El documento habla sobre los conjuntos y técnicas de conteo. Define un conjunto como una colección bien definida de objetos llamados elementos. Explica que los conjuntos se pueden describir mediante la lista de elementos o mediante una regla común. También describe operaciones básicas de conjuntos como la unión y leyes del álgebra de conjuntos. Finalmente, introduce diagramas de Venn y de Euler para representar gráficamente las relaciones entre conjuntos.

1. CONJUNTOS Y
TECNICAS DE
CONTEO
martes, 10 de julio de 2012
Un conjunto es una coleccion bien definida de objetos a los cuales tambien
llamamos los elementos de un conjunto.
A los conjuntos los identificamos con letras mayusculas y a los elementos con letras
minusculas, encerrados en {}.
los conjuntos se pueden describir de 2 formas:
1.- metodo de la lista. consiste en enumerar a todos los elementos que pertenecen
a dicho conjunto. ejemplo:
A={1,2,3,4,5,6} B={a,e,i,o,u}
2.- metodo de la regla consiste en definir la caracteriztica comun para ser
considerado un elemento. ejemplo.
A= x b= {x|x sea una letra vocal
Definición y notación de un conjunto
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos de los conjuntos se
denotan con letra minúsculas a, b, c, ...En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto,estos se
pueden clasificar en conjuntos
Ejemplo : Supongamos que Venezuela es un conjunto, los elemento de ella son
todos los estados.
finitos e infinitos.En el caso del ejemplo anterior Venezuela es un conjunto finito ya
que se pueden contar sus elementos.
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de
objetos con
características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
 La colección de elementos debe estar bien definida.
 Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez,
generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se
contará sólo una vez.
 El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
Operaciones y leyes de conjuntos3.1.2.1 Unión. La unión de los conjuntos A y B, es
el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota
la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.
En consecuencia,

2. x Î ( A + B) Û x Î A Ú x Î B.
Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:
A + B = {x / x Î A Ú x Î B }
Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:
En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los
conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual
se seleccionan los conjuntos A y B.
Leyes del Álgebra de Conjuntos.
Si 1 designa al conjunto universal y 0 al conjunto vacío, las siguientes identidades
son válidas en el álgebra de conjuntos para conjuntos arbitrarios X, Y, Z.
Leyes conmutativas
XY = YX X + Y = Y + X.
Leyes asociativas
X(YZ) = (XY)Z X + (Y + Z) = (X + Y) + Z.

3. Leyes distributivas
X(Y + Z) = XY + XZ X + YZ = (X + Y) (X + Z).
Leyes de idempotencia
XX = X X + X = X.
Leyes de complementación
XX' = 0 X + X' = 1.
Leyes de absorción
X (X + Y) = X X + XY = X.
Leyes de D'Morgan
( XY)' = (X' + Y') (X + Y )' = X'Y'.
Leyes con 0 y 1
X 1 = X X + 0 = X.
X 0 = 0 X + 1 = 1.
0' = 1 1' = 0.
Ley de complemento doble

4. (X')' = X.
Es importante destacar la dualidad dada en estas leyes, es decir, si en cualquiera
de las identidades, cada unión se reemplaza por una intersección, cada intersección
por una unión, cada 0 por 1 y cada 1 por 0, la expresión resultante es también una
identidad.
Diagramas de Venn Euler
Un diagrama de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones.
Son una representación moderna de los círculos de Euler, los cuales deben su nombre a su
creador, Leonhard Euler.
Los diagramas de Euler normalmente consisten de simples curvas cerradas en el plano que son
usadas para describir conjuntos. Las relaciones espaciales entre las curvas (superposición,
contención o ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones
de intersección, subconjunto y disjuntes, de lateoría de conjuntos.
Estos diagramas son una generalización del bien conocido diagrama de Venn, el cual representa
todas las posibles intersecciones entre los conjuntos presentes dados.
A la intersección del interior de una colección de curvas con el exterior del resto de
curvas se le llama zona. Así, dado un conjunto de curvas, en los diagramas de Venn
todas las zonas deben estar presentes, pero no así en un diagrama de Euler, donde
algunas zonas podrían no estar.
En el sentido de la lógica, uno puede usar la semántica de un modelo teórico para interpretar los
diagramas de Euler dentro de un dominio de discurso. En el ejemplo de la figura, el diagrama de
Euler representa que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos, porque las curvas
correspondientes son disjuntas, y también que el conjunto Four Legs es un subconjunto del
conjunto Animal. El diagrama de Venn que usa las mismas categorías Animal, Mineral y Four Legs no
encapsula esta información. Tradicionalmente, este vacío de un conjunto en los diagramas de Venn
es descrito por un sombreado o achurado de la región.
Los diagramas de Euler, en cambio, representan vacío ya sea por el sombreado o
por la omisión de una de las zonas.
A menudo se impone un conjunto de condiciones bien formadas, que corresponden a restricciones
topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede forzar la
conectitud de las zonas, o prohibir la concurrencia de curvas o puntos múltiples como forma de
representar intersecciones tangenciales de curvas. En el diagrama de abajo, se observa la
transformación secuencial de pequeños diagramas de Venn en diagramas de Euler; algunos de los
diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, esta secuencia de
transformaciones desde un diagrama de Venn con sombreado hasta un diagrama de Euler sin
sombreado, no es siempre posible. En efecto, existen ejemplos de diagramas de Euler con 9
conjuntos que no son diagramables usando curvas cerradas simples y sin la creación de zonas no
deseadas, puesto que ellos tendrían que tener grafos duales noplanares.