Aplicaciones de las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio

Universidad Católica Ingeniería Civil
“Santo Toribio de Mogrovejo” Ambiental
Estática 1
“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO
RÍGIDO EN UNA ANTENA DE RADIO”
AUTORES:
Córdova Sánchez, Carlos Ernesto
Espejo Urbina, Joseline Del Rosario
Martínez Sáenz. Kevin Gerardo
Morales Galoc, Miguel Angel
Rojas Oblitas, Edú Jarthur
ASIGNATURA
Estática
DOCENTE:
Ing. Luis Alberto Ballena Rentería
2011 – II
CHICLAYO - PERÚ

Estática 2
APELLIDOS Y NOMBRES DE LAS AUTORES
Córdova Sánchez, Carlos Ernesto
Espejo Urbina, Joseline Del Rosario
Martínez Sáenz. Kevin Gerardo
Morales Galoc, Miguel Angel
Rojas Oblitas, Edú Jarthur
DOCENTE ASESOR:
Ing. Luis Alberto Ballena Rentería
TÍTULO
“Aplicaciones de las ecuaciones de equilibrio de un
cuerpo rígido en una antena de radio”
FECHA DE ENTREGA
01 de Diciembre del 2011

Estática 3
DEDICATORIA
A Dios por ser PADRE SUPREMO
de nuestra existencia, y principal
artífice de nuestros objetivos y fin
común.
A las futuras generaciones que con
espíritu investigador se motiven a seguir
nuestro ejemplo.

Estática 4
AGRADECIMIENTO
A la Universidad Católica Santo Toribio
de Mogrovejo por inculcarnos el amor al
estudio y por la oportunidad de
compartir el fruto de nuestro trabajo con
personas que valoran el esfuerzo que
requiere un trabajo de este tipo.
A nuestro asesor por apoyarnos y
guiarnos decididamente en el camino del
amor a la investigación, por ser
colaborador de nuestro aprendizaje.

Estática 5
ÍNDICE
Pag.
g.
PORTADA…………………………………………………………………………………….…... 1
CONTRAPORTADA………………………………………………………………………..……. 2
DEDICATORIA……………………………………………………………………………........... 3
AGRADEDICIMIENTO…………………………………………………………………..…….. 4
INDICE……………………………………………………………………………………………
…..
5
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………
………….
6
RESUMEN………………………………………………………………………………………. 8
CAPÍTULO I: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN………………………………………….. 9
CAPÍTULO II: DESARROLLO DEL TEMA…………………………………………………. 11
2.1. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES………………………………………….. 12
2.1.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ………………………………………. 12
2.1.2. ECUACIONES ESCALARES DE EQUILIBRIO…………………………. 18
2.2. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES…………………………………............. 18
2.2.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE…………………………………………. 19
2.2.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO………………………………………….. 22
CAPITULO III: PROBLEMA DE APLICACIÓN: EQUILIBRIO ESTATICO EN UNA
ANTENA DE RADIO…………………………………………………………………………….
24
3.1. GENERALIDADES…………………………………………………………………... 25
3.2.1. Ubicación……………………………………………………………………... 25
3.2.2. Vista satelital…………………………………………………………............... 25
3.2. Fundamento y modelamiento físico de la estructura…………………………………. 26
3.2.1. Identificación y descripción de los elementos estáticos que existen en la
infraestructura………………………………………………………………..
26
3.2.2. Idealización del sistema y de la distribución de fuerzas en el espacio................ 27
3.2.3. Diagrama de cuerpo libre de la estructura…………………………………… 30
CONCLUSIONES………………………………………………………………………………… 41
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………………………………. 42
ANEXOS………………………………………………………………………………………….. 43

Estática 6
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación tiene por título: “Aplicaciones de las ecuaciones de
equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio” y se pretende dar a conocer y explicar
cualquier problema de forma sencilla y lógica usando los principios básicos de la Mecánica
Vectorial. De esta manera se planteó la siguiente interrogante:
¿Cómo aplicar los conceptos de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio?
El siguiente informe de investigación se ha dividido en cinco capítulos que serán el sustento de
nuestra investigación guiados por los objetivos a desarrollar, estos capítulos son:
 En el capítulo I, se refiere al problema de investigación el cual contiene aspectos referidos a
la formulación, planteamiento e importancia del problema a investigar.
 En el capítulo II, tratará acerca de la teoría de cuerpos rígidos, soportes en dos
dimensiones y soportes tridimensionales, las ecuaciones de equilibrio, etc.
 En el capítulo III, llamado “ejercicio de aplicación”, describe la ubicación de la antena
estudiada, y el desarrollo del problema planteado.
 En el capítulo IV, describe las conclusiones a las cuales se ha llegado después de un
exhaustivo análisis de estudio.
 Por último en el capítulo V, detalla todo el material bibliográfico empleado o consultado,
en este trabajo de investigación.
El siguiente trabajo de investigación tiene por objetivo general:
 Analizar cualquier problema de forma sencilla y lógica usando los principios básicos de la
Mecánica Vectorial.
Asimismo se trabajará los siguientes objetivos específicos:
 Analizar el efecto de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido y aprender a sustituir un
sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.
 Utilizar diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y expresar la
equivalencia entre los sistemas de fuerzas o entre los sistemas vectoriales.
 Determinar las fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o
reacciones desconocidas sobre éste por sus puntos de apoyo.
Este trabajo de investigación es una contribución a la ingeniería, porque nos será útil para
cursos posteriores y para la práctica.

Estática 7
RESUMEN
Para el equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio, la mejor manera de empezar el
análisis es trazando el diagrama de cuerpo libre del cuerpo, que es un croquis del contorno del
cuerpo, teniendo en cuenta las fuerzas ejercidas (externas e internas) en dicho cuerpo, las
reacciones y momentos que generan cada tipo de soporte (bidimensionales y tridimensionales).
Para poder encontrar el valor de las fuerzas desconocidas se necesitarán aplicar estas
ecuaciones de equilibrio:
∑Fx=0 ∑Mx=0
∑Fy=0 ∑My=0
∑Fz=0 ∑Mz=0

Estática 8
CAPÍTULO I

Estática 9
I. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. FORMULACIÓN
¿Cómo aplicar los conceptos de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio?
1.2. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA
La Estática es un área fundamental en la Ingeniería; el curso de Estática se basa en los
conceptos mecánicos de la Física sus conceptos y métodos son útiles para cursos
posteriores y para la Ingeniería en la práctica. Es por eso, que con el desarrollo del
presente trabajo permitirá ampliar nuestros conocimientos en el campo de la Estática,
ya que comprobaremos la estabilidad que puede tener un cuerpo rígido en equilibrio y
su aplicación en la vida diaria: en este caso antenas. Analizando los conceptos previos
antes conocidos como: diagrama de cuerpo libre, fuerzas (tensiones en cables),
momento, reacciones, clases de soportes, etc.
1.3. OBJETIVOS
13.1. General: Analizar cualquier problema de forma sencilla y lógica
usando los principios básicos de la Mecánica Vectorial.
13.2. Específicos:
 Analizar el efecto de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido y aprender
a sustituir un sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.
 Utilizar diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y
expresar la equivalencia entre los sistemas de fuerzas o entre los sistemas
vectoriales.
 Determinar las fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo
rígido o reacciones desconocidas sobre éste por sus puntos de apoyo.

Estática 10
CAPÍTULO II

Estática 11
II. DESARROLLO DEL TEMA
La estática es el análisis de cuerpos en equilibrio, incluidos los operadores robóticos, los
puentes, las presas y los edificios. Ahora que ya hemos aprendido a calcular momentos,
podemos enfrentarnos a problemas de equilibrio más interesantes.
En este tema a tratar estableceremos las ecuaciones de equilibrio y describiremos modelos
sencillos de los diversos tipos de soportes utilizados en ingeniería. Luego mostramos como
usar las ecuaciones de equilibrio para obtener información respecto a los sistemas de fuerzas
y momentos que actúan sobre los cuerpos
2.1. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES
2.1.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
La mejor manera de tomar en cuenta las fuerzas es trazando el diagrama de cuerpo
libre del cuerpo. Este diagrama es un croquis del contorno del cuerpo que lo
representa aislado o “libre” de su entorno, eso es, un “cuerpo libre”. Sobre este
croquis, es necesario mostrar todas las fuerzas y los momentos de par que en el
entorno ejerce sobre el cuerpo de manera que estos efectos puedan ser considerados
cuando se apliquen la ecuación de equilibrio.
2.1.1.1.Reacciones en los puntos de apoyos y conexiones de una estructura
bidimensional (soporte)
Muchas aplicaciones en ingeniería implican sistemas de fuerzas y
momentos. Analizaremos soportes y las reacciones que existen en cada uno
de los tipos de estas conexiones bidimensionales.
Soportes:
Estando de pie o sentado en una silla, el piso nos soporta. Las fuerzas y
pares ejercidos sobre un cuerpo por sus soportes se denominan reacciones.
Algunos tipos muy comunes de soportes se representan con modelos
estilizados llamados convenciones de soporte
Soporte de pasador: Tenemos un soporte de pasador; un soporte al cual está
unido un cuerpo con un pasador liso que pasa por el soporte y el cuerpo.
Para entender que reacciones pueden generar un soporte de pasador;
imaginémonos sosteniendo una barra unida a un soporte de pasador. Si
tratamos de mover la barra sin hacerla girar (es decir, trasladar la barra), el
soporte ejerce una fuerza reactiva que lo impide. Sin embargo, si se puede

Estática 12
hacer girar la barra alrededor del eje del pasador. El soporte no puede
generar un par respecto al eje del pasador, pero si puede ejercer una fuerza
sobre un cuerpo en cualquier dirección, lo que comúnmente se expresa
representando la fuerza en términos de sus componentes.
Soporte de rodillo: el soporte de rodillo es un soporte de pasador montado
sobre ruedas. Como se puede mover con libertad paralela a la superficie
sobre la que rueda, no puede generar una fuerza paralela a la superficie sino
solo una fuerza normal (perpendicular).
Soporte de empotramiento: El Soporte de empotramiento, o soporte fijo,
presenta el objeto soportado literalmente empotrado en la pared. Un
empotramiento puede generar 2 componentes de fuerza y un par.
Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser
divididas entre grupos que corresponden a tres tipos de apoyos o
conexiones:
- Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. Los
apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen
rodillos, balancines, superficies sin fricción, eslabones y cables cortos,
collarines sobre barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas.

Estática 13
Cada uno de estos apoyos y conexiones pueden impedir el movimiento solo
en una dirección.
- Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección
desconocida. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este
tipo incluyen pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o
bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del
cuerpo rígido en todas las direcciones pero no pueden impedir la rotación
del mismo con respecto a la conexión. Las reacciones de este grupo
involucran dos incógnitas que usualmente se representan por sus
componentes x y y. En este caso de una superficie rugosa la componente
perpendicular a la superficie debe dirigirse alejándose de ella.
- Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se
originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del
cuerpo y, por tanto, lo restringen por completo. Los soportes fijos producen
fuerzas sobre toda la superficie de contacto; sin embargo, estas fuerzas
forman un sistema que se puede reducir a una fuerza y un par. Las
reacciones de este grupo involucran tres incógnitas, las cuales consisten en
las dos componentes de la fuerza y el momento del par.

Estática 14
2.1.1.2.Fuerzas externas e internas
Como un cuerpo rígido es una composición de partículas, pueden actuar el
tanto cargas externas como internas. Sin embargo, es importante advertir
que si se traza el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo, las fuerzas
internas no se representan sobre dicho diagrama (como se observa en los
gráficos anteriores), esas fuerzas siempre se presentan en parejas colineales
iguales, pero opuestas, y por lo tanto, sus efectos netos sobre el cuerpo son
cero.

Estática 15
En algunos problemas, un diagrama de cuerpo libre para un “sistema” de
cuerpos conectados puede usarse para el análisis, un ejemplo sería el
diagrama de cuerpo libre de un automóvil (sistema), el cual está compuesto
por muchas partes. Obviamente, las fuerzas de contacto entre sus partes
representan fuerzas internas que no se incluirían en el diagrama de cuerpo
libre del automóvil. Para resumir, las fuerzas internas actúan entre
partículas que están contenidas dentro de los límites del diagrama de cuerpo
libre. Partículas o cuerpos situados fuera de estos límites ejercen fuerzas
externas sobre el sistema y solo estas deben mostrarse el diagrama de
cuerpo libre.
2.1.1.3.Peso y centro de gravedad
Cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, cada una de sus
partículas tiene un peso específico. Para todo el cuerpo, es apropiado
considerar esas fuerzas gravitatorias como representadas por un sistema de
fuerzas paralelas actuando sobre todas las partículas contenidas dentro de
los límites del cuerpo. Tal sistema puede ser reducido a una sola fuerza
resultante actuando a través de un punto específico. Nos referimos a esta
fuerza resultante como al peso W del cuerpo, y a la posición de su punto de
aplicación como al centro de gravedad.
El peso del cuerpo es importante para el análisis, esta fuerza resultante será
indicada en el enunciado del problema. También, cuando el cuerpo es
uniforme o está hecho de material homogéneo, el centro se localizará en el
centro geométrico o centroide del cuerpo; sin embargo, si el cuerpo no es
homogéneo o tiene una forma poco común, entonces la ubicación de su
centro de gravedad será dada.
2.1.1.4.Procedimiento para trazar un Diagrama de Cuerpo Libre.
Para construir un diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido o grupos
considerados como un solo sistema, pueden llevarse a cado los siguientes
pasos:
- Trazar el contorno. Imagen del cuadro aislado o recortado “libre” de
sus restricciones y conexiones, y delinee (un croquis) su contorno.
- Muestre todas las fuerzas y los momentos de par. Identifique todas las
fuerzas externas y momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Las
encontradas generalmente son debidas a:

Estática 16
 Cargas aplicadas.
 Reacciones que ocurren en los soportes o en puntos de contacto con
otros cuerpos
 El peso del cuerpo.
- Identifique cada carga y dé las dimensiones. Las fuerzas y los
momentos de parque son conocidos deben rotularse con sus propias
magnitudes y direcciones. Se usan letras para representar las magnitudes y
los ángulos de dirección de fuerzas y momentos de par que sean
desconocidos. Establezca un sistema coordenado x, y de manera que estas
incógnitas Ax, By, etc., puedan ser identificadas. Indique las dimensiones
del cuerpo necesarias para calcular los momentos de las fuerzas.
Puntos importantes
- Ningún problema de equilibrio debe resolverse sin trazar primero el
diagrama de cuerpo libre.
- Si un soporte previene la traslación de un cuerpo en una dirección
particular, entonces el soporte ejerce un momento de par sobre el cuerpo.
- Las fuerzas internas nunca se muestran sobre el diagrama de cuerpo
libre ya que se presentan en pareja coloniales iguales, pero opuestas, y por
tanto, se cancelan.
- El peso de un cuerpo es una fuerza externa, y su efecto se muestra
como una sola fuerza resultante actuando a través del centro de gravedad G
del cuerpo.
- Los momentos de par pueden ser colocados en cualquier parte sobre el
diagrama de cuerpo libre ya que son vectores libres. Las fuerzas pueden
actuar en cualquier punto a lo largo de sus líneas de acción ya que son
vectores deslizantes.

Estática 17
2.1.2. ECUACIONES ESCALARES DE EQUILIBRIO
Cuando las cargas y reacciones sobre un objeto en equilibrio forman un
sistema bidimensional de fuerzas y momentos, éstos se relacionan
mediante dos ecuaciones de equilibrio escalares:
2.2. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
En equilibrio en dos dimensiones no se puede obtener más de tres ecuaciones
independientes de equilibrio. En el caso de un sistema tridimensional de fuerzas y

Estática 18
momentos, se pueden obtener hasta seis ecuaciones independientes de equilibrio: las
tres componentes de la suma de las fuerzas deben ser nulas y las tres componentes
de la suma de los momentos respecto a cualquier punto deben también ser iguales a
cero. El procedimiento es el mismo que en dos dimensiones, dibujar el diagrama de
cuerpo libre y aplicar las ecuaciones de equilibrio. Solo se requiere familiarizarse
con las convenciones de soporte usadas mayormente en las aplicaciones
tridimensionales.
2.2.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Las reacciones de una estructura tridimensional abarcan desde una sola
fuerza de dirección conocida, ejercida por una superficie sin fricción, hasta
un sistema de fuerza-par ejercido por un apoyo fijo. Por tanto, en los
problemas que involucran el equilibrio de una estructura tridimensional
pueden existir entre una y seis incógnitas asociadas con la reacción
correspondiente a cada apoyo o conexión. Una forma sencilla de
determinar tanto el tipo de reacción correspondiente a un apoyo o
conexión dado, como el número de incógnitas involucradas, consiste en
establecer cuál de los seis movimientos fundamentales: (traslación en las
direcciones x, y, z y rotación con respecto a los ejes x, y, z) cuales de estos
movimientos están permitidos y cuales están restringidos.
REACCIONES EN LOS PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES DE UNA
ESTRUCTURA TRIDIMENSIONAL
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Cable Una incógnita. La reacción es
una fuerza que actúa
alejándose del miembro en la
dirección conocida del cable.
Soporte superficial liso Una incógnita. La reacción es
perpendicularmente a la
superficie en el punto de
contacto.
Soporte superficial rugoso Tres incógnitas: Tres
reacciones que actúan en los
ejes

Estática 19
Rodillo sobre superficie
lisa
Es un soporte de bola y
cuenca que puede rodar sobre
una superficie de apoyo.
Una incógnita. La reacción es
superficie del punto de
contacto.
Rodillo sobre superficie
rugosa
Dos incógnitas: dos
componentes de fuerza.
Rueda sobre riel Dos incógnitas: dos
componentes de fuerza.
Soporte de Bola y cuenca
Rótula esférica
El cuerpo soportado esta
unido a una bola encerrada
dentro de una cuenca esférica.
La cuenca permite que la bola
gire libremente (se deprecia la
fricción), pero impide que se
traslade en cualquier
dirección.
Tres incógnitas. Las
reacciones son tres
componentes rectangulares de
fuerza.

Estática 20
Cojinete
(a)
(b)
(e)
El cojinete soporta un árbol
(o eje, o flecha) circular que
puede girar alrededor de su
eje. Puede ser variado de
acuerdo al problema:
a. Dos incógnitas: 2
reacciones cuando el cojinete
no genera pares ni una fuerza
paralela al eje del árbol.
b. Tres incógnitas: 3
reacciones, cuando el cojinete
no genera pares.
c. Cuatro incógnitas: Las
reacciones son dos fuerzas y
dos componentes de momento
de par que actúan
flecha.
d. Cinco incógnitas: Las
reacciones son dos fuerzas y
tres componentes de momento
par.
e. Cinco incógnitas: Las
reacciones son tres fuerzas y
par.
Pasador simple liso Cinco incógnitas. Las
par.
Articulación simple o
bisagra
(a) Permite que el cuerpo
soportado gire respecto a una
línea o un eje.
Puede ser variado de acuerdo
al problema:
a. Dos incógnitas. Dos
reacciones cuando la bisagra
no genera pares ni una fuerza

Estática 21
(b)
(c)
paralela al eje de ella
b. Tres incógnitas. Tres
reacciones, cuando la bisagra
no genera pares.
c. Cinco incógnitas. Las
par.
Soporte fijo
(empotramiento)
Seis incógnitas: Las
tres componentes de momento
par.
2.2.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO
Las condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema
de fuerza requieren que la fuerza resultante y el momento de par resultante que
actúan sobre el cuerpo sean igual a cero.
ECUACIONES VECTORIALES DE EQUILIBRIO.
Las dos condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido pueden ser
expresadas matemáticamente en forma vectorial como:
∑M=0 Suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan en el cuerpo
∑F=0 Suma de los momentos de par y los momentos de todas las fuerzas con
respecto a cualquier punto O localizado en o fuera del cuerpo
ECUACIONES ESCALARES DE EQUILIBRIO. Si todas las fuerzas externas y
los momentos de par aplicados son expresados en forma vectorial cartesiana y
sustituidos en las ecuaciones anteriores tenemos:

Estática 22
∑F=∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk=0
∑M=∑Mxi + ∑Myj + ∑Mzk=0
Como las componentes i, j y k son independientes una de otra las ecuaciones
anteriores serán satisfechas siempre que:
∑Fx=0 ∑Mx=0
∑Fy=0 ∑My=0
∑Fz=0 ∑Mz=0
Estas ecuaciones se pueden resolver para un máximo de seis incógnitas, las cuales,
generalmente, representan reacciones en apoyos o en las conexiones.

Estática 23
CAPÍTULO II

Estática 24
III. EJEMPLO DE APLICACIÓN: EQUILIBRIO ESTÁTICO EN UNA ANTENA DE
RADIO
3.1. GENERALIDADES
3.1.1. Ubicación
Está ubicado en la calle Sargento Lores N° 94 Urbanización Satélite.
3.1.2. Vista satelital
Imagen N° 1
En esta imagen
logramos apreciar la
vista total de la
estructura: antena de
radio, ubicada en el
cuarto piso de la
vivienda familiar.

Estática 25
3.2. FUNDAMENTO Y MODELAMIENTO FÍSICO DE LA ESTRUCTURA
3.2.1. Identificación y descripción de los elementos estáticos que existen en la
infraestructura
Cinco estudiantes de Ingeniería observaron una antena de radio de 12 m. de altura y
peso de 500 kgf, con seis cables de peso despreciable (como se muestra en la figura), y se
preguntaron cómo aplicar las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido para poder
Imagen N° 2
Vista satelital de la
vivienda
Latitud:
6°46'15.10"S
Longitud:
79°51'58.19"O
Elevación: 27
m.s.n.m.

Estática 26
calcular las reacciones en la base y las tensiones de los cables (despreciando el momento
en el empotrado).
PRIMER CASO: si las tensiones que llegan al punto E tienen el mismo módulo = P, si
las tensiones que llegan al punto D tienen el mismo módulo = T
SEGUNDO CASO: si las tensiones que llegan al punto E son: TAE = P, TBE=2P,
TCE=3P, si las tensiones que llegan al punto D son: TAD = T, TBD=2T, TCP=3T
TERCER CASO: con las mismas tensiones del segundo caso, con una fuerza externa F
ubicada a 800cm de la base, F= -200 i + 50 j + 300 k

Estática 27
A
B
C
D
E (0,0,1160)
(0,0,560)
Imagen N° 3
Apreciamos una torre
sostenida por seis
cables, con un
empotrado en su
base.

Estática 28
3.2.2. Idealización del sistema y de la distribución de fuerzas en el espacio
PARA EL PRIMER CASO
A
P
T
Imagen N° 4
Fuerzas que actúan
en el punto A de la
estructura.

Estática 29
B
P
T
Imagen N° 5
Fuerzas que actúan
en el punto B de la
estructura.

Estática 30
C
P
T
Imagen N° 6
Fuerzas que actúan
en el punto C de la
estructura.

Estática 31
D
E
P
P
P
T
T
T
Imagen N° 7
Fuerzas que actúan
en los puntos D y E
de la estructura.

Estática 32
PARA EL SEGUNDO CASO
R R y
R z
Imagen N° 8
Reacciones en el
apoyo.

Estática 33
A
P
T
Imagen N° 9
Fuerzas que actúan
en el punto A de la
estructura.

Estática 34
B
2P
2T
Imagen N° 10
Fuerzas que actúan
en el punto B de la
estructura.

Estática 35
C
3P
3T
Imagen N° 11
Fuerzas que actúan
en los puntos D y E
de la estructura.

Estática 36
3.2.3. Diagrama de cuerpo libre de la estructura
R R y
R z
Imagen N° 12
Reacciones en el
apoyo.

Estática 37
PRIMER CASO

Estática 38

Estática 39
A
B
C
D
E (0,0,1160)
(0,0,560)
(296,0,0)
(-218.5, 378.45, 0)
(-218.5, -378.45,
P
T
R y
R x
R z

Estática 40
Las coordenadas de los puntos son:
A (-218.5 , -378.45 , 0)
B (296 , 0 , 0)
C (-218.5 , 378.45 , 0)
D (0 , 0 , 560)
E (0 , 0 , 1160)
Hallando las tensiones en forma vectorial:
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
∑
(1)
∑

Estática 41
∑
(2)
∑
Estos vectores se aplican en el mismo punto, sabiendo que
Producto vectorial sería igual a:
∑

Estática 42
Reemplazando P en (1)
( )
Reemplazando P en (2)
( )
El resultado queda expresado en función de T.

Estática 43
SEGUNDO CASO

Estática 44
A
B
D
E (0,0,1160)
(0,0,560)
(296,0,0)
(-218.5, 378.45, 0)
(-218.5, -378.45,
P
T
R y
R x
R z
3P
2P
3T
2T

Estática 45
A (-218.5 , -378.45 , 0)
B (296 , 0 , 0)
C (-218.5 , 378.45 , 0)
D (0 , 0 , 560)
E (0 , 0 , 1160)
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
∑
(1)

Estática 46
∑
(2)
∑
(3)
∑
Producto vectorial seria igual a:
∑

Estática 47
∑
(4)
∑
(5)
Reemplazando (4) en (5)
( )
Reemplazando P y T en (1)

Estática 48
TERCER CASO
A (-218.5 , -378.45 , 0)
B (296 , 0 , 0)
C (-218.5 , 378.45 , 0)
D (0 , 0 , 560)
E (0 , 0 , 1160)
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
⟨
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( )
⟩
∑

Estática 49
(1)
∑
(2)
∑
(3)
∑

Estática 50
Para F, sabiendo que
∑
∑
∑

Estática 51
IV. CONCLUSIONES
Después de planificado, ejecutado nuestro trabajo de investigación hemos llegado a las
siguientes conclusiones:
 Podemos utilizar las ecuaciones de equilibrio, siempre y cuando, sea un cuerpo
estáticamente determinado, es decir, que el número de incógnitas no excede de seis.
 Esta estructura es hiperestática, porque si consideramos todas las fuerzas sobrepasan
las ecuaciones de equilibrio, es por eso, que tomamos valores iguales para cada tensión
que llegan a un mismo punto, en el segundo caso en progresión aritmética, y en el
tercer caso con una fuerza externa.
 En los dos primeros casos, las tensiones van a ser cero porque no hay una fuerza
externa que actué en la torre, como por ejemplo el viento, fuerzas naturales, etc. Las
tensiones máximas en los miembros y las reacciones de la estructura se deben
determinar considerando las direcciones de viento que provoquen las máximas fuerzas
de viento.
 Y en el tercer caso, con una fuerza externa que actúa en la torre logramos obtener un
valor numérico distinto de cero para las tensiones y reacciones “x” y “y” en el soporte,
ya que la fuerza externa hace actuar a las tensiones.

Estática 52
V. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS: ESTÁTICA Ferdinand P. Beer,
E. Russell Johnston Jr, Elliot R. Eisenberg Ed. Mc Graw Hill, México, 2007,
Octava Edición
- MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS: ESTÁTICA Russel C. Hibbeler
PRENTICE–HALL INC, México, 2004, Décima Edición
- ESTÁTICA, MECÁNICA PARA INGENIERÍA Bedford, Anthony y Fowler,
Wallace L. Addison Wesley, edición en español, México.

Estática 53
VI. ANEXOS
¿Cómo aplicar los conceptos de
equilibrio de un cuerpo rígido en una
antena de radio?
OBJETIVO GENERAL
•Analizar cualquier problema de forma sencilla y lógica usando los principios
básicos de la Mecánica Vectorial.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
•Analizar el efecto de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido y aprender a
sustituir un sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.
•Utilizar diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y
expresar la equivalencia entre los sistemas de fuerzas o entre los sistemas
vectoriales.
•Determinar las fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido
o reacciones desconocidas sobre éste por sus puntos de apoyo.
El soporte no puede generar un
par respecto al eje del pasador
Es un soporte de pasador montado
sobre ruedas, no puede generar una
fuerza paralela a la superficie
El soporte de empotramiento genera 2
componentes de fuerza y un par.
BIDIMENSIONALES
La reacción actúa alejándose del
miembro en la dirección conocida
del cable.
Tres reacciones que actúan en los
ejes
TRIDIMENSIONAL
∑Fx=0 ∑Mx=0
∑Fy=0 ∑My=0
∑Fz=0 ∑Mz=0
Estas ecuaciones se pueden resolver para un máximo de 6 incógnitas, las
cuales, generalmente, representan reacciones en apoyos o en las
conexiones.
Equilibrio estático de una antena de radio
Vista satelital de la vivienda
Latitud: 6 46'15.10"S
Longitud: 79 51'58.19"O
Elevación: 27 m.
Fuerzas que actúan
en el punto A de la
estructura.
Fuerzas que actúan en
el punto B de la
estructura.
el punto C de la
estructura.
Idealización del sistema y de la distribución de fuerzas en el espacio
los puntos D y E de la
estructura.
Reacciones en el apoyo.

Estática 54
Cinco estudiantes de Ingeniería observaron una antena de radio de 12 m. de altura y peso
de 500 kgf, con seis cables de peso despreciable (como se muestra en la figura), y se
preguntaron cómo aplicar las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido para poder
calcular las reacciones en la base y las tensiones de los cables (despreciando el momento en
el empotrado).
PRIMER CASO: si las tensiones que llegan al punto E tienen el mismo módulo = P, si las
tensiones que llegan al punto D tienen el mismo módulo = T
SEGUNDO CASO: si las tensiones que llegan al punto E son: TAE = P, TBE=2P, TCE=3P, si las
tensiones que llegan al punto D son: TAD = T, TBD=2T, TCP=3T
TERCER CASO: con las mismas tensiones del segundo caso, con una fuerza externa F ubicada
a 800cm de la base, F= -200 i + 50 j + 300 k
Hallando las tensiones en forma
vectorial:
Hallando las tensiones en forma
vectorial:
Para F, sabiendo que
Después de planificado, ejecutado nuestro trabajo de investigación hemos llegado
a las siguientes conclusiones:
 Podemos utilizar las ecuaciones de equilibrio, siempre y cuando, sea un cuerpo
estáticamente determinado, es decir, que el número de incógnitas no excede de 6.
 Esta estructura es hiperestática, porque si consideramos todas las fuerzas
sobrepasan las ecuaciones de equilibrio, es por eso, que tomamos valores iguales
para cada tensión que llegan a un mismo punto, en el segundo caso consideramos
una de ellas la mitad de su modulo; y en el tercer caso, en progresión aritmética.
 Las tensiones van a ser cero porque no hay una fuerza externa que actué en la
torre, como por ejemplo el viento, fuerzas naturales, etc. Las tensiones máximas en
los miembros y las reacciones de la estructura se deben determinar considerando
las direcciones de viento que provoquen las máximas fuerzas de viento y
momentos torsores.

Aplicaciones de las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio

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