Movimiento 1 d

Movimiento 1D
GETTYS, W.E.; KILLER, F.J. Y SKOVE, M.J. "Física para ciencias e ingeniería", Tomo I. Ed.
McGraw-Hill. 2005.
SERWAY R. A. BEICHNER R. J. “Física para ciencias e ingeniería”. Tomo I, quinta edición,
Editorial Mc. Graw Hill. 2000
SEARS, F.W. ZEMANSKY, M. YOUNG, H. “Física Universitaria”. Vol 1, Ed. Pearson Educacion.
2004.
TIPLER P.A., "Fisica", Vol 1. Ed. Reverté, Barcelona, 1993
LEA, S.M. Y BURKE, J.R., "Física. La naturaleza de las cosas", Vol. 1 Ed. Paraninfo, Madrid
2001.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
Universidad Pontificia Bolivariana
Seccional Bucaramanga

Seccional Bucaramanga Claudia González Cuervo. Ph. D
El movimiento se origina en una dimensión.
Para conocer el movimiento de una partícula, se debe conocer su
posición en el espacio en cada instante de tiempo.

Un gráfico más útil es poner el eje x vertical y
el eje del tiempo horizontal.
El cambio puede denotarse como: ∆
Entonces cuando la partícula va desde
xi hasta xf el desplazamiento puede
escribirse como:
∆x = xf - xi
Entonces ∆x >0 si xf > xi
∆x < 0 si xf < xi
Esta cantidad da información de
cuanto se mueve efectivamente la
partícula
El desplazamiento no es lo mismo que distancia recorrida

El cociente entre el desplazamiento ∆x
de la partícula y el intervalo ∆t se
denomina velocidad media v
t
x
tt
xx
v
if
if
∆
∆
=
−
−
=
vCaracterísticas de
- Tiene dimensiones de longitud divida por tiempo
- Unidades en el sistema: SI: m/s
CGS: cm/s
s. inglés: pies/s
-Es independiente de la trayectoria, sólo depende de los puntos inicial y final
-Es independiente de la recta entre los puntos inicial y final
-Indica la dirección del viaje.
[ ] [ ]
[ ]T
L
v =

Rapidez promedio: es el cociente entre la distancia total recorrida
y el tiempo total requerido para hacerlo.
Características de rapidez:
-Tiene dimensiones de longitud dividida en tiempo
-No indica la dirección de viaje.
[ ] [ ]
[ ]T
L
promediorapidez =−

Velocidad instantánea y rapidezVelocidad instantánea y rapidez.
Supongamos que ∆t →0. entonces la velocidad promedio calculada en
este este pequeño intervalo corresponde a
la pendiente de la recta tangente a la
curva en ese punto. Entonces si la
trayectoria es suave (sin puntas) y
continua. Si se toma un trocito
infinitesimalmente chico de ella, ese
trocito siempre será una línea recta,
entonces: la definición sería:
dt
dx
v =
Calculo infinitesimal

Características:
- Tiene dimensiones de longitud divida por tiempo
- Unidades en el sistema: SI: m/s
CGS: cm/s
s. inglés: pulg/s
- Puede ser positiva o negativa
[ ] [ ]
[ ]T
L
v =

rapidez = magnitud de la velocidad.
Ejemplo:
Una partícula puntual se mueve a lo largo del eje x, ocupando en cada
instante de tiempo t la posición x(t), dada por la siguiente ecuación:
x(t) = At2
+ Bt + C
Cuál es la velocidad instantánea en cada instante de tiempo t?
Solución:
t
x
limv
t ∆
∆
=
→∆ 0
ttt if ∆=−
if ttt +∆=
)t(xx ff =
CBtAt ff ++= 2
C)tt(B)tttt(A
C)tt(B)tt(A
iii
ii
+∆++∆+∆+=
+∆++∆+=
22
2
2

t
)CBtAt(C)tt(B)tttt(A
lim
t
x
limv iiiii
tt ∆
++−+∆++∆+∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
222
00
2
t
CBtAtCtBBttAtAtAt
lim iiiii
t ∆
−−−+∆++∆+∆+
=
→∆
222
0
2
t
tBtAtAt
lim i
t ∆
∆+∆+∆
=
→∆
2
0
2
t
t)BtAAt(
lim i
t ∆
∆+∆+
=
→∆
2
0
BAti += 2
Y como ti es cualquier instante de tiempo entonces: v(t) = 2At +B

La operación que acabamos de hacer es conocida como “derivar x(t)
con respecto a t, en cálculo infinitesimal.
Tarea: Demostrar, que en general, si:
Entonces:
p
p
m
m
n
n tA...tAtA)t(x +++=
111 −−−
+++== p
p
m
m
n
n ptA...mtAntA
dt
dx
v

Aceleración:Aceleración:
Todos tenemos la idea intuitiva de que aceleración es
cambiar la velocidad a medida que transcurre el tiempo.
Análogamente, podemos definir la aceleración
promedio.
t
v
tt
vv
a
if
if
∆
∆
=
−
−
=
También la aceleración instantánea.
t
v
lima
t ∆
∆
=
→∆ 0
dt
dv
a = 





=
dt
dx
dt
d
a
2
2
dt
xd
a =

Características de la aceleración:
:
- Tiene dimensiones de longitud divida por tiempo al cuadrado
- Unidades en el sistema: SI: m/s2
CGS: cm/s2
s. inglés: pies/s2
-Indica la razón de cambio de la velocidad en el tiempo
-Puede ser cero positiva o negativa. Esto corresponde al
movimiento a velocidad constante, aumento de velocidad en el
tiempo en la dirección x positiva o disminución de ella en el tiempo
en dirección x positiva.
[ ] [ ]
[ ]2
T
L
a =

Ejercicio 1:
En la gráfica se muestra el desplazamiento en función del tiempo para cierta
partícula que se mueve a lo largo del eje x.
Encontrar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo:
a)0 a 2 s
b)0 a 4 s
c)2 a 4 s
d)4 a 7 s
e)0 a 8 s

Ejercicio 2:
En la gráfica se muestra posición – tiempo de una partícula que se mueve a lo
largo del eje x.
a)Encontrar la velocidad promedio en el intervalo de tiempo t = 1.5s a t = 4.0s
b)Determinar la velocidad instantánea en t = 2 s
c)¿en que valor de t la velocidad es 0?

Ejercicio 3.
La grafica velocidad - tiempo para un objeto que se mueve a lo largo del eje x
se muestra en la figura.
a.Elabore una gráfica de aceleración en función de tiempo.
b.Determine la aceleración promedio del objeto en los intervalos de tiempo t =
5.0s a 15.0s y t= 0 a t = 20.0 s.

Ejercicio 4.
Una partícula parte del reposo y acelera como se ve en la figura.
determine:
a.La rapidez de la partícula en t= 10.0 s y en t = 20.0 s
b.La distancia recorrida en los primeros 20.0 s

Movimiento unidimensional con aceleración constanteMovimiento unidimensional con aceleración constante
Si la aceleración es constante, la aceleración promedio es igual
a la aceleración instantánea, por tanto,
Por conveniencia hagamos:
if
if
tt
vv
a
−
−
=
0=
=
=
i
f
f
t
tt
vv
t
vv
a i−
=
atvv i += (1)

Como ya demostramos que si:
Entonces:
CBtAt)t(x ++= 2
BAt)t(v += 2
Como en nuestro caso: entonces:
Y por tanto,
Si llamamos así:
De (1) reemplazando en (2)
ivatv +=
Bv
Aa
i =
= 2
Ctvat)t(x i ++= 2
2
1
Cx)(x i ==0 ii xtvat)t(x ++= 2
2
1
tvatxx ii +=− 2
2
1
(2)
a
t
vv i
=
−
tvt)vv(xx iii +−=−
2
1 t)vv(xx ii +=−
2
1
(3)

De (1): reemplazando en (3):t
a
vv i
=
−
a
vv
)vv(xx i
ii
−
+=−
2
1
Reordenando: )xx(avv ii −+= 2
22
(4)
En resumen:
atvv i += (1)
tvatxx ii +=− 2
2
1
(2)
t)vv(xx ii +=−
2
1
(3)
)xx(avv ii −+= 2
22
(4)

Caída libreCaída libre
Un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x0
con
velocidad v0
, vamos a determinar las ecuaciones del movimiento, la
altura máxima y el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar el origen
ga −=
gtvv i −= (1)
2
2
1
gttvxx ii −=− (2)
t)vv(xx ii +=−
2
1
(3)
)xx(gvv ii −−= 2
22
(4)

Signo de la velocidad inicial:
Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es
inicialmente lanzado hacia arriba el signo de
la velocidad inicial es positivo, en caso de ser
lanzado hacia abajo el signo es negativo
Situación del origen:
Se acostumbra a poner en el origen, en el punto en el
que es lanzado el móvil en el instante inicial. Esto no
tiene que ser siempre así, si un cuerpo es lanzado
desde el techo de un edificio podemos situar el origen
en el suelo, la posición inicial del móvil correspondería
a la altura del edificio h.
Si situamos el origen en el techo del edificio y lanzamos
el móvil desde el suelo, la posición inicial sería -h.

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