Este documento presenta información sobre grafos y dígrafos. Define conceptos básicos como matriz de adyacencia, matriz de incidencia, grado de un vértice, ciclo, cadena, grafo conexo y más. Analiza un grafo de 8 vértices y 18 aristas, determinando si es conexo, simple, regular, completo, euleriano y hamiltoniano. También presenta conceptos sobre dígrafos como matriz de conexión, ciclos y cadenas. Finalmente, analiza la fuerte conectividad de un dígrafo de 6 vértices.

1. GRAFOS Y DIGRAFOS
Estructuras Discretas II
Elaborado por: Yurysky Zozzaro

2. GRAFOS
V7 V4
V6
V5
V8
Matriz de adyacencia
0 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1 1
Ma=G
0 1 1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 0

3. Matriz de incidencia
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a18 a20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
V5 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
V6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
V7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
Es Conexo? Justifique su respuesta.
Si, es conexo ya que todos sus vértices están conectados entre si.
Es simple? Justifique su respuesta
Si, es simple ya que no tiene lazos y entre cada par de vértices distintos solo existe una arista.
Es regular? Justifique su respuesta
No, no es regular ya que el grado de sus vértices es distinto.
gr(V1)=5,gr(V2)=5, gr(V3)=6, gr(V4)=4, gr(V5)=5, gr(V6)=6, gr(V7)=4, gr(V8)=5
Es completo? Justifique su respuesta
No, no es completo puesto que no cumple con la afirmación de que un grafo completo tiene
exactamente una arista entre cada par de vértices distintos. Por ejemplo entre V1 y V6 no existe
una arista que los conecte.
Una cadena simple no elemental de grado 6
C1 = [V1,a1,V2,a10,V4,a20,V5,a19,V6,a13,V3,a3,V2]
Un ciclo no simple de grado 5
C2 = [V1,a2,V3,a12,V8,a15,V7,a4,V1,a2,V3]

4. Árbol generador aplicando el algoritmo constructor
Seleccionar Vértice V1, H1 = {V1}
arista 1 y H2= {V1,V2}
arista 10 y H3= {V1,V2,V4}
arista 20 y H4= {V1,V2,V4,V5}
arista 19 y H5= {V1,V2,V4,V5,V6}
arista 13 y H6= {V1,V2,V4,V5,V6,V3}

5. arista 12 y H7= {V1,V2,V4,V5,V6,V3,V8}
arista 15 y H8= {V1,V2,V4,V5,V6,V3,V8,V7}
Subgrafo parcial

6. Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
Seleccionamos a1
Seleccionamos a3
Seleccionamos a2

7. Seleccionamos a4
Seleccionamos a11
Seleccionamos a12
Seleccionamos a5

8. Seleccionamos a6
Seleccionamos a9
Seleccionamos a10
Seleccionamos a7

9. Seleccionamos a13
Seleccionamos a14
Seleccionamos a15
Seleccionamos a18

10. Seleccionamos a20
Seleccionamos a16
El grafo no es euleriano según el algoritmo de Fleury.
También se debe tomar en cuenta que un grafo es euleriano si y sólo si no tiene vértices de grado
impar y este no lo es.
Demostrar si es Hamiltoniano
Existe un camino hamiltoniano ya que se puede pasar por cada vértice exactamente una vez.
Camino hamiltoniano V1, V3, V2, V4, V5, V6, V8, V7
Existe también un ciclo hamiltoniano.
Ciclo hamiltoniano V1, V3, V2, V4, V5, V6, V8, V7, V1
Por lo tanto el grafo dado si es hamiltoniano.

11. DIGRAFOS
Matriz de conexión
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
McD= V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
Es Simple? Justifique su respuesta.
Si, es simple ya que no existen lazos ni arcos paralelos.
Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
T1=[V4,a12,V6,a14,V5,a10,V2,a4,V6,a14,V5]
Encontrar un ciclo simple
C1=[V1,a6,V5,a13,V6,a14,V5,a11,V4,a9,V1]

12. Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
Hallar matriz de Conexión
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
McD= V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
M2= 1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M3= 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M4= 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1

13. 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M5= 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M6= 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
Mi= 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Finalmente Acc(D)= bin=[I7 + M+M2+M3+M4+M5+M6]
31 40 33 65 62 79
22 33 24 47 47 58
20 26 22 39 43 49
16 29 21 42 38 48
23 34 25 49 53 60
11 14 12 23 23 30
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
= 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
Como la matriz de accesibilidad no tiene componentes nulos se puede afirmar que el dígrafo es
fuertemente conexo.

14. Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra
=[8,4](3) =[0,-](0)
=[3,2](1)
=[4,2](1)
=[4,3](2)
=[7,3](2)
=[6,6](4) =[3,2](1)
D v2 a v1 = 8
D v2 a v3 = 3
D v2 a v4 = 4
D v2 a v5 = 6
D v2 a v6 = 3