Rm1 4° 1 b

01 02
Cuando ambas son
desigualdades contrarias,
el sentido de la
desigualdad no se puede
conocer previo a conocer
el valor de cada número.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4to Secundaria
I. Adición
A. Definición
Es la operación que a cada par ordenado
de números llamados sumandos, le hace
corresponden un tercer número al cual
sele da el nombre de suma. La adición
se denota simbólicamente por:
(a, b)  →
+ S, sabiendo a + b = S
Ejemplo:
(5, 7)  →
+ 12 ⇒

sumasumandos
1275 =+

B. Propiedades
1. Clausura: La suma de dos o más números
enteros resulta otro número entero.
Simbólicamente:
∀ a, b ∈ Z ⇒ (a + b) ∈ Z
2. Conmutativa: El orden de los sumandos no
altera la suma total.
Simbólicamente:
∀ a, b ∈ Z ⇒ (a + b) = b + a
3. Asociativa: La suma de varios números no
varía si asocian dos o más sumandos en uno
solo.
Simbólicamente:
∀ a, b, c ∈ Z ⇒ (a + b) + c = a + (b + c)
4. Elemento Neutro: Es el cero, de tal modo
que cualquier número sumado con él resulta
el mismo número.
a + 0 = 0 + a = a
5. Uniformidad: Dadas varias igualdades,
éstas se pueden sumar miembro a miembro
resultando otra igualdad.
Ejemplo:
Si: 8 = 5 + 3 (+)
y: 6+4 = 10
Sumando: 18 = 18
6. Monotonía: Hay varios casos:
Si: a = b
c < d
⇒ a+c < b+d
Si: a ≥ b
c > d
⇒ a+c > b+d
Si: a = b
c > d
⇒ a+c > b+d
Si: a ≤ b
c < d
⇒ a+c < b+d
Si: a > b
c < d
⇒ a+c ? b+d
Si: a < b
c > d
⇒ a+c ? b+d
II. Sustracción:
A. Definición:
Es la operación inversa a la adición que
consiste en que dados dos números llamados
“minuendo” y “sustraendo”, encontrar un
tercer número llamado “diferencia”; tal que
sumado con el sustraendo sea igual al
minuendo.
La sustracción se denota simbólicamente por:
(m, s)  →
− , sabiendo : m – s = d
Ejemplo: (7, 4)  →
− d 7 – 4 = 3.
B. Propiedades
En la sustracción se cumplen las propiedades
siguientes:
1. Clausura: la diferencia de 2 números enteros
es otro entero.
2. Ley del inverso aditivo: para todo número
“a” existe uno y sólo un número llamado
“inverso aditivo de a” que se denota por (-a),
tal que: a + (-a) = 0.
3. Uniformidad: dadas dos igualdades si se
resta miembro a miembro, el resultado es otra
igualdad.
Si: a = b
y: c = d
Restando: a – c = b - d
Si: a = b
c < d
⇒ a- c > b- d
Si: a > b
c < d
⇒ a- c > b - d
5. En toda sustracción, la suma de los tres
elementos de ella es igual al doble del
minuendo.
Si: M – S = D  M S + D
Como M = S + D
y: M = M
2M = M + S + D
Ejemplo:
Si: 20 – 13 = 7
⇒ 2(20) = 20 + 13 + 7
6. En todo número de 3 cifras abc . donde
a > c, se cumple:
Si:
abc -
cba
xyz
En el resultado, la cifra central y = 9.
Además: x + z = 0.
C. Complemento aritmético (CA)
El complemento aritmético de un número
positivo es lo que le falta a dicho número para
ser igual a una unidad del orden inmediato
superior al mayor orden del número.
Ejemplo:
Hallar el CA de 35.
35100CA )35( −=
65CA )35( =
Cálculo del CA
“Al número se le resta del número formado por la
unidad seguida de tantos ceros como tenga el
número”
Ejemplo:
CA (49) = 100 - 49 = 51
2 cifras
CA(198) = 1000 – 198 = 802
CA(7318) = 10000 – 7318 = 2682
En general; si “N” tiene “m” cifras.
⇒ N10)N(.A.C m −=
Nota:
)8()8()8()8( 2365421000)542(CA =−=
Regla práctica:
Para hallar el C.A. de un número a partir de su
mayor orden, se restan las cifras de la base menos
S4RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
CUATRO
I

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4to Secundaria
uno y la última cifra significativa de la base; si
hay ceros al final, éstos permanecen en el CA.
Ejemplos:
C.A. (10 2349 1) = 8976509
↑↑↑↑↑↑ ↑
de 9 de 10
C.A. (50492 4 00)
↑↑↑↑↑ ↑
de 9 de 10
Si “d” es diferente de cero:
C.A.
( ) )d10()c9()b9(a9)abcd( −−−−=
C.A. ( )8(704253 ) = )8(425310
↑↑ ↑↑ ↑
de 7 de 8
III. Multiplicación:
A. Definición:
Es la operación donde a cada par ordenado de
números “a” y “b”, llamados factores, le hace
corresponder un tercer número “P” que es
denominado producto.
Simbólicamente se denota:
Pbxa:sabiendo,P)b,a(
x
=→
Ejemplos:
(7, 6) 42 ⇒ 7 x 6 = 42.
B. Propiedades:
En la multiplicación se cumplen las
propiedades siguientes:
1. Clausura:
ZPbxaZb,a ∈=⇒∈∀
2. Conmutativa: El orden de los factores
no altera el producto.
Pbxabxab,a ==⇒∀
3. Elemento neutro: Es el número “1”, tal
que:
aax11xa =⇒
Si: a = b
c < d
⇒ axc < bxd
Si: a > b
c < d No se puede
determinar
anticipadamente
⇒ axc ? bxd
5. Distributiva:
bnann)ba(:n,b,a ±=±⇒∀
6. Asociativa:
P)bxc(acx)bxa(axbxc:c,b,a ===∀
IV. División:
A. Definición:
Es una operación que tiene por objeto dadas
dos cantidades, dividendo y divisor, hallar
una tercera llamada cociente que ponga de
manifiesto las veces que el dividendo
contiene al divisor.
Simbólicamente:
(a, b)  →
÷ q, sabiendo: a ÷ b = q, b ≠ 0
La división puede ser exacta (no deja
residuo) o inexacta (deja residuo). (Se verá
más adelante).
B. Propiedades:
1. Distributiva:
0c,
c
b
c
a
c
ba
:c,b,a ≠+=
+
∀
2. Monotonía:
Si: a = b
c < d
⇒
d
b
c
a
>
Si: a > b
c = d
⇒
d
b
c
a
> 0
Si: a > b
c > d
⇒
d
b
?
c
a
3. Elemento neutro: Es el “1”.
a
1
a
:a =∀
C. Clases de división:
1. División exacta
El dividendo contiene al divisor un número
entero de veces.
D d
q(0) ⇒ D = dq
Donde:
D: dividendo
d = divisor
q = cociente
Ejemplo:
63 7
9(0) ⇒ 63 = 9 x 7
2. División inexacta o Euclidiana
a) D. Inexacta por defecto:
Cuando el dividendo (D) contiene al
divisor (d), “q” veces sobrando “r”
unidades, donde r > 0.
D d
q(0) ⇒ D = dq + r
Ejemplo:
75 4
18(3) ⇒ 75 = 18 x 4 + 3
Nota: se cumple: 0 < r < d.
b) D. Inexacta por exceso
Cuando el dividendo (D) contiene al
divisor (d) una vez más de lo normal
(q+1), apareciendo un residuo por exceso
( er ) que se obtiene de:
D)1q(dre −+= ó
D d
q+1( ⇒ D = d(q+1) - r eer )
Ejemplo:
37 5
8(3) ⇒ 37 = 5(8) - 3
Nota:
Se cumple: 0 < er < d
r + er = d
1dr imomáx −= 1r imomín =
Si se multiplica o divide el dividendo y divisor de
una división entera por un mismo número, el
cociente no varía, pero el residuo según el caso,
queda multiplicado o dividido por dicho número.
V. Temas complementarios
A. Determinación apriori del número de
cifras de un producto
Consideremos que:
Si un número natural N tiene 2 cifras, puede ser
10, 11, 12, .., 99; luego:
No se puede determinar el
sentido de la desigualdad sin
conocer previamente los
valores.

10 ≤ N < 210
Si un número natural N tiene 3 cifras, puede ser
100, 101, 102, .., 999; luego:
210 ≤ N < 310
En general, si un número natural N tiene “m”
cifras, se puede decir que:
1m10 − ≤ N < m10
Luego:
Teorema:
“La cantidad de cifras de un producto será como
máximo la suma de las cifras de los factores y
como mínimo dicha suma menos la cantidad de
factores disminuida en uno”.
Ejemplo:
Si A y B son enteros de 15 y 12 cifras
respectivamente. ¿Cuántas cifras puede tener:
a) A x B b) 42 BxA
Solución:
a) 1514 10A10 <≤
1211 10B10 <≤
2725 10AxB10 <≤
⇒ Entre 26 y 27 cifras tiene el producto A x B.
Por el teorema: A x B = P



=−−
=+
=
.cif26)12(27:mín
.cif271215:máx
P1
⇒ Entre 26 y 27 cifras tiene el producto A x B.
b) Si: PBxA 42 =
⇒ A x A x B x B x B x B = P (6 factores)
* 1514 10A10 <≤ *
1211 10B10 <≤
30228 10A10 <≤
78444 10B10 <≤
⇒ 784272 10BA10 <≤
∴ 42BA tiene entre 73 y 78 cifras.
Por teorema:



=−−
=+
=
.cif73)16(78:mín
.cif78)12(4)15(2:máx
P1
∴ 42BA tiene entre 73 y 78
cifras.
B. Determinar apriori el número de cifras
enteros de un cociente
Teorema: El número de cifras enteras del
cociente de 2 números, tiene como máximo
número de cifras la diferencia de las cifras de
los números, aumentado en uno y como
mínimo sólo la diferencia.
Ejemplo:
Si A tiene 8 cifras y B tiene 4 cifras.
Luego:



=−
=+−
=
cifras448:mínComo
cifras5148:máxComo
Q
B
A
Nota:Cuando el numerador y denominador
tienen varios factores.
1° Se calcula la magnitud de cifras máxima y
mínima, tanto del numerador como del
denominador, mediante la regla del producto.
2° Para calcular el máximo del cociente, ser
compara el máximo del numerador con el
mínimo del denominador mediante la
determinación del número de cifras de un
cociente; análogamente, para calcular el
mínimo de cifras del cociente, se hallará
comparando el mínimo del numerador con el
máximo del denominador mediante la
determinación de la cantidad de cifras de un
cociente.
Ejemplo: Si A, B y C tienen 8, 5 y 4 cifras
respectivamente.
¿Cuántas cifras tiene?
3
2
C
BxA
Q = ?
Solución:
En el numerador:



=−−
=+
.cif16)13(18:mín
.cif18)5(28:máx
BxA 2
En el denominador



=−−
=
.cif10)13(12:mín
.cif12)4(3:máx
C3
Para Q:



=−
=+−
.cif41216:mín
.cif911018:máx
Q
∴
3
2
C
BxA
Q = tiene entre 4 y 9
cifras.
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Si: *7a4bc6a3a*1 =+ . Hallar a +
b.
Solución
Ordenando la adición verticalmente.
1*a3
+ a6bc
4a7*
1°. Analizando en las unidades de millar, 1 +
a = 4; a puede ser 2 ó 3. Si fuera “a” fuera 2,
la operación quedaría.
1*23
+ 26bc
427*
2°. Analizando en las centenas:
* + 6 = 12, porque en las unidades de
millar 1 + 2 +........... = 4.
* = 6.
Con a = 2,*=6, la operación quedaría:
1623
+ 26bc
4276
De donde deducimos que: C= 3 y
B= 5
3°. Por lo tanto: a+ b = 2 + 5 = 7
Si “a” fuera 3, la operación quedaría:
1*33
+ 36bc
437*
4°. Analizando en las centenas:
* + 6 = 3, no existe un valor para *
Por lo tanto: 2a =

02.Si a un número se la añade la suma de sus
cifras se obtiene 8799. ¿Cuál es la suma de
las cifras de éste número?
Solución
- Debido a que al suma es 8799, se deduce
que el número desconocido es de 4 cifras.
- Asumiendo que el número es: abcd
- Del enunciado:
8799)dcba(abcd =++++
- Descomponiendo polinomicamente el
número abcd , se tiene:
1000a + 100b + 10c +d + (a + b + c + d)
= 8799.
1001a + 101b + 11c + 2d = 8799
- Deduciendo: a= 8
8008 + 101b + 11c + 2d = 8799
101b + 1c + 2d = 791
b = 7
707 + 11c + 2d = 791
11c + 2d = 84
c = 7
77 + 2d = 84
2d = 11
d= 11/2 (no cumple)
Entonces: c = 6
66 + 2d = 84
2d = 18
d = 9
Por lo tanto: a + b + c + d = 8+7+6+9=30
03.Hallar un número de 3 cifras, que sea igual a
16 veces la suma de sus cifras. Indiciar como
respuesta la cantidad de valores que puede
adoptar la cifra de las unidades.
Solución
La representante del número de tres cifras es:
abc
Del enunciado: abc = 16 (a+b+c)
Descomponiendo
polinomicamente el número abc ; se tiene:
100a + 10b + c = 16a + 16b + 16c
84a = 6b + 15c
Reduciendo: 28a = 2b + 5c
Mínimo valor de 2b + 5c = 0
Máximo valor de 2b+5c = 2(9)+5(9)= 63
Entonces a puede ser 1 ó 2.
Si a = 1 → 28 = 2b + 5c
Luego c = { 2, 4}
∴la cantidad de valor que puede asumir la
cifra c es 2.
04.La suma de los tres términos de una
sustracción es 32510; si el sustraendo es a la
diferencia como 3 es a 2. Hallar el
sustraendo.
Solución
Minuendo: M
Sustraendo: S
Diferencia: D
Del enunciado: M + S + D = 32510 (1)
Por propiedad sabemos que:
M + S + D = 2M (2)
Reenplazando 2 en 1
M + S + D = 32510
2M = 32510
M = 16 255, 5 + D = 16255
Además :
2
3
D
S
= (3)
S + D = 16255 (4)
Desarrollando (3) y (4)
Se tiene que: S = 9753
05.Hallar la suma de las cifras de C.A de un
numeral de tres cifras, cuya suma de cifras es
23.
Solución:
Sea el numeral: abc
La suma de sus cifras: a + b + c = 23
El complemento aritmético es:
)c10)(b9)(a9( −−−
La suma de las cifras de este C.A es (9 -a) +
(9 -b) + (10 - c) = 28 - (a +b +c)
= 28 - 23
= 5
06.En una sustracción el minuendo es abc , el
sustraendo es 6ba y la diferencia es
2dc . Hallar a + d +c - b.
Solución
Ordenando la sustracción verticalmente:
abc
- ba6
dc2
En las centenas, se deduce que: a > b
En las unidades: c = 8
En las decenas: 10+ b-a = c = 8; a-b = 2
En las centenas:
a-1-b =d →
Concluimos que:
a + c + d - b = a- b + c + d
= 2 + 8 + 1 = 1
07. Si: 1916axabc =
y3353bxabc =
4311cxabc =
Hallar: cbaxabc
Solución
Ordenamos verticalmente:
abc
x cba
abc x a
abc x b
abc x d
→
→
→
1916
3353
4311
466546
escbaxabc 466546.
08.Hallar un numeral de 6 cifras que comienza
en 1 tal que al trasladar esta cifra 1 a la
derecha resulta el triple del numeral
buscado.
Solución:
Sea el numeral de 6 cifras: abcde1
Al trasladarlo a la derecha resulta:
1abcde
Entonces: = 1abcde = 3 x abcde1
Ordenamos verticalmente la operación
abcde1 x
3
1abcde
Identificamos los valores de:
a = ......................... b = .........................
c = ......................... d = .........................
e = .........................
Sugiero empiezan por 3 x a = ............. 1
El numeral buscado es 142 857
09.En el multiplicador de una multiplicación se
toma un 6 como si fuera un 3 y el resultado es
10 830 unidades menor. Hallar el
multiplicando.
Solución:
Para que la diferencia sea 10 830 ó 1083
decenas, es lógico pensar que el error fue en
las decenas y el cambio de un 3 por un 6 en
decenas hace que el multiplicador disminuya
en 30 unidades.
Entonces:
Resultado verdadero: m x n = p
a - b - 1 = d = 1
2

Resultado alterado m x (n-30)p –10830
m x n – 30m = p – 10830
p – 30m = p –10830
30m = 10830
m = 361
∴ El multiplicador es 361
10.Hallar (a + b) Si: al dividir 5ab entre
7b da como cociente 22 y residuo 21.
Solución:
De la propiedad:
Dividendo = (divisor)(cociente) + residuo,
establecemos que: 5ab = 7b x 22 + 21;
descomponiéndolo polinómicamente:
100a + 10b + 5 = 220b + 154 + 21
100a – 200b = 10b + 170
10(a – 2b) = b +17
termina en cero
* b + 7 = 0......  b = 3 ∧ a = 8
∴ a + b = 11
11.Si al dividendo de una división le añadimos
1000 unidades, el cociente y el residuo
aumentan en 4 y 8 unidades respectivamente.
¿Cuál es el valor del divisor?
Solución:
De la propiedad:
D = (d)(c) + r ............................ (1)
Establecemos que:
D + 1000 = (d)(c+4) + (r+8)....(2)
*Reemplazando (1) en (2)
(d)(c) + r + 1000 = dc + 4d + (r+8)
∴ El divisor es 248
12.Una división se efectúa por defecto y por
exceso, encontrándose que el resto por
exceso, el cociente por defecto y el divisor,
forman una progresión aritmética de razón 8.
Hallar el dividendo
Solución:
Disponiendo los datos:
Por defecto: Por exceso:
D n+24
n n+16
D n+24
n+8
La suma de residuos es igual al divisor,
entonces:
n + (n+8) = n + 24  n = 16
De la división por defecto:
D = 40 x 32 + 16  D = 1296
∴ El dividendo es 1296
PRÁCTICA DE CLASE
01. En la sustracción: el sustraendo es un número
de 3 cifras y el minuendo 3802. Si la
diferencia es 62 unidades mayor que el
quíntuplo del complemento aritmético del
sustraendo. Hallar la diferencia.
02.Hallar la cifra de las decenas del resultado de
sumar todos los números formados por ocho
"nueves" y un "siete"
03.Hallar: a +b+c ; Si: ab + ba + cc =
dae y d = c – b , e = 2b
04.Hallar la suma de todos los numerales
capicúas de tres cifras menores que 900.
05.Si: )8()8()8( )1mn(mcbaabc +=− .
Hallar (n-m)
06.¿Cuál es el numeral cuyas 3 cifras suman 24
y que al invertir el orden de sus cifras
disminuye en )7xy(x + .
07.Si a 23 le sumamos los 25 impares
consecutivos. ¿En cuánto termina esta suma?.
08.Hallar abcd + efgh + ijkl . Si sabemos
que:
160jlfhbc =++
127ikegac =++
124ijefab =++
09.Una persona nació en el año ba19 y en el
año ab19 tiene (a+b) años. ¿En qué año
tendrá (axb) años?
10.La diferencia de dos números, de 3 cifras
cada uno, es 40. Si la diferencia entre el C.A.
de uno y la excedencia del otro, es 100.
Indique la suma de las cifras del mayor de los
números.
11.¿Cuál es el mayor número que se puede
aumentar al dividendo de una división cuyo
divisor es 100, para que el cociente aumente
en 20 unidades, si el residuo de la referida
división es 15?
12.Al dividir un número entre 12 se obtiene un
resido igual a 5. Si el número estuviera
multiplicado por 20, el cociente sería igual a
248. Hallar el número.
13.¿Cuál es el numeral de 4 cifras, que al ser
multiplicado por 4, se invierte el orden de
sus cifras?
14.Si se cumple que:
391udcm3mcdu −=× . Hallar m + c
+ d + u
15.Si se tiene que: bc0acabca0a =× .
Hallar a + b + c.
16.Hallar la suma de las cifras del producto de:
abc x 38. Si: Los productos parciales
suman: 5467
17.El residuo por exceso de una división es
793, si el residuo por defecto es la tercera
parte del residuo máximo. Hallar el residuo
por defecto.
18.En una división el dividendo está
comprendido entre 12000 y 13000, el divisor
entre 650 y 700 y el residuo entre 120 y 150.
hallar el cociente sabiendo que es el mayor
posible.
19.Al dividir dos números entre 15 se obtiene 13
y 3 como residuo. ¿Cuál es el residuo de la
división entre 15 de la suma de los números?
20.¿Cuál es el menor número que multiplicando
por 21 da un producto cuyas cifras son todas
cuatro?
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.Hallar la Suma de las cuatro últimas cifras del
resultado de sumar:
3535................53
28................82
................
...........
282
3
a) 9 b) 10 c) 8
d) 5 e) 2
02.Hallar un número de cuatro cifras, sabiendo:
1º Que la suma de sus cifras es 25
2º Que la cifra de los millares, sumada con
la cifra de las decenas es igual a la cifra
de las unidades.
3º Que aumentan 8082 al invertir el orden de
sus cifras.
a) 1897 b) 1589 c) 1789
d) 1801 e) 1888
03.Al sumar 89 capicúas diferentes de 3 cifras
48753. hallar la suma de las cifras del capicúa
no considerado.
a) 648 b) 741 c) 738
d) 747 e) 701

04.Si: a + b + c = 13 y 97bcab =+ .
Hallar a + b - c
a) 3b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
05.Si: a + b + c = 17
Hallar: cccccbaabaabbab ++
a) 188 887 b) 177 778 c) 166 998
d) 178 887 e) 179 997
06.Hallar la suma de todos los números de 3
cifras que se pueden formar con las cifras
pares (Considerar cero como cifra par)
a) 50 400 b) 54 400 c) 58 300
d) 57 150 e) 56 520
07.Hallar "a" si:
Cº( a1 ) + Cº ( a2 ) + ... + Cº( a9 ) = 396
a) 4b) 5 c) 7
d) 6 e) 2
08.Hallar abccd ,siCºAde abccd =a+b+c+d
a) 9968 b) 9688 c) 9698
d) 9981 e) 9786
09.Si al número abc, se le suma 6xy, el resultado
es cba. Determinar "b", sabiendo que es la
tercera parte de (a+c)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
10.Al multiplicar por 65 un cierto número éste
aumenta en 3 840. ¿Cuál es el número?
a) 64 b) 63 c) 70
d) 60 e) 50
11.Se agrega al número 42 la suma de los 25
números impares consecutivos que le siguen.
¿En qué cifra termina el resultado?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
12.Hallar el menor número entero, tal que
multiplicando por 33 dé como producto un
número formado por sólo cifras 7. Dar como
respuesta la suma de las cifras del número
hallado.
a) 23 b) 25 c) 24
d) 27 e) 22
13.Si al número 4626 se le suma 15 números
pares consecutivos. ¿En qué cifra termina el
resultado?
a) 5 b) 6 c) 0
d) 4 e) 8
14.La diferencia de dos números positivos es 8 y
al suma de ambos multiplicado por el menor
de ellos es 384. ¿Cuál es el producto de
ambos?
a) 364 b) 384 c) 394
d) 406 e) 416
15.El cociente de dos números es 19 y el resto
de su divisor 537. ¿Cuál será el número
mayor, sabiendo que su diferencia es 12 777?
a) 14 487 b) 13 127 c) 13 275
d) 14 137 e) 13 457
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar: p + q + r. Si:
1272cbaabc =+
7pqracbbac =+
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 4
02.Hallar: c + d + u
Si: cduucducd =++
a) 17 b) 18 c) 20
d) 22 e) 15
03.Calcular "c" si:
(33 cifras ) a2ca2c ... a2ca2c +
(32 cifras) a2ca ... 2ca2ca
......................
......................
a2c
a2
a
.................40
a) 1 b) 8 c) 7
d) 5 e) 4
04.La suma de los 3 términos de una resta es 6
veces el sustraendo. Si la diferencia es 34.
Hallar el minuendo.
a) 63 b) 42 c) 48
d) 51 e) 57
05.Se tiene 2 números A y B de 3 cifras cada
uno. Si A es el doble del C.A. de b y B es vez
y media del C.A. de A . Hallar el C.A. de (A
+ B)
a) 1750 b) 8250 c) 1250
b) 8750 e) 550
06.Si C.A.
( )( )c4b2
2
a
abc 





=
Halar: (a + b + c)2
a) 36 b) 49 c) 21
d) 12 e) 100
07.Si el complemento aritmético de:
)bcd1(des)2b(b7a −+
Hallar a + b + c + d
a) 18 b) 19 c) 17
d) 23 e) 15
08.Al multiplicar un número de 3 cifras por su
complemento aritmético nos da como
resultado el quíntuplo del número. hallar el
número dando como respuesta la suma de sus
cifras.
a) 20 b) 23 c) 24
d) 27 e) 25
09.Cuál es el menor número por el cual es
necesario multiplicar 7 para obtener otro
formado por únicamente cifras 3. dar como
respuesta la suma de sus cifras.
a) 25 b) 27 c) 29
d) 28 e) 35
10.Hallar la suma de las cifras del producto en:
*1* x
3*2
*3*
3*2*
*2*5
1*8*30
a) 2 b) 21 c) 20
d) 24 e) 27

EJERCICIOS PROPUESTOS
01.En el cine una persona elige entrar a platea en
vez de mezzanine ahorrando 50 soles. Si los
precios de ambas localidades suman 950
soles. ¿Cuánto pagó ésta persona?
a) 500 b) 400 c) 550
d) 450 e) N.A.
02.Entre Juan y Pedro tienen 1200 soles. Si
Pedro tiene la tercera parte de Juan. ¿Cuánto
tiene Juan?
a)S/. 3000 b) S/. 5000 c) S/. 600
d)S/. 8000 e) S/. 9000
03.La suma de 2 números es 11/10 y el menor es
1/10 menos que el mayor; entonces dichos
números son:
a) 3/5 y 2/5 b) 1/4 y 4/5
c) 1/10 y 9/10 d) 1/5 y 1/2
e) N.A
04.Un campo de forma rectangular tiene 180
metros de perímetro, calcular su área (en m2
)
sabiendo que el largo excede al ancho en
18 metros.
a) 2000 b) 1494 c) 1499
d) 1944 e) N.A.
05.El duplo de las horas que han transcurrido en
un día es igual al cuádruplo de las que quedan
por transcurrir, ¿Qué hora es?
a) 1 pm. b) 2pm. c) 3pm.
d) 4pm. e) 5pm.
06.¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del
día es igual a los 3/5 de los que falta para
acabarse?
a) 7hr. b) 8hr. c) 9hr.
d) 6hr. e) 13hr.
07.A un matemático le preguntaron por la hora,
el cuál contestó: “El tiempo transcurrido del
día es igual a los 2/3 del tiempo por
transcurrir del mismo día”. ¿Qué hora es?
a) 9 y 20 b) 8 y 45 c) 9 y 30
d) 9 y 36 e) N.A.
08.En una fiesta asistieron 27 personas, la primera
dama baila con 6 caballeros, la tercera dama
baila con 8 caballeros y así sucesivamente
hasta que la última dama baila con todos los
caballeros. ¿Cuántas damas asistieron a dicha
fiesta?
a) 12 b) 21 c) 11
d) 15 e) N.A.
09.Un padre tuvo a su hijo a los 18 años. Si
actualmente sus edad es el doble de la edad
de su hijo. ¿Cuál es la suma de ambas
edades?.
a) 78 b) 54 c) 60
d) 65 e) 39
10.La suma de dos números es 74 y su cociente
9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número
menor?
a) 9 b) 8 c) 5
d) 7 e) 6
11. La suma de dos números es 37/30 y su
diferencia 13/30. ¿Cuál será el número
mayor?
a) 5/6 b) 7/8 c) 5/7
d) 7/9 e) N.A.
12. Si : vu + + vu − = 20
vu + - vu − = 10
Hallar : u/v
a) 1,25 b) 1,50 c) 1,80
d) 2,60 e) 0,80
13. Un raro pez tiene 3 metros de longitud total y
la cabeza mide 2 metros menos que el cuerpo.
¿cuánto miden, en ese orden, la cabeza y el
cuerpo?
a) 1 y 2 m. b) 0,5 y 2,5 m.
c) 0,25 y 2,75m. d) 0,75 y 2,25 m.
e) 0,45 y 2,25m.
14. El cociente de dos números es 15 y su
residuo 3. Si la suma de ellos es 211,
entonces el mayor excede al cuadrado del
menor en:
a) 77 b) 31 c) 45
d) 29 e) 50
15.La suma de dos números es 191, si el mayor
se divide por el menor, el cociente es 4 y el
residuo 16, la diferencia de dichos números
es:
a) 87 b) 131 c) 121
d) 89 e) 125
16. Eduardo y Julio tienen juntos un capital de
S/.180000, pero Eduardo tiene S/. 40 000 más
OPERACIONES

que Julio. ¿Cuánto tiene Eduardo y cuánto
Julio?
a) 100 000 y 80 000
b) 120 000 y 60 000
c) 110 000 y 70 000
d) 150 000 y 30 000
e) 115 000 y 65 000
17. Dos pueblos A y B distan 180km. y están
unidos por un río navegable. Cuando un
barco va desde A hacia B a favor de la
corriente demora 6hr. Cuando va desde B
hacia A en sentido contrario a la corriente
demora 10hrs. La velocidad del barco y de
la corriente son:
a) 16 y 4 b) 18 y 5 c) 30 y 18
d) 24 y 6 e) 12 y 6
18.Cuáles son los números que sumados dan 36
y restados14?
a) 14 y 22 b) 12 y 24 c) 11 y 25
d) 10 y 26 e) 9 y 27
19. La suma de 2 números es 72 y su cociente es
5. ¿Cuál es el número menor?
a) 5 b) 10 c) 12
d) 15 e) 18
20.Hallar el valor de : U + N + I
Si : UNINUNIUNUI =++
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar el valor de : P + C + R,
Si : APRAPCPPPC =+
a) 10 b) 11 c) 13
d) 15 e) 16
02.Determinar el número de triángulos que se
pueden formar al trazar una de las diagonales
de un cuadrado de 20 x 20
............
1 X 1 2 X 2 3 X 3
a) 105 b) 210 c) 420
d) 315 e) 620
03.La suma de los tres términos de una
sustracción es 842. Hallar el triple del
minuendo.
a) 1263 b) 1632 c) 1236
d) 1326 e) 1362
04.Si : cbadefabc =−
Determinar : )9()9()9( fdefde ++
a) 202(9) b) 210(9) c) 220(9)
d) 240(9) e) 200(9)
05.Si : 5KLMcbcaba =+
MN2cbaabc =−
Hallar : L + K - M + N
a) 5 b) 7 c) 9
d) 11 e) 16
06.Si : mnpcbaabc =− y además : m - p
= 5
calcular : a . c
a) 8 b) 9 c) 18
d) 36 e) 12
07.A un número de 3 cifras se le suma otro
número de 3 cifras que empieza en 6 y el
resultado es un número que tiene las mismas
cifras del número original pero dispuestos en
orden inverso. Hallar el producto de las cifras
del número original, si éstas suman 19.
a) 140 b) 142 c) 144
d) 148 e) 150

EJERCICIOS PROPUESTOS
01.Los 2/5 de una botella están con vino. Si la
botella tiene una capacidad de litro y medio.
¿Cuántos libros de vino se tiene?
a) 3/5 b) 2/5 c) 1/5
d) 3/7 e) N.A
02.Un quinto de los alumnos de una aula de 25
alumnos son mujeres. ¿Qué fracción de lo que
no son mujeres son mujeres?
a) 1/ 2 b) 1/4 c) 1/5
d) 2/ 5 e) N.A
03.Durante los 7/9 de un día se consumen los
14/27 de la carga de una batería. En cuánto
tiempo se consume la mitad de la carga?
a) 1 día b) 1/3 día c) ¾ día
d) 2/3 día e) N.A
04.De una cosecha de papas se vende la cuarta
parte, luego se vende 1/3 del resto quedando
por vender 24 toneladas. ¿De cuántas
toneladas ha sido la cosecha?
a) 60 b) 48 c) 42
d) 36 e) N.A
05.Una ama de casa gasta su dinero así: en carne
la mitad de lo que tenía; en arroz la tercera
parte de lo que quedaba y los 3/8 del resto en
frutas. Si al final le quedan s/. 50. ¿Cuánto
tenía al inicio?
a) 120 b) 150 c) 180
d) 240 e) N.A
06.Jaimito pierde 2/5 de sus bolitas luego regala
1/3 del resto, después vende 5/7 de los que le
queda y guarda 48 bolitas. ¿Cuántas bolitas
tenía al inicio?
a) 420 b) 360 c) 320
d) 280 e) N.A
07.¿Cuál es el volumen de un depósito que
contiene agua hasta su mitad; si al extraérsele
80 litros , el nivel del líquido disminuye hasta
la sexta parte?
a) 600 lts b) 300 c) 240
d) 180 e) N.A
08.Un pozo de agua se vacía en 3 horas. Si en
cada hora se va la mitad de lo que había en
esa hora más 1 litro. ¿Cuántos litros tenía el
pozo inicialmente?
a) 6 lts b) 9 lts c) 12 lts
d) 14 lts e) N.a
09.Una señora va al mercado con 34000 soles. Si
se sabe que ha gastado la tercera parte de los
2/5 de lo que no ha gastado. ¿ Cuánto gastó ?
(en soles)
a) 30000 b) 2400 c)4000
d) 26000 e) N.a.
10. Si a los 2/5 de una cantidad se le quita los 2/3
de los 3/7 de la misma cantidad se obtiene los
2/9 de los 4/5 de 909. Hallar la cantidad
original.
a) 1638 b) 1234 c) 1414
d) 1242 e) 1534
11. Si a los 5/11 de una cantidad se le suma los
3/2 de 1/2 de la misma cantidad, se obtiene
los 7/22 de los 3/8 de 1484. Hallar la cantidad
original.
a) 147 b) 417 c) 741
d) 714 e) 174
12.Repartir 7810 soles entre 4 personas de tal
manera que la segunda recibe 2/5 de la
primera, la tercera 3/7de la segunda y la
cuarta 11/13 de lo que recibe la tercera.
Entonces, entre la primera y la segunda tienen
:
a) 4550 b) 6370 c) 6730
d) 3360 e) 4320
13.Mario tiene 2/3 de lo que tiene Pedro. Juan
tiene 3/5 de lo que tiene Mario y Armando
sólo tiene 5/2 de lo que posee Juan. Entre
todos tienen 4600 soles. Entonces, Juan tiene:
a) 900 b) 1200 c) 673
d) 380 e) 600
14.Cuatro amigos “A”, “B”, “C” y “D” que
tienen: 20, 18, 17 y 15 manzanas
respectivamente. Invitan a “E” a consumir sus
manzanas. Si los 5 consumen en partes
iguales y al retirarse “E” deja en pago 28000
soles. ¿ Cuántos soles le corresponden a
“A” ?
a) 12000 b) 8000 c) 6000
d) 2000 e) N.a.
15.Tres amigos “A”, “B” y “C” que tienen 11, 9
y 7 panes respectivamente. Invitan a “D” a
consumir sus panes . Si los 4 consumen partes
iguales y al retirarse “D” deja en pago 135
céntimos de soles. ¿ Cuántos céntimos de
soles le corresponden a “B” ?
a) 30 b) 45 c) 35
d) 15 e) 20
16. Un tejido al lavarse pierde 1/20 de su
longitud y 1/16 de su anchura. Averiguar
cuántos mts. de esta tela deben comprarse
para obtener después de lavarla 136,80 m2
. Si
el ancho primitivo de la tela es de 6/5 de
metro.
a) 120 b) 128 c) 132
d) 160 e) 146
17. Una tela al lavarse pierde 1/12 de su longitud
y 1/6 de su anchura. Averiguar cuántos mts.
de esta tela deben comprarse para obtener
después de lavarla 5720 m2
. Si el ancho
primitivo de la tela es de 48 mts.
a) 136 b) 142 c) 148
d) 156 e) 152
18.Dos cirios de igual altura se encienden
simultáneamente, el primero se consume en 4
hrs. y el segundo en 3 hrs. Suponiendo que
cada cirio se quemó en forma constante.
¿Cuántas hrs después de haber encendido los
cirios, la altura del primero es el doble de la
del segundo ?
a) 1 3/4 b) 1 1/2 c) 2 2/5
d) 2 e) N.a.
19.Dos cirios de igual altura se encienden
simultáneamente, el primero se consume en 8
hrs. y el segundo en 6 hrs. Suponiendo que
cada cirio se consume en forma constante.
¿ Cuántas hrs. después de haber encendido los
cirios, la altura del primero es el triple de la
del segundo ?
a) 5 1/3 b) 5 c) 5 3/4
d) 4 5/6 e) N.a.
20.Un galgo persigue una liebre que le lleva 90
saltos de adelanto. Sabiendo que da 7 saltos
mientras la liebre da 6 y que 3 saltos del
galgo equivalen a 4 saltos de la liebre.
Dígase después de cuántos saltos el galgo
habrá alcanzado a la liebre ?
a) 180 b) 189 c) 198
d) 150 e) 168
21.Un galgo persigue a un conejo que le lleva 30
saltos de ventaja. Sabiendo que el galgo da 6
saltos mientras el conejo da 4 y que 2 saltos
del galgo equivalen a 3 saltos del conejo.
¿ Después de cuántos saltos que haya dado el
conejo, será alcanzado por el galgo ?
a) 36 b) 32 c) 28
d) 24 e) N.a.
FRACCIONE

22.Si la cuarta parte del tiempo que ha pasado
desde las 10 am. es igual a la mitad del
tiempo que falta para las 4 p.m. ¿ Qué hora es
?
a) 12 m. b) 1 pm. c) 3 pm.
d) 2 pm. e) 1.30 pm.
23.¿Qué hora es cuando la mitad del tiempo
transcurrido del día es igual a la sexta parte
de lo que falta transcurrir ?
a) 6 am. b) 8 am. c) 10 am.
d) 8.30 am e) 12 m.
24.Gasté los 2/3 de los 3/5 de los 5/8 de mi
dinero y aún me quedan los 3/4 de los 2/3 de
los 2/7 de S/. 4 200. ¿Cuánto tenía al
principio?
a) S/. 300 b) S/. 400 c) S/. 500
d) S/. 600 e) S/. 800
25.Al retirarse 14 personas de una reunión, se
observa que ésta queda disminuida a 2/9 del
total. ¿Cuántas personas quedaron?
a) 2 b) 4 c) 7
d) 6 e) 3
26.Un comerciante vende los 4/5 de una pieza de
tela a un cliente y al sexta parte de lo que le
queda a otro cliente, sobrándole aún 20 cm.
¿Cuántos metros tenía inicialmente?
a) 60 b) 80 c) 120
d) 150 e) 240
27.Gasté los 5/6 de mi dinero, pero si hubiera
gastado los 5/6 de lo que gasté, tendría
entonces S/. 5/6 más de lo que tengo. ¿Cuánto
tengo?
a) S/. 6 /5 b) S/. 5/6 c) S/. 6
d) S/. 1/5 e) S/. 5
28.Patty tiene cierto número de gallinas, al ser
víctima de un robo, pierde 2/9 del total menos
5 gallinas. Al comprar 37 gallinas se percata
que el número inicial de gallinas queda
incrementado en 1/6. ¿Cuántas gallinas le
robaron?
a) 12 b) 15 c) 16
d) 19 e) 21
29.Se vende un televisor al contado, con los 2/3
del importe se compra una plancha y con los
3/7 del resto un juguete; lo que queda se
deposita en el Banco.
¿Cuánto se depositó en el Banco, si la
plancha y con los 3/7 del resto un juguete; lo
que queda se deposita en el Banco.
¿Cuánto se depositó en el Banco, si la
plancha y el juguete juntos costaron 765
soles?
a) 150 soles b) 160 soles c) 180 soles
d) 185 soles e) 196 soles
30.Se distribuyó 300 litros de gasolina entre 3
depósitos, en partes iguales, el primero se
llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta los 3/4.
¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si
su capacidad es la suma de las capacidades de
los dos primeros.
a) 1/3 b) 2/5 c) 27/20
d) 11/15 e) 1/4
Tanto por ciento
Se llama tanto por ciento, al número de unidades
que se considera de cada 100.
El porcentaje se puede calcular aplicando una
regla de tres simple y directa o aplicando una
fórmula que se deduce del siguiente problema
general.
Hallar el n% de S.
100 -------------- n
S ----------------- x
X = n / 100 x S.
El % es un quebrado cuyo denominador es 100.
Así , para calcular el 12% de 800.
= 12/ 100 x 800= 96
El porcentaje como fracción:
* El 15% de N = 15/100 x N = 1/20 N
* El 20% de N = 20 /100 x N =1/ 5 N
NOTA:
Por ser el tanto por ciento una fracción, sus
propiedades serán las mismas de las fracciones.
Operaciones Básicas:
Siempre cumplen que:
1. N = 100% N
2. a% N ±b % N = (a ±b)% N
3. a% del b % del c % de N es:
N.
100
c
x
100
b
x
100
a
4. a % del b % de N es: N%
100
bxa
Ejemplo:
20% del 40% de N es:
N%8N%
100
40x20
=
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Hallar el 10% de 240.
Solución:
Una cantidad cuando no sufre ninguna
variación esta representada por su 100%,
según el ejercicio.
240 es el 100%, entonces:
x es el 10%
x = (240 .10%)/100%
x = 24
02. Hallar el 12% de 50.
Solución:
50 ……… 100%
x ……… 12%
x = (50.12%) /100%
x = 6
03.Hallar el 16 2/3% de 42.
Solución:
42 ……….. 100%
x ……….. 16 2/3 %
x = ( 42 . 50/3 %)/100%
x = 7
04. Qué porcentaje es 75 de 1250?.
Solución:
1250 es su 100%; 75 será su X%.
1250 ……… 100%
75 ……… X
X = (75 . 100%)/1250 = 6%.
05. Qué porcentaje de 512 es 0,64?.
Solución;
512 ………100%
0,64 ……….. X.
X = (0,64 . 100%)/512
X = 1/8
06. Qué porcentaje es la mitad de los tres cuartos
de 800, es 2400?.
Solución:
2400 ……… 100%
½ .3/4. 800 ……… X.
X = (1/2. ¾ . 100%)/2400 = 25%.
07. De qué número es 208 el 4% más?
PORCENTAJES

Solución:
Al número que se busca se le representa por
su 100%. Como 208 es el 4% más que el
número que se busca. Entonces 208 será el
100% + 4% = 104% del número que se
busca. Luego:
104% …………… 208
100% …………… X
X = (100%)(208)/104% = 200.
08. De qué número es 918 el 12 ½% más?
Solución:
112,5% ……………918
100% …………… X
X = (100%)(918)/112,5 = 816.
09. De qué número es 276 el 8% menos?
Solución:
Al número que se busca se le representa por
su 100%. Como 276 es el 8% menos que el
número que se busca. Luego:
92% …….......... 276
100% …......…… X
X = (100%)(276)/92% = 300.
10. De qué número es 514,71 el ¼% menos?
Solución:
99,75% ….....…....... 514,71
100% ………........ X
X = (100%)(514,71)/99,75% = 516
11. De un terreno de 50 hectáreas; se vende el
16% y se arrienda el 14%. Cuántas hectáreas
quedan?
Solución;
Según el enunciado del problema; se tiene: lo
que se vende y se arrienda es el: 16% + 14%
= 30% lo que es el 100% . 30% = 70%.
Luego:
100% ………. 50 Ha.
70% ………. X Ha
X = (70%) (50 Ha)/100 = 35 Ha.
12.Si Manuel gasta el 8 1/7% de su dinero y se
queda con S/. 6430. El dinero que tenía al
comienzo es:
Solución:
Según el enunciado del problema, se tiene: Al
dinero de Manuel se le representa por su
100%. Al gastar 81/7% de su dinero, se queda
con: 99 7/7% - 81/7% =91 6/7%.
Luego:
91 6/7% ……… S/.6430
100% ……… X
X =(6430)( 100%)/ 91 6/7% =S/. 7000
PRACTICA DE CLASE
02. De qué número es 315 el 12 ½% más?.
03. De que número es 792 el 5 3/5% más?
05. De qué número es 399 el ¼% menos?
06. De qué número es 425 el 16 2/3% menos?
07. Si Diego tuviera un 8% más de la edad que
tiene, su edad sería 27 años. Cuál es su edad
actual?
08. Si Carlos tuviera el 20% más de la edad que
tiene tendría 36 años. Cuántos años tiene
actualmente?
09. Si yo tuviera el 40% más del dinero que
tengo, tendría S/. 140. Si del dinero que tengo
gasto el 65%. Cuánto me sobraría?
10. Si de las computadoras que tuve, hubiera
vendido 10% menos; me sobrarían 360
computadoras. ¿Cuántas computadoras tuve?
11.El 12% de 40 es el 15% de N entonces.
¿Cuánto vale N?
a) 40 b) 20 c) 26
d) 38 e) 25
12.El 20% de 150 es el 12% de N entonces.
¿Cuánto vale N?
a) 280 b) 240 c) 260
d) 230 e) 250
13.¿Qué porcentaje del doble del 50% de un
número es el 40% del 70% del mismo
número?.
a) 2% b) 10% c) 28%
d) 24% e) 15%
14.¿Qué porcentaje del triple de 24% de un
número es el 6% del 80% del mismo
número?.
a) 20/3% b) 24% c) 20%
d) 34/3% e) 25/2%
15.¿Qué porcentaje del 15% de la mitad del
60% de un número es el doble del 5% del
90% de la quinta parte del mismo número?.
a) 85% b) 96% c) 200%
d) 80% e) 120%
16.En una reunión el 60% del total de personas
son hombres. Si se retira la mitad de estos.
¿cuál es el nuevo porcentaje de hombres?.
a) 20% b) 30% c) 25%
d) 15% e) 10%
17. De 700 espectadores de un cine, 196 son
mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de varones en
el cine?
a) 25% b) 72% c) 45%
d) 10% e) 42%
18.Si el 150% de A es igual al 30% de B y, el
20% menos de B es igual al 20% más que C.
¿Qué porcentaje de A es el 60% de C?
a) 45% b) 60% c) 20%
d) 40% e) 50%
19.En un salón de clases el número de hombres
equivale al 60% del total. Si se retiran el 50%
de los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son
mujeres?
a) 24% b) 23% c) 12%
d) 16,2% e) 23,8%
de las mujeres. ¿Qué porcentaje del resto son
hombres?
a) 24% b) 23% c) 12%
d) 16,2% e) 23,8%
PROBLEMAS PROPUESTOS
a) 100 b) 200 c) 250
d) 300 e) 350
02. De qué número es 157,50 el 12 ½% más?.
a) 120 b) 140 c) 160
d) 180 e) 200
03. De que número es 264 el 5 3/5% más?
a) 150 b) 200 c) 230
d) 250 e) 270
a) 175 b) 180 c) 185
d) 190 e) 195
05. De qué número es 798 el ¼% menos?

a) 600 b) 700 c) 800
d) 400 e) 500
06. De qué número es 850 el 16 2/3% menos?.
a) 860 b) 930 c) 980
d) 1000 e) 1020
07. Si Luis tuviera un 8% más de la edad que
actual?
a) 25 b) 30 c) 35
d) 40 e) 50
08. Si Pedro tuviera el 20% más de la edad que
tiene tendría 72 años. Cuántos años tiene
actualmente?
a) 50 b) 55 c) 60
d) 65 e) 70
gasto el 40%. Cuánto me sobraría?
a) 120 b) 130 c) 140
d) 125 e) 135
10. Si de las manzanas que tuve, hubiera comido
el 10% menos; me sobrarían 360 manzanas.
Cuántas manzanas tuve?
a) 300 b) 400 c) 450
d) 500 e) 600
11. El 15% de 32 es el 12% de N entonces.
¿Cuánto vale N?
a) 40 b) 42 c) 36
d) 38 e) 45
12. El 30% de 16 es el 6% de N entonces.
¿Cuánto vale N?
a) 80 b) 40 c) 60
d) 30 e) 50
13.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un
número es el 30% del 20% de los 2/5 del
mismo número?.
a) 2% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 15%
14.¿Qué porcentaje del cuádruplo de 40% de un
número es el 50% del 40% de los 2/5 del
mismo número?.
a) 12% b) 14% c) 20%
d) 34% e) 5%
15.¿Qué porcentaje de la mitad del 60% de un
número es el 15% del 85% de la quinta parte
del mismo número?.
a) 8,5% b) 9,6% c) 60%
d) 8% e) 85%
16.En una reunión el 40% del total de personas
son hombres. Si se retira la mitad de estos.
¿cuál es el nuevo porcentaje de hombres?.
a) 20% b) 30% c) 25%
d) 15% e) 10%
17. De 350 espectadores de un cine, 98 son
mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de varones en
el cine?
a) 25% b) 72% c) 45%
d) 10% e) 42%
18. En un cubo. ¿Qué porcentaje del área total es
el área de una cara?
a) 11 1/6 b) 13 1/4 c) 14 1/4
d) 16 2/3 e) N.A.
19.Si el 120% de A es igual al 80% de B y, el
25% menos de B es igual al 60% más que C.
¿Qué porcentaje de A es el 64% de C?
a) 45% b) 60% c) 20%
d) 40% e) 50%
de los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son
mujeres?
a) 24% b) 23% c) 12%
d) 16,2% e) 23,8%
TAREA DOMICILIARIA
02. De qué número es 500 el 25% más?.
05. De qué número es 420 el 16% menos?.
06. Si Julio tuviera un 10% más de la edad que
actual?
08. Si Carlos tuviera el 20% menos de la edad
que tiene tendría 40 años. ¿Cuántos años
tiene actualmente?
gasto el 60%. ¿Cuánto me sobraría?
10. Si de los televisores que tuve, hubiera
vendido 30% menos; me sobrarían 140
computadoras. ¿Cuántas computadoras tuve?

INTRODUCCIÓN
En relación con el estudio de la matemática en
nuestra sociedad, encontramos aún algunos
prejuicios: unos dicen, por ejemplo sólo las
personas de gran talento pueden dedicarse a la
matemática, mientras que otros afirman que para
ello es preciso tener una "memoria matemática"
capaz de permitir recordar fórmulas y saber cómo
y cuándo aplicarlas..
Las expresiones: "soy incapaz para la
matemática", "no he nacido para los números".
"me falta memoria para aprender todas las
fórmulas", etc, etc, son un producto amargo de
tipo de enseñanza memorística y mecanizada que
hemos recibido desde nuestra infancia, debido a
la falta de un sistema educativo adecuado,
objetivo y verdaderamente científico capaz de
satisfacer las expectativas de la gran mayoría de
estudiantes y no sólo de un sector, cuyo beneficio
obedece a intereses egoístas.
En consecuencia, nos corresponde revertir esta
situación, poniendo en práctica nuestra capacidad
de raciocinio y análisis objetivo. Contribuiremos
con ello, en esta parte del curso, desarrollando la
parte inductiva – deductiva de nuestro
razonamiento para lograr, de esta manera, un
mayor grado de abstracción.
Quizá en algunas ocasiones, durante la búsqueda
de la solución, de una interrogante relacionada
con nuestra vida diaria o al intentar resolver
problemas netamente matemáticos, nos hayamos
encontrado un tanto desorientados sobre cómo
afrontarlos, entonces nos asaltó la duda y
surgieron las eternas preguntas. "¿Por donde
empezar?, ¿Qué estrategia platear y seguir? Parte
de culpa de esta dicha situación la tiene el hecho
de no tener en claro los conceptos de
razonamiento, pensamiento creativo, lógica
deductiva, lógica inductiva , etc.
El objetivo entonces del presente capítulo será
estudiar los diversos conceptos y aplicarlos
manejando criterios adecuados, desarrollando,
además ejemplo necesarios para un mejor
desenvolvimiento dentro del curso de
razonamiento matemático y actividades en
general.
Recomendación final: Nunca olvides que el
primer paso es comprender el problema, una vez
logrado esto debe dar el siguiente paso:; idear
cómo afrontarlo: cada problema debe ser un reto,
para ello debe leer atentamente la parte teórica y
rescatar las mayores observaciones de cada
ejemplo. "Después de haber resuelto un
problema, debes valorar más el proceso inductivo
– deductivo y no tanto la respuesta, ello te
permitirá salir airoso en cada problema siguiente?
QUÉ ES ESTRATEGIA?
Analiza atentamente las siguientes situaciones
Cinthia
?
Calcular la suma de
las cifras de A
2
cifras100
)33..33(A =
Carlos
En la primera de ellas una pelota ha caído por un
estrecho orificio, no tan profundo, pero no al
alcance de los brazos de Cinthia; él no dispone de
palos ni varas para extraerla. Renzo, que estaba
sacando agua, observa la escena y se pregunta:
¿Qué hará ella para sacar la pelota?. En el
siguiente caso Carlos está frente a un problema
que se ve muy laborioso: ¿Cómo resolverlo?. En
ambos casos será necesario pensar detenidamente
sobre la situación y elaborar un plan que les
permita conseguir sus objetivos; dicho plan recibe
el nombre de estrategia.
La palabra estrategia proviene del riesgo
"strategia" (generalato, aptitudes de general),
que en el contexto de nuestro interés se entiende
como el plan o técnica para dirigir un asunto o
para conseguir un objetivo.
En la primera situación, una posibilidad sería
buscar ayuda, traer herramientas y "ampliar el
hueco lo cual no está mal, pero sería muy
trabajoso y mostraría que no pensamos mucho
sobre el asunto y estamos procediendo de manera
mecánica. Otra posibilidad sería echar abundante
agua por el orificio, la pelota flotaría y podremos
sacarla, lo cual sería una solución más razonada,
¿no crees?
Para resolver la segunda situación, deberemos
aplicar la inducción y para ello hay que tener una
idea de lo que es razonamiento inductivo –
deductivo, nociones que estudiaremos más
delante.
¿QUÉ ES INDUCCIÓN?
La palabra inducción proviene del latín
"Inductio". ("in": en y "ducere": conducir); que
es la acción y efecto de inducir. Es definido como
un modo de razonar que consiste en sacar de los
hechos particulares una conclusión general; así, la
inducción desempeña un gran papel en las
ciencias experimentales. Mas adelante podremos
apreciar la forma de aplicar este modo de razonar
en la resolución de problemas matemáticos.
¿QUÉ ES DEDUCCIÓN?
La deducción es la acción de deducir, también es
la conclusión que se obtiene de un proceso
deductivo. La palabra deducir , proviene del latín
"deducere" que significa sacas consecuencias. En
el presente estudio veremos como a partir de
casos generales llegamos a establecer cuestiones
particulares que nos interesan para la resolución
de problemas
Podemos decir, figurativamente, que la inducción
y la deducción son las dos cara de una misma
moneda, estableciéndose como herramientas
poderosas que han permitido el avance de la
ciencia en general. ¿Cómo hizo Arquímedes para
determinar, según él, el valor aproximado del
número π y el cálculo de áreas re regiones
sumamente complicadas para su época? ¿Cómo
llegó Kepler a establecer sus tres famosas leyes?
¿De qué manera Galileo procedió a establecer la
relación:
2
gt
2
1
e = ? ¿Sospechas como llegó
Newton a dar la ley de la gravitación universal a
partir de hechos comunes contemplados por todos
nosotros, pero que él supo observar atentamente
para enunciar tan importante teoría? y
¿Lobatcheysky, para crear una geometría
euclideana? y ¿Einstein, con su teoría de la
relatividad? ... En fin, gran parte de lo establecido
hasta ahora por la ciencia se ha hecho en base a la
experimentación, a la aplicación de la inducción,
y deducción, y al proceso de ensayo – error con el
estudio y el análisis de todas las consecuencias
que se derivan de ellos, los cuales ha permitido el
avance de la ciencia en todos los campos.
MÉTODOS RAZONATIVOS:
Lógica Inductiva y Lógica Deductiva
¿Cuántos palitos de
fósforo conforman
el siguiente castillo?
¿Cómo resuelvo
este problema?
Al igual que Daniel, muchos estudiantes al
empezar la resolución de un problema siempre se
preguntan: ¿Cómo resuelvo este problema?, ¿por
donde empiezo la resolución del problema?, ¿será
éste el camino adecuado para su resolución?;
indudablemente que para el ejemplo anterior, el
contar uno por uno los palitos de fósforos del
castillo no sería una resolución adecuada ya que
sería muy tedioso y agotados realizar dicha
operación. Siempre que se busca la solución de
un problema, debemos buscar los caminos más
cortos para llegar a ella, debemos analizar
nuestros datos e incógnitas y al relacionarlos
debemos encontrar una "estrategia" de cómo
afrontar el problema, "ser creativos y analistas",
para buscar esa relación de datos e incógnitas.
Justamente, a partir de estas ideas ("tener
METODO INDUCTIVO -

estrategia", "ser creativo y analista") surgen dos
herramientas importantes que nos permiten
afrontar un problema ¿la lógica inductiva y la
lógica deductiva
Las lógicas inductiva y deductiva representan la
base del razonamiento matemático, pilares sobre
los cuales se constituye esta hermosa disciplina,
en base a la observación y al análisis.
LÓGICA INDUCTIVA (Inducción):
Es un modo de razonar, en el que a partir de la
observación de casos particulares, nos conduce la
descubrimiento de las leyes generales, con la
particularidad de que la validez de las últimas se
deduce de la validez de las primeras.
Así:
C
A
S
O
1
C
A
S
O
2
=>
C
A
S
O
3
=>
C
A
S
O
G
=>=> ...... E
N
E
R
A
L
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo
El método del razonamiento inductivo es un
métodos especial de demostración matemática
que permite, en base a observaciones particulares,
juzgar las regularidades generales
correspondientes
Ejemplo:
(15) = 225
(35) = 1225
(85) = 7225
Casos
Particulares
(125) = 15625
"Podemos concluir
que todo número que
termina en 5, al
elevarlo al cuadrado,
su resultado termina
en 25" (...5) = ... 25
Conclusión
General
Razonamiento
Inductivo
2
2
2
2
2
LÓGICA DEDUCTIVA (Deducción)
Es un modo de razonar mediante el cual, a partir
de informaciones, casos o criterios generales, se
obtiene una conclusión particular.
Así:
C
A
S
O
G
E
N
E
R
A
L
Razonamiento Deductivo
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO 4
:
.
Casos
Particulares
Ejemplo
- Todos los hijos
de la señora Ana
son valientes
- Pedro es hijo
de la señora Ana
Información
General
Por lo tanto
Pedro es valiente
Conclusión
Particular
Razonamiento
Deductivo
Observación:
• En es parte se debe recordar las
principales conclusiones básicas, ya
aprendidas con anterioridad (criterios,
generales de la adición, sustracción,
multiplicación, división, etc.), las cuales
ayudarán a verificar los casos particulares
• La deducción e inducción están
íntimamente relacionadas. Generalmente, la
deducción es el complemento de la
inducción, y viceversa.
PRACTICA DE CLASE
01.Al simplificar:
1,560,4,520,
943,9,27
27360,2736,
A
×+×
×−
+×−×
=




Resuelta:
a)
18
23 b)
18
22 c)
23
18
d)
18
21 e) N.A.
02.El resultante de simplificar la sgte.
Expresión:






÷






















−
−
+
+
=
12
47
2
1
23
6
1
3
1
5
6
2
1
2
2
3
1
1
3
2
1
1
L ,
es:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
03.Hallar la fracción decimal equivalente a:
3
1
0,09
33
1
0,15
4,59
30,830,2,5
F
++−
÷
−+
=

 
a)0,54 b) 2 c) 1,83
d) 3,17 e) N.A
04.El resultado de R, donde:
482
32434(2)5
R
÷+
÷++−
= ,es
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05.Al efectuar:
3
33
3718539
185916941277
÷
÷
=E ; resulta:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06.Al efectuar:
2
1
4
1
1
2
1
4
9
2
3D
−






−+−= , se
obtiene
a) 6 b) -36 c)
36
1−
d)
36
1
e)
9
1
07.Si la semisuma de dos números enteros
distintos se multiplican por la semidiferencia
de ellos, al dividir el producto obtenido por la
diferencia de los cuadrados de estos números,
resulta:
a)
2
b)(a +
b)
b)(a
2
+
c)
2
1
d) 0,25 e)
4
ba 44
−
08.El inverso multiplicativo de:







 −
−=
2
53
O , es:
a)
2
1
−
b)
35
1
+
c) 35 +
d)
5
1
3
1
+ e) 2
1
)53(
−
−
09.Hallar el valor de “∆” en:
0,6(0,4)(0,3)(0,2)(0,1)3 0,40,30,20,1Δ0,
=
a) 1 b) 2 c) 5
d) 7 e) 9
10.Efectúa y da como respuesta la suma de cifras
del resultado:

  
Sumandos111
7373737...3
5252525...2
...
373737
252525
3737
2525
37
25
S ++++=
a) 12 b) 13 c) 18
d) 23 e) 227
11.Calcula: a + b, si:
ba...)...753(1
Factores1999
4
=×××   
a) 12 b) 7 c) 11
d) 19 e) 13
12.Si: abcd9999...3518 =÷
Calcula:
[ ]
dcba
dcba5
A
+++
×××
=
a) 91 b) 90 c) 96
d) 100 e) 20
13.Simplifica:
3
3
4
2
49137123
16264356
B ×
+×
+×
=
a) 1 b)
2
1
c) 3
d) 2 e) N.A.
14.Calcula el valor de “I”, en:
4 16562821042I +××××=
a) 3 b) 9 c) 27
d) 35 e) 81
15.Simplifica:
3333 )1285416(N ++=
a) 8 b) 1458 c) 81
d) 27 e) 16
TAREA DOMICILIARIA
01. Halla:
3
42
1)1)(X1)(X1)(X(X1O 





+−+++=
Si: 3 2X =
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 16
02 Hallar el valor de:
3233
)7(6999)(10(6999)(6999)(7000)R −−−=
a) 7 b) 0,7 c) 70
d) 7000 e) 700
03.Halla el resultado de:
0,810,90,20,1A 2
+×+=
a)
2
1
b) 0,1 c) 0,01
d) 0,9 e) 1
04.Calcula: M = a + b + c
Si:
...999...999111...111...999999...abc
cifras97cifras98cifras99
+++=

a) 11 b) 20 c) 15
d) 18 e) N.A
05.Calcula la suma de la cifras del resultado de
A+D
( )( )( )( ) ( )22222222
119...173182191
log100...log2log1A −−−−
+++=
D = 999 x 1000 x 1001
a) 42 b) 55 c) 49
d) 41 e) 57
06.Calcula el valor de:
3
4
3732
1191)1023(1025
S
×
××+×
=
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
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