sesion 5

2. Ingeniería de Minas
Ing. Oscar Zelada Mosquera
oscar.zelada@upn.pe
MECÁNICA DE FLUIDOS
Sesión 05:
Flujo de fluidos: conservación de la masa
Ecuación de Bernoulli y ecuación general de la energía

3. Resolver el test de entrada en forma individual y antes de la clase:
RECOGO DE SABERES PREVIOS:

4. MOTIVACIÓN:
Observa y responde:
• ¿Cuál es el criterio para clasificar los flujos en interno y externo?
• ¿Cuándo un flujo es externo y cuándo es interno?
• Menciona ejemplos reales de este tipo de flujos.
https://youtu.be/5WbTw3dSuvg

5. CONFLICTO COGNITIVO:
Analiza:
Descarga de agua de un tanque:
Un tanque cilíndrico de agua con 4 pies de alto y 3 pies de diámetro cuya
parte superior está abierta a la atmósfera está al principio lleno con agua.
Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca del fondo del tanque
cuyo diámetro es de 0.5 pulg y un chorro de agua se vierte hacia fuera. La
velocidad promedio del chorro se da por V = (2gh) , en donde h es la
altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero (una
variable) y g es la aceleración gravitacional. Determine cuánto tiempo
transcurrirá para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2 pies,
medido desde el fondo.

6. MOTIVACIÓN:
Considere un fluido que se transporta en una cisterna:
• ¿Qué formas de energía intervienen en el Teorema de Bernoulli?
• ¿Qué otros fenómenos o procesos en la vida real, se pueden explicar con este teorema?
https://youtu.be/BW0UmTEMMAc

7. CONFLICTO COGNITIVO:
Analiza:
Tanque presurizado:
Por medio de un sistema similar al que se muestra en la figura,
calcule la presión de aire que es necesario aplicar sobre el agua, a
fin de hacer que el chorro llegue a 40.0 pies por arriba de la salida.
La profundidad es h = 6.0 pies.

8. LOGRO DE LA SESIÓN:
Al término de la sesión, los estudiantes del curso de
Mecánica de Fluidos, de la carrera de Ingeniería de
Minas:
• Aplican la ecuación de conservación de la masa, a la
solución de situaciones problemáticas cercanas a la
realidad.
• Aplican la ecuación general de conservación de la
energía, a la solución de situaciones problemáticas
cercanas a la realidad.

9. CAMPOS TEMÁTICOS:
• Tipos de flujos de fluidos.
• Sistema y volumen de control.
• Flujo másico y flujo volumétrico.
• Principio de conservación de la masa.
• Formas de energía en un flujo.
• Teorema y ecuación de Bernoulli.
• Restricciones de la ecuación de
Bernoulli.
• Aplicación de la ecuación de Bernoulli.
• Ecuación general de la energía.

10. FLUJOS DE FLUIDOS:
TIPOS DE
FLUJOS
Viscosos y
no
viscosos
Interno y
externo
Compresible e
Incompresible
Laminar y
turbulento
Natural y
forzado
Estacionario y
no
estacionario
Unidimensional,
bidimensional y
tridimensional

11. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL:
• Sistema: Cantidad de materia o una
región en el espacio elegidas para su
estudio.
• Alrededores : Masa o región que se
encuentran afuera del sistema.
• Frontera: Superficie real o imaginaria que
separa el sistema de sus alrededores.
Puede ser fija o movible.
Es la superficie de contacto compartida,
tanto por el sistema como por los
alrededores. En términos matemáticos, la
frontera tiene espesor cero y, de este
modo, no puede contener masa ni ocupar
algún volumen en el espacio.

12. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL:

13. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL:

14. FLUJO MÁSICO Y FLUJO VOLUMÉTRICO:
Flujo Másico:
• Llamado también razón de flujo de masa.
• Se define como la cantidad de masa que fluye
a través de una sección transversal por unidad
de tiempo.
• Se denota por:
• El diferencial de flujo másico, que pasa por un
diferencial de área, es proporcional a dicha
área, a la densidad del fluido y a la velocidad
normal a la sección.
dA
v
m n
→
•

=


→
•

=
A
n dA
v
m
•
m

15. FLUJO MÁSICO Y FLUJO VOLUMÉTRICO :
• Considerando la densidad constante y una
velocidad promedio:
Flujo Volumétrico:
• Llamado también razón de flujo volumétrico.
• Se define como el volumen de fluido que fluye a
través de una sección transversal por unidad de
tiempo.
• Se denota por:
A
v
m prom
→
•

= A
v
m
→
•

= ]
s
/
kg
[
•
V

16. FLUJO MÁSICO Y FLUJO VOLUMÉTRICO :
• Está dado por:
• La relación entre el flujo másico y flujo
volumétrico es:
A
v
dA
v
V
Q prom
A
n
→
→
•
=
=
= 
A
v
V
Q
→
•
=
= ]
s
/
³
m
[
•
•

= V
m

17. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA:
• Para un volumen de control se cumple:
La transferencia neta de masa hacia dentro o hacia afuera
de un volumen de control, durante un intervalo t, es igual
al cambio neto (aumento o disminución) en la masa total
que está dentro de ese volumen en el transcurso de t.
• Si lo expresamos como flujos:
• Para varias entradas y salidas:
vc
sale
entra m
m
m 
=
−
dt
dm
m
m vc
sale
entra =
−
•
•
dt
dm
m
m vc
sale
entra
=
− 

•
•

18. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA:
• Para flujos estacionarios: La cantidad de masa
contenida en el VC no cambia con el tiempo:
dmVC = 0
• Para flujos estacionarios de una entrada y una
salida: como toberas, compresores, turbinas,
bombas, etc:
• Si el flujo es incompresible:  = cte


•
•
=
sale
entra
m
m
2
1 m
m
•
•
= 2
2
2
1
1
1 A
v
A
v
→
→

=

2
2
1
1 A
v
A
v
→
→
= 2
1 V
V
•
•
= Ecuación de continuidad
2
1 Q
Q =

19. FORMAS DE ENERGÍA EN UN FLUJO:
1. Energía potencial. Debido a su elevación, la energía
potencial del elemento en relación con algún nivel de
referencia es:
2. Energía cinética. Debido a su velocidad, la energía
cinética del elemento es:
3. Energía de flujo. A veces llamada energía de presión o
trabajo de flujo, y representa la cantidad de trabajo
necesario para mover el elemento de fluido a través de
cierta sección contra la presión p.
z
.
w
EP =
g
2
v
.
w
E
2
C =

=
=
=
w
p
E
pV
pAL
E
F
F
[J; lb.pie]
[J; lb.pie]
[J; lb.pie]

20. ECUACIÓN DE BERNOULLI:
• Considerando un elemento de fluido que se mueve
de la sección 1 a la sección 2.
• La energía mecánica total en cada punto es:
• Si no hay energía que se agregue o se pierda, la
energía se conserva:
• Simplificando:
g
2
v
z
p
g
2
v
z
p
2
2
2
2
2
1
1
1
+
+

=
+
+

Ecuación de Bernoulli
[N.m/N; lb.pie/lb]

21. RESTRICCIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI:
• Se aplica solo a flujos estacionarios.
• Es válida sólo para fluidos
incompresibles, porque se supone
que el peso específico del fluido es el
mismo en las dos secciones de
interés.
• No puede haber dispositivos
mecánicos que agreguen o retiren
energía del sistema entre las dos
secciones de interés.
• No puede haber transferencia de
calor hacia el fluido o fuera de éste.
• No puede haber pérdida de energía
debido a la fricción.
g
2
v
z
p
g
2
v
z
p
2
2
2
2
2
1
1
1
+
+

=
+
+


22. APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI:
1. Decidir cuáles son los términos conocidos y
cuáles deben calcularse.
2. Determinar cuáles son las dos secciones del
sistema que se usarán para escribir la ecuación.
Una de ellas se elige porque se concentran varios
datos conocidos. En la otra, por lo general, están
las variables.
3. Escribir la ecuación para las dos secciones
elegidas en el sistema, en la dirección del flujo.
4. En un dibujo del sistema hay que señalar la
posición de los puntos de referencia.
5. Simplificar la ecuación, si es posible, con la
cancelación de los términos que valgan cero o de
los que aparezcan como iguales en ambos lados
de la ecuación.
6. Despejar de la ecuación, en forma algebraica, el
término que se busca.
7. Sustituir cantidades conocidas y calcular el
resultado, con unidades consistentes en todos los
cálculos. g
2
v
z
p
g
2
v
z
p
2
2
2
2
2
1
1
1
+
+

=
+
+


23. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA:
• Una de las leyes más fundamentales de la naturaleza es la
primera ley de la termodinámica, también conocida como
principio de conservación de la energía, la cual proporciona
una base sólida para el estudio de las relaciones entre las
diversas formas de la energía y de las interacciones de
energía.
• Considerando que la cantidad de energía de una masa fija
(sistema cerrado), se puede intercambiar solo por dos
mecanismos: Transferencia de calor (Q) y transferencia de
trabajo (W):
Donde:
 
=
+
=
+
•
•
•
•
sist
sist
edV
dt
d
W
Q
o
dt
dE
W
Q
sal
ent Q
Q
Q
•
•
•
−
= sal
ent W
W
W
•
•
•
−
=

24. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA:
• Para volúmenes de control o sistemas abiertos:
Donde:
)
gz
2
v
u
P
(
m
)
gz
2
v
u
P
(
m
edV
dt
d
W
Q
2
ent
2
sal
sist
+
+
+

−
+
+
+

+

=
+
→
•
→
•
•
•



u
.
p
h
o
u
p
h +

=
+

=
)
gz
2
v
h
(
m
)
gz
2
v
h
(
m
edV
dt
d
W
Q
2
ent
2
sal
sist
+
+
−
+
+
+

=
+
→
•
→
•
•
•



(Entalpía)
[J/s]

25. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA:
• Para FLUJOS ESTACIONARIOS:
Desdoblando la “entalpía” y dividiendo entre el flujo másico:
Esta ecuación es válida tantos para flujos compresibles como
incompresible.
La parte izquierda de la ecuación representa la entrada de
energía mecánica.
Los 3 primeros términos de la parte derecha, representan la
salida de energía mecánica.
Y los términos entre paréntesis, la pérdida de energía
mecánica. Para flujos ideales, sin fricción, este término es
cero.
Para fluidos de una fase (sólida o líquida):
)
q
u
u
(
gz
2
v
p
gz
2
v
p
w 1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
−
−
+
+
+

=
+
+

+
→
→
[J/kg]
0
edV
dt
d
dt
dE
sist
sist
=

= 

26. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA:
• Para FLUJOS ESTACIONARIOS:
Donde el trabajo neto “w” está dado por la went – wsal .
Normalmente went = wbomba y wsal = wturbina .
Además: emec perd = u2 – u1 – q
Al dividir entre “g” tenemos la ecuación en términos de carga:
perd
mec
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
turbina
bomba e
gz
2
v
p
gz
2
v
p
w
w +
+
+

=
+
+

+
−
→
→
[J/kg]
L
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
T
B h
z
g
2
v
g
p
z
g
2
v
g
p
h
h +
+
+

=
+
+

+
−
→
→
[N.m/N; lb.pie/lb]

27. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA:
• Para FLUJOS ESTACIONARIOS:
Para una entrada y una salida:
)
gz
2
v
h
(
m
)
gz
2
v
h
(
m
W
Q
2
ent
2
sal
+
+
−
+
+
=
+
→
•
→
•
•
•












−
+
−
+
−
=
+
→
→
•
•
•
)
z
z
(
g
2
v
v
h
h
m
W
Q 1
2
2
1
2
2
1
2
)
z
z
(
g
2
v
v
h
h
w
q 1
2
2
1
2
2
1
2 −
+
−
+
−
=
+
→
→
[J/s]
[J/s]
[J/kg]

28. BIBLIOGRAFÍA:
• Y. Cengel, J. Cimbala. (2006). Mecánica
de fluidos: fundamentos y aplicaciones,
México DF, México: Mc Graww Hill.
• R. Mott, (6a Ed.). (2006). Mecánica de
Fluidos, México DF, México: Pearson
Educación.
• J. Gonzales-Santander, G. Castellano.
Fundamentos de mecánica de fluidos.
España, Alicante: ECU.
• A. Crespo. (2006). Mecánica de Fluidos.