Bosquejo general de la Distribución normal.

1. Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Dpto. de Física y Matemática
Unidad Curricular: Estadística
Tema V
Distribución de Probabilidad
Normal
Profa. Ing. Maryorys
Polanco
Coro, julio de 2013

2. Contenido
 Introducción.
Tema V. Distribución de Probabilidad
 Teorema Central del Límite.
 Área de distribución normal.
 Aproximación de la Binomial a la
Normal.
 Solución de problemas.
Normal

3. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Introducción
휇
Algunas características:
휎
 La curva es simétrica alrededor de un eje vertical
a través de la media 휇
 La curva se aproxima al eje horizontal de forma
asintótica, conforme nos alejamos de la muestra.
 El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal
es 1.

4. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
La función de densidad de probabilidad de una v.a normal
x, con media 휇 y varianza 휎2 es,
푓(푥: 휇, 휎)=
(푥−휇)2
2휎2 con - ∞ <x<∞
1
2휋휎2 푒−
y su función de distribución acumulativa es,
퐹(푥: 휇, 휎)=
1
2휋휎2
(푥−휇)2
2휎2 푑푥
푥
푒−
Walpole, 2007.
-∞

5. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Teorema del Limite Central
Definición: Sea 푥 la media de una m.a. de tamaño n
tomada de una población con distribución desconocida y
media 휇 y varianza 휎2 definidas , entonces la forma límite
de la distribución de
z =
푥 −휇
휎
푛
, conforme 푛 → ∞
es la distribución normal estándar 푛 푧: 0,1 . Esto es,
lim
푛→∞
푃 푎 ≤
푥 − 휇
휎
푛
≤ 푏 =
1
2휋
푏
푒−
푎
푧2
2 푑푧
Es decir, la variable aleatoria Z es asintóticamenteS npioegrmel,a l
2009

6. Tema V. Distribución de Probabilidad
Teorema del Limite Central
Para n = 1, 2,…., n tenemos 푆푛 = 푋1 + 푋2 + ⋯ + 푋푛. Ahora 푋1, 푋2, … , 푋푛, tienen
cada una media 휇 푦 푣푎푟푖푎푛푧푎 휎2. Asi,
퐸(푆푛) = 퐸(푋1) + 퐸(푋2) + ⋯ + 퐸(푋푛 ) = 푛휇
푉푎푟 푆푛 = 푉푎푟 푋1 + 푉푎푟 푋2 + ⋯ + 푉푎푟 푋푛 = 푛휎2
La variable aleatoria estandarizada correspondiente a 푆푛 es
푆푛
∗ =
푆푛 − 푛휇
휎 푛
Normal

7. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Teorema del Limite Central
La función generadora de momento para 푆푛 es
퐸 푒푡푆푛 = 퐸 푒푡(푆푛−푛휇)/휎 푛
퐸 푒푡푆푛 = 퐸 푒푡(푋1−휇)/휎 푛푒푡(푋2−휇)/휎 푛 … 푒푡(푋푛−휇)/휎 푛
= 퐸 푒
푡 푋1−휇
휎 푛 퐸 푒
푡 푋2−휇
휎 푛 ⋯ 퐸 푒
푡 푋푛−휇
휎 푛
= 퐸 푒
푡 푋1−휇
휎 푛
푛
Expansión de Taylor n=2
퐸 푒
푡 푋1−휇
휎 푛 = 퐸[1 +
푡 푋1 − 휇
휎 푛
+
푡2 푋1 − 휇 2
2휎2푛
+ ⋯

8. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Teorema del Limite Central
= 퐸 1 +
푡
휎 푛
퐸 푋1 − 휇 +
푡2
2휎2푛
퐸(푋2 − 휇)2⋯
= 1 +
푡
휎 푛
0 +
푡2
2휎2푛
휎2 + ⋯
= 1 +
푡2
2푛
+ ⋯
퐸 푒푡푆푛 = (1 +
푡2
2푛
+ ⋯ )푛
Como el limite 푛 → ∞ es 푒
푡2
2 , lo cual es la función generadora de momentos de
la distribución normal estandarizada, la variable 푆푛 converge en distribución a
una v.a. n(Z;0,1)

9. Tema V. Distribución de Probabilidad
Áreas de la Distribución
normal
El área bajo la curva normal es igual a
1. Esto por,
P(−∞ < 푥 < ∞)=
1
2휋휎2
(푥−휇)2
∞
푒−
2휎2 푑푥 = 1 -∞
Normal

10. P(푥1 ≤ 푥 ≤ 푥2)=
Tema V. Distribución de Probabilidad
푥2 푒−
1
2휋휎2 푥1
푥−휇 2
2휎2 푑푥
푃(푥1 ≤ 푥 ≤ 푥2)
푥1 푥2
Normal

11. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Sea Z una v. a. definida por la relación
Z =
푥−휇
휎
con 휇 = 0 푦 휎 = 1.
Siempre que X tome un valor x, el valor
correspondiente de z será el dado por la
relación anterior. En consecuencia
podemos escribir,
P(푥1 ≤ 푥 ≤ 푥2)= P(푧1 ≤ 푍 ≤ 푧2)=
1
2휋
푧2 푒−
푧1
푧 2
2 푑푥
A la distribución de la v.a. normal con 휇 =
0 푦 휎 = 1 se le conoce como Distribución
Normal Estándar.

12. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Aproximación de la Binomial a la
Normal
La distribución normal es una buena
aproximación para una distribución
discreta cuando esta adquiere una
forma de campana.
Debido a que su F se tabula muy
fácilmente.

13. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Aproximación de la Binomial a la Normal
Definición: Si x es una v. a. binomial
con 휇 = 푛푝 푦 휎 = 푛푝푞 entonces la
forma límite de la distribución de la
variable
Z =
푥 − 푛푝
푛푝푞
Conforme 푛 → ∞ es la distribución
normal estándar 푛 푧: 0,1

14. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Esta aproximación puede escribirse la
siguiente forma:
lim
푛→∞
푃 푎 ≤
푥 − 푛푝
푛푝푞
≤ 푏 =
1
2휋
푏
푒−
푎
푧2
2 푑푧
Esto quiere decir que la v. a. Z es
asintóticamente normal.
Spiegel,
2009
Cuando se aproxima una distribución discreta a
una continua es preciso usar la corrección de
continuidad x ± 0,5

15. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Solución de Problemas
1. El volumen de llenado de una maquina
automatizada utilizada para llenar latas de una
bebida carbonatada tiene una distribución
normal con 휇 = 12,4 onzas líquidas y una 휎 =
0,1 onzas líquidas.
a. Calcule la probabilidad de que el volumen
de llenado sea menor a 12 onzas.
b. Si se desechan todas las latas con menos
de 12,1 onzas y mas de 12,6 onzas, calcule
la proporción de latas que se desecharía.
c. Determine las especificaciones simétricas
alrededor de la media que incluyen el
95%de las latas.

16. Tema V. Distribución de Probabilidad
Solución de Problemas
2. Evalúe la 푃(1 ≤ 푥 ≤ 4) para un
variable binomial con n=15 y p=0,2
a. A través de la distribución binomial
b. Usando la aproximación a la
distribución normal.
Normal

17. Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Solución de Problemas
3. El peso de los frutos del melón de
una siembra en la península de
Paraguaná es una v. a. distribuida
normalmente. Calcule el tamaño de
muestra aleatoria que debe
seleccionarse para que con una
probabilidad de 98,42% su media
difiera de la media poblacional en 1/3휎
o menos.