Capitulo 2 cuadros y graficos1

Separata N° 02:
CULTURA ESTADISTICA DE LA
INVESTIGACIÓN
CUADROS Y GRAFICOS
 WILDER ANGEL ALVARADO CASTILLO
Licenciado en Estadística
Magister en Ciencias con mención en Informática y Sistemas
Estudios concluidos de Maestría en Gobernabilidad
Doctorando en Ciencias de la Educación
Docente Adscrito al Departamento de Estadística
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas - UCV

M.Sc. Wilder Alvarado Castillo
43
El Título de cualquier cuadro
o gráfico estadístico debe
responder a las preguntas:
¿Qué?: Qué se estudia. Se
refiere a que se debe indicar
cuál es la característica
principal del estudio.
¿Cómo?: Cómo se estudia.
Es decir de acuerdo a
cuáles características se
clasifican los individuos
investigados. Cuando son
dos variables, la ubicada en
la fila se identifica con
preposición por y la de la
columna se le antepone
según.
¿Dónde?: Se refiere al
lugar geográfico o institución
al que corresponden en los
datos.
¿Cuándo?: A qué momento
o periodo de tiempo están
referidos los datos.
CAPÍTULO II : ORGANIZACIÓN DE DATOS
2.1. Introducción
Los datos tal como se obtienen de una investigación están en forma desordenada por lo que es difícil su interpretación y
análisis. Debido a esto se deben organizar en forma de tablas y gráficas para que permitan una visualización clara y
rápida de todo el conjunto.
2.2. Tablas de Distribución de Frecuencia
Cuando los datos de los que disponemos son numerosos es necesario verificarlos en un cuadro o tabla resumen de las
observaciones originales llamadas tablas de distribución de frecuencia.
Una tabla de frecuencias enumera categorías (clases) de puntajes, junto con conteos (frecuencias) del número de
puntajes que caen en cada categoría.
TABLA Nº .....
TITULO
..............................................................................................................................................
Encabezado  VARIABLE FRECUENCIAS
Cuerpo
.........
.........
.........
.........
.............
............
............
.............
TOTAL .............
Llamadas al pie del cuadro (opcional)
Fuente: .....................................................................
Elaboración: ............................................................
Las partes esenciales de un cuadro estadístico son:
Título: Debe expresar en forma precisa y concisa el contenido del cuadro, ya sea en una
línea o en varias, y en forma de pirámide invertida. En él se puede incluir también la
unidad de medida de la variable, se coloca en la parte superior del cuadro.
Número del Cuadro: se emplea cuando en mismo estudio o informe se presentan varios
cuadros. De esta manera al referirse a uno en particular, no se requiere mencionar el
título completo, basta con indicar el número correspondiente.
Encabezados: Son los títulos en la parte superior de cada columna e indica la
naturaleza de las cifras o categorías que se encuentran en ellas, y la respectiva unidad
de medida.
Columna Matriz: Es la primera columna de la izquierda, en ella aparecen las categorías
de la variable principal.
Cuerpo del Cuadro: Además de la columna matriz que identifica los datos en sentido
horizontal y de los encabezados de las otras columnas que lo hacen en sentido vertical,
los cuadros estadísticos tienen una sección donde se anotan específicamente los datos
numéricos correspondientes. A todo ese conjunto lo identificamos como el cuerpo del
cuadro.
Fuente: Aquí se indica el nombre de la fuente de información donde se obtuvo los datos,
si es una revista u obra, indicar el número, el año y el número de la página donde se
encuentra el informe del cual se tomó este cuadro.
Elaboración: Aquí se indica el autor o autores de la elaboración del cuadro.

CULTURA ESTADISTICA EN LA INVESTIGACION
44
2.3. Frecuencias
a) Frecuencia absoluta Simple (fi) ó (ni)
Están dadas por el número de veces que se repite cada valor de la variable.
La suma de todas las frecuencias absolutas simples evidentemente será igual al número total de elementos que
conforman la población (N) ó muestra (n )
0fi,fnófN
n
1i
i
m
1i
i   
b) Frecuencias absolutas Acumuladas (Fi)
Está formadas por las sumas de frecuencias absolutas simples en forma acumulativa.
F1 = f1
F2 = f1 + f2
F3 = f1 + f2 + f3
…. ………….
….. ................
c) Frecuencia Relativas Simples (hi)
Están dadas por el cociente de las frecuencias absolutas simples entre el total de elementos de la población o
muestra.


m
1i
ii
i
i 1h;1h0;
n
f
h
generalmente para su comprensión se expresa en %
100%h0;100x
n
f
%h i
i
i 
d) Frecuencias Relativas acumuladas (Hi)
Se determina por la suma de las frecuencias relativas o el cociente de las frecuencias absolutas acumuladas entre
el total de elementos de la población o la muestra.
n
F
HóhH i
i
i
1j
ji  
e) Frecuencia relativa Simple Porcentual (hi%)
hi % = hi x 100%
f) Frecuencia relativa acumulada Porcentual (Hi %)
Hi % = Hi x 100%
Ejemplo 1.
Se hizo una encuesta a una muestra de 45 clientes del Banco Comercial de Chiclayo en el mes de Marzo del 2015 y se
obtuvo los siguientes resultados:

45
Caso Edad
Ingreso
mensual
(miles de
S/.)
Nº de
viajes
(mensual
)
Tarjeta de
crédito
usada
Lugar de uso de
tarjeta de crédito
Monto de
deuda
(miles de
S/.)
Sexo
1 29 3.00 3 Visa centros comerciales 1.80 F
2 34 1.99 3 Mastercard discotecas 1.10 F
3 61 2.90 2 Dinners restaurantes 0.60 M
4 28 4.70 0 Mastercard grifos 2.70 M
5 41 3.00 1 Saga centros comerciales 1.30 F
6 57 5.80 2 Visa otros 0.80 F
7 30 4.50 4 Saga grifos 0.64 M
8 43 7.09 0 Dinners centro de estudios 0.90 F
9 45 4.40 1 Unica centros comerciales 1.40 M
10 35 6.82 0 Mastercard grifos 2.46 F
11 42 5.30 3 Visa restaurantes 1.10 F
12 28 5.80 2 Saga discotecas 0.20 M
13 28 5.70 1 Mastercard grifos 0.80 F
14 24 4.70 4 Saga restaurantes 0.50 M
15 35 6.60 1 Unica discotecas 0.40 F
16 42 6.60 2 Saga restaurantes 3.46 F
17 48 5.74 1 Visa discotecas 1.20 M
18 34 4.23 0 Unica centros comerciales 1.90 F
19 66 5.50 3 Visa restaurantes 2.35 M
20 36 6.60 1 Saga centros comerciales 1.90 F
21 59 3.85 1 Saga restaurantes 0.30 M
22 37 6.70 3 Multired centros comerciales 0.70 F
23 53 3.50 0 Unica restaurantes 0.67 F
24 35 8.80 1 Visa discotecas 0.50 F
25 63 10.00 4 Unica restaurantes 1.50 M
26 28 10.10 2 Visa centro de estudios 0.70 F
27 43 13.40 2 Mastercard discotecas 1.50 F
28 60 3.90 0 Unica otros 1.99 M
29 59 5.84 1 Unica restaurantes 0.60 M
30 63 3.50 1 Saga grifos 1.50 M
31 55 4.40 2 Mastercard centro de estudios 0.40 M
32 42 3.70 0 Unica centros comerciales 1.80 F
33 51 4.50 1 Visa otros 0.70 M
34 39 5.63 1 Visa otros 0.80 M
36 35 5.79 0 Unica discotecas 1.60 M
37 42 2.93 3 Unica grifos 0.20 M
38 36 6.60 1 Dinners grifos 4.37 F
39 49 4.60 0 Dinners centros comerciales 2.00 M
40 27 6.60 0 Saga grifos 0.90 F
42 42 4.69 2 Mastercard centros comerciales 0.80 F
43 25 3.99 1 Saga restaurantes 4.32 F
44 32 6.70 2 Visa centros comerciales 0.60 M
45 28 2.58 1 Saga otros 1.70 M

46
2.4. Organización de datos cualitativos
Organicemos las observaciones de la variable tarjeta de crédito usada.
Tabla Nº 01 : Distribución de los clientes del Banco Comercial según el tipo de tarjeta de crédito
utilizada. Chiclayo – Marzo 2015
Nº de clase
Tarjeta de crédito
usada
Frecuencia
absoluta fi
Frecuencia
relativa hi
Frecuencia
porcentual hi%
1 Visa 12 0.2667 26.67
2 Mastercard 7 0.1556 15.56
3 Dinners 4 0.0889 8.89
4 Saga 11 0.2444 24.44
5 Unica 10 0.2222 22.22
6 Multired 1 0.0222 2.22
Total 45 1.0000 100.00
Fuente: Encuesta realizada por la unidad de estadística UNPRG
f3 = 4 Indica que 4 clientes del Banco Comercial utilizan la tarjeta de crédito Dinners.
h1 = 0.2667 Indica la proporción de clientes del Banco Comercial que utilizan la tarjeta de
crédito Visa.
h2% = 15.56 Indica que el 15.56% de clientes del Banco Comercial que utilizan la tarjeta de
crédito Mastercard.
2.4.1. Representación Gráfica de Datos
Para datos cualitativos: Se emplea la tabla de distribución de frecuencias,
el diagrama de barras, diagrama circular (o pastel), los pictogramas; y para
datos bivariados, la tabla cruzada o de contingencia.
a) El Diagrama de Barras:
Consiste en barras verticales. El ancho de cada barra es constante y la longitud es proporcional
a la frecuencia, es decir categorías con más frecuencia tendrán mayor longitud de barras.
El espacio entre barras debe ser igual entre la mitad y el ancho completo de una barra. La
longitud del eje vertical equivale a las tres cuartas partes de la longitud del eje horizontal.
Procedimiento:
 Trazar el sistema cartesiano y escribe las categorías y escribe las categorías de la
variable en la parte inferior del eje abscisas.
 Enumerar la escala de frecuencias en el eje de ordenadas. La escala debe comenzar en
cero y terminar en un valor ligeramente superior a la máxima frecuencia observada.
 En el eje de las abscisas y para cada categoría de la variable, trazar rectángulos de
bases iguales y de altura igual a la frecuencia que le corresponde. El espaciamiento de
los rectángulos debe ser uniforme.

47
Grafico N° 01 : Tarjetas de Crédito utilizadas por los clientes del Banco de Comercio de Chiclayo.
Marzo 2015
En el gráfico de barras, se aprecia que la tarjeta Visa es la de uso más frecuente y la tarjeta Multired la menos
frecuente
b) El Gráfico Circular :
Consiste en dividir un circulo en segmentos circulares proporcionales a la frecuencia de cada categoría, es
decir, categorías con mayor frecuencia serán representadas por segmentos más amplios. Habrán tantos
segmentos como categorías diferentes.
Para los datos anteriores, la forma de representarlos usando un diagrama circular es como sigue:
Grafico N° 02 : Tarjetas de Crédito utilizadas por los clientes del Banco de Comercio de Chiclayo.
Marzo 2015
27%
16%
9%
24%
22%
2%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
Visa Mastercard Dinners Saga Unica Multired
Visa
27%
Mastercard
16%
Dinners
9%
Saga
24%
Unica
22%
Multired
2%

48
Ejercicio 1. Se ha realizado una encuesta para evaluar el grado de satisfacción de cuatro planes de seguro familiar (A,
B, C Y D). Los resultados para una muestra de 40 clientes que adquirieron el seguro familiar en los dos últimos años se
muestra en la siguiente tabla.
A Bueno A Regular A Malo D Regular C Bueno
A Malo A Malo A Malo C Malo B Bueno
B Regular D Regular D Regular B Regular D Regular
C Regular C Bueno B Regular C Malo C Bueno
B Malo B Bueno C Malo B Regular C Malo
D Malo C Malo B Regular D Bueno A Bueno
A Regular B Regular D Bueno A Bueno C Malo
D Regular B Malo B Bueno D Malo B Regular
a. Elabore una tabla de frecuencias y un gráfico de barras de frecuencias absolutas para la variable plan de
seguro familiar.

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c) Pictogramas
Son representaciones gráficas de variables cualitativas o cuantitativas. Requieren cierto grado de creatividad; son
muy usados cuando se requiere explicar información a personas de bajo nivel cultural o a niños de cierto nivel
escolar con fines de enseñanza. ejemplo .
 Usar figuras de jóvenes para representar la orientación vocacional.
 Usar bolsas de dinero para representar gastos anuales.
 Usar tanques militares para representar el armamento de un país.
 Usar barriles para representar la producción petrolera.
Algunos dibujos también pueden ser engañosos, porque los artistas pueden crear impresiones falsas que
distorsionen las diferencias. Si duplicamos cada lado de un cuadrado, el área no se duplica; aumenta en un factor
de 4. Si duplicamos cada lado de un cubo, el volumen no se duplica; aumenta en un factor de 8. Si los impuestos
recaudados por la SUNAT se duplicaron durante la última década, un artista podría representar las cantidades de
impuesto con una bolsa de dinero dos veces más ancha, dos veces más alta y dos veces más profunda para el
segundo año. En vez de indicar que los impuestos se duplicaron, parecerá que aumentaron 8 veces y así el dibujo
distorsionará la verdad.
Gráfico 1: Número de Hectáreas de Arroz sembradas en el periodo 1992 - 1997. Región Lambayeque.
d) Diagrama de Pareto
El diagrama de Pareto es un caso particular del gráfico de barras, en el que las barras que representan los factores
correspondientes a una magnitud cualquiera están ordenados de mayor a menor (en orden descendente) y de
izquierda a derecha.
El diagrama de Pareto es una representación gráfica de los datos obtenidos sobre un problema que ayuda a
identificar cuáles son los aspectos prioritarios que hay que tratar.
También se conoce como “Diagrama ABC” o “Diagrama 20-80”.
Generación del diagrama de Pareto
El diagrama es gráfico que contiene las categorías en el eje horizontal y dos ejes verticales, el de la izquierda
con una escala proporcional a la magnitud medida (valor total de los datos) y el de la derecha con una escala
porcentual del mismo tamaño.
Se colocan las barras de mayor a menor y de izquierda a derecha, pero poniendo en último lugar la barra
correspondiente a otros (aunque no sea la menor).
Se marcan en el gráfico con un punto cada uno de los porcentajes acumulados (los puntos se pueden situar en el
centro de cada una de las categorías o en la zona dónde se juntan una con otra) y se unen los puntos mediante
líneas rectas.

50
Se separan (por medio de una línea recta discontinua, por ejemplo) las pocas categorías que contribuyen a la
mayor parte del problema. Esto se hará en el punto en el que el porcentaje acumulado sume entre el 70% y el
90% del total (generalmente en este punto la recta sufre un cambio importante de inclinación).
e) Cartograma
Son representaciones que se realizan en mapas para representar la ubicación e intensidad de algún
fenómeno social, económico, de salud, etc. En una determinada zona geográfica,
Ejemplo:
Nivel de Pobreza en los departamentos del Perú - 2012:

51
2.5. Organización para datos cuantitativos:
2.5.1. Organización para variables cuantitativas discretas
La tabla de frecuencia es organizada por clases o categorías que corresponden a los distintos valores
(números) que toma la variable cuantitativa discreta. Se usa cuando el conjunto de valores posibles de la
variable cuantitativa discreta es pequeño.
Tabla de frecuencias
Nº de clase Valor de la variable (fi) (hi) (hi%)
1 x1 f1 h1 h1%
2 x2 f2 h2 h2%
.
.
.
K xk fk hk hk%
Total n 1 100%
Tipo de gráfico. Se elabora el gráfico de bastones o varas con las frecuencias absolutas, relativas o
porcentuales.
Ejemplo 2. Organización de datos cuantitativos discretos
Organicemos las observaciones de la variable número de viajes al mes de los clientes.
Nº de viajes
al mes
Frecuencia
absoluta fi
Frecuencia
relativa hi
Frecuencia
porcentual pi
0 10 0.2222 22.22
1 15 0.3333 33.33
2 9 0.2000 20.00
3 6 0.1333 13.33
4 5 0.1111 11.11
Total 45 1.0000 100.00
Interprete:
f2 = 15 Existen 15 clientes del Banco Comercial que hacen un viaje al mes.
p1 = 22.22 El 22.22% de los clientes del Banco Comercial no han realizado viajes.
Gráfico de bastones o varas
En el gráfico de varas, se aprecia que el número 1 (un viaje al mes) es el más frecuente
22%
33%
20%
13%
11%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
0 1 2 3 4
PORCENTAJE
NÚMERO DE VIAJES

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Ejercicio 2.
En una estación experimental se ha determinado el número de larvas de insectos encontrados en 40
parcelas, en un cultivo de frijol. Los datos se muestran a continuación:
1 3 3 5 6 6 9 9 10 10
1 3 5 5 6 3 9 10 3 1
10 3 5 5 6 5 9 10 1 1
3 3 5 6 6 5 9 5 3 1
a. Elabore una tabla de frecuencias y su respectivo gráfico de bastones.
b. Interprete f3 y h3.
c. ¿Qué número y porcentaje de parcelas muestran al menos 6 larvas?

53
2.5.2. Organización para variables cuantitativas continuas
El conjunto de datos es agrupado por intervalos de clase que conforman las clases o categorías de la tabla
de frecuencias.
Nº de
clase
Intervalos
de clase
[LI – LS>
Marca
de
clase
x’i
Frec.
absoluta fi
Frec.
relativa
hi
Frec.
porc.
hi%
Frec.
acum.
absoluta
Fi
Frec.
acum.
relativa
Hi
Frec.
acum.
porc.
Hi%
1 [LI1 – LS1> x’1 f1 h1 h1% F1 H1 H1%
2 [LI2 – LS2> x’2 f2 h2 h2% F2 H2 H2%
.
.
k [LIk – LSk] x’k fk hk hk% Fk Hk Hk%
Total n 1 100% 1 100%
Donde:
LIi = Límite inferior de la clase I (Límite cerrado)
LSi = Límite superior de la clase I (Límite abierto, salvo la última clase que es cerrado)
Marcas de Clase (𝑿𝒊
′
). Es el punto medio del intervalo de clase. Se considera como el valor
representativo de los valores que pertenecen al intervalo clase.
Se calcula: 𝑿𝒊
′
=
𝑳𝑰 𝒊+ 𝑳𝑺𝒊
𝟐
o 𝑿𝒊
′
= 𝑿𝒊−𝟏
′
+ 𝒄, donde c es el tamaño del intervalo de clase.
Frecuencia Porcentual (hi%). Indica el porcentaje de observaciones o unidades elementales que
hay en la clase i. Se cumple:
∑ ℎ𝑖% = 100%
𝑘
𝑖=1
Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi). Indica el número de observaciones o unidades elementales
que hay desde la primera clase hasta la clase i. Se calcula por:
𝐹𝑘 = ∑ 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
= 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑘
Propiedad:
𝐹𝑡 − 𝐹ℎ = ∑ 𝑓𝑖
𝑡
𝑖=ℎ+1
, ℎ < 𝑡
Frecuencia Acumulada Relativa (Hi). Indica la proporción de observaciones o unidades elementales
que hay desde la primera clase hasta la clase i. Se calcula por:
𝐹𝑟𝑖 =
𝐹𝑖
𝑛
=
∑ 𝑓𝑗
𝑖
𝑗=1
𝑛
= ∑ ℎ𝑗
𝑖
𝑗=1
Propiedad:
𝐻𝑡 − 𝐻ℎ = ∑ ℎ𝑖
𝑡
𝑖=ℎ+1
, ℎ < 𝑡
Frecuencia Acumulada Porcentual (Hi%). Indica el porcentaje de observaciones o unidades
elementales que hay desde la primera clase hasta la clase i.
Propiedad:
𝐻𝑡% − 𝐻ℎ% = ∑ 𝐻𝑖
𝑡
𝑖=ℎ+1
% , ℎ < 𝑡

54
Pautas
 Es recomendable que
el número de intervalos
o número de clases
debe estar
comprendido entre 5 y
20. El número real de
clases podría depender
de la comodidad de
usar números redondos
u otros factores
subjetivos.
 El ancho de clase(c)
siempre se redondea
hacia arriba hasta un
número apropiado.
Este redondeo
garantiza que todos los
datos quedarán
incluidos en la tabla de
frecuencia.
 Seleccione como límite
inferior de la primera
clase, ya sea el puntaje
más bajo o un valor
conveniente un poco
menor que el puntaje
más bajo. Este valor
servirá como punto de
partida.
Pasos para construir una tabla de frecuencias:
Paso 1. Hallar el rango o amplitud (R).
Paso 2. Hallar el número de intervalos de clase (k). Se aplica la regla de
Sturges:
Eligiendo un valor: 3 ≤ k ≤ 15
Se aplica el redondeo normal a entero, el número de intervalos queda a
criterio del investigador, la regla nos sugiere un número adecuado de
intervalos de acuerdo al número de datos que se tiene.
Otra regla alternativa para hallar el número de intervalos es:
Paso 3. Hallar la amplitud o ancho de Intervalo de Clase (c).
 El número de decimales debe ser igual al de las observaciones.
 Se aplica al redondeo por exceso. Si la posición del decimal es ≥, se
redondea al valor inmediato superior, de lo contrario no se redondea.
En muchos casos al redondear la amplitud del intervalo, se modifica el rango
(R’), generando un exceso sobre el rango original (R)
Rango modificado(R’) : R’ = m.c
Exceso o error (E): E = R’ – R (siempre se cumple que R’ ≥ R)
El exceso se debe balancear modificando los valores Xmáx y/o Xmín. a
criterio del investigador
Paso 4. Hallar los límites inferiores y superiores de cada intervalo de clase.
LI1 = Mínimo LS1 = LI1 + c
LI2 = LI1 + c = LS1 LS2 = LI2 + c
LI3 = LI2 + c = LS2 LS3 = LI3 + c
. . . . . .
LIk = LIk-1 + c = LSk-1 LSk = LIk + c
Paso 5. Realizar el conteo del conjunto de datos, como el resultado de asignar cada observación a alguno
de los intervalos de clase. Luego completar la tabla hallando x1
′
, fi, hi, Fi, Hi.
Tipos de gráficos
 Histograma. Se usan las frecuencias absolutas o relativas en el eje vertical y los intervalos de
clase en el eje horizontal.
 Polígonos. Se usan las frecuencias absolutas o relativas en el eje vertical y las marcas de clase en
el eje horizontal.
Ejemplo 3. Organización de datos cuantitativos continuos
Organicemos las observaciones de la variable ingreso mensual de los clientes (en miles de nuevos soles)
Paso 1. Calcule el rango (R). R = Xmax - Xmin
En el ejemplo R = 13.40 – 1.99 = 11.41
R = XMáx – XMín
m = 1 + 3,3*log(n)
𝒎 = 𝟐, 𝟓√ 𝒏
𝟒
𝒄 =
𝑹
𝒎

55
+ Pautas
 Asegúrese de que las
clases sean mutuamente
excluyentes. Es decir, cada
uno de los valores debe
pertenecer a una y sólo
una clase.
 Incluya todas las clases
intermedias, aunque la
frecuencia sea cero.
 Trate de usar la misma
anchura para todas las
clases, aunque a veces es
posible evitar intervalos
abiertos como “ 65 años a
más”.
 Escoja números cómodos
para los límites de clase.
Redondee hacia arriba
para usar menos
posiciones decimales o
utilice números
pertinentes a la situación.
 La suma de las
frecuencias absolutas
simples (fi) debe ser igual
al número de datos
originales.
Paso 2. Determine el número de intervalos de clase (K). Utilice la regla
de Sturges.
k = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 45 = 6.4556
Redondeo estadístico:
En nuestro ejemplo, k = 6.4556, redondeando el número de clases
que se debe considerar es k = 6.
Paso 3. Halle el tamaño de los intervalos de clase (c)
𝑐 =
𝑅
𝑘
=
11,41
6
= 1.90167
Redondeo por exceso: se toma en consideración en número mayor de
decimales que tienen las observaciones. Considerando la posición de este
decimal, se presentan 2 casos:
 Si existe alguna cifra significativa a la derecha de este valor, se
redondea al valor inmediato superior
 Si no existe ninguna cifra significativa a la derecha de este valor,
entonces no se realiza ningún redondeo
Como las observaciones tienen 2 decimales en el c se considerará con 1
decimal y como hay al menos un valor diferente de cero a la derecha de las
centésimas se incrementa en una centésima quedando 𝑐 = 2,0
Al redondear c, el rango quedará modificado así R’ = m.c = (6).(2) = 12
Generando un exceso de E = 12 – 11,41 = 0,59
El cual para mayor comodidad lo dividimos 0,59 en 0,29 y 0,30, lo que
implica que restaremos 0,29 al valor mínimo y sumaremos 0,30 al máximo
obteniendo los nuevos valores:
X’min = 1.99 – 0,29 = 1,70
X’max = 13.40 + 0,30 = 13,70
De tal forma que R’ = 13,70 – 1,70 = 12
Paso 4. Construya la tabla de frecuencias
Tener en cuenta que en la última clase de intervalo es cerrado en el lado derecho.
Nº de
clase
Intervalos de
clase
[LI – LS>
Marca
de clase
x’i
Frec
abs.
fi
Frec.
rel. hi
Frec.
porc.
hi%
Frec.
acum.
abs. Fi
Frec.
acum. rel.
Hi
Frec.
acum.
porc.
Hi%
1 [1.70 – 3.70> 2.70 9 0.2000 20.00% 9 0.2000 20.00
2 [3.70 – 5.70> 4.70 17 0.3778 37.78% 26 0.5778 57.78
3 [5.70 – 7.70> 6.70 15 0.3333 33.33% 41 0.9110 91.10
4 [7.70 – 9.70> 8.70 1 0.0222 2.22% 42 0.9332 93.32
5 [9.70 – 11.70> 10.70 2 0.0444 4.44% 44 0.9776 97.76
6 [11.70 – 13.70] 12.70 1 0.0222 2.22% 45 1.000 100
Total 45 1.0000 100%

56
La distribución de
frecuencias relativas
Se forma dividiendo las
frecuencias absolutas de
cada clase entre el número
total de observaciones.
Entonces puede formarse
una distribución de
porcentaje multiplicando
cada frecuencia relativa
por 100.
Generalmente es más
significativo trabajar con
las frecuencias relativas
con base de 1 o 100%
que usar las frecuencias
absolutas, porque permite
comparar con otras series
de datos que tienen
diferente número de
datos.
Interprete:
a. f2 = 17; 17 de los clientes tienen un ingreso mensual de por lo
menos S/.3900 pero menos de s/.5700
b. h4 = 0.0222; 0.0222 es la proporción de clientes que ganan por lo
menos S/.7700 pero menos de S/.9700
c. h5 %= 4.44%; 4.44% de los clientes ganan por lo menos S/.9700
pero menos de S/.11700
d. F3= ∑ 𝑓𝑖 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 = 9 + 17 + 15 = 413
𝑖=1 ; 41 clientes ganan
mensualmente por lo menos
S/.1990 pero menos de
S/.7700
e. F5 – F2 = 44 – 26 = 18
F5 – F2 = ∑ 𝑓𝑖 =5
𝑖=3 𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5 = 15 + 1 + 2 = 18 ;
18 de los clientes ganan por lo menos S/.5700 pero menos de S/. 11700
f. H4 = ∑ ℎ𝑖 =4
𝑖=1 ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 + ℎ4 = 0.2000 + 0.3778 + 0.3333 + 0.0222 =
0.9332 Indica que 0.9332 es la proporción de clientes que ganan desde
s/.1700 pero menos d S/.9700.
g. H5 – H3 = 0.9776 – 0.9110 = 0.0666
H5 – H3 = ∑ ℎ𝑖 = ℎ4 + ℎ5 = 0.0222 + 0.0444 = 0.06665
𝑖=4 , indica que 0.0666 es la proporción de los
clientes que ganan por o menos S/.7700 pero menos de S/.11700.
h. H3% = ∑ ℎ𝑖% =3
𝑖=1 ℎ1% + ℎ2% + ℎ3% = 20.00 + 37.78 + 22.22 = 91.10 , indica que el 91.10% de los
clientes tienen ingresos mensuales de por los menos S/.1700 pero menos de S/.7700
i. H5%– H2%= 97.76 – 57.78 = 39.98
H5% – H2% = ∑ ℎ𝑖 =5
𝑖=3 ℎ3% + ℎ4% + ℎ5% = 33.33 + 2.22 + 4.44 = 39.98 , indica que el 39.98% de los
clientes de ese banco tiene ingresos mensuales por lo menos S/.5700 pero menos de S/.11700.
j. X´3 = 6.700 es el valor representativo de los clientes que ganan por lo menos S/.5700 pero menos de
S/.7700. Las quince observaciones (f3 = 15) que hay en la clase 3 son representadas por el valor S/.6700.
2.5.3. Representaciones de Tallo y Hoja
Una de las desventajas de resumir los datos originales en una distribución de
frecuencias, es la pérdida de información al efectuar los conteos. Por ejemplo, no está
clara, a partir de la siguiente distribución de las edades de los nuevos empleados de una
empresa la forma en que se distribuyen dichas edades en el grupo 20 – 29. ¿están
agrupadas muy de cerca de los años 20, 29 ó se distribuyen de manera más o menos
uniforme a través de toda la clase?
Edades de los nuevos
empleados
Marcas de conteo frecuencias
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
//// //
//// //// //// //// /
////
//
/
7
21
4
2
1
En años recientes ha adquirido extenso uso una técnica que compensa la pérdida de información que
ocurre al resumir datos originales, se denomina representación de tallo y hoja. Para elaborar tal
representación se utilizan las edades de los nuevos empleados de la compañía en cuestión, se reemplaza

57
una marca por el último dígito de la edad de un empleado. Las edades de los siete empleados de la primera
clase (23, 24, 25, 25, 27, 28, 29) aparecen entonces como:
2 3 , 4 , 5 , 5 , 7 , 8 , 9
Por tanto, puede verse que las edades se presentan de manera mas o menos uniforme a los largo de la
clase de edad 20 - 29. Obsérvese que los valores en una clase están ordenados desde el mínimo hasta el
máximo. El primer valor es 23, el segundo es 24, y así sucesivamente.
Ejemplo
Los precios de venta de 45 casas unifamiliares de 2 plantas y 4 dormitorios en una zona exclusiva de Lima
se presentan en la tabla Nº 6. ¿En qué forma se organizan los datos de precios en una representación de
tallo y hoja?
Tabla 1 : Precios de ventas de casas unifamiliares de dos plantas
(miles de dólares)
96 95 148 107 112 135 106 89 120
93 113 156 125 127 132 139 118 103
88 96 139 155 117 111 134 136 113
117 108 142 155 120 125 119 125 124
127 94 94 103 112 104 97 143 138
Solución
El tallo es el dígito (o dígitos) que encabezan (n) la fila (a la izquierda). La hoja es el dígito que termina la
fila (a la derecha). El tallo se coloca a la izquierda de una línea vertical y la hoja (último dígito) a la derecha
de la misma. Por ejemplo, obsérvese que en la tabla 6 el primer precio de venta en la esquina superior es
$96 000. El tallo es 9 y la hoja 6. La línea vertical simplemente separa las dos partes de cada número.
Tallo
(dígito inicial)
Hoja
(dígito final)
9 6
Los dígitos encabezadores o iniciales para los datos de la tabla 6 son 8, 9, 10, 11, ..., 15. El dígito final para
cada precio de venta se registra en la misma línea o renglón que su dígito inicial (tallo). Los tres primeros
precios: 96, 95 , 148 en la primera fila todos los precios de la tabla 5 se presentaría como:
Tallo Hoja
9
*
*
14
6 5
8
Organizando todos los precios de ventas se tiene:
Tallo Hoja
8
9
10
11
12
13
14
15
9 8
6 5 3 6 4 4 7
7 6 3 8 3 4
2 3 8 7 1 3 7 9 2
0 5 7 0 5 5 4 7
5 2 9 9 4 6 8
8 2 3
6 5 5
Ordenando las “hojas” de menor a mayor en cada fila quedaría:

58
Histograma de
frecuencias relativas
Un histograma que utiliza
las frecuencias relativas
tienen la misma forma
que un histograma de
frecuencias absolutas
hecho con el mismo
conjunto de datos. Ello se
debe a que, en ambos
tipos de histograma, el
tamaño relativo de cada
rectángulo es la
frecuencia de esa clase
comparada con el número
total de observaciones.
Es útil presentar los datos
en función de la
frecuencia relativa porque
permite comparar los
datos provenientes de
conjuntos con diferentes
tamaños de muestra.
Tallo Hoja
8
9
10
11
12
13
14
15
8 9
3 4 4 5 6 6 7
3 3 4 6 7 8
1 2 2 3 3 8 7 7 9
0 0 4 5 5 5 7 7
2 4 5 6 8 9 9
2 3 8
5 5 6
2.5.4. Los Histogramas
Un histograma es uno de los medios gráficos más ampliamente empleados y
uno de los más fáciles de comprender, describe una distribución de
frecuencias muy similar a una gráfica de barras (sólo se diferencia en que los
rectángulos verticales son adyacentes) en la que la altura de cada barra es
proporcional a la frecuencia de la clase que representa. Su elaboración se
ilustra utilizando el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Se tiene la siguiente información:
Tabla 2: Rentas mensuales de alquileres de departamentos para
estudiantes universitarios. Lambayeque- 2002
Alquiler mensual Nº de dptos.
60 - 80 3
80 – 100 7
100 – 120 11
120 – 140 22
140 – 160 40
160 – 180 24
180 – 200 9
200 – 220 4
¿Cómo se elabora el histograma de frecuencia?
Solución
Para elaborar un histograma, las frecuencias de clase se marcan en
la escala de un eje vertical (eje Y), y en uno horizontal (eje X), los
límites declarados, los límites verdaderos o los puntos medios
(marcas de clase). Se utilizarán los límites declarados y se mostrará
sólo el límite inferior de cada clase en el eje X.
Observe que hay 3 unidades en la clase de $60 - $80. Por tanto, la altura de la columna para esa
clase es 3. En la clase siguiente $80 - $100, hay 7 unidades y lógicamente la altura de esa
columna es 7, y así sucesivamente.
La altura de cada barra representa el número de observaciones que pertenecen a dicha clase.
El histograma correspondiente a los datos de la tabla 7 sería:

59
Gráfico 2 : Histograma que muestra los alquileres de 120 departamentos para estudiantes
universitarios. Lambayeque 2002
Las características son evidentes en el histograma:
 La renta mensual más baja es $60
 La más elevada es aproximadamente $220
 La mayoría de los alquileres están entre $120 y $180
 La mayor concentración está entre $140 y $160
De esta forma, el histograma proporciona una imagen visual de fácil interpretación de las rentas. Si
se hubieran graficado las frecuencias relativas en vez de las frecuencias absolutas, la forma de la
distribución sería muy parecida.
2.5.5. Polígono de Frecuencias.
Un polígono de frecuencias está estrechamente relacionado con un histograma. El polígono de frecuencias
consiste en una línea poligonal formada por segmentos de recta que unen los puntos determinados por la
intersección de la vertical del punto medio de cada clase ( marca de clase), y la horizontal de la frecuencia
de clase. Generalmente se incluyen las clases vacías adyacentes en cada extremo, de modo que la curva
se “ancle” en el eje horizontal (eje X).
El trazo o elaboración se ilustra utilizando de nuevo los alquileres mensuales de los departamentos para
estudiantes universitarios. Se necesitan los puntos medios de clase que están en la escala del eje X, y las
frecuencias de clase, que están en el eje Y. Recuerde que el punto medio de clase que representa a la
clase, y que se determina por la ubicación central entre los dos límites declarados.
Intervalos Marcas de Clase Frecuencias
60 - 80 70 3
80 – 100 90 7
100 – 120 110 11
120 – 140 130 22
140 – 160 150 40
160 – 180 170 24
180 – 200 190 9
200 – 220 210 4
Cada clase estará representada por su punto medio (marca de clase), para localizar el primer punto es
necesario ubicarse horizontalmente en la marca de clase y verticalmente hasta la frecuencia absoluta de
0
5
10
15
20
25
30
35
40
3
7
11
22
40
24
9
4
nºdedepartamentos
Alquiler mensual ($)
60 80 100 120 140 160 180 200 220

60
clase 3, (también se pueden utilizar las frecuencias relativas), las coordenadas del siguiente punto sería ( X
= 89,5 ; Y = 7 ), este proceso continúa hasta considerar todas las clases. Después se unen en orden todos
los puntos con segmentos. Para completar el diagrama se agregan los puntos medios adyacentes a la
primera y última clase que sería 49,5 y 29,5 respectivamente y el polígono anglo a ambos extremos en el
eje horizontal en la frecuencia cero.
El polígono de frecuencia tiene una ventaja notable con respecto al histograma, porque permite superponer
en un mismo diagrama 2 o más distribuciones de frecuencias para compararlas.
Gráfico 3: Polígono de frecuencias que muestra los alquileres mensuales de 120 departamentos para
estudiantes
2.5.6. Polígonos De Frecuencias Acumuladas (Ojivas)
Utilizando el ejemplo anterior de los alquileres Tabla Nº 6 ¿Cuántos departamentos se alquilan en más de $95
mensuales? ¿Qué porcentaje se renta en menos de $190 mensuales?. Las respuestas a estas preguntas pueden
aproximarse desarrollando una distribución de frecuencias acumuladas llamadas también Ojivas. Se utilizan cuando se
desea determinar cuántas observaciones se encuentran por encima o por debajo de ciertos valores.
La Ojiva “menor que” puede utilizarse para responder preguntas como, “¿qué porcentaje de las
rentas es menor que $170 mensuales?” y “¿Cuántos alquileres mensuales son menores que $90
mensuales?. Una distribución de frecuencias acumuladas “menor que“ indica cuántos elementos de la
distribución tienen un valor igual o menor que el límite superior de cada clase.
La Ojiva “mayor que” puede contestar preguntas como éstas: “¿qué porcentaje de las rentas es mayor
que $100 mensuales?” y “¿Cuántos alquileres mensuales son iguales o superiores a $200 mensuales?.
Una distribución de frecuencias acumuladas “mayor que“ indica cuántos elementos de la distribución
tienen un valor igual o mayor que el límite inferior de cada clase.
Ejemplo. Utilizando la distribución de frecuencia de la tabla 6, construya un polígono de frecuencias
acumuladas “menor que” y la ojiva “mayor que”. Luego conteste las preguntas: ¿50% de las rentas de condominio son
iguales o menores a qué cantidad? ¿75% de las rentas son iguales o menores a qué cantidad?
Solución
Recurriendo a la tablas anterior, calculamos las frecuencias acumuladas “menor que” (Fi) y las frecuencias
acumuladas “mayor que” (Fi
*
)
0
3
7
11
22
40
24
9
4
0
n°dedepartamentos
60 80 100 120 140 160 180 200 220
Alquileres mensuales ($)

61
Alquiler mensual
($)
Frecuencia
simple
(fi)
Frecuencias
acumuladas
“menor que”
(Fi)
Frecuencias
acumuladas
“mayor que”
(Fi
*
)
$60 - $80 3 Sumar 3 120
80 – 100 7 hacia 10 117
100 – 120 11 abajo 21 110
120 – 140 22 las fi 43 99
140 – 160 40 83 Sumar 77
160 – 180 24 107 hacia 37
180 – 200 9 116 arriba 13
200 – 220 4 120 las fi 4
La Ojiva “menor que”
Sin embargo se sabe que el verdadero límite superior de la primera clase es en realidad 79,5, ya que
incluye todas las rentas hasta 79,5. El primer punto es X=$59,5 ; Y=0. Las coordenadas del siguiente punto
son X=$79,5 ; Y=3, y así sucesivamente. Los límites superiores verdaderos y las frecuencias acumuladas
se grafican para obtener polígonos de frecuencia acumuladas “menor que”
Alquiler mensual
($)
Frecuencias
acumuladas
“menor que” (Fi)
Menor que 60 0
Menor que 80 3
Menor que 90 10
Menor que 120 21
Menor que 140 43
Menor que 160 83
Menor que 180 107
Menor que 200 116
Menor que 220 120
A partir de la gráfica podemos mencionar algunas cifras aproximadas:
Se tiene que el 50% de las rentas son iguales o menores que $150 mensuales. A esta conclusión se llega
trazando una línea punteada desde 50% hasta la curva de distribución, y bajando verticalmente al eje X.
Tres de cada cuatro alquileres (75%) son iguales o menores que aproximadamente $170

62
Gráfico 4: Polígono de frecuencias acumuladas "menor que" para los alquileres.
Para la Ojiva “mayor que”: Se traza un polígono similar al anterior con las frecuencias acumuladas
“mayor que”, utilizando sus verdaderos límites inferiores de la forma siguiente:
Alquiler mensual
($)
Frecuencias
acumuladas
“mayor que” (Fi
*
)
Mayor que 60 120
Mayor que 80 117
Mayor que 100 110
Mayor que 120 99
Mayor que 140 77
Mayor que 160 37
Mayor que 180 13
Mayor que 200 4
Mayor que 220 0
Si se desea determinar cuántos alquileres son iguales o mayores que $150 se trazaría una línea
verticalmente desde $ 150, según se muestra, hacia el polígono y después hacia la izquierda al eje Y.
El número correspondiente en el eje Y es aproximadamente 57, lo cual significaría que 57 alquileres
son iguales o mayores de $150 mensuales.
0
3
10
21
43
83
107
116
120
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
0
20
40
60
80
100
120
140
60 80 100 120 140 160 180 200 220
N°DEPARTAMENTOS
ALQUILER EN $

63
Gráfico 5: Polígono de Frecuencias acumuladas "mayor que" para los alquileres
2.5.7. Otras Representaciones Gráficas De Los Datos
El polígono de frecuencias, el histograma y los polígonos de frecuencias acumuladas dan una conveniente
apreciación visual. Además existen otras gráficas, tales como:
a. Gráficas de líneas
Son ideales para representar tendencias de ventas, importaciones,
exportaciones y otras series de valores durante un cierto periodo. Ejemplo:
Obsérvese en el Gráfico 8 que en 1999 esta empresa sufrió una pérdida, y por tanto las utilidades por
participación son negativas. En este caso se requieren los cuadrantes I y IV
b. Gráficas de Barras Bidireccionales
Este tipo de diagrama puede utilizarse para mostrar pérdidas y ganancias, actividades por encima y debajo
de lo normal, y cambios porcentuales de un periodo a otro. Para ilustrar esto hemos extraído información de
la página del Instituto Nacional de Estadística INEI. ( www.inei.gob.pe ) sobre la variación porcentual del
destino de la producción pesquera en los años 2000 – 2003 (enero).
En el gráfico 9 podemos observar que la variación porcentual del pescado enlatado se incrementó
positivamente en el transcurso de los años
120
117
110
99
77
37
13
4
0
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
0
20
40
60
80
100
120
140
60 80 100 120 140 160 180 200 220
N°DEPARTAMENTOS
ALQUILER EN $

64
Gráfico 6: Jhonstons S.A. Dividendos por Acción. 1986-2000
Gráfico 7: Destino de la Producción Pesquera del Perú (Variación Porcentual ). 2000 - 2003*
Fuente: Ministerio de Pesquería
3.5
2
1.5
-2
1
-3.0
-1.5
0.0
1.5
3.0
1986 1997 1998 1999 2000
dividendosporacción
años
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
2000 2001 2002 2003
-38.5
-16.4
25.9
32.9
5.8
-5.2
-16.1
14.312.6
4.6
-11.8 -11.7
Congelado Enlatado Fresco
Fuente: Reporte Anual Jhonstons S.A.

65
c. Pirámides De Población
El Censo de Población nos permite conocer las características demográficas, económicas y
sociales de los habitantes del país.
A partir de los datos que se obtienen en el Censo, podemos clasificar a la población según
distintas características, como por ejemplo: sexo, edad, nivel educativo, ocupación, etc., y
analizar cómo se distribuye la población según esas características.
Dos de las características demográficas básicas de la población que se registran en el Censo son:
 el sexo
 la edad
Conocer la distribución de la población según el sexo es fundamental debido a los diferentes roles o
funciones que cumplen los varones y las mujeres en la sociedad.
Conocer la distribución de la población según la edad es muy importante porque a lo largo de la vida
muchas características y aptitudes de las personas se modifican (aptitud para tener hijos, posibilidad de
estudiar, posibilidad de insertarse en el mundo del trabajo, condiciones de salud, etc.)
Ilustración 1: Pirámide Poblacional
De Barras Seccionadas
Una cadena de tiendas de descuento está organizada en tres grupos para ventas y compras. Cada grupo
está dirigido por un gerente general. El cambio en ventas totales para los años de 1999, 2000, 2001, y el
cambio para cada grupo en relación con el total se ha de representar con una gráfica de barras
seccionadas. (en muchos paquetes computacionales se denominan barras apiladas o stacked).
Semieje
horizontal derecho
(sexo femenino)
Semieje
horizontal
izquierdo (sexo
masculino)
Barras de
frecuencia del
sexo
masculino
Barras de
frecuencia del
sexo femenino
Eje vertical que
señala los
grupos étareos

66
Tabla 3: Ventas de Saga durante los años 1999-2001
Grupo
Ventas (en millones de dólares)
1999 2000 2001 2002
Ropa 2 3 5 4
Artículos deportivos 8 7 6 3
Electrodomésticos
4 6 10 18
Tabla 4: Gráfico de Barras Seccionadas
Se puede observar que:
1. Las ventas totales aumentaron durante los tres años
2. Las ventas de artículos deportivos disminuyeron como un componente del total
3. La venta de electrodomésticos aumentaron con rapidez como un componente del
total.
Ejercicio 3.
Con la finalidad de evaluar la viabilidad de un proyecto de reforestación de una zona sometida a estrés
turístico, para el que se ha solicitado una subvención pública, se ha tomado muestra sobre la composición
en mg/cm3 de desechos orgánicos en el sueldo.
Los datos obtenidos fueron:
Composición de desechos orgánicos (mg/cm3
)
8.2 12.9 15.3 18.8 20.8
9.2 12.9 15.8 19.7 21.0
9.4 14.0 15.9 20.3 21.4
10.8 14.3 16.9 20.3 22.2
10.8 14.4 18.2 20.3 22.5
11.1 15.1 18.4 20.4 23.2
11.9 15.1 18.6 20.7 25.8
1999 2000 2001 2002
2 3
5 4
8 7
6
3
4
6
10 18
VENTAS(MILLONESDEDÓLARES)
Ropa Artículos deportivos Electrodomésticos

67
a. Construir la tabla de frecuencias usando la regla de Sturges.
b. A partir de la tabla de frecuencias interprete: f3, h3, F4, H4% y 1 – H2
c. ¿Entre qué niveles de composición se encuentra aproximadamente el 51,4% de las observaciones
con menores niveles registrados?

68
Ejercicio 4.
La gerencia de marketing del Supermercado ABC desea realizar un estudio con la finalidad de evaluar la
satisfacción de sus clientes. Para el estudio se selecciona aleatoriamente a 40 clientes que acudieron al
supermercado en un día y se registró los siguientes datos.
Nº
Tipo
pago
Estado
de los
productos
Nº de
compras
semanales
Monto
(nuevos
soles)
Nº
Tipo
pago
Estado
de los
productos
Nº de
compras
semanales
Monto
(nuevos
soles)
1 1 2 2 200.5 21 3 4 2 350.5
2 2 2 4 200.3 22 3 2 4 250.3
3 2 1 1 136.0 23 3 4 5 180.4
4 2 2 2 150.0 24 2 3 1 320.8
5 2 2 3 300.6 25 2 1 2 150.6
6 1 1 2 320.8 26 3 4 3 190.8
7 3 2 2 310.8 27 1 3 2 240.5
8 3 1 4 229.2 28 2 1 3 275.8
9 1 2 3 180.5 29 3 2 3 130.8
10 2 3 5 110.6 30 3 3 1 180.2
11 3 1 1 140.8 31 2 4 4 315.4
12 1 3 3 368.6 32 1 1 2 390.6
13 2 2 2 160.2 33 2 3 2 265.8
14 3 1 3 180.9 34 3 4 1 360.8
15 3 2 1 190.5 35 1 1 3 260.2
16 2 3 2 210.4 36 2 2 3 140.5
17 3 2 3 89.4 37 1 3 2 180.2
18 1 3 3 110.6 38 3 4 3 220.5
19 2 1 4 100.5 39 3 1 2 345.8
20 1 1 1 120.3 40 3 2 3 95.4
Considerar: Tipo de pago: 1 = Contado 2 = Tarjeta de crédito 3 = Crédito ABC
Estado de los productos: 1 = Muy bueno 2 = Bueno 3 = Regular 4 = Malo
a. Elabore una tabla de frecuencias y un gráfico de barras de frecuencia relativa de la variable tipo de
pago.

69
b. Elabore una tabla de frecuencias y un gráfico circular de la variable estado de los productos.
c. Elabore la tabla de frecuencias para la variable número de compras semanal. Elabore el respectivo
gráfico de varas.

70
d. Elabore la tabla de frecuencias usando la regla de Sturges para la variable monto semanal.
e. Interprete f4, h4, h4%, F4, H4, H4%, 100% – H2%, H5 – H2

71
f. Elabore el respectivo histograma y polígono de frecuencias.
Ejercicio5
Se ha recolectado información de 20 sacos de papa tomados al azar, cosechados para un trabajo
experimental. Se muestra a continuación el número de papas que están comenzando a descomponerse por
saco y las variedades de papas cosechadas.
Número de papas
descomponiéndose
Variables de papa sancochadas
8 12
8 12
8 12
9 16
9 16
9 16
12 16
12 17
12 17
12 18
Fuente: Estudio Experimental
amarilla negra blanca tomasa serrana
N° sacos 3 5 9 2 1
0
2
4
6
8
10
Variable papa

72
a. Elabore una tabla de frecuencias para la variable cuantitativa.
b. Del cuadro elaborado anteriormente interprete f5 y h2.
c. Elabore un cuadro que resuma la información de la variable cualitativa.

73
Tablas de frecuencias para dos grupos
Los conjuntos de datos son agrupados por los mismos intervalos de clase, que conforman las clases o
categorías de tabla de frecuencias para dos o más grupos donde se evalúa la variable cuantitativa continua
de interés.
En este caso, se construye una tabla de frecuencias que tiene intervalos de clase que son comunes para
ambos grupos de datos. El procedimiento es similar al visto para el caso de un solo grupo.
Pasos para la construcción de a tabla de frecuencias para dos grupos:
Paso 1. Considerando la totalidad de los datos de ambos grupos, calcular el rango o amplitud (R).
R = Máximo – Mínimo
Paso 2. Hallar el número de intervalos de clase (m). Se aplica la regla Sturges: m = 1 + 3.3 log(n). Donde n
es mayor de ambos grupos
 Se aplica el redondeo normal a entero
Paso 3. Hallar el tamaño de Intervalo de Clase (c). 𝑐 =
𝑅
𝑚
 El número de decimales es igual al de las observaciones.
 Se aplica el redondeo por exceso.
Paso 4. Halla los límites inferiores y superiores de cada intervalo de clase, los cuales los serán para ambos
grupos.
Paso 5. Realizar el conteo del conjunto de datos para cada uno de los grupos, como el resultado de asignar
cada observación a alguno de los intervalos de clase. Luego completar la tabla hallando las frecuencias
absolutas y relativas para cada grupo.
Tipos de gráficos. Se puede usar las frecuencias absolutas o relativas-
 Histograma
 Polígono
Ejemplo 4.
Se hizo una encuesta a dos grupos de personas del distrito de Surco y una muestra de 25 personas de
distrito de Lince, acerca de sus ingresos mensuales obteniéndose los siguientes resultados:
Ingreso Mensual (miles de S/.)
Surco
0.8 1.1 1.2 1.4 1.6 2
0.8 1.1 1.2 1.6 1.7 2.1
0.8 1.1 1.3 1.6 1.7 2.1
0.9 1.1 1.4 1.6 1.7 2.3
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.8
Lince
0.6 0.9 1.1 1.3 1.6
0.8 0.9 1.1 1.4 2
0.8 1 1.1 1.5 2
0.8 1 1.2 1.5 2.1
0.9 1 1.2 1.5 2.2
Paso 1. Calcule el rango (R) R = Xmáx - Xmín
R = 2.8 – 0.6 = 2.2
Paso 2. Determine el número de intervalos de clase (m). Utiice la regla Sturges:
m = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 30 = 5.874500141 = 6

74
Paso 3. Halle el tamaño delo intervalos de clase (c)
𝑐 =
𝑅
𝑚
=
2.2
6
= 0.366666667 = 0.4
Paso 4. Construya la tabla de frecuencias para ambos grupos.
Tabla de frecuencias para el distrito de Surco
Nº de
clases
Ingreso
mensual
[LI – LS>
xi fi hi hi% Fi Hi Hi%
1 [0.6 – 1.0> 0.8 4 0.1333 13.33 4 0.1333 13.33
2 [1.0 – 1.4> 1.2 9 0.3000 30.00 13 0.4333 43.33
3 [1.4 – 1.8> 1.6 11 0.3667 36.67 24 0.8000 80.00
4 [1.8 – 2.2> 2 4 0.1333 13.33 28 0.9333 93.33
5 [2.2 – 2.6> 2.4 1 0.0333 03.33 29 0.9667 96.67
6 [2.6 – 3.0] 2.8 1 0.0333 03.33 30 1.0000 100.000
30 1.0000
Tabla de frecuencias para el distrito de Lince
Nº de
clases
Ingreso
mensual
[LI – LS>
xi fi hi hi% Fi Hi Hi%
1 [0.6 – 1.0> 0.8 7 0.2800 28.00 7 0.2800 28.00
2 [1.0 – 1.4> 1.2 9 0.3600 36.00 16 0.6400 64.00
3 [1.4 – 1.8> 1.6 5 0.2000 20.00 21 0.8400 84.00
4 [1.8 – 2.2> 2 3 0.1200 12.00 24 0.9600 96.00
5 [2.2 – 2.6> 2.4 1 0.0400 04.00 25 1.0000 100.000
6 [2.6 – 3.0] 2.8 0 0.0000 00.00 25 1.0000 100.000
25 1.0000 100
A partir de eso resultados podemos concluir lo siguiente:
En el distrito de Surco hay una persona que tiene un ingreso mensual entre 2,6 a 3 miles de soles,
mientras que en el distrito de Lince no hay ninguna persona en ese rango.
En el distrito de Surco, el mayor porcentaje de personal 36,667% tienen un ingreso desde 1,4 miles
hasta antes de 1.8 miles; mientras que en Lince el mayor porcentaje 36% de las personas con
ingreso desde mil soles hasta antes de 1.4 miles.
Tienen un ingreso que va desde 0.6 miles de soles hasta antes de 1,4 miles de soles e 43.33% de
las personas des distrito de Surco y el 64% de las personas del distrito de Lince.
Ejercicio 5
En un estudio realizado para estimar el consumo diario de agua (en m3) en dos sectores de Lima
(Sur y Norte), tomándose muestras de aleatorias de 42 y 28 viviendas respectivamente de cada
sector. Se obtuvo la siguiente información:
Consumo de agua del sector Sur (en
m3
)
Consumo de agua del sector Norte
(en m3
)
7.9 8.3 10.5 13.2 14.0 14.0 6.0 7.9 9.0 10.2
14.7 14.8 15.9 16.1 16.2 16.5 11.0 12.0 15.2 16.1
17.7 18.8 19.1 19.6 19.8 20.4 16.8 18.8 19.1 19.6
21.8 21.9 22.2 22.8 22.9 23.0 21.8 21.9 22.2 21.0
23.6 24.1 24.2 25.0 25.3 26.2 22.0 24.1 24.2 24.0
26.6 27.4 29.0 29.7 29.7 30.0 26.6 27.4 29.0 32.0
30.1 30.1 31.4 31.5 32.0 36.0 34.0 35.0 38.0 42.0
a. Elaborar la tabla de frecuencias común para ambos grupos para la variable en estudio.

75
b. Tomando como base las tablas de frecuencias obtenidas, comprar ambos grupos y dar
conclusiones importantes.

76
EJERCICIOS 03
1. Contestar Verdadero si es verídico , si no lo es, la palabra en negrita debe sustituirse con la cual el
enunciado sea válido.
a) Un cuadro o tabla es la mejor forma de visualizar la información.
b) El recuento de los empleados en una empresa, de acuerdo al cargo es un ejemplo de variable
discreta.
c) El pictograma es la representación estadística por medio de mapas.
d) El histograma es un tipo de representación en gráfica de rectángulos de una distribución
continua.
e) El grosor de una lámina de metal que la compañía utiliza en sus procesos de manufactura es un
ejemplo de atributo.
f) La población o universo es un subconjunto de unidades extraídas al azar en tal forma que nos
permita tener información sobre un grupo mayor.
2. Las velocidades (en Km/h) de 55 automóviles que transitaron por la avenida Salaverry de la ciudad de
Chiclayo fueron medidas con un radar, en la primera semana del mes de Mayo del año
2015,obteniéndose los siguientes resultados :
23 22 38 43 24 35 26 28 18 20 27
23 22 52 31 30 41 45 29 27 43 25
28 27 25 29 28 24 37 28 29 18 29
33 25 27 25 34 32 36 22 32 33 26
23 24 18 48 23 16 38 26 21 23 21
a) Ordene estos datos en una distribución de frecuencias agrupadas, usando los límites 12 – 18 – 24 -
… - 54.
b) Para la clase [24 – 30), encuentre (1) la marca de clase, (2) el límite de la clase inferior, (3) el límite
de la clase superior (4) el ancho de clase.
c) Interprete los resultados obtenidos en f3, ↓F2, h4, H3, ↑F3.
3. En Marzo del 2015 la empresa de investigación de mercados “CONTEOS”, fue contratada por el banco
“Nuevo Horizonte“ para que realice un estudio sobre la aceptación de los créditos anuales que ofrecen a
sus clientes en sus sucursales delos distritos de la Chiclayo y Trujillo. La empresa “CONTEOS” después
de hacer un estudio de las características de los clientes activos del banco, seleccionó una muestra de
36 clientes de la sucursal de Chiclayo, y recolectó de ellas información para un conjunto de variables
seleccionadas para tal fin. Los resultados se muestran a continuación:
N°
Cliente
Tipo de
crédito
N° de
solicitudes
Monto de crédito
(miles de soles)
Tipo de
cliente
1 1 1 30.0 2
2 2 2 35.3 3
3 3 1 48.4 2
4 1 2 50.1 2
5 2 1 55.3 3
6 4 2 57.2 2
7 5 1 58.1 1
8 3 1 60.4 3
9 5 2 65.3 3
10 4 1 66.0 2
11 3 3 68.0 2
12 4 1 69.1 2
13 2 3 70.2 3
14 5 3 72.5 2
15 4 1 73.1 3
16 2 4 75.3 3
17 3 4 77.2 3
18 4 1 79.1 3
19 4 3 82.7 2
20 5 7 84.3 3

77
21 3 1 86.0 1
22 4 5 90.3 1
23 1 6 95.2 2
24 3 1 100.1 3
25 4 2 101.2 3
26 1 4 102.2 1
27 3 1 102.2 3
28 4 2 104.3 2
29 1 4 110.1 2
30 3 1 115.3 3
31 4 3 118.4 2
32 1 2 119.1 1
33 3 1 125.1 3
34 1 3 128.0 2
35 1 1 130.2 2
36 2 2 140.0 3
Tipo de crédito: (1) Inversión en negocio, (2) Compra de Inmuebles,
(3) Compra de maquinarias, (4) Inversión en bolsa de valores,
(5) Compra de autos.
Tipo de cliente: (1) Casado(a), (2) Soltero (a), (3) Divorciado (a)
a) Elabore una gráfica adecuada para la variable cualitativa.
b) Haciendo uso de la regla de Sturges construya un cuadro de distribución de frecuencias
para la variable Monto de Crédito (miles de soles).
c) Interprete según enunciado los valores de f2, p3, F4, P 5 y (p5 +p6).
d) Construya el polígono de frecuencias para la variable Monto de crédito.
e) Construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable cuantitativa discreta.
f) En el distrito de Trujillo utilizando una muestra aleatoria de 50 clientes, la empresa
“CONTEOS” con los datos correspondientes a la variable “Monto de crédito” , formó el
siguiente cuadro de frecuencias:
Monto de crédito
(en miles de soles)
Porcentaje
acumulado
De 50 a menos de 70 6
De 150 hasta 170 100
g) Construya un cuadro de frecuencias comparativo entre las dos sucursales (Chiclayo y
Trujillo).Luego, establezca tres conclusiones importantes.
4. La siguiente información se tomó de los registros del Hospital Centro de Salud Materno Infantil San
Bartolomé. Sección Maternidad entre el 18 y el 22 de Mayo del 2014.
Caso
Madre Hijo
Edad
Estado
Civil
N°de
partos
Peso Sexo
1 25 conv 2 2.90 F
2 22 conv 2 2.90 F
3 32 conv 4 4.04 M
4 22 conv 1 4.35 F

78
5 18 casada 1 3.60 M
6 21 casada 3 3.50 M
7 20 soltera 2 3.20 M
8 19 casada 1 3.00 F
9 23 casada 3 3.60 M
10 26 casada 2 2.80 M
11 36 casada 5 3.00 M
12 30 conv 5 3.30 F
13 23 soltera 3 3.10 F
14 29 conv 4 3.30 F
15 22 conv 2 3.30 F
16 23 casada 1 3.50 F
17 27 conv 2 3.62 M
18 28 conv 3 3.30 F
19 19 conv 1 2.65 F
20 32 casada 2 2.86 F
21 17 conv 1 2.62 M
22 21 conv 2 3.56 F
23 18 casada 2 3.10 M
24 27 conv 3 3.62 F
25 21 casada 1 3.18 M
26 19 casada 1 2.95 M
27 19 conv 2 3.90 M
28 31 casada 3 3.00 F
29 32 casada 4 4.00 F
30 21 conv 2 3.85 M
31 23 casada 2 2.75 F
32 19 casada 1 3.18 F
33 19 conv 1 3.14 F
34 26 conv 3 3.08 F
35 18 casada 1 2.80 F
36 24 casada 2 3.40 M
37 30 casada 3 3.00 F
38 26 casada 3 3.05 F
39 19 casada 1 2.90 F
40 34 casada 3 3.10 F
41 28 casada 3 3.40 M
42 24 casada 2 2.97 F
43 26 casada 2 2.94 F
44 22 casada 2 3.80 M
45 34 casada 5 4.65 F
a) Elabore una tabla y grafica adecuada para la variable ESTADO CIVIL.
b) Haciendo uso dela regla de Sturges construya un cuadro de distribución de frecuencias para la
variable PESO DEL RECIÉN NACIDO.
c) Interprete según enunciado los valores de f2, h4, h5%, F3, H3, y (H5.H2) del cuadro de distribución de
frecuencias anterior.
d) Construya el polígono de frecuencias para la variable PESO DEL RECIÉN NACIDO.
e) Construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable N° DE PARTOS.
5. Con el objeto de determinar el número de horas diarias que los alumnos de la FACHSE se dedican a
estudiar en la biblioteca de la UNPRG, se llevó a cabo una encuesta de 49 de ellos, obteniéndose los
siguientes resultados expresados en horas:
1.2 1.8 2.3 2.6 3.0 3.1 3.6
1.2 1.8 2.3 2.7 3.0 3.1 3.6
1.3 2.3 2.3 2.7 3.0 3.4 3.6
1.3 2.3 2.4 2.8 3.0 3.4 4.0

79
1.5 2.3 2.4 2.8 3.1 3.4 4.1
1.8 2.3 2.6 2.8 3.1 3.4 4.5
1.8 2.3 2.6 2.9 3.1 3.4 4.5
a) Construya una tabla de frecuencia completa, usando la regla de Sturges.
b) Interpretar la marca de clase del tercer intervalo de clase.
c) Interpretar la frecuencia absoluta del quinto intervalo.
d) Interpretar la frecuencia relativa del tercer intervalo clase.
e) Interpretar la frecuencia acumulativa relativa del cuarto intervalo de clase.
6. Tomando como base la información tomada en la pregunta 6, se encuestó también a 35 alumnos de la
FACEAC obteniéndose los siguientes resultados en horas:
2 2 2.1 2.1 2.2 2.5 2.6
2.6 2.7 2.7 3 3 3.1 3.2
3.3 3.4 3.4 3.5 3.6 3.6 3.6
3.8 4 4 4 4.1 4.3 4.3
4.4 4.5 4.5 4.6 4.7 4.7 4.7
Construya la tabla de frecuencia comparativa entre las dos facultades. Mencionar tres conclusiones
importantes en términos del enunciado.
7. Una agencia de viajes de alcance nacional ofrece tarifas especiales de ciertas travesías en el Caribe,
para personas mayores. El presidente de esta empresa desea información adicional acerca de las
edades de las personas que participan en tales viajes. Una muestra al azar de 40 clientes que fueron a
una travesía el año pasado. Indicó las siguientes edades.
77 18 63 84 38 54 50 59 54 56 36 26 50 34 44
41 58 58 53 51 62 43 52 53 63 62 62 65 61 52
60 60 45 66 71 63 58 61 71
a. Organice los datos en una distribución de frecuencias, utilizando siete clases y 15 como el límite
inferior de la primera clase. ¿Qué ancho de intervalo de clase seleccionaría usted?
b. ¿Dónde tienden los datos a acumularse?
c. Describa la distribución.
d. Convierta la distribución de frecuencias absolutas en una distribución de frecuencias relativas.
8. Un sistema bancario estudia el número de veces que uno de sus cajeros automáticos se usa
diariamente. Se indica enseguida el número de veces que dicha máquina fue utilizada durante los
últimos 30 días. Elabore un diagrama de tallo y hoja.
43 64 84 76 84 54 75 59 70 61
63 80 84 73 68 52 65 90 52 77
95 36 78 61 59 84 95 47 87 60
9. Suponga que se obtiene la siguiente información sobre no conformidades en paquetes de circuito:
componentes averiados, 126; componentes incorrectos, 210; soldadura insuficiente, 67; soldadura
excesiva, 54; componente faltante, 131. Construya un diagrama de Pareto
10. Se hizo un estudio para analizar el volumen de ventas (en miles de soles) de dos locales A y B de una
empresa del distrito de Chiclayo , se tomaron ciertos días por cada local y se determinó el volumen de
ventas, tenemos los siguientes datos registrados:
Día
Volumen de
ventas de (miles
de soles)
A B
1 1.1 2
2 1.6 2.5
3 1.3 2.6
4 1.0 2.1
5 1.6 2

80
6 1.4 2.7
7 1.9 3
8 2.1 3.1
9 2.5 3.2
10 2.2 2.5
11 2.2 2.7
12 2.4 3
13 3 2.4
14 2.1 2.4
15 1.5 2.1
16 2 3
17 1.7 3.5
18 1.8 3.6
19 1.9 3
Construya la tabla de frecuencia comparativa entre los dos locales (A y B. Mencionar tres conclusiones
importantes.
11. Se revisaron 20 lotes de 48 artículos cada uno y se encontró el siguiente número de
artículos defectuosos por lote:
3,2,5,0,1,3,2,1,0,1,3,4,2,4,4,3,4,3,2,3.
Construir la distribución de frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas.
Graficar. ¿Qué porcentaje de lotes tienen dos o más pero menos de 4 artículos
defectuosos?
12. Se registra el tiempo en minutos que utilizan 30 alumnos para ejecutar una tarea, resultando los
siguientes:
21.3 15.8 18.4 22.7 19.6 15.8 26.4 17.3 11.2 23.9
26.8 22.7 18.0 20.5 11.0 18.5 23.0 24.6 20.1 16.2
08.3 21.9 12.3 22.3 13.4 17.9 12.2 13.4 15.1 19.1
a) Construir una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud y a partir de ésta
b) Calcular el tiempo debajo del cual se encuentra el 25% inferior de las tareas
13. Una cadena de tiendas de artículos para deportes que busca especializarse en servicios para surfistas
principiantes, planea efectuar un estudio acerca de cuánto gasta una persona surfista principiante en la
compra inicial de equipo y suministros. Con base en estas cifras, desea explorar la posibilidad de ofrecer
combinaciones –como una tabla hawaiana o un traje impermeable- a fin de inducir a los clientes a
comprar más. Una muestra de sus ingresos registrados de compras al contado indicó las siguientes
compras iniciales (en dólares):
140 82 265 168 90 114 172 230 142
86 125 235 212 171 149 156 162 118
139 149 132 105 162 126 216 195 127
161 135 172 220 229 129 87 128 126
175 127 149 126 121 118 172 126
a. Desarrolle un ancho de clase a sugerir. Utilice 5 clases, y sea $80 el límite inferior de la primera
clase
b. ¿Cuál sería un mejor intervalo de clase?
c. Organice los datos en una distribución de frecuencias.
d. Interprete sus resultados.
14. Se registró el tiempo en minutos que utilizaron 32 alumnos para ejecutar una tarea resultando los
siguientes datos:
21.3 21.9 20.5 15.8 12.2 20.1 19.7
26.8 18.4 22.3 18.5 17.3 15.1 22.8
8.3 18 19.6 17.9 24.6 23.9 19.1
15.8 12.3 11 26.4 13.4 16.2 11.2
22.7 22.7 13.4 23
a. Agrupe los datos en una distribución de frecuencia de 6 intervalos de igual amplitud y grafique el
polígono de frecuencias. Comente la forma.

81
b. ¿Qué porcentaje de alumnos utilizaron entre 16 y 23 minutos para realizar la tarea?
c. Aplique la distribución de frecuencias para calcular el tiempo máximo del cuarto inferior de las
tareas del tiempo mínimo del cuarto superior de las tareas.
d. Dibuje la ojiva de frecuencias absolutas y ubique en ella las soluciones de b).
15. La empresa Movitel S.A realizo un estudio sobre la satisfacción con el funcionamiento de su servicio de
Internet Móvil cuyos resultados se muestran a continuación :
Indiferente
Muy
Satisfecho
Indiferente
Muy
Satisfecho
Indiferente Indiferente Satisfecho Indiferente Indiferente
Muy
Satisfecho
Indiferente
Muy
Satisfecho
Muy
Satisfecho
Insatisfecho Satisfecho Indiferente Insatisfecho Satisfecho
Insatisfecho Satisfecho Indiferente Indiferente Indiferente Satisfecho Satisfecho Indiferente
Muy
Satisfecho
satisfecho
Muy
Satisfecho
Satisfecho Satisfecho Satisfecho Insatisfecho Indiferente Satisfecho Indiferente
Indiferente Insatisfecho Indiferente Satisfecho
Muy
Satisfecho
Indiferente Indiferente Indiferente
Muy
Satisfecho
Insatisfecho Indiferente Indiferente Satisfecho Indiferente Satisfecho Satisfecho Satisfecho
Muy
satisfecho
Muy
Satisfecho
Muy
satisfecho
Indiferente
Muy
Satisfecho
Satisfecho Indiferente Satisfecho Indiferente
Sobre la variable en estudio, satisfacción con el servicio de Internet Móvil, responda ¿qué tipo de variable
es?
Elabore el cuadro de distribución de frecuencia y su gráfico respectivo.
16. Las notas del examen parcial de Estadística se organizaron en una distribución de frecuencias, cuyos
resultados incompletos se dan en la siguiente tabla:
a) Complete la distribución de frecuencias y describa su forma.
b) Grafique la ojiva de porcentajes y ubique en las misma los cuartiles.
c) ¿Es verdad que más del 49% de las notas se ubican en el intervalo: [8,14]?
d) Calcule el intervalo de notas donde se ubica el quinto superior de los alumnos.
Intervalo Marca de Clase Frecuencia Relativa
Frecuencia Relativa
Acumulada
[ , ] 0,15
[ 6 , ] 0,45
[ , ] 0,70
[ , ] 13,5
[ , ] 0,10
17. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de
los tiempos en minutos, que emplearon 65 adultos para realizar una prueba de aptitud aparecen
representada en el siguiente histograma. Un adulto tiene aptitud baja si está en el cuarto inferior, alta si
está en el cuarto superior y aptitud media en caso contrario.
A) Obtenga los intervalos de tiempos para cada nivel de aptitud.
B) ¿Qué porcentaje de estos adultos emplearon al menos 10.375 minutos?
10
15
20
13
5
2

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