12
−2 8
−1 4
0 0
1 −4
2 −8
3 −12
          
























x
y
           












x
y

53BLOQUE 2
Límite de funciones racionales
Las funciones racionales son las que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:
 
 
 xQ
xP
xf  donde  xP y  xQ son funciones polinomiales sólo que   0xQ  .
Cuando se obtiene el límite de una función racional, puede dar como resultado alguno de los siguientes casos:
I) El resultado es un número real.
II) El resultado es un cociente de la forma
0
0
.
III) El resultado es un cociente donde el denominador es cero 





a,
0
a
.
Con ejemplos se mostrarán los tres casos, determinando el comportamiento de la función mediante gráficas, debido a
que en el caso II la función puede tener límite, y en el caso III, el límite no existe, pero tiene una denominación especial que
se abordará más adelante.
Ejemplo 1.
Calcular el
1x
5x4x
lim
2
4x 


.
Utilizando el teorema de límite de una función polinomial, se lleva a cabo la sustitución directa de los polinomios que
conforman la función racional.
   
  3
5
14
5444
1x
5x4x
lim
22
4x







En matemáticas 4 se inició el análisis de las funciones racionales, y se observó que tienen diferentes comportamientos,
dependiendo de los polinomios que conformen el cociente, es por ello que para graficar las funciones, se recurrirá a la
tecnología, como son el graficador Winplot, para poder visualizar la gráfica completa y realizar el análisis más rápido,
verificando que el límite obtenido es congruente con la gráfica de la función.
                  



















x
y

Ejemplo 2.
Calcular el .
3x
6xx
lim
2
3x 


Al sustituir el valor de −3 en la función se obtiene:
   
  0
0
33
633
3x
6xx
lim
22
3x







El resultado corresponde al segundo caso de límites de funciones racionales, debido a que en −3 se indefine la función,
pero dicha indefinición puede ser un punto hueco o que existan asíntotas. En el caso de que hubiera un punto hueco, el
límite sí existe y en el caso de que estuviera una asíntota, no existiría el límite. Para determinar de qué indefinición se trata,
se requiere utilizar algebra preliminar, en este caso es necesario recurrir a la factorización, como se muestra a
continuación.
  
3x
2x3x
lim
3x
6xx
lim
3x
2
3x 





En esta etapa, se puede cancelar el factor (x+3), que hace cero tanto al numerador como al denominador, y es válido
cancelarlo debido a que x se aproxima infinitamente a −3, pero sin llegar a tomar su valor.
Al transformarse
3x
6xx
)x(f
2


 en una función lineal 2x)x(g  , cuando 3x  , se puede concluir que su gráfica es
una recta con un punto hueco en (−3, −5), como se observa en la gráfica correspondiente.
En el plano de la izquierda se visualiza mejor el punto hueco y en el derecha puedes observar que cuando tiende a −3 por
ambos lados, la función se aproxima a −5, que es la altura a la que se encuentra la indefinición.
         











x
f(x)
         











x
f(x)
   5232xlim
3x
2x3x
lim
3x
6xx
lim
3x3x
2
3x








55BLOQUE 2
Ejemplo 3.
Calcular el
 2
4
2x 2x
16x
lim



Al evaluar x=2 en la función se obtiene:
 
 
  0
0
22
162
2x
16x
lim
2
4
2
4
2x







Ahora se procede a factorizar el numerador del cociente.
Aunque se obtuvo como primer resultado
0
0
y se realizó la factorización correspondiente, el límite de la función no existe.
Ahora se observará gráficamente el comportamiento de la función alrededor de x=2.
En la gráfica se observa que los límites unilaterales no coinciden por lo
tanto, el límite de la función cuando “x” tiende a 2, no existe.
Ejemplo 4.
Calcular el
 2
2
1x 1x
1x
lim



.
 
 
  0
2
11
11
1x
1x
lim
2
2
2
2
1x







El límite de la función cuando “x” tiende a −1 no existe. Al observar la gráfica se tiene que cumple con un comportamiento
muy particular, en este caso los límites unilaterales crecen arbitrariamente, es decir, se van hacia el infinito (  ) como se
observa en la gráfica.
 
  
 
   
  
  
 
   
  0
32
22
4222
2x
4x2x
lim
2x2x
4x2x2x
lim
2x
4x4x
lim
2x
16x
lim
22
2x
2
2x2
22
2x2
4
2x

















               




















x
y

Para indicar este comportamiento, se utiliza la siguiente notación:
 



 2
2
1x 1x
1x
lim
Esto no significa que  sea un número, ni que exista el límite,
simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe.
En general, se escribirá de forma simbólica
  

xflim
ax
para indicar que los valores de f(x) se vuelven cada vez más
grandes cuando “x” tiende a “a”.
De manera análoga, se escribirá
  

xflim
ax
para indicar que los valores de f(x) se vuelven cada vez más
pequeños cuando “x” tiende a “a”.
Límites en las funciones definidas por partes
Como te habrás dado cuenta, en las funciones ejemplificadas anteriormente, se puede obtener el límite de la función
simplemente sustituyendo el valor de “a” en la x, siempre y cuando se pueda obtener ese valor, es decir, que al hacerlo,
no resulte en una raíz de un número negativo o en una división entre cero, por ejemplo. Esto excluye, además aquellas,
funciones radicales que dén como resultado n
0 cuando n es par.
Cuando se abordó el tema de noción intuitiva de límite, se ejemplificaron funciones definidas por partes, es decir, donde el
dominio se divide en partes y cada una de ellas tiene una función diferente, y su comportamiento puede tener cambios
muy significativos, precisamente en aquel valor de “x” donde se divide el dominio. Debido a esto, se establecen dos
maneras de obtener el límite, dependiendo de cuál sea el valor de “a” hacia donde tiende la “x”, es decir, si “a” coincide o
no con el valor donde se divide el dominio.
             















x
y

57BLOQUE 2
Ejemplo 1.
Considerando la función:







2xsi8x6x
2xsi21x
)x(f
2
Encontrar el )x(flim
0x
.
Antes de empezar a resolver este límite, se requiere ubicar hacia dónde tiende la “x”, si está contenida dentro del dominio
de una de las partes que componen a la función o si es el número donde se dividen éstas, para determinar los límites
unilaterales y poder así elegir la función que corresponde, como se muestra a continuación:
32121021xlim)x(flim
0x0x



32121021xlim)x(flim
0x0x



Por lo que:
3)x(flim
0x


Una manera más simple de hacer el cálculo de este límite sería lo siguiente:
Como en este caso, “x” tiende a 0 y pertenece al dominio del valor absoluto, debido a que está definida para todos los
valores de 2x  , entonces sólo se sustituye el valor de 0 en el valor absoluto, porque los límites unilaterales daría la
misma sustitución, como se muestra a continuación.
32121021xlim
0x


En la gráfica de la función se visualiza que cuando “x” tiende a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, la función que
está involucrada es la de valor absoluto, no incluye la función cuadrática.
Ejemplo 2.
Considerando la función:







1xsix3
1xsix
)x(g
3
Calcula el )x(glim
1x
.
Lo primero que se requiere considerar el la ubicación del valor al que tiende “x”, con el propósito de identificar si se
requieren los límites unilaterales o una sustitución directa.
En este caso “x” tiende a 1 y al observar el dominio de la función, es precisamente el valor donde se parte la función en
una función cúbica a la izquierda del 1 y en una función lineal a la derecha del mismo. Debido a lo anterior, se requiere
obtener los límites unilaterales, como se muestra a continuación:
          










x
f(x)

  11xlim)x(glim 33
1x1x



213x3lim)x(glim
1x1x



Por lo tanto:


)x(glim
x
En la gráfica se visualiza que cada límite unilateral requiere la sustitución de una función diferente y como no llegan al
mismo punto cuando “x” tiende a 1, no existe su límite.
          









x
g(x)
Calcula el límite indicado en cada una de las funciones, si es que existe.
1.
a)
b)
c)
Actividad: 8

59BLOQUE 2
2.
a)
b)
3.
4.
5.
6.
7.

Evaluación
Saberes
Identifica los teoremas que
requiere aplicar para resolver
límites de funciones racionales y
definidas por partes.
Aplica los teoremas de límites para
resolver límites de funciones
racionales y definidas por partes.
Realiza el proceso con limpieza y
claridad.
Autoevaluación
docente
Límites de funciones trascendentes.
Las funciones trascendentes son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Límites de funciones trigonométricas
Los límites de las funciones trigonométricas elementales son aquellos que se obtienen de la sustitución directa, es decir, al
evaluar el valor al cual tiende “x”, como se muestra a continuación:
Ejemplo 1.
Calcular xsenlim
4
x


Primero hay que aclarar que las funciones trigonométricas se evalúan en radianes, debido a que son funciones definidas
en los números reales.
Luego, asegurándose que la calculadora científica que se utiliza está en radianes, sustituir el valor al cual tiende “x” en la
función dada, como se muestra a continuación.
7071.0
4
senxsenlim
4
x





 



Para visualizar mejor el límite, se realiza la gráfica en cualquier graficador (Winplot, Geogebra Derive, Graphics, entre otros)
Ejemplo 2.
Calcular el xcos4lim
0x
Al sustituir el valor de x=0 en la función, se obtiene:
  40cos4xcos4lim
0x


Observando la gráfica se comprueba dicho comportamiento.
4
    





x
sen(x)

61BLOQUE 2
Ejemplo 3.
Obtener el 


tanlim
2
Al sustituir el valor de
2

en la calculadora se obtiene como resultado una leyenda que
describe que hay un error y es porque la función trigonométrica tangente, se define
como el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente, y cuando el ángulo se
acerca a
2

(es decir, 90º) y ubicándose en el círculo unitario, como se vio en
Matemáticas 2, el cateto adyacente es cero, es por ello que no existe. Se puede decir
que la función tiene un comportamiento asintótico en
2

.
¿Se podrá decir que 


tanlim
2
ó 


tanlim
2
?
Al observar la siguiente gráfica de la función se puede dar respuesta a la pregunta anterior.
Como se observa, cuando  tiende a
2

por la izquierda, la función se va hacia ∞ y cuando  tiende a
2

por la derecha,
la función se va hacia −∞, por lo tanto, no se puede decir que el límite es igual a ∞ o −∞, simplemente éste no existe.



tanlim
2
        








x
4 cos(x)
      









tan ()
radio=1
Cat. Op.
Cat. Ady.
Hip


Límites de funciones exponenciales
La función exponencial es una función trascendente cuya forma es:
  x
bxf 
Donde a “b” se le denomina base y es una constante positiva diferente de 1, y a la variable “x” se le denomina exponente.
En la definición anterior, el coeficiente principal es uno, así que generalizando la definición se tiene:
  x
Abxf 
Donde el coeficiente A representa la condición inicial, esto es porque cuando x=0 se tiene:
 
   
  A0f
1A0f
Ab0f 0



La gráfica de la función exponencial dependiendo del valor de su base es la siguiente.
Con b>1 Con 0<b<1
   






x
f(x)
   






x
f(x)
Observa las gráficas anteriores responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué sucede con la función exponencial cuando “x” tiende a 0?
2. ¿Cuál es el comportamiento de la función exponencial cuando “x” aumenta indefinidamente?
3. ¿Hacia dónde se aproxima la función cuando “x” decrece indefinidamente?
Actividad: 9

63BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 9 Producto: Cuestionario. Puntaje:
Saberes
Observa las gráficas de funciones
exponenciales para encontrar el
comportamiento de las mismas,
cuando los valores crecen o
decrecen indefinidamente.
Predice el límite de una función
exponencial, analizando el
comportamiento del límite de
funciones.
Tiene apertura para hacer
aportaciones de relevancia en el
análisis de las preguntas.
Autoevaluación
docente
Límite de funciones logarítmicas
La función logarítmica de base b es la inversa de la función exponencial de base b, esto es:
xbxlogy y
b 
El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función exponencial, implica que la acción que una de ellas realiza
sobre un número, es eliminada por la otra función, es decir:
  xblog x
b 
El comportamiento de la función logarítmica dependiendo del valor de la base es la siguiente.
Con b>1 Con 0<b<1
       





x
f(x)
       




x
f(x)
Describe el comportamiento de la función utilizando límites.
Actividad: 10

Evaluación
Actividad: 10 Producto: Descripción. Puntaje:
Saberes
Comprende el comportamiento
de una función, utilizando límites.
Describe el comportamiento de una
función,utilizando límites.
Muestra interés para realizar la
actividad.
Autoevaluación
docente
Resuelve los siguientes límites:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Actividad: 11

65BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Reconoce los límites de las
funciones trascendentes.
Calcula límites de funciones
trascendentes..
Expresa sus dudas y corrige sus
errores.
Autoevaluación
docente
Límites en el infinito.
Hasta ahora se han considerado límites de funciones cuando “ x ” se ha aproximado a algún número real. Ahora se
considerará el cálculo de límites donde “x” aumenta o disminuye indefinidamente.
Utiliza el Winplot o algún otro software para que grafiques e imprimas cada una de las
siguientes funciones. Describe hacia dónde se aproxima cada una de las funciones
cuando “x” crece o decrece indefinidamente, es decir, cuando ó . Pega en
el lugar correspondiente cada una de las funciones impresas.
1.
2.
Actividad: 12

3.
4.
5.
6.

67BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Identifica el comportamiento de
una función mediante su gráfica.
Analiza el comportamiento de una
función, mediante su gráfica, para
describir su tendencia.
Reconoce la importancia del uso
de graficadores en el análisis del
comportamiento de funciones.
Autoevaluación
docente
Con la actividad anterior, notaste que cuando “x” aumenta o disminuye indefinidamente, la función racional cuyo
numerador es una constante y su denominador contiene a la variable, se aproxima a cero, este teorema se puede
representar de la siguiente forma:
0
x
c
lim
x


Donde “c” es la constante.
En el caso de que la variable esté elevada a alguna potencia, se aproxima más rápido a cero y se puede generalizar de la
siguiente forma:


 Zncon,0
x
c
lim nx
Además de observarlo en la gráfica, se puede visualizar el teorema de la siguiente forma:
  00c
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
clim
x
c
lim
vecesn
xnx


  

También observaste que algunas funciones, cuando tienden hacia el infinito a la derecha o izquierda, se aproximan a un
número en específico, esto se puede resolver algebraicamente utilizando el teorema anterior, como se muestra en los
siguientes ejemplos:
Ejemplo1.
Calcular el
10x8x4x8x6
6x3x4x5x3
lim 234
234
x 


Se identifica el grado mayor de los polinomios que componen el numerador y denominador, posteriormente se divide
cada término entre la variable “x” con el máximo exponente, en este caso, se divide entre 4
x , como se muestra a
continuación:
444
2
4
3
4
4
444
2
4
3
4
4
x234
234
x
x
10
x
x8
x
x4
x
x8
x
x6
x
6
x
x3
x
x4
x
x5
x
x3
lim
10x8x4x8x6
6x3x4x5x3
lim






,
Se realiza la división, utilizando las leyes de los exponentes:
432
432
x
x
10
x
8
x
4
x
8
6
x
6
x
3
x
4
x
5
3
lim



;
Aplicando los teoremas anteriores, todos los términos divididos entre la variable “x” elevada a una potencia con
aproximarán a cero cuando “x” tiende a infinito, lo anterior se puede escribir de la siguiente forma, para visualizar cuales
son los términos que se transforman en cero.

Por tanto:
.
2
1
6
3
10x8x4x8x6
6x3x4x5x3
lim 234
234
x




La gráfica de la función, valida el resultado que se obtuvo del límite de la función cuando “x” aumenta indefinidamente.
Ejemplo 2.
Encontrar
1x
x23
lim
3
x 


.
En este caso, el grado mayor es tres, y por ello se divide el numerador y el denominador entre 3
x , como se muestra a
continuación:
32
3
x
33
3
3
3
x
3
x
x
1
x
1
2
x
3
lim
x
1
x
x
x
x2
x
3
lim
1x
x23
lim









En este caso, cuando “x” tiende a  , se observa lo siguiente:
                        


















x
f(x)
32
3
x
x
1
x
1
2
x
3
lim



0
0 0
432
432
x
x
10
x
8
x
4
x
8
6
x
6
x
3
x
4
x
5
3
lim



0 0 0 0
0 0 0 0

69BLOQUE 2
El denominador se transforma en cero, por lo tanto, el límite de la función racional no existe, sin embargo, se puede
analizar qué sucede con la función cuando “x” decrece indefinidamente; si se observa la función original  
1x
x23
xf
3


 ,
cuando “x” decrece infinitamente, el numerador 3
x23  es positivo, debido a que 3
x es negativo y al multiplicarse por
−2, su coeficiente, el producto es positivo y al sumársele 3, sigue siendo positivo. En el caso del denominador 1x  , “x”
es infinitamente pequeño, por lo tanto, negativo, y al sumársele 1 sigue siendo negativo, así que el cociente es negativo.
El análisis anterior se puede visualizar con la siguiente gráfica de la función.
El límite se puede expresar como:



 1x
x23
lim
3
x
Ejemplo 3.
Obtener el
x10x8
6x2
lim 5
3
x 


.
Ahora, se detecta que el grado mayor de los polinomios que conforman a la función racional es de grado cinco, por lo
tanto, se divide tanto el numerador como el denominador entre 5
x .
4
52
x
55
5
55
3
x5
3
x
x
10
8
x
6
x
2
lim
x
x10
x
x8
x
6
x
x2
lim
x10x8
6x2
lim









;
Al aplicar el teorema se observa que el numerador se aproxima a cero y el denominador a ocho, como se muestra a
continuación.
0
8
0
x
10
8
x
6
x
2
lim
4
52
x




0
0
0

 
Realiza lo que se te solicita.
I. Resuelve los siguientes límites en el infinito:
1.
2.
3.
4.
Actividad: 13

71BLOQUE 2

































Evaluación
Actividad: 13
Producto: Ejercicios y problema
aplicado.
Puntaje:
Saberes
Reconoce el límite al infinito de
una función.
Emplea el límite de una función, para
resolver un problema práctico.
Muestra disposición en el
desarrollo de la actividad.
Autoevaluación
docente
II. Cuando se arroja materia orgánica de desecho a un estanque, éste se va oxidando y la
cantidad de oxígeno varía de acuerdo a la siguiente función:
Donde N es el nivel de oxígeno en un estanque y t el tiempo medido en semanas. Cuando t=0 el nivel de
oxígeno es el normal.
a) ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana?
b) ¿Tras diez semanas?
c) ¿Cuál es el porcentaje de oxígeno para “t” excesivamente grande?

Cierre
Resuelve los siguientes problemas:
1. El costo en millones de pesos que gasta una agencia gubernamental al incautar “x”% de cierta
droga ilegal es:
Determina el costo que gasta la agencia, cuando la droga incautada se acerca al 100%.
2. La población de una pequeña ciudad se puede predecir mediante la función
Donde “t” es el tiempo medido en años. ¿Cuál es el límite cuando “t” es excesivamente grande?
3. El costo promedio por disco (en pesos) cubierto por una compañía grabadora al imprimir x discos compactos
de audio está dado por la función de costo promedio.
Cómo se interpreta cuando “x” tiende infinito.
Actividad: 14

73BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 14 Producto: Problemas de aplicación Puntaje:
Saberes
en problemas cotidianos.
Aplica el límite de una función para
resolver problemas cotidianos.
Se interesa por resolver los
problemas de aplicación.
Autoevaluación
docente
4. Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos
cuando empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de
hiperactividad. Si se supone que la función , representa el porcentaje de estas
sustancias en una persona, durante una etapa de su enamoramiento, donde “t” representa el
número de meses, qué cantidad de estas sustancias se generarán cuando el tiempo es
exageradamente grande.
5. La presión atmosférica “p” disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio se
relaciona con la altura “h” en kilómetros mediante la fórmula .
¿Qué presión se obtiene si la altura es excesivamente grande?

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