Uno de los primeros trabajos que realicé

1. Cálculo Integral, Medellín - Colombia
http://revistas.upb.edu.co/index.php/investigacionesaplicadas
TRABAJO FINAL DE MODELACIÓN
Raquel Velásquez Castrillón ID 000 266 090
Universidad Pontificia Bolivariana, Cede Laureles Bloque 11, Programa de Ingeniería Electrónica.
Medellín, Colombia.
Profesor Héctor Escobar
Recibido 14 Abril 2016, Aceptado 20 abril 2016
Disponible en línea: 25 abril 2016
Resumen: Para conocer el volumen en general de cualquier intersección de sólidos es suficiente
con hacer una gráfica de la situación y aplicar la fórmula general de volumen de las integrales
producto de la definición de Riemann. Luego aplicando técnicas de integración y los límites
correspondientes tendremos el volumen.
Palabras clave: Integral, Volumen, Intersección, Límites, Cilindros, Radio, Ángulos.
FINAL WORK OF MODELING
Abstract: For the overall volume of any solid intersection is enough to make a graph of the
situation and apply the general formula volume product comprehensive definition of Riemann.
Then applying integration techniques and corresponding limits have the volume.
Keywords: Integral, volume, Intersection, Limits, Cylinders, Radial, Angle.
1

2. 1. INTRODUCCIÓN
En este artículo vamos resolver un ejercicio
de aplicación a las integrales, en particular en
el cálculo de un volumen cuya forma es deli-
mitada por la intersección de dos sólidos. Al
resultado de dicha intersección le llamaremos
S y la sección transversal de un sólido S es la
región plana formada por la intersección de S
con un plano.1
Figura 1: Una sección transversal del sólido S,
formada por la intersección de S con un plano
Px perpendicular al eje x, y que pasa por el
punto x en el intervalo [a, b].
Ahora nos disponemos a determinar el vo-
lumen del sólido S como el de la figura. Para
empezar, ampliaremos la definición que da la
geometría clásica de un cilindro, para aplicarlo
a los sólidos cilíndricos con base arbitraria.
Figura 2: El volumen de un sólido cilíndrico
siempre se define como el área de su base por
su altura.
Si se conocen el área de la base, A, y la al-
tura h del sólido cilíndrico, su volumen es:
Volumen = Área de la base X Altura
V = A · h
Esta ecuación constituye la base para defi-
nir los volúmenes de muchos sólidos no cilín-
dricos a partir del método por partes. Si la sec-
ción transversal del sólido S en cada punto x
del intervalo [a, b] es una región R(x) de área
A(x), y A es una función continua de x, po-
demos definir y calcular el volumen del sólido
S como una integral definida de la manera si-
guiente:
V =
b
a
A(x)dx
Esta definición se aplica siempre que A(x)
sea continua o, de manera más general, cuan-
do es integrable. Para aplicar la fórmula de la
definición en el cálculo del volumen de un só-
lido, deben realizarse los pasos siguientes:
1
Imágenes extraídas pág 397 bibliografía [1]
2

3. Cálculo del volumen de un sólido:
1. Bosqueje el sólido y una sección trans-
versal representativa.
2. Determine una fórmula para A(x), el
área de una sección transversal represen-
tativa.
3. Determine los límites de integración.
4. Integre A(x) por medio del Teorema
Fundamental.
2. ENUNCIADO
Busque el volumen común a dos cilindros cir-
culares, ambos de radio r, si los ejes de los ci-
lindros se cortan en ángulos rectos.
Figura 3: Intersección de dos cilindros circula-
res, cuyos cortes forman ángulos restos
3. SOLUCIÓN
Cada sección transversal del solido S en un
plano perpendicular al eje X es un cuadrado
(de aquí los bordes del corte viven sobre el ci-
lindro, que son perpendiculares). Un cuarto de
este cuadrado y un octavo de S son exhibidos
en la gráfica siguiente.
Figura 4: una sección area
El área de este cuarto de cuadrado es
|PQ|2
= r2
− x2
pues usamos el teorema de Pitágoras para el
siguiente triángulo:
Figura 5: una sección de área
Luego usamos la definición de volumen
para las integrales, dadas las condiciones ex-
puestas:
V =
r
−r
A(x) dx
Como el cuadrado sólo está en el primer
cuadrante y teniendo en cuenta que la función
en simétrica respecto al origen.
3

4. .
V = 4
r
−r
r2
− x2
dx
= 2 · 4
r
0
r2
− x2
dx
= 8
r
0
r2
dx −
r
0
x2
dx dx
= 8 r2
· x −
x3
3
r
0
= 8 r2
· r −
r3
3
− r2
· 0 −
03
3
= 8 r3
−
r3
3
− 0
= 8
3 · r3 − r3
3
= 8
2 · r3
3
=
16
3
· r3
4. CONCLUSIONES
Como evidenciamos, la aplicación de las
integrales asociadas al volumen en la intersec-
ción de dos cilindros no difiere de ninguna ma-
nera a la de cualquier otra intersección de só-
lidos, por lo que bastó con usar la fórmula ge-
neral para el cálculo del volumen. Entonces el
volumen generado por la intersección de dos
cilindros de radio r es:
V =
16
3
· r3
Este elemento se ve mucho en sistemas de
tuberías donde es muy importante hallar el
volumen del sistema para lo cual el volumen
de una intersección será el volumen de am-
bos cilindros menos el volumen común. Este
elemento tiene gran inutilidad en sistemas de
tuberías para hallar la presión de fluido o la
cantidad de fluido que circula por dicha inter-
sección.
5. BIBLIOGRAFÍA
1. GEORGE B. THOMAS, JR. : THOMAS‘
CALCULUS EARLY TRANSCENDEN-
TALS 12th. ed. PEARSON (2009).
2. JAMES STEWART: SINGLE VARIABLE
CALCULUS 4a. ed. Cengage Learning,
Inc (2010).
3. ALBERTO MARINI Diccionario Enciclo-
pedico Matemáticas 1a. ed. Jackson Hispa-
na S.A. (1989).
ABRIL 20162
2
Ex 64 pag 455 extraído de James Stewart, Single Variable Calculus , 5a ed.
4