Sesion 4

INGENIERIA DE CONTROL 1
INGENIERIA MECATRONICA – VII CICLO
 RELACION EN TRE TRANSFORMADA LAPLACE, FOURIER Y Z.

DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER
EN TIEMPO DISCRETO.
• Una generalización de la Transformada de Fourier es la transformada Z.
Ventajas de la Transformada Z
• La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias
• La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el
manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más
conveniente
• El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente
en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas
mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.
• El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente
en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas
mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.
RELACION ENTRE TRANSFORMADA DE LAPLACE FOURIER Y Z
SESION 4

( ) ( ) ( ) 



   j j k
k
x X e x k eTransformada de Fourier
( ) ( ) k
k
X z x k z


 
 
La transformada de la misma
secuencia tambien se define como
 ( ) ( ) ( ) k
k
Z x k X z x k z



  Segun la variable compleja
continua z
La correspondencia entre una secuencia y su
transformada se denota como:
( ) ( )xk X z
La transformada de Fourier es simplemente
con j
z e 

( )X z La transformada de Fourier es la
transformada Z tomando 1Z 
SESION 4

SESION 4
Si tomamos j
z re 

( ) ( )( )j j k
k
X re x k re 



 
( ) ( )( ) 

 

 j k j k
k
X re x k r e
Im
j
Z e 

Re
1
La transformada evaluada en los puntos de
dicha circunferencia es la transformada de
Fourier .

SESION 4
REGION DE CONVERGENCIA
La convergencia de la transformada Z
depende solamente de
z
( )
k
k
x k z



 entonces:
La región en donde se cumple la
desigualdad es la región de
convergencia.
Re
Im
Los valores sobre la circunferencia
definida como están dentro de la
región de convergencia.
1z z
La transformada Z es una función
analítica en todos los puntos de la
región de convergencia; de aquí que la
transformada Z y todas sus derivadas
con respecto a son funciones
continuas en dicha región.

La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de
ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones
algebraicas.
a) SUPERPOSICIÓN
Se compone de las
características de:
1)Homogeneidad:
2)Aditividad:
( ) ( )f k F z
( ) ( )af k aF z
1 1( ) ( )f k F z
2 2( ) ( )f k F z
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )  f k f k F z F z
SESION 4
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

SESION 4
si: 1 2( ) ( ) ( )f k af k bf k 
la transformada Z es:        1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )   Z f k Z af k bf k Z af k Z bf k
1 2( ) ( ) ( )  F z aF z bF z
b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO)
La respuesta del sistema se define por:
( ) ( ) k 0y k f k m  
La transformada de la salida y(k) se define a su vez como:
0
( ) ( ) k
k
Y z y k z



 
0
( ) ( ) k
k
Y z f k m z



 

SESION 4
1 2
( ) (0) (1) (2)m m m
Y z f z f z f z    
  
1 2
(0) (1) (2) ...m
z f f z f z  
     
Desarrollando:
La representación en diagrama de bloques para la propiedad de
corrimiento a la derecha se muestra abajo:
( )f k
( )F Z
-m
Z -m
( )Z F Z
( - )f k m

SESION 4
C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN
Para el siguiente sistema:
( )f k
( )F Z
( )h k
0
( ) ( ) ( - )


 i
y k h i f k i
( )H Z ( ) ( ) ( )Y Z H Z F Z
Su salida se define como una suma de convolución:( ) ( )y k Y z
( ) (0) ( ) (1) ( 1) .... ( 1) (1) ( ) (0)y k h f k h f k h k f h k f      
Quedando:  
0
( ) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2) ... ( ) (0)



       k
k
Y z h f k h f k h f k h k f z
Factorizando:
0 0 0 0
( ) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2) ... ( ) (0)
   
   
   
         k k k k
k k k k
Y z h f k z h f k z h f k z h k f z
La transformada queda: 1 2
( ) (0) ( ) (1) ( ) (2) ( ) .... ( ) ( )k
Y z h F z h z F z h z F z h k z F z  
    
Factorizando ( ):F z 1 2
( ) (0) (1) (2) .... ( ) ( )k
Y z h h z h z h k z F z  
      
( ) ( ) ( )Y z H z F z 

SESION 4
D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN”
Sean las secuencias
( ) ( )f k F z ( ) ( )g k G zy
si entre ellas es posible establecer la relación:
0
( ) ( )
k
i
g k f i

 para 0, 1, 2, 3, ... , .k n
1
1
( ) ( ) ( )
1 1
z
G z F z F z
z z
 
 
queda
max (1, )z Rcon

SESION 4
E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR
k
a
Sean las secuencias
( ) ( )f k F z y ( ) ( )g k G z
Si entre ellas se establece la siguiente relación: ( ) ( )k
g k a f k
entonces la transformada se determina como
sigue:
( )G z
 
0
( ) ( ) ( )k k k
k
Z g k Z a f k a f k z



    
1
0
( )
k
k
f k a z



   
1
( ) ( )k
Z a f k F a z
    para ; z a a R

SESION 4
F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN
1
0
( )
( ) k
k
d X z
k x k z
d z

 

   para
z R
Derivando
Multiplicando por ‐z ,
0
( )
( ) k
k
dF z
kf k z z
dz



 
 
( )
( )
dF z
Z kf k Z
dz
   z R

SESION 4
G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Es posible determinar el término inicial, , de una secuencia , a
partir de la transformada correspondiente.
(0)f ( )f k
1 2
( ) (0) (1) (2) ....F z f f z f z 
   
Si
(0) lim ( )
 

z
f F z
entonces
H) TEOREMA DEL VALOR FINAL
Para f(k) donde ( 1) ( )z F z sea analítica para 1z 
1
( ) lim( 1) ( )

  
z
f z F z

SESION 4
TRANSFORMADAS COMUNES
1) Impulso unitario (delta de Kronecker).
Definiendo la secuencia impulso unitario para , su
transformada se determina de la siguiente forma:
( ) 1k  0k 
  1 2
0
( ) ( ) ( ) (0) (1) (2) .....k
k
z Z k k z z z    

  

      
( ) 1z 
2) Retraso
( ) ( )f k k m 
 ( ) ( ) m
F z Z k m z 
  

SESION 4
3) Escalón unitario
Definido por ( ) 1k
u k  
La transformada es: 1 2
0
( ) ( ) (0) (1) (2) ... ( ) ...k k
k
U z u k z u u z u z u k z

   

      
1 1
1
1
0 0
1
( ) lim lim ( ) lim
1
 
 
     
 

  

 
NN N
k k
N N N
k k
z
U z z z
z
1
1
( )
1
U z
z
 
 1z para
4) Serie geométrica ( ) 0, 1, 2, 3, ... , . k
f k a k n
1
( ) ( )k
Z a f k F a z
   
1
1
( )
1
k a z
f k a
a z


 

Multiplicando y dividiendo
por a
( )
z
F z z a
z a



Si       se tiene una serie divergente y
Si       se tiene una magnitud unitaria y
Si       se tiene una serie convergente a cero y
1a 
1a 
1a 
z a
1z 
z a

SESION 4
5) Rampa discreta unitaria ( )f k k
Multiplicando la ecuación anterior por y
considerando , se obtiene :
z
1a 
2
0 ( 1)
k
k
z
kz
z





 1z 
0
( )



  k
k
F z kz
Para una secuencia geométrica se tiene:
0





 k k
k
z
a z
z a
Derivando con respecto a z:
2 2
0
( )
( ) ( )



  
  
  
 k k
k
d d z z a z a
a z
dz dz z a z a z a
1
2
0 ( )
k k
k
a
ka z
z a

 

  



SESION 4
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LINEALES.
Dicha representación emplea tres elementos básicos:
1) Unidad de retraso.
2) Unidad multiplicadora.
3) Unidad de suma.
1) UNIDAD DE RETRASO
La relación característica para esta unidad es
( ) ( 1)y k u k 
1
Z
( ) ( 1)y k u k ( )u k
1
Z
( ) ( 2)y k u k ( 1)u k ( )u k 1
Z
Obtención de un retraso de dos unidades de tiempo discreto

SESION 4
2) UNIDAD MULTIPLICADORA
( ) ( ) y k a u kLa relación característica para esta unidad es
( ) ( ) y k a u k( )u k
3) UNIDAD DE SUMA
1 2( ) ( ) ( ) y k u k u kLa relación característica para esta unidad es
1( )u k


2 ( )u k
1 2( ) ( ) ( ) y k u k u k 1( )u k

2 ( )u k
1 2( ) ( ) ( ) y k u k u k


SESION 4
OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO
MEDIANTE TRANSFORMADA Z: LA ANTITRANSFORMADA Z.
MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES.
Considérese una función
1
0 1 1
1
0 1 1
..........( )
( )
( ) ...........
m m
m m
n n
n n
b z b z b z bq z
F z
p z a z a z a z a




   
 
   
Factorizando
1
0 1 1
1 2
1
.......... ( )
( )
( )( )..........( ) ( )
m m
m m
n
n
i
i
b z b z b z b q z
F z
z p z p z p z p



   
 
    
Cuando todos los polos de en la ecuación son diferentes
1
0 1 1
1 2
..........
( )
( )( )...........( )
m m
m m
n
b z b z b z b
F z
z p z p z p

   

  
0 1
1 2
.........n n
n
z z z
d d d d
z p z p z p
    
  

SESION 4
El cálculo de los coeficientes       es como sigue:id
0 0
1 2
( )
( )( )..........( )
 
  
m
z
n
b
d F z
p p p ( ) 

 i
i
i z p
z p
d F z
z
1
0 1 1
1 2
...
( ) ( ) ... ( )

   

  
m m
m m
n
i i i n
b z b z b z b
d
z p p p p p p
La secuencia  resulta:  1
0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) .......k k k
n nf k Z F z d k d p d p d p
     
Con polos múltiples  queda 1 2 1
1
0 1 1
2
..........
( )
( ) ( ) ..........( )
m m
m m
n n n
i n
b z b z b z b
F z
z p z p z p

   

  
La expansión de F(z), en este caso, tiene la forma:
1
1 1
2
0 1 2 2
1 1 1
( ) .....
( ) ( )
    
  
n
n n
z z z
F z d d d d
z p z p z p
2
2 2
2
1 2 2
2 2 2
.....
( ) ( )
   
  
n
n n
z z z
e e e
z p z p z p
.....
1
1 1
2
1 2 2
1 1 1
.....
( ) ( )
   
  
n
n n
z z z
r r r
z p z p z p

SESION 4
PARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RAÍCES MÚLTIPLES
( )F z ( )f k
0k 
z
z a
k
a
2
2
( )
z
z a ( 1) k
k a
3
3
( )
z
z a
( 1)( 2)
2!
kk k
a
 
4
4
( )
z
z a
( 1)( 2)( 3)
3!
kk k k
a
  
para
8.6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS
El concepto de función de transferencia ; la cual se define como la
relación de la transformada Z de la salida, , de un sistema entre la
transformada Z de su entrada,
( )H z
( )Y z
( )U z
( )
( )
( )
Y z
H z
U z


La expresión general aplicable a la función de transferencia es:
1
0 1 1
1
0 1 1
...( )
( )
( ) ...




   
 
   
m m
m m
n n
n n
b z b z b z bq z
H z
p z a z a z a z a
11 2
1 2
1
( )( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( ) ( )


   
 
    
m
j
jm
n
n
i
i
z cz c z c z c
z p z p z p z p
Algunos sistemas tipicos:
1. Sistema en cascada
1 2( ) ( )y k u k1( )u k 2 ( )y k
1( )h k 2 ( )h k
En el domino de Z:
( )u z 2 ( )y z
1 2( ) ( ) ( ) H z H z H z
SESION 4

SESION 4
2. Sistema inverso
1( )H Z 2 ( )H Z
( )Y Z( )u z
( ) ( )Y z U z
1
2
1
( )
( )
H z
H z

1 2( ) ( ) ( ) 1H z H z H z 
La convolución en este caso resulta:
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i
y k h i k i i k i k   
 
 
     

SESION 4
3. Sistema realimentado
( )u k ( )y k
1( )h k
2 ( )h k


1
1 2
( )
( )
1 ( ) ( )


H z
Y z
H z H z
8.7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al
aplicársele una entrada acotada
Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos se
ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el origen de
radio unitario

SESION 4
POLOS DE H(Z) Y RESPUESTA TRANSITORIA
La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar efectivamente
las propiedades de la respuesta para un sistema discreto lineal.
A.‐ Polo real en . z a
La respuesta característica es de la forma cos ( ) k
Ar k
Donde A y Φ son constantes obtenidas de la expansión en fracciones parciales y:
2 2
r a b  1
tan
b
a
 

xx xxx x
(4)
Im z
(2)
(1)
(3)
(5)(6)
Re z

SESION 4
Casos:
1- . Sistema inestable.La respuesta a impulso es una
oscilación creciente en magnitud.
2- . Sistema inestable.La respuesta es una oscilación
parecida a un senoide con magnitud constante.
3-. Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida
a una senoide decreciente en magnitud.
2 2
1a b 
2 2
1 a b
2 2
1a b 
x
Im z
Re z
(2)
(1)
(3)
(2)
x (3)
x (3)
(2)
x (1)
x (1)

SESION 4
POLOS DOMINANTES
Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta transitoria. Son
los polos que están más cerca del circulo unitario. Ej p1 y p2.
Ιm z
3p
4p Re z
x
x
1px
x 2p
RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS LINEALES (FILTROS
DIGITALES)
Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal pura.
( )u t ( )u k
T
( )Y k
 1( ) u t sen T
 1( ) u t sen k T

SESION 4
 
1 1
12
( )
( ) ( ) 



 j T j T
sen T
u z
z e z e
1
0 1
1 2
...
( )
( ) ( ) ... ( )

  

  
m m
m
n
b z b z b
H z
z p z p z p
1 1p 
Si consideramos que todos los polos son distintos
( ) ( ) ( )Y z H z H z
1 1
0 1 2
1 2
( ) ...
 
 
  


      
    
j j
n j T j T
z z z ze ze
Y z a a b
z p z p z n z e z e
0
( ) ( ) k
k
H z h k z



 
Se tiene
1 1
0
( ) ( ) 



 j T j Tk
k
H e h k e
   1
1 1
0
( ) ( ) cos
 


     j T
k
H e h k k T j sen k T
   1 1
0 0
( )cos ( ) 
 
 
  k k
h k k T j h k sen k T
1.‐
2.‐
1 1
0
( ) ( ) 



 j T j Tk
k
H e h k e
   1 1
0 0
( )cos ( ) 
 
 
  k k
h k k T j h k sen k T

Por ser complejas
SESION 4
1 1 1
( ) ( ) ( )  
 j T j T j T
H e H e H e
1 1 1
( ) ( ) ( )  
 j T j T j T
H e H e H e
1 1
1( ) ( ) ( ) 
 
  j T j T
M H H e H e
1
1( ) ( )
    j T
H e 1
1( ) ( )
  
   j T
H ey
1 1
1
0 1 2
1 2
( )
( ) ...
2
 
 

   


 
            
j j
n j T j T
Mz z z ze ze
Y z
z p z p z n j z e z e
De ahi:
Antitransformando:
 0 1 1 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( )                
k k k
n ny k k p p p M sen T
 1 1 1( ) ( ) ( )y k M sen k T    Finalmente

SESION 4
1
( ) 0
j T
H e Suprime la frecuencia
11
( ) 1jw T
H e 
Amplifica la frecuencia
1
PERIODICIDAD DE
( )jw
H e T
1
( ) jw T
H e
Factor de angulo fase
Una característica particular en los sistemas discretos, es que los factores de
ganancia y ángulo son periódicos en relación con la frecuencia.
2
( )j
j TT
e e





3 / 4j
e 
5 / 4j
e 
3 / 2j
e 
10
1 45

190
1135
1180
1 225
1 270
1360
j T
e 
 Re z
( )
0
  


 j T j T
cZ e e
 Im z

INTRODUCCIÓN A FILTROS DISCRETOS.
La característica de ganancia de un filtro paso bajas ideal se muestra
abajo:
( )j T
H e 
1
1ω 
2.‐ Filtro pasa altas:
( )j T
H e 
2ω
1
SESION 4

SESION 4
3.‐ Filtro pasa banda:
( )j T
H e 
1
2ω1ω ω
Filtro paso bajas :el sistema caracterizado por la ecuación en
diferencias y función de transferencia
( ) ( ) ( 1)y k u k y k   
para que la magnitud sea unitaria: 1  
Así pues, la función de transferencia resulta:
(1 )
( )
z
H z
z





(1 )
( )
j T
j T
j T
e
H e
e








(1 )(cos )
(cos )
T jsen T
T jsen T
  
  
 

 
2 2 2
(1 )
( )
cos 2 cos
j T
H e
T T sen T
 
    


  
1
tan
(cos )
sen T
T
T

 
 

 


SESION 4
El ancho de banda de un filtro pasa bajas se define como el rango de
valores de frecuencia dentro del cual se cumple :
1
( )
2
j T
H e 

cw
2
(1 ) 1
21 2 cos cT

  


 
2 cos (3 cos )(1 cos )c c cT T T       

Sesion 4

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