1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMATICA
UNIDAD CURRICULAR MATEMÁTICA I
GUÍA Nº 1. LÍNEA RECTA, SECCIONES CÓNICAS Y FUNCIONES
Plano Cartesiano y Línea recta
1. Ubicar en el plano cartesiano los siguientes puntos A(0,8), B(1.-2), C(2,-1), D(-4, 0),
E(0, 5), F(-2, 4), G(3, -4) y H(-7, 4).
2. ¿El triángulo cuyos vértices están situados sobre los puntos (1, -3), (3, 2) y (-2, 4) es un
triángulo rectángulo? ¿Es un triángulo isósceles? Calcule su perímetro y su área.
3. ¿El polígono cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(1, 2), C(2, 1) y D(3, 3) es un
rombo? Justifique su respuesta. Determine su perímetro y su área.
4. Demuestre que los puntos A(2, -1), B(1, 3), C(-3, 2) y D(-2 , -2) son los vértices de un
cuadrado, y determine su perímetro y área.
5. Hallar los puntos P(x, 2) que distan 5 unidades del punto (-1, -2)
6. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud es el punto (3, -2). Si la
abscisa del otro extremo es 6, hallar su ordenada
7. Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (7, 8), y su punto medio es
(4, 3). Hallar el otro extremo
8. Los puntos medios de los lados de un triangulo son (2, 5); (4, 2) y (1, 1). Hallar las
coordenadas de los tres vértices
9.- Dados los puntos A(1,2) y B(6,8) los cuales forman un segmento de una línea recta, halle
dos puntos C y D que dividan dicho segmento en tres partes iguales.
10. Dos de los vértices de un triangulo equilátero son los puntos (-1, 1) y (3, 1). Hallar las
coordenadas de los tres vértices.
11. Determine la ecuación, gráfica e intersecciones con los ejes coordenados de la línea
recta que:
a) Pasa por los puntos (-1,5) y (0,8)
b) Sus cortes con los ejes coordenados x e y son iguales a –5 y 2 respectivamente.
c) Tiene pendiente igual a 2/3 y pasa por P(1,-1)
d) Pasa por el punto medio de (0,2) y (3,-2), así como por el punto (5,-1)
12. Halle la ecuación, gráfica e intersecciones con los ejes coordenados de la recta que:

2. 





a
a
,
4
a) Tiene la misma pendiente a la recta de ecuación 2x+5y-2=0 y su ordenada en el
origen es igual a –2.
b) Pasa por el punto (4,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos
(1,4) y (-2,3)
c) Es perpendicular a la recta cuya pendiente es –5 y pasa por el punto
(-1, -4)
d) Es perpendicular a la recta de ecuación 2x + 4y - 2=0 y corta el eje y en –1
13. Encuentre el valor de a de modo que la ecuación de la recta sea:
a) Paralela a la recta de ecuación
b) Perpendicular a la recta de ecuación .
14. Los puntos A (1,2), B(-2 , 4) y C(-1,-2) son los vértices de un triangulo:
a) Determine las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del triangulo
b) Verifique que el triangulo es rectángulo (Por pendientes)
c) Determine la ecuación de la recta que es paralela al lado AB y pasa por el vértice C
15. ¿Pueden existir dos rectas crecientes que sean perpendiculares? ¿Pueden existir dos
rectas decrecientes que sean perpendiculares? Justifica tu respuesta.
16. Si el punto (b, -a) está ubicado en el segundo cuadrante. Determina en que cuadrante
están ubicados cada uno de los siguientes puntos: a) (a, b) b) (b2
, b) c)
17. Encuentra el valor de b de modo que la distancia entre los puntos (3,-2) y (b, 6) sea
igual a 8.
18. El rectángulo mostrado en la figura tiene sus lados
paralelos a los ejes, es tres veces más largo que
ancho y su perímetro es de 56 unidades. Calcula
las coordenadas de los vértices A, B y C.
Problemas Practicos
1. Suponga que se desea suministrar agua a un poblado (A)
cualquiera de la Península de Paraguaná, Estado Falcón, desde
dos estaciones de bombeo ubicados en los puntos (B) y (C).
Asumiendo que todos los puntos están al mismo nivel, se desea
saber cuál estación es más conveniente a fin de minimizar los
gastos en tubería hasta el poblado señalado. Tómense las
siguientes coordenadas para los puntos: A(-8 , 25) , B(3 , 3) ,
C(9, 6).
2. Un ganadero del Estado Zulia desea cercar un terreno.
Suponga que planta cuatro postes en los siguientes puntos
coordenados: (2, -1) , (7 , -1) , (7 , 3) , (2 , 3). Determina el área
del terreno y los metros lineales de cerca requeridos. Si el costo
0452 =++ yx
053 =−+ yxa
0=−− yx

3. del material para la cerca es de 506,7 Bs/m y la mano de obra es de 320450,5 Bs
¿Cuánto cuesta cercar el terreno?
(Nota: Cada unidad del plano cartesiano es igual a 1 kilómetro).
3. Un jugador de las grandes ligas ha conectado 5 home-runs en los primeros 14 juegos, y
mantiene este ritmo toda la temporada de 162 encuentros
a) Determina el número y de home-runs en términos de la cantidad
x de juegos jugados.
b) ¿Cuántos home-runs conectará en la temporada?
4. ¿La fórmula ( )32
9
5
−= FC relaciona las lecturas de temperatura en las
escalas Fahrenheit (ºF) y Celsius (ºC). ¿Qué valores de F corresponden a los valores de
C tales que ?
CIRCUNFERENCIA
ECUACIONES
Circunferencia de centro en el origen (0,0)
222
ryx =+
Centro C (0,0) y Radio r
Circunferencia de centro en (h,k):
( ) ( ) 222
rkyhx =−+−
Centro C (h,k) y Radio r
1. Escriba la ecuación de la circunferencia de radio r = 3 y centro C(1 , 2).
2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(7 , -6) y pasa por el punto A(2 , 2)
3. Encuéntrese la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general de centro
C(2 , 0) y área A=
4
9π
4. ¿El punto (3, 2 2 ) está ubicado en el interior de la circunferencia x2
+ y2
= 16? Justifica
tu respuesta y grafique.
5. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(2 , 3) y
B(-4 , 5); Halle su ecuación y grafique.
6. Halle la ecuación Centro-Radio de cada una de las siguientes ecuaciones generales de
las circunferencias y grafíquelas:
a) 3x2
+3y2
-10x-24y=0
b) X2
+y2
+10x-6y-2=0
c) x2
+y2
-4x-2=0
4030 ≤≤ C

4. SECCIONES CONICAS
1. Elipse:
ECUACIONES
Elipse con centro en el origen y paralela al eje x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Vértice: V1(-a,0) y V2(a,0)
Foco: F1(-c,0) y F2(c,0)
Eje mayor: a2VV 21 =
Eje menor: b2MM 21 =
Relación al foco:
222
bac −=
Elipse con centro (h,k) y paralela al eje x
( ) ( ) 1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
Vértice: V1(h-a,k) y V2(h+a,k)
Foco: F1(h-c,k) y F2(h+c,k)
Eje mayor: a2VV 21 =
Eje menor: b2MM 21 =
Relación al foco:
222
bac −=
Elipse con centro en el origen y paralela al eje y
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+
Vértice: V1(0,a) y V2(0,-a)
Foco: F1(0,c) y F2(0,c)
Eje mayor: a2VV 21 =
Eje menor: b2MM 21 =
Relación al foco:
222
bac −=
Elipse con centro (h,k) y paralela al eje y
( ) ( ) 1
a
ky
b
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
Vértice: V1(h,k+a) y V2(h,k-a)
Foco: F1(h,k+c) y F2(h,k-c)
Eje mayor: a2VV 21 =
Eje menor: b2MM 21 =
Relación al foco:
222
bac −=
a
c
b
M1 (0,b)
M2(0,-b)
V1 (-a,0) V2 (a,0)F1(-c,0)
a
c
b
M1 (h,k+b)
M2 (h,k-b)
V1 (h-a,k) V2 (h+a,k)
F1(h-c,k) F2(h+c,k)
a
b
c
V2 (0,-a)
V1 (0,a)
F1(0,c)
F2 (0,-c)
M1(-b,0) M2 (b,0)
a
b
c
V2 (h,k-a)
V1 (h,k+a)
F1 (h,k+c)
F2 ( h,k-c)
M1 (h-b,k) M2 (h+b,k)
F2(c,0)

5. F(p,0)
V(0,0)
Directriz
x = -p
Ecuación general de la Elipse: Ax
2
+ Cy
2
+ Dx + Ey + F = 0
2. Parábola:
ECUACIONES
Parábola con vértice en el origen V(0,0) y paralela al eje x
px4y2
=
Vértice: V(0,0)
Foco: F(p,0)
Directriz: px −=
Parábola con vértice en V(h,k) y paralela al eje x
( ) )hx(p4ky 2
−=−
Vértice: V(h,k)
Foco: F(h+p,k)
Directriz: phx −=
Parábola con vértice en el origen V(0,0) y paralela al eje y
py4x 2
=
Vértice: V(0,0)
Foco: F(0,p)
Directriz: py −=
Parábola con vértice en el origen V(h,k) y paralela al eje y
( ) )ky(p4hx 2
−=−
Vértice: V(h,k)
Foco: F(h,k+p)
Directriz: pky −=
Ecuación general de la Parábola paralela al eje x: Ay
2
+ Dx + Ey + F = 0
Ecuación general de la Parábola paralela al eje y: Ax
2
+ Dx + Ey + F = 0
V(h,k)
F(h+p,k)
Directriz
x = h-p
V(0,0)
F (0,p)
Directriz
y = -p
V(h,k)
F (0,k+p)
Directriz
y = k-p

6. 3. Hipérbola:
ECUACIONES
Hipérbola con centro en el origen y paralela al eje x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
Vértice: V1(-a,0) y V2(a,0)
Foco: F1(-c,0) y F2(c,0)
Eje Transversal: 21VV
Relación al foco: 222 acb −=
Asíntotas: x
a
b
y 





±=
Hipérbola con centro (h,k) y paralela al eje x
( ) ( ) 1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
−
−
Vértice: V1(h-a,k) y V2(h+a,k)
Foco: F1(h-c,k) y F2(h+c,k)
Eje Transversal: 21VV
Relación al foco: 222 acb −=
Asíntotas: )hx(
a
b
)ky( −





±=−
Hipérbola con centro en el origen y paralela al eje y
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=−
Vértice: V1(0,a) y V2(0,-a)
Foco: F1(0,c) y F2(0,-c)
Eje Transversal: 21VV
Relación al foco: 222 acb −=
Asíntotas: x
b
a
y 





±=
Hipérbola con centro (h,k) y paralela al eje y
V2(a,0)
F2(c,0)F1(-c,0)
V1(-a,0)
Asíntota: x
a
b
y 





−= Asíntota: x
a
b
y 





=
V2 (h+a,k)
F2 (h+c,k)F1 (h-c,k)
V1 (h-a,k)
Asíntota: )()( hx
a
b
ky −





−=− Asíntota: )()( hx
a
b
ky −





=−
F1(0,c)
F2(0,-c)
V2(0,-a)
V1(0,a)
Asíntota: x
b
a
y 





=
Asíntota: x
b
a
y 





−=
Asíntota: )()( hx
b
a
ky −





=−

7. ( ) ( ) 1
b
hx
a
ky
2
2
2
2
=
−
−
−
Vértice: V1(h,k+a) y V2(h,k-a)
Foco: F1(h,k+c) y F2(h,k-c)
Eje Transversal: 21VV
Relación al foco: 222 acb −=
Asíntotas: )hx(
b
a
)ky( −





±=−
Ecuación general de la Hipérbola: Ax
2
+ By
2
+ Dx + Ey + F = 0
Si C< 0 La hipérbola es paralela al eje x Si C>0 La hipérbola es paralela al eje y
Problemas:
1. Identifique las cónicas que representan las ecuaciones que muestran abajo, y además
determina sus elementos (centro, radio, longitudes de los semiejes, focos, vértices,
ecuaciones de la directriz, ecuaciones de las asíntotas) y represéntelas gráficamente:
a) y2
+x+y=0
b) 9x2
+4y2
+36x-24y+36=0
c) x2
-9y2
+36y-72=0
d) 7x2
-3y2
= 21
e) y2
= -6x
f) x2
+ 4y2
=4
g) 8(y-2) = (x-1)2
h) 1
20
)4(
45
)2( 22
=
−
+
− yx
I) 9x2
+4y2
-36x+8y+31=0
j) 4x-y2
-2y-33=0
k) 9x2
-y2
-36x-6y+18=0
l) 032882
=++− yxy
m) 0240410086425144 22
=−−+− yxyx
n) 054116250425 22
=+−−+ yxyx
FUNCIONES
Ejercicios de traslación y reflexión de Funciones:
1. Grafique las siguientes funciones, determinando su dominio y rango:
a) f(x) = (x+1) 2
b) f(x) = x2
– 2 c) f(x) = x3
+ 3
d) f(x) = I x+3 I +2 e) f(x) = 1 + x f) f(x) = – (x–3) 3
+ 5
g) f(x) = – Ln (x-3) h) f(x) = –e x+1
i) f(x) = Ln (x) + 3
j) f(x) =
x−2
1
k) f(x) = 5
2
1
+
−x
l) f(x) = 3−x
m) f(x) =3Sen(2x+5) n)f(x)=5Cos(x-π/4)+2 o)f(x)= Tg(x+ π/2)-3
p) f(x) = x q) f(x) = x - x r) f(x) = x2
- x
2. A continuación dibujamos las gráficas trasladadas de la función y = x o de
la función y = x3
. Determine la ecuación de la gráfica.
F1(h,k+c)
F2(h,k-c)
V2(h,k-a)
V1(h,k+a)
Asíntota: )()( hx
b
a
ky −





−=−

8. a) b) c)
d) e)
Ejercicios de grafica de Funciones:
3. Grafique las siguientes funciones, determinando su dominio y rango:
a) f(x) = 3x+1 b) f(x) = 3x+2 c) f(x) = 3x2
+2x - 1
d) f(x) = x3
– 1 e) f(x) = x2
-4x f) f(x) = x2
+ 2x + 1
g) f(x) =
3
25
−
+
x
x
h) f(x) =
3−x
x
i) f(x) =
3
6
2
−x
j) f(x) = Ln(x2
– 9) k) log (x+9) l) f(x) = e 5x+1
m) f(x) = 10x
n) f(x) = 22
−x ñ) f(x) = 2
4 x−
o) f(x) = 52 +− x p)
f(x) =



>−
≤−
032
012
xsix
xsix
q)
f(x) =






>
≤
−
1
1
1
2
3 2
xsi
x
xsi
x
r)
f(x) =



>
≤−
12
13
xsix
xsix
s)
f(x) =





<<
≤≤−
−≤≤−−
644
42
242
xsi
xsix
xsi
t)
f(x) =





−<+
≤≤−
>−
44
04
0
2
xsix
xsix
xsix
4. Combinación de funciones. Hallar el Dominio de las siguientes funciones:
a) f(x) = 





+ 3
6
ln 2
x
b) f(x) =
2
1
2
2
−−
−
xx
x
c) f(x) = 862
+− xx
d) f(x) =
9
2
2
+x
x
+ ln (x+9)
e) f(x) =
32
4
+
−
x
x
f) f(x) = x – ln (
3
6
+
+
x
x
)

9. g) f(x) =
43ln 2
−− xx
e h) f(x) =
1243
2
23
−−+ xxx
i) f(x) =
3+x
tgx
j) f(x) = )(
4
3 1+
+
−
x
eSen
x
5. Dadas las siguientes funciones realice la operación indicada y determine el
dominio y el rango de la función resultante.
a) 32)( += xxf ; 94)( 2
−= xxg , hallar (gof)(x)
b) xxf =)( ;
x
x
xg
−
=
6
3
)( , hallar (fog)(x)
c) Si 2
1)( xxf −= y
x
xg
1
)( = , halle: c.1) fog ; c.2) gof ; c.3) fof ; c.4) gog
d) Si
1
)(
+
=
x
x
xf ; 3
)( xxg = y 2)( −= xxh , halle: d.1) fogoh ; d.2) fohog ;
d.3) hogof
e) Si
3
5
)(
2
−
−
=
x
xF , hallar tres funciones f, g y h tal que: F = fohog
f) Si f(x) =



>
≤−
12
13
xsix
xsix
; y g(x) =



≥
<−
0
0
xsix
xsix
, halle fog

10. g) f(x) =
43ln 2
−− xx
e h) f(x) =
1243
2
23
−−+ xxx
i) f(x) =
3+x
tgx
j) f(x) = )(
4
3 1+
+
−
x
eSen
x
5. Dadas las siguientes funciones realice la operación indicada y determine el
dominio y el rango de la función resultante.
a) 32)( += xxf ; 94)( 2
−= xxg , hallar (gof)(x)
b) xxf =)( ;
x
x
xg
−
=
6
3
)( , hallar (fog)(x)
c) Si 2
1)( xxf −= y
x
xg
1
)( = , halle: c.1) fog ; c.2) gof ; c.3) fof ; c.4) gog
d) Si
1
)(
+
=
x
x
xf ; 3
)( xxg = y 2)( −= xxh , halle: d.1) fogoh ; d.2) fohog ;
d.3) hogof
e) Si
3
5
)(
2
−
−
=
x
xF , hallar tres funciones f, g y h tal que: F = fohog
f) Si f(x) =



>
≤−
12
13
xsix
xsix
; y g(x) =



≥
<−
0
0
xsix
xsix
, halle fog