Vectores posicion

1. Vectores de Posición
El vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación a otro
punto.
A.- r se puede expresar en forma de
Vector cartesiano
B.- Vector de posición dirigido de A hasta B
Z
X
Y
kzjyixr 

kz
ix o
r

P (x, y, z)
Z
X
Yo
r

r A

r B

)z,y,x(A AAA
)z,y,x(B BBB
BA rrr 
ABAB rrrr 

)kzjyix()kzjyix(rrr AAABBBAB 

k)zz(j)yy(i)xx(r ABABAB 

Roberto Gil Aguilar
j
Y

2. x
A
B
r

y
z
F
u













r
r
FF

 uFF
 
      











2
AB
2
AB
2
AB
ABABAB
zzyyxx
kzzj)y.y(i)xx
F F
1.- Un vector de posición localiza un punto
en el espacio con respecto a otro
2.- La manera mas fácil de formular las
componentes de un vector de posición consiste
en determinar la distancia y la dirección que
debe recorrerse a lo largo de las direcciones x,
y, z desde la cola hasta la cabeza del vector
3.- Una Fuerza F que actúa en la dirección de
un vector de posición r puede ser representada
en forma cartesiana si se determina el vector
unitario u del vector de posición y éste se
multiplica por la magnitud de la fuerza
2

3. 19/06/2012Roberto Gil Aguilar 3
16.- (2.86) Determine el vector de posición r dirigido
desde el punto A hasta el punto B y la longitud de la
cuerda AB. Considere z = 4 m.
Solución
Vector de Posición, teniendo en cuenta las coordenadas
A(3, 0, 2)m y B(0, 6, 4)
𝑟𝐴𝐵 = 0 − 3 𝑖 + 6 − 0 𝑗 + 4 − 2 𝑘
= −3𝑖 + 6𝑗 + 2𝑘 𝑚
La longitud:
𝑟𝐴𝐵 = −3 2 + 6 2 + 2 2 = 7 𝑚

4. 19/06/2012
21.- (2.90) Determine la magnitud y los ángulos
directores coordenados de la fuerza resultante.
Determinaremos los vectores unitarios para cada fuerza:
𝑟𝐴𝐵 = 0 − 0 𝑖 + 0 − 2 𝑗 + (0 − 4)𝑘 𝑚 = −2𝑗 − 4𝑘 𝑚; 𝑟𝐴𝐵 = 4.472 𝑚
𝑢 𝐴𝐵 =
𝑟𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐵
=
−2𝑗 − 4𝑘
4.472
= −0.447 𝑗 − 0.894𝑘
Entonces: 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐵 𝑢 𝐴𝐵 = 600 −0.447 𝑗 − 0.894𝑘 = −268.33𝑗 − 536.66𝑘 𝑁
𝑟𝐴𝐶= 4𝑖 + 6𝑗 − 4𝑘 𝑚 ; 𝑟𝐴𝐶 = 8.246 𝑚
𝑢 𝐴𝐶 =
𝑟 𝐴𝐶
𝑟 𝐴𝐶
=
4𝑖+6𝑗 −4𝑘
8.246
= 0.485 𝑖 + 0.728 𝑗 − 0.485 𝑘
Entonces: 𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐶 𝑢 𝐴𝐶 = 500 0.485 𝑖 + 0.728 𝑗 − 0.485 𝑘
= 242.54 𝑖 + 363.80 𝑗 − 242.54𝑘 𝑁
𝐹𝑅 = 𝐹𝐴𝐵 + 𝐹𝐴𝐶 𝑁 = 242.54 𝑖 + 95.47𝑗 − 779.20𝑘 𝑁
𝐹𝑅 = 242.542 + 95.472 + (−779.20)2= 821.64 = 822 𝑁
Ahora calculemos los ángulos:
α = 𝑐𝑜𝑠−1
242.54
821.64
= 72.80
β = 𝑐𝑜𝑠−1
95.47
821.64
= 83.30
γ = 𝑐𝑜𝑠−1
−779.20
821.64
= 1620

5. 18.- (2.91) Determine la magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante que actúa en A.
k0.8-j0.4243-i0.4243
6)-(00)-cos455.4()0sen455.4(
k)60(j)0cos455.4(i)045sen5.4(
r
r
u 22020
00
B
B
B






01
R
zR1-
01
R
yR1-
01
R
xR1-
144
95.1377
1120
cos
F
)F(
cos
125
95.1377
84.781
cos
F
)F(
cos
,4.82
95.1377
84.181
cos
F
)F(
cos





 












 























Solución
 Nk720-j381.84-i381.84k)0.8-j0.4243-i0.4243(900uFF B
B
B 

   
 
kN38.11120)-(781.84)(-(181.84)F
Nk1120-j781.84-i181.84
Nk400-j400-i200-Nk720-j381.84-i381.84FFF
222
R
CBR




  k
3
2
-j
3
2
-i
3
1
-
6)-(00)-6()03-(
k)60(j)06(i03
r
r
u 222
C
C
C






 Nk400-j400-i200-k)
3
2
-j
3
2
-i
3
1
(600uFF C
C
C 


6. 19/06/20126
17.- (2.93) El candelabro está sostenido por tres cadenas que son
concurrentes en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una
magnitud de 60 lb, exprese cada fuerza como un vector cartesiano
y determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la
fuerza resultante.
Solución
𝐹𝐵 = 60
−4 cos 300 𝑖−4𝑠𝑒𝑛 300 𝑗−6 𝑘
−4𝑐𝑜𝑠300 2+ −4𝑠𝑒𝑛300 2+ −6 2
= −28.81 𝑖 − 16.6 𝑗 − 49.9 𝑘 𝑙𝑏
𝐹𝐴 = 60
4 cos 300 𝑖−4𝑠𝑒𝑛 300 𝑗−6 𝑘
4𝑐𝑜𝑠300 2+ −4𝑠𝑒𝑛300 2+ −6 2
= 28.81 𝑖 − 16.6 𝑗 − 49.9 𝑘 𝑙𝑏
𝐹𝐶 = 60
4 𝑗−6 𝑘
4 2+ −6 2
= 33.3 𝑗 − 49.9 𝑘 𝑙𝑏
𝐹𝑅 = 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵+𝐹𝐶= −149.8 𝑘 𝑙𝑏
𝐹𝑅 = 150 𝑙𝑏
𝛼 = 900, β = 900, γ = 1800

7. 19/06/20127
La placa cilíndrica está sometida a las fuerzas de tres cables que concurren
en el punto D. Exprese cada fuerza ejercida por los cables sobre la placa
como un vector cartesiano, y determine la magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante.
Solución
Para expresar cada fuerza debemos calcular los vectores unitarios
rAD = 0 − 0.75 i + 0 − 0 j + (3 − 0)k m ; = −0.75 𝑖 + 0𝑗 + 3𝑘 𝑚 rA𝐷 = 3.0923 m
uA𝐷 =
rA𝐷
rA𝐷
=
−0.75 i + 3k
3.0923
= −0.2425 i + 0.97015 k
Entonces: FAD = FADuAD = 6 −0.2425 i + 0.97015 k = −1.46 i + 5.82k 𝑘𝑁 RPTA
Calculemos ahora: rBD = 0 − −0.75sen300
i + 0 − 0.75cos 300
j + (3 − 0)k m ; = 0.375 𝑖 − 0.649𝑗 + 3𝑘 𝑚 , rB𝐷 = 3.0923 m
u 𝐵𝐷 =
r 𝐵𝐷
r 𝐵𝐷
=
0.375 i − 0.649 j + 3k
3.0923
= 0.121 i − 0.2098 j + 0.97015 k
Entonces: FBD = F 𝐵DuBD = 8 0.121 i − 0.2098 j + 0.97015 k = 0.968 i − 1.679 j + 7.761 k 𝑘𝑁 RPTA
Calculemos ahora r 𝐶D = 0 − −0.75sen450 i + 0 − −0.75cos 450 j + (3 − 0)k m ; = 0.530 𝑖 + 0.530𝑗 + 3𝑘 𝑚 , rB𝐷 = 3.0923 m
u 𝐶𝐷 =
r 𝐶𝐷
r 𝐶𝐷
=
0.530 i + 0.530 j + 3k
3.0923
= 0.171 i + 0.171 j + 0.97015 k
Entonces: FCD = F 𝐶Du 𝐶D = 5 0.171 i + 0.171 j + 0.97015 k = 0.855 i + 0.855 j + 4.8507 k 𝑘𝑁 RPTA

8. 𝐹𝑅 = 𝐹𝐴𝐷 + 𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐶𝐷
𝐹𝑅 = −1.46 i + 5.82k 𝑘𝑁 + 0.968 i − 1.679 j + 7.761 k 𝑘𝑁 + 0.855 i + 0.855 j + 4.8507 k 𝑘𝑁
𝐹𝑅 = (0.363 𝑖 − 0.824 𝑗 + 18.4317 𝑘) 𝑘𝑁
Ahora su módulo será:
𝐹𝑅 = 0.3632 + 0.8242 + 18.43172 = 18.4536 𝑘𝑁 = 18.5 𝑘𝑁 𝑅𝑇𝐴
Determinaremos la dirección del vector resultante:
α = 𝑐𝑜𝑠−1 0.363
18.454
= 88.870, β = 𝑐𝑜𝑠−1 −0.824
18.454
= 92.560 ,
γ = 𝑐𝑜𝑠−1
18.43
18.454
= 2.920
19/06/20128
Bibliografía
1.- VECTOR MECHANICS
FOR ENGINEERS
Statics and Dynamics 2010
2.- Principles of
Foundation Engimeering, SI
Seventh Edition
BRAJA M. DAS 2011
3.- FÍSICA I Teoría y Problemas Resueltos
Lic. HUMBERTO LEYVA N. 2009
3.- Ingeniería Mecánica. ESTATICA R. C. HIBBELER
Decimosegunda Edición 2010