guia de circunferencias

1. Sector de Aprendizaje: Matemática
Segundo Medio – Mayo 2010
Guía de Geometría
“Circunferencia y sus teoremas Fundamentales”
Nombre: __________________________________ Fecha: _________________
Muchas veces has pensado (o aun sigues pensando) que la geometría no sirve
para nada (especialmente si es que quieres seguir alguna carrera que no usa
matemática). Pero la geometría sirve mucho a diario. ¿Uno vive en la tierra?
Claro, ahora: Geometría viene de Geo = tierra y Metría = Medición, medición de la
tierra, la tierra en que vivimos... No creo que alguien pueda vivir sin saber nada del
mundo donde vive ¿o sí?. Por lo menos algún par de cosas físicas para entenderlo
mejor.
Así que nos centralizaremos principalmente en la importancia de la geometría
relacionada con la famosa Circunferencia. Quizás para muchos esta es solo una
"línea circular con un centro O"... Pero en realidad es mucho más que eso y te
mostraré variados usos de este elemento geométrico para que lo entiendas mejor
y no creas que lo estudias solo porque así es el sistema de enseñanza, o porque
así lo indica el currículo.
La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que
están a normalmente en la vida, aunque no lo parezca. Está en muchas partes.
En la prehistoria (millones de años atrás), con la invención de la rueda se dio inicio
a toda la tecnología de hoy en día, gracias a ella aunque sea indirectamente,
tenemos muchas aplicaciones de la circunferencia a distintas realidades.
Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos qué es la
circunferencia:
• La circunferencia es la línea "imaginaria" y curva que rodea un círculo, todos
los puntos de esta línea equidistan de un punto fijo, llamado CENTRO.
• Diámetro se le llama a un segmento que une 2 puntos de la circunferencia,
pasando por el centro.
• El radio es un segmento que une un solo punto de la circunferencia con el
punto O, por lo tanto un diámetro es igual a dos radios. Con esto se infiere que
el diámetro corresponde a la cuerda más larga que se puede trazar en una
circunferencia.
• Hay que aclarar que se pueden hacer infinitos radios, como también infinitos
diámetros.
Francisco Arratia Camus
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Guía de Teoremas de Circunferencia

2. Francisco Arratia Camus
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3. ¿Qué líneas y segmentos se pueden asociar a una Circunferencia?
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4. A continuación una lista con variados usos de la Circunferencia en variadas
situaciones de la vida diaria y otros.
La Circunferencia en la Música
Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo; Los Cds,
piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que
termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo que
sirve para tomar el Cd y para que el equipo de sonido lo reproduzca. Estas piezas
de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento.
Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.
Otro ejemplo en la música serían también las Baterías musicales. La Batería, junto
con la Guitarra y el Bajo son los instrumentos que más se utilizan, dentro de la
música popular, que es la música más escuchada mundialmente, por eso su
nombre. Este instrumento está conformado básica y principalmente por los 5
"tambores" básicos y los platillos. Los tambores (Caja, Bombo, Toms, Timbales) son
de forma tubular y con un cierto largo. (No está demás decir que los aros que se
usan para tensar y afinar la zona donde se golpean los tambores son
“circunferencias” y su diámetro es un poco mayor que el del tambor). Cuando
alguien se refiere a algún tipo de tambor, habla por ejemplo de "un bombo de 46
x 35", esto significa que es un bombo que tiene 46 cm de diámetro y 35 cm de
fondo. Con los platillos también se usa la circunferencia. Los Platillos son placas
metálicas, redondas y semi-planas que producen sonidos al ser golpeadas.
También tienen sus medidas, y para hablar de estas, se recurre al diámetro. Por
ejemplo: "Ese platillo es de 18", esto significa que el platillo tiene 18 pulgadas de
diámetro.
La Circunferencia en las Armas
Como ya he dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa para medir el
tamaño de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de pistolas
calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo un "nombre", sino que esto
se refiere al tamaño del agujero (cañón) por donde salen los proyectiles (balas)
del arma, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimétrica para
lograrlo.
Teniendo en cuenta que las armas son utilizadas muchas veces con motivos
militares, es importante que las armas sean testeadas a la perfección respecto a
sus diámetros, ya que el menor desperfecto puede ocasionar anomalías muy
peligrosas, que terminan siendo el motivo de la vida o muerte de muchas
personas. Donde la vida corre peligro, es donde más importante un buen control
de calidad de los productos.
La Circunferencia en el Transporte
En el transporte también puedes apreciar la presencia de la Circunferencia. De
hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto
de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las
ruedas están hechas de un “arco”. La mejor parte de esto es que la rueda se
afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados
llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la
rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro
24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.
La Circunferencia en el Sistema Horario
En la antigüedad todos los relojes eran de una forma circunferencial, ahora están
los relojes digitales y mucho más, pero me referiré a los relojes antiguos o no tan
antiguos porque sin embargo se siguen usando hasta la actualidad.
El reloj consiste en una placa redonda (circunferencial) que está dividida en 12
partes congruentes, al centro tiene un agujero por donde sale el sistema del
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5. horario, minutero y segundero. Bueno evidentemente dentro del reloj se encuentra
todo un sistema de maquinarias con engranajes y demases, pero me centraré en
otros aspectos. Para dividir la circunferencia en 12 partes exactamente iguales,
que a futuro podrán dar una medición de hora perfecta, es necesario usar criterios
de ángulos de la circunferencia. Usando el centro como vértice*, se puede
observar que el ángulo interno de la circunferencia mide 360°. Entonces será
necesario dividir 360° en 12. El resultado será 30° y así cada parte del reloj tendrá
que medir 30°.
También se puede usar la formula:
Para tener la distancia de cada uno de los 12 arcos de la circunferencia, esto se
puede hacer con una huincha de medir, ya que estas son flexibles y se pueden
adecuar a la forma redonda de la circunferencia.
La Circunferencia en los Deportes
Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia
en los deportes sería en los balones... Pero no, si solo nos detenemos a pensar un
poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se
practican deportes tienen marcas geométricas y circunferencias que determinan
situaciones reglamentarias, etc. Los canchas de Fútbol, las canchas de
Básquetbol, y en muchas más.
La Circunferencia, también presente en la Naturaleza:
Probablemente pienses que agregando este ítem lo único que quise fue alargar
más la guía, pero te demostraré que la circunferencia también está presente en la
naturaleza, aunque no sea totalmente precisa.
Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los años. Primero
crecen pequeñas ramificaciones desde el suelo. Luego crecen más y con esto va
aumentando el grosor de su Tronco. La circunferencia se aplica entonces debido
a que las personas relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros Forestales,
saben perfectamente que al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos “anillos”
que están en el tronco. Y con el “tamaño” de cada anillo, se puede determinar la
edad que tiene cierto árbol. Lo que nuevamente se usa, entonces, es el diámetro
de cada anillo.
La Circunferencia es un elemento geométrico de mucha importancia. Esta muy a
diario en todas partes, gracias a este se pueden realizar muchas técnicas de gran
precisión con productos como los Cds, los relojes, etc.
También podemos decir que gracias a esto, tenemos mucha más seguridad a la
hora de comprar cosas como una bicicleta ya que sabemos que en ella han
trabajado Ingenieros que conocen muy bien a la Circunferencia y aprovechan al
máximo todo lo que esta les puede entregar.
TEOREMAS FUNDAMENTALES
kiñe .- Ángulo del centro: mide lo mismo que el arco que subtiende.
“O”: centro de la
circunferencia
Epu.- Ángulo inscrito: mide la mitad del arco que subtiende.
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2π·r ⇒ (Perímetro de la Circunferencia)

6. 2
ArcoBA
=α
Küla.- Ángulo inscrito y ángulo del centro correspondiente: si un ángulo inscrito y un
ángulo del centro subtienden el mismo arco, el ángulo del centro mide el doble
del ángulo inscrito.
“O”: centro de la circunferencia
α=2β
β= γ+ δ
meli.- Igualdad de ángulos inscritos: si 2 o más ángulos inscritos comparten un
mismo arco, éstos miden lo mismo.
α=β=γ
kechu.- Ángulo inscrito en una semicircunferencia: todo ángulo inscrito en una
semicircunferencia es recto.
AB : diámetro
Kayu.- Ángulo interior:
α =
2
ArcoBDArcoCA +
Regle.- Ángulo exterior:
2
ArcoDCArcoAB −
=α
Pura.- Ángulo semi-inscrito: está formado por una cuerda y una tangente.
BC : tangente AB : cuerda
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7. Aylla.- Secantes: sean AC y EC secantes
DCECBCAC ⋅=⋅
Mari.- Secante y tangente: sean AB tangente y CB secante
BDBCAB ⋅=
2
mari kiñe.- Cuerdas:
PDCPPBAP ⋅=⋅
Mari epu.- Si ABDC cuadrilátero circunscrito a circunferencia de centro O, se
cumple que:
a + b = c + d
Mari küla.- Sí ABCD cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro O, se cumple
que:
α + γ = β + δ = 180º
EJERCICIOS
|.) En la figura, AB diámetro de la circunferencia y ∠ CDA : ∠ DAB = 2 : 1,
entonces la medida del ∠ CDA es
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 120º
E) ninguna de las medidas anteriores.
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8. 2.) En la figura, ∠ DBC = 120º, ∠ CBE = 100º, A, B y D colineales, entonces ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Arco AC = 240º
II) Arco AE = 80º
III) Arco CE = 200º
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
3.) En la figura, O centro de la circunferencia de radio 12, AB : diámetro y AD =
DO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) AC = 12
II) CD = 6√3
III) BC = 12√3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
4.) En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 4, AE = 20 y BE = 5. ¿Cuánto mide CD?
A) 29
B) 25
C) 21
D) 14
E) Ninguno de los valores anteriores.
5.) En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 20 cm, la distancia entre
el centro de la circunferencia a la cuerda CD es de 5 cm, entonces la cuerda CD
mide
A) 5√3 cm
B) 10 cm
C) 10√3 cm
D) 20 cm
E) faltan datos para determinarla.
6.) En la figura, AB y AE son secantes, AC = 2 cm, AE = 20 cm y ED = 16 cm. La
medida de AB es
A) 41 cm
B) 40 cm
C) 39 cm
D) 38 cm
E) ninguna de las medidas anteriores.
7.) En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes, BC = 6 cm,
DC = 12 cm y DE = 5 cm. El diámetro de la circunferencia mide
A) 2 cm
B) 4 cm
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9. C) 6,5 cm
D) 8 cm
E) 13 cm
8.) En la circunferencia de la fi gura, PQ tangente, RQ secante, si RQ = 64 y
RS = 48, ¿cuál es el valor de PQ ?
A) 32
B) 16√3
C) 12
D) 8
E) Ninguno de los valores anteriores.
9.) Determine el ángulo menor que forman los punteros del reloj a las 13 horas 40
minutos.
A) 170º
B) 155º
C) 150º
D) 130º
E) 120º
10.) Sea ABCDE pentágono regular, ¿cuánto mide x?
A) 54°
B) 90°
C) 108°
D) 150°
E) 216°
11.) En la figura, OB = 6 cm, OA = 2 cm, O centro de la circunferencia. Determine el
valor de CD
A) 4√2 cm
B) 8√2 cm
C) 2√10 cm
D) 4√10 cm
E) Ninguno de ellos
12.) Sea AB = 8 cm (tangente a la circunferencia en A), BC = 32 cm, AF = 25 cm, EF
= 5 cm.
Si FD > FC, ¿cuánto mide FD ?
A) 4 cm
B) 5 cm
C) 10 cm
D) 25 cm
E) Ninguno de ellos
13.) En la figura, se puede determinar la medida del ángulo α si:
(1) ∠ ACB = 70º.
(2) Arco BA = 220º.
A) (1) por sí sola.
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10. B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
14.) En la figura, AC y BD cuerdas, se puede determinar la medida del trazo CE si:
(1) AC = 14 cm y DE = 12 cm.
(2) DB = 16 cm.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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