Este documento presenta varios problemas de modelación matemática con variables que tienen dos o más atributos. Explica que los estudiantes deben formular modelos lineales para problemas de transporte, producción, mezclas y otros usando variables con doble subíndice. Luego, proporciona ocho problemas específicos para que los estudiantes formulen modelos y determinen las soluciones óptimas.

1. Modelación con variables Xij...z – Parte I
Objetivo de aprendizaje: Al finalizar la clase, los estudiantes formularán
modelos matemáticos lineales utilizando variables de decisión con dos o más
atributos.
En este capítulo vamos a continuar con el arte de la formulación de modelos matemáticos, es decir,
con la tarea de traducir la redacción formal o literal de un problema en términos matemáticos.
Sin embargo, ampliaremos nuestras aplicaciones a otras áreas de los negocios, como es el área de la
Administración de Operaciones en una empresa, especialmente en las áreas de transporte
e inventarios de algún bien o producto; sin descuidar aquellas áreas que ya hemos conocido
(marketing, finanzas, programación de personal, etc.)
Esto va a exigir que las variables anteriormente utilizadas con una variable subscrita o atributo, sea
ampliada a dos o más atributos como lo vamos a poder apreciar en los siguientes problemas.
Formule un modelo matemático lineal adecuado para cada una de las siguientes situaciones:
 (El problema clásico del transporte) A continuación se presenta el problema del
transporte como surgió en la literatura de Investigación de Operaciones.
Suponer que se tienen 3 fábricas de cocinas y 5 tiendas donde se venden las cocinas. Las
fábricas 1, 2 y 3 tienen capacidades de fabricación mensual de 50, 40 y 30 cocinas
respectivamente y las tiendas tienen demandas mensuales de 40, 15, 15, 30, y 20.
Costos unitarios de envío (soles/cocina), Oferta y Demanda
1 2 3 4 5 Oferta
1 4 2 7 6 8 50
2 9 4 8 3 5 40
3 2 2 2 4 5 30
Demanda 40 15 15 30 20
El problema que queremos resolver es determinar cuántas cocinas se deben enviar de cada
fábrica a cada tienda de manera que se satisfaga la demanda de cada tienda, no se exceda la
producción de cada fábrica, y que el costo total de los envíos sea mínimo.

2.  (Decisiones de producción) Un fabricante tiene dos artículos diferentes A y B que deben ser
producidos este mes. Cada artículo puede ser procesado y terminado en cualquiera de los tres
talleres. El tiempo requerido en horas para cada artículo en cada taller, el costo por hora en
cada uno de ellos, el valor de venta y el número de horas disponibles este mes se dan en la
tabla siguiente:
TALLER
ARTICULO COSTO DEL
TALLER
(soles/hora)
TIEMPO DE TALLER
DISPONIBLE
A B
1 3 2 89 160
2 3 1 81 160
3 4 3 84 160
Valor de venta
(soles/artículo) 300 200
El fabricante desea determinar cuántas unidades de cada artículo deberán fabricarse en cada
taller a fin de maximizar sus ganancias.
 (Decisiones de producción) CIBARITA S.A. produce dos salsas para bistec: Diablo
Picante y Barón Rojo. Ambas salsas se hacen mezclando dos ingredientes A y B,
permitiéndose cierto nivel de flexibilidad en la fórmula de estos productos. Se pueden
comprar hasta 400 galones de A y 300 galones de B. La composición propia o interna de
cada salsa, es como sigue:
SALSA
INGREDIENTES PRECIO
DE VENTA
(soles/galón)A B
Diablo Picante Por lo menos un 25% Por lo menos un 50% 3.35
Barón Rojo A lo más un 75% - 2.85
COSTO POR GALÓN
(soles/galón)
1.60 2.59

3.  (Decisiones de transporte con transbordo) Se tienen plantas de producción en Lima y
Tacna. Los productos fabricados en cualquiera de estas instalaciones pueden ser enviados a
cualquiera de sus almacenes regionales en Ica y Arequipa. De los almacenes regionales, la
empresa distribuye a detallistas al menudeo en Ayacucho, Huancayo, Cusco y Huánuco. En
las siguientes tablas aparece el costo unitario de transporte de cada ruta de distribución.
Planta Almacén Cantidad ofrecida
Ica Arequipa
Lima 2 3 600
Tacna 3 1 400
Almacén Distribuidor al detalle
Ayacucho Huancayo Cusco Huánuco
Ica 2 6 3 6
Arequipa 4 4 6 5
Cantidad demandada 200 150 350 300
Se debe determinar cuántos productos deben ser trasladados por cada ruta propuesta de tal
manera que se cumpla con la cantidad demandada por cada distribuidor al menor costo
posible.
Cuando los alumnos inician a formular modelos con este
tipo de variable, es muy frecuente observar que cometen
dos tipos de errores:
 Invierten el orden de los atributos ij en el
transcurso de la formulación.
 Mutilan los atributos de las variables en el
transcurso de la formulación.

4. Problemas propuestos
Formule un modelo matemático lineal para cada una de las siguientes situaciones y luego con el
programa LINDO determine e interprete según el contexto, la solución óptima, valor óptimo y las
holguras/excedentes.
1. (Decisiones en administración de operaciones) LÚCUMA ANTIDEPRESIVA S.A. es
una empresa agroindustrial que empaca sus frutas en dos tiendas para luego enviarlas a cinco
vendedores. El costo de empacar los productos en las tiendas 1 y 2 es de S/.5.25 y S/.5.7 por
paquete, respectivamente. El pronóstico de la demanda indica que los paquetes a enviar deben
ser como se indica:
Mayorista 1 2 3 4 5
Paquetes requeridos 4,000 6,000 2,000 10,000 8,000
La capacidad de empaque de la tienda 1 es de 20,000 paquetes y la de la tienda 2 es de 12,000.
Los costos de distribución por paquete desde las dos tiendas hacia los mayoristas, se dan como
siguen:
Tienda
Al vendedor mayorista
1 2 3 4 5
1 0.06 0.04 0.12 0.09 0.05
2 0.15 0.09 0.05 0.08 0.08
¿Cuántos paquetes debe enviar la empresa desde cada tienda a cada vendedor a fin de
minimizar el costo total de la operación?
2. (Decisiones agrícolas) Un empresario está queriendo invertir en el agro ya que posee en
Huaral dos terrenos habilitados para tal fin. El primer terreno tiene 800Ha (hectáreas) de
tierra utilizable y dispone de 1,000m3
de agua, mientras que el segundo terreno tiene
1,800Ha de tierra utilizable y dispone de 2,400m3
de agua. Los cultivos recomendados son:
espárragos blancos y verdes. El espárrago blanco consume 6m3
de agua por Ha. y tiene un
beneficio de 600$ por Ha. y el espárrago verde consume 4m3
de agua por Ha y tiene un
beneficio de 850$ por Ha. Se ha establecido una cuota máxima de hectáreas para cada
cultivo: 1,600 para el espárrago blanco y 1,200 para el espárrago verde.
3. (Decisiones de producción y compra) Una cierta empresa tiene que decidir si produce en
sus propios talleres y/o se abastece de terceros dos productos que identificaremos por A y
B. Producir un kilo del producto A cuesta S/.1.0 y comprarlo S/.1.2. Producir un kilo del
producto B cuesta S/.1.7 y comprarlo S/.1.5. Las tasas de producción interna son de cuatro
y cinco kilos por hora para A y B respectivamente. Los requerimientos mínimos son de
100 kilos del producto A y 200 kilos del producto B por semana. Existen 40 horas semana-
les de taller disponibles, y se calcula que una hora de tiempo ocioso de producción del taller
cuesta aproximadamente S/.2.5. No se pueden producir más de 70 kilos de A ni más de 120
kilos de B. El abastecimiento de B está limitado a 130 kilos semanales.

5. 4. (Decisiones de marketing) DEGAMA se especializa en evaluar la reacción del consumidor
a productos, servicios y campañas publicitarias nuevas. Un cliente solicitó la asistencia del
DEGAMA para determinar la reacción del consumidor a un producto doméstico recién
comercializado. Durante las reuniones con los clientes, DEGAMA acordó efectuar
entrevistas personales de puerta en puerta para obtener respuestas en hogares con niños y
hogares sin niños. Además, DEGAMA aceptó hacer entrevistas por la mañana y por la tarde.
Específicamente, el contrato del cliente exige que DEGAMA realice mil entrevistas bajo los
siguientes lineamientos:
 Entrevistas a al menos 400 hogares con niños.
 Entrevistas a al menos 400 hogares sin niños.
 La cantidad total de hogares entrevistados durante la tarde debe ser al menos igual a
la cantidad de hogares entrevistados durante la mañana.
 Al menos el 40% de las entrevistas para los hogares con niños deben realizarse
durante la tarde.
 Al menos el 60% de las entrevistas para hogares sin niños deben realizarse durante la
tarde.
Debido a que la entrevista para hogares con niños requiere tiempo adicional del
entrevistador y a que los entrevistadores vespertinos se les paga más que a los matutinos, el
costo varía con el tipo de entrevista. Con base de estudios previos, las estimaciones de los
costos de las entrevistas son las siguientes:
Hogar
Costo de una entrevista
Mañana Tarde
Con niños $20 $25
Sin niños $18 $20
Determine el plan de entrevistas por tipo de hogar y hora del día y que satisfaga los
requerimientos del contrato con un costo de total de entrevista mínimo.
5. (Decisiones de transporte) EXPRESO CALISAYA tiene dos almacenes A y B, los cuales
poseen un stock inicial del producto BETA de 200,000 y 250,000 unidades
respectivamente, y se requiere programar el número de viajes de sus camiones para
abastecer a las tiendas 1 y 2 en el menor tiempo posible, las cuales tienen un requerimiento
estable de 160,000 y 180,000 unidades respectivamente del producto. Para tal efecto los
almacenes disponen de su propia flota de camiones, con sus respectivas especificaciones
técnicas, tal como se muestra en el siguiente cuadro:
Camiones del
Almacén
Capacidad de Carga
(en unidades)
Velocidad
(kms./hora)
Tiempo de carga
(en minutos)
Tiempo de descarga
(en minutos)
A 1,500 80 30 20
B 2,500 60 35 25
Las distancias en kilómetros, entre el almacén A y las tiendas 1,2 son 160 y 320
respectivamente; entre el almacén B y las tiendas 1,2 son 180 y 300.
Nota: Se asume que un viaje implica que el camión regrese al almacén.

6. 6. (Programación de personal) En Octubre de este año se inaugurará en el aeropuerto la
Cafetería Thaís. La administración del local ha decidido que desde su apertura se
atenderá durante las 24 horas del día, por lo que ha previsto que se requerirán las siguientes
meseras:
Turno Horas del día Número mínimo de meseras
1 02-06 4
2 06-10 8
3 10-14 10
4 14-18 7
5 18-22 12
6 22-02 4
Cada mesera trabaja jornadas de 8 horas consecutivas con horarios de entrada a las 2, 6, 10,
14, 18 y 22 horas.
La empresa cuenta con políticas salariales que dan incentivos a las meseras que trabajan de
madrugada (entre las 22 y 06 horas), otorgándoles un único bono de 200 soles adicionales a
su sueldo básico. De igual modo, quienes inicien sus jornadas en las horas con mayor
afluencia de público (10 y 18 horas), recibirán un único bono de 160 soles sobre su sueldo
básico.
Además “Thaís” forma parte de un grupo de empresas interesadas en apoyar la mejora de la
calidad de vida de hogares con madres solteras, por lo que ha establecido dos tipos de
sueldos básicos, las madres solteras con 1 ó 2 hijos (tipo A) reciben 1800 soles mensuales,
y las madres solteras con 3 hijos o más (tipo B) reciben 2,100 soles mensuales. Con la
misma intención de apoyar en igualdad se ha decidido que la cantidad de meseras con 1 ó 2
hijos deberá ser igual a la de aquellas con más de 2 hijos.
“Thaís” cuenta con una partida presupuestal mensual de 60,000 soles para el pago de
sueldos básicos de sus meseras y un adicional de 5,000 soles destinados exclusivamente a
los incentivos.
Minimice la cantidad total de meseras a contratar.

7. 7. (Decisiones de Mezclas) Una fábrica desea determinar el programa óptimo para tres mezclas
distintas que hace con diferentes proporciones de pimienta, ajos y comino. Las
especificaciones son:
La mezcla 1, debe contener 50% de pimienta como mínimo y 25% de comino cuanto más; la
libra de ésta se vende a $ 0,50.
La mezcla 2, debe contener 25% de pimienta por lo menos, y un 50% de comino cuanto más;
la libra de ésta se vende a $ 0,35.
La mezcla 3, no tiene especificaciones y se vende a $ 0,25 la libra.
Sin embargo, están restringidas las cantidades de materias primas que puede conseguir la
empresa. Las máximas por período son: 100 libras de pimienta, 100 libras de comino y 60
libras de ajo. Cada libra de pimienta le cuesta $ 0.65, la de comino $ 0,25 y $ 0,35 la de ajo.
Determine ¿cuántas libras se deben preparar de cada mezcla, de manera que se obtengan las
máximas utilidades?
8. (Decisiones logísticas) MANUFACTURA ENIGMA compra dos componentes (C1 y C2)
de tres proveedores distintos (P1, P2 y P3). Los proveedores tienen capacidad limitada, y
ninguno de ellos puede cumplir con la totalidad de las necesidades de Enigma, además de
que cobran precios distintos por los componentes. Los precios de los componentes (por
unidad) son los siguientes:
Componente
Proveedor
P1 P2 P3
C1 $ 12 $ 13 $ 14
C2 $ 10 $ 11 $ 10
Cada proveedor tiene capacidad limitada respecto al total de componentes que puede
suministrar. Sin embargo, siempre que Enigma emita pedidos con suficiente adelanto, cada
proveedor puede dedicar su capacidad al componente 1, al 2 ó a cualquier combinación de
ambos, siempre y cuando el total de unidades pedidas quede dentro de su capacidad. La
capacidad de los proveedores es:
Proveedor P1 P2 P3
Capacidad 600 u. 1,000 u. 800 u.
El plan de producción de Enigma para el siguiente periodo incluye un mínimo de 1,000
unidades del componente 1 y 800 unidades del componente 2.
Desarrolle el modelo matemático en programación lineal que permita determinar el pedido
óptimo de compra de componentes que haría Enigma a sus proveedores.

8. 9. (Decisiones de producción e inventarios) Una empresa que produce panetones debe
determinar cómo satisfacer la demanda para la época de navidad. Esto puede hacerse
trabajando en tiempo normal o en sobre tiempo. Si la producción no cubriera la demanda
de un mes se puede vender las unidades del inventario, las cuales tienen un costo mensual
de un sol. Para el 30 de septiembre se espera tener un inventario de 15 unidades y a fines
de diciembre absolutamente nada.
MESES
CAPACIDAD
(unidades)
COSTO ESTÁNDAR
(soles/unidad)
DEMANDATiempo
Normal
Tiempo
Extra
Tiempo
Normal
Tiempo
Extra
Octubre
Noviembre
Diciembre
100
100
60
20
10
20
14
17
17
18
22
22
60
80
140
a) Formule un modelo matemático lineal para esta situación con la finalidad de
determinar el plan óptimo de producción considerando que se desean minimizar los
costos totales de producción e inventario.
b) Utilice el programa LINDO para calcular e interpretar según el contexto, la solución
óptima, valor óptimo y las holguras/excedentes.