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Relativa.
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( * )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x

 
(1 ) 11
1 (1 ) 1
F W W
W F F
z x xF
Ln Ln Ln
W x z z
     
     
      
[Operaciones de Transferencia de Masa.
Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 387.
Primera Ecuación de la Página]
SOLUCIÓN.
Si la ecuación de Rayleigh es: 0 0 (y x)
L x
L x
dL dx
L

 
Para encontrar una expresión de Rayleigh para la volatilidad relativa se debe hacer cambio de límites:
L F x zf (xf)
L0 W x0 xw
Entonces la ecuación de Rayleigh queda: ( )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x

  donde y = y*
Y, si la volatilidad relativa en función de y* es:
*
1 ( 1)
x
y
x



 
Se reemplaza
*
1 ( 1)
x
y
x



  en la integral ( * )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x

 
1 ( 1)
F
W
F z
W x
dL dx
L x
x
x



  
     
 
Solución de la Integral paso por paso:
(1 ( 1))
1 ( 1)
F
W
F z
W x
dL dx
L x x x
x
 


   
   
 
2
1 ( 1)
( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x x

 
 

   
La integral queda entonces:
1. Resta de fracciones del denominador.
2. Se aplica ley de extremos y medios.
2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x

 
 

   
2
1 ( 1)
( )( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x


 

  
1 ( 1)
(1 )( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x


 

  
3. Factorización del denominador.
3.1 La expresión
2
( 1)x x x    es igual
2
( 1) ( 1)x x   
3.2 La expresión
2
( 1) ( 1)x x    es igual
2
( )( 1)x x  
3.3 Si
2
( ) (1 )x x x x   quedaría la integral entonces
4. Realizando fracción homogénea
a b a b
c c c

    la integral queda entonces:
1 ( 1) 1 ( 1)
(1 )( 1) (1 )( 1) (1 )( 1)
F F F
W W W
z z z
x x x
x x
dx dx dx
x x x x x x
 
  
   
        
  
1
(1 ) ( )
(1 )
A x B x
x x
  

1 (1 ) ( )A x B x  Se simplifica a:
Si 0x  1 (1 (0)) (0)A B  
Entonces 1 BSi 1x  1 (1 (1)) (1)A B  
Entonces 1 A
1 ( 1)
(1 )( 1) (1 )( 1)
F F
W W
F z z
W x x
dL x
dx dx
L x x x x

 
 
      
  
1 1 1
( 1) (1 ) (1 )
F F
W W
F z z
W x x
dL
dx dx
L x x x
 
     
  
5. Se cancelan los términos y se simplifican las integrales que resultaron:
)(1
1F
W
z
x
dx
x x
6. Se resuelve por fracciones parciales la siguiente integral:
1 1 1
(1 ) (1 )
F F F
W W W
z z z
x x x
dx dx dx
x x x x
 
    
  
La integral queda finalmente como dos integrales que se resuelven fácilmente:
1 1 1 1
1 (1 ) (1 )
W W W
F F F
W x x x
F z z z
dL
dx dx dx
L x x x
  
        
   
(2)
7. Donde introduciendo todas las integrales:
(1) (3) (4)
Cabe resaltar que la Integral (3) y (4) son integrales iguales y por simplicidad se hace
en un mismo paso.
(1)
F
W
dL F
Ln
L W
 
  
 

(2)
1 1 1
1 1
F
W
z
F
x
W
z
dx Ln
x x 
 
  
   

8. Solucionando cada una de las cuatro integrales:
(3) y (4) Son integrales iguales
1 1
1 (1 )
F
W
z
x
dx
x  
1
(1 )
F
W
z
x
dx
xy
Sustitución:
1m x
dm dx
dm dx
 
 
 
1F
W
z
x
dx
m


1F
W
z
x
dx
m

Cambio de Límites para
quitar el Negativo:
 
1W
F
x
z
dx Ln m
m

W
x
Fz
Reemplazando la variable original donde 1m x  :
 
1
1
1
W
F
x
z
dx Ln x
x
 

W
x
Fz
11
1 1
W
F
x
W
z
F
x
dx Ln
x z
 
  
  

9. Introduciendo la respuesta de todas las integrales, queda como:  
1
(1) (2) (3) (4)
1
  

1 11
1 1 1
W WF
W F F
x xzF
Ln Ln Ln Ln
W x z z
        
         
         
Propiedad de Logaritmo  (a) ( ) .Ln Ln b Ln a b 
Se tiene entonces por propiedad de Logaritmo Natural que:
1 (1 )
1 (1 )
W F WF
W F W F
x z xz
Ln Ln Ln
x z x z
     
     
     
Obteniendo finalmente la expresión de Rayleigh en función de volatilidad relativa:
(1 ) 11
1 (1 ) 1
F W W
W F F
z x xF
Ln Ln Ln
W x z z
     
     
      

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Ecuación de Rayleigh en función de la Volatilidad Relativa

  • 1. [Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 408] I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A U n i v e r s i d a d d e P a m p l o n a Yorman Zambrano Silva (1) Transferencia de Masa II Programa de Ingeniería Química Universidad de Pamplona Colombia (1) yorman.zambrano@unipamplona.edu.co OBTENER LA ECUACIÓN DE RAYLEIGH EN FUNCIÓN DE LA VOLATILIDAD RELATIVA (α). A partir de la ecuación (9.42): Obtener la ecuación (9.45): La ecuación (9.45) es una expresión matemática que relaciona la Ecuación de Rayleigh con la Volatilidad Relativa. [Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 407] ( * ) F W F z W x dL dx L y x    (1 ) 11 1 (1 ) 1 F W W W F F z x xF Ln Ln Ln W x z z                   
  • 2. [Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 387. Primera Ecuación de la Página] SOLUCIÓN. Si la ecuación de Rayleigh es: 0 0 (y x) L x L x dL dx L    Para encontrar una expresión de Rayleigh para la volatilidad relativa se debe hacer cambio de límites: L F x zf (xf) L0 W x0 xw Entonces la ecuación de Rayleigh queda: ( ) F W F z W x dL dx L y x    donde y = y* Y, si la volatilidad relativa en función de y* es: * 1 ( 1) x y x     
  • 3. Se reemplaza * 1 ( 1) x y x      en la integral ( * ) F W F z W x dL dx L y x    1 ( 1) F W F z W x dL dx L x x x               Solución de la Integral paso por paso: (1 ( 1)) 1 ( 1) F W F z W x dL dx L x x x x               2 1 ( 1) ( 1) F W F z W x dL x dx L x x x           La integral queda entonces: 1. Resta de fracciones del denominador. 2. Se aplica ley de extremos y medios.
  • 4. 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) F W F z W x dL x dx L x x           2 1 ( 1) ( )( 1) F W F z W x dL x dx L x x         1 ( 1) (1 )( 1) F W F z W x dL x dx L x x         3. Factorización del denominador. 3.1 La expresión 2 ( 1)x x x    es igual 2 ( 1) ( 1)x x    3.2 La expresión 2 ( 1) ( 1)x x    es igual 2 ( )( 1)x x   3.3 Si 2 ( ) (1 )x x x x   quedaría la integral entonces 4. Realizando fracción homogénea a b a b c c c      la integral queda entonces: 1 ( 1) 1 ( 1) (1 )( 1) (1 )( 1) (1 )( 1) F F F W W W z z z x x x x x dx dx dx x x x x x x                     
  • 5. 1 (1 ) ( ) (1 ) A x B x x x     1 (1 ) ( )A x B x  Se simplifica a: Si 0x  1 (1 (0)) (0)A B   Entonces 1 BSi 1x  1 (1 (1)) (1)A B   Entonces 1 A 1 ( 1) (1 )( 1) (1 )( 1) F F W W F z z W x x dL x dx dx L x x x x                1 1 1 ( 1) (1 ) (1 ) F F W W F z z W x x dL dx dx L x x x            5. Se cancelan los términos y se simplifican las integrales que resultaron: )(1 1F W z x dx x x 6. Se resuelve por fracciones parciales la siguiente integral:
  • 6. 1 1 1 (1 ) (1 ) F F F W W W z z z x x x dx dx dx x x x x           La integral queda finalmente como dos integrales que se resuelven fácilmente: 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) W W W F F F W x x x F z z z dL dx dx dx L x x x                 (2) 7. Donde introduciendo todas las integrales: (1) (3) (4) Cabe resaltar que la Integral (3) y (4) son integrales iguales y por simplicidad se hace en un mismo paso.
  • 7. (1) F W dL F Ln L W         (2) 1 1 1 1 1 F W z F x W z dx Ln x x            8. Solucionando cada una de las cuatro integrales: (3) y (4) Son integrales iguales 1 1 1 (1 ) F W z x dx x   1 (1 ) F W z x dx xy Sustitución: 1m x dm dx dm dx      
  • 8. 1F W z x dx m   1F W z x dx m  Cambio de Límites para quitar el Negativo:   1W F x z dx Ln m m  W x Fz Reemplazando la variable original donde 1m x  :   1 1 1 W F x z dx Ln x x    W x Fz 11 1 1 W F x W z F x dx Ln x z          9. Introduciendo la respuesta de todas las integrales, queda como:   1 (1) (2) (3) (4) 1     1 11 1 1 1 W WF W F F x xzF Ln Ln Ln Ln W x z z                              Propiedad de Logaritmo  (a) ( ) .Ln Ln b Ln a b 
  • 9. Se tiene entonces por propiedad de Logaritmo Natural que: 1 (1 ) 1 (1 ) W F WF W F W F x z xz Ln Ln Ln x z x z                   Obteniendo finalmente la expresión de Rayleigh en función de volatilidad relativa: (1 ) 11 1 (1 ) 1 F W W W F F z x xF Ln Ln Ln W x z z                   