Mat el ucracaclea3

Matemát
Solucionario
2011 -II
Examen de admisión
Matemática
1
TEMA P
PREGUNTA N.º 1
Indique la alternativa correcta después de determi-
nar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F)
según el orden dado:
I. Existen 8 números de 3 cifras tales que al ser
divididos entre 37 dan un residuo igual a la
cuarta parte del cociente.
II. Sean a,b ∈ N; si (a+x)(b –x)=ab, entonces
se tiene que x=0.
III. Si D=dc+r con 0 ≤ r < c y c >1, entonces
el conjunto
{x ∈ Z / D+x=(d+x)c+r}
es unitario.
A) VVV B) VVF C) FFV
D) FVF E) FFF
Resolución
Tema: Lógica proposicional
Análisis y procedimiento
I. (F)
abc
k 4k
37 → abc=37(4k)+k
abc=149k
1; 2; 3; 4; 5; 6
6 valores
II. (F)
(a+x)(b – x)=ab; a; b ∈ N
ab ax bx x ab− + − =2
(b – a)x=x2

x(x – (b – a))=0
→ x=0 ∨ x=b – a
x no necesariamente es 0.
III. (V)
D=dc+r con 0 ≤ r < c y c > 1

{x ∈ Z/ D+x=(d+x)c+r}
D+x=dc+xc+r}
D+x=dc+r+ xc}
D
→ x=x · c → x(c –1)=0
Como c > 1, entonces x=0
Entonces el conjunto
{x ∈ Z/ D+x=(d+x)c+r}={0} es unitario.
Respuesta
FFV
Alternativa C
PREGUNTA N.º 2
¿Qué cantidad de desinfectante (en litros)
al 80% se debe mezclar con 80 litros del
mismo desinfectante al 50% para obtener un
desinfectante al 60%?
Indique además el porcentaje de desinfectante al
50% en la solución final.
A) 40 y 33,33%
B) 40 y 66,67%
C) 60 y 33,33%
D) 60 y 66,67%
E) 66,67 y 60%

2
unI 2011 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Resolución
Tema: Regla de mezcla
Del enunciado, tenemos que
n
n+80
80% 50%
60%
80
pierde
20%
gana
10%
Volumen del desinfectante al 80%
Se sabe que
(ganancia aparente)=(pérdida aparente)
10% · 80=20%n
n=40
Por lo tanto, el volumen de desinfectante al 80%
es 40 litros.
Además, debemos calcular el tanto por ciento de
desinfectante al 50% en la solución final. Para
ello, debemos realizar lo siguiente.
x%
volumendel desinfectanteal 50%
volumendel desinfectanteal 0
=
6 %%
%



×100
Reemplazando los valores, tenemos

x
n
% %=
+



 ×
80
80
100

x% %=
+



 ×
80
40 80
100
x%=66,67%
Por lo tanto, el tanto por ciento del desinfectante
al 50% en la solución final es 66,67%.
Respuesta
40 y 66,67%
Alternativa B
PREGUNTA N.º 3
Un empresario firma una letra por S/.48 000 a ser
pagada en 8 meses al 7% de descuento anual.
Luego de transcurridos 3 meses decide cancelar
la letra, pues debe viajar para radicar en Australia.
Calcule la diferencia entre la cantidad que recibió
y canceló el empresario en nuevos soles, sabiendo
que el acreedor cede un bono del 0,2% sobre el
valor nominal, si se cancela.
A) 740
B) 742
C) 744
D) 746
E) 748
Resolución
Tema: Regla de descuento
Para el cálculo del valor actual (Va) en el descuento
comercial, debemos tener en cuenta lo siguiente.
Va Vn
t
Dc
Dc=Vn · r% t Va=Vn – Dc

3
unI 2011 -IISolucionario de Matemática
Realizamos un diagrama de tiempo.
Va1
Va2
Vn=S/.48000
cantidad que
recibió
3 meses 5 meses
D1
D2
cantidad que debía
cancelar sin bono
• Va
1
=48 000 – 48 000×
7
12
8 45 760
%
× = S/.
• Va
2
=48 000 – 48 000×
7
12
5 46 600
%
× = S/.
• Bono=0,2%(48 000)=S/.96
La cantidad que se canceló con el bono es
S/.46 600 – S/.96=S/.46 504
Finalmente, la diferencia entre la cantidad que
recibió y canceló el empresario es

S/.4 S/.4 S/.744
lo que
canceló
lo que
recibió
6 504 5 760− =
Respuesta
744
Alternativa C
PREGUNTA N.º 4
Sean A=1a14, B=1101a y C=1a24a5.
Determine la suma en cifras de C en base decimal,
si C=A×B.
A) 7 B) 9 C) 11
D) 13 E) 15
Resolución
Tema: Numeración
• Recordemos que en un numeral las cifras son
menores que la base.
• Para expresar un número de una base distinta
de 10 a base 10 se emplea la descomposición
polinómica.
Ejemplo
2357=2×72
+3×71
+5=124
∴ 2357=124
Se tienen los numerales
A=1a14; B=1101a; C=1a24a5
Se observa que
1 < a < 4
→ a=2 ∨ a=3
A=1a14 B=1101a C=1a24a5
a=2 1214=25 11012=13 122425=947
a=3 1314=29 11013=37 132435=1073
Como
C = A × B
↓ ↓ ↓
947=25×13
1073=29×37
∴ C=1073
Entonces la suma de cifras de C es 11.
Respuesta
11
Alternativa C

4
PREGUNTA N.º 5
El número N=3b
· 5a
(con a ≥ 1) tiene tres
divisores más que M=2a
· 53
. Determine la suma
de las inversas de los divisores de M.
A) 1,564
B) 1,852
C) 2,184
D) 1,248
E) 1,384
Resolución
Tema: Estudio de los divisores
N=3b
×5a
→ CD(N)=(b+1)(a+1)
M=2a
×53
→ CD(M)=(a+1)×4
Dato
CD(N) – CD(M)=3
(a+1)(b+1) – (a+1)4=3
a b+( ) −( ) =1 3 3
3 1
; como a ≥ 1
→ a=2; b=4
Luego
M=22
×53

SID( )M =
+ +( ) + + +( )
=
1 2 4 1 5 25 125
2 5
2 1842 3
·
,
Respuesta
2,184
Alternativa C
PREGUNTA N.º 6
Determine la cantidad de fracciones propias e
irreductibles que están comprendidas entre 9/33
y 45/47 tales que la suma de sus términos sea 90.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Resolución
Tema: Fracciones
Sabemos que
•
N
D
fracción propia → N < D
•
N
D
fracción irreductible → N y D son PESI
• Si N y D son PESI → N y N+D son PESI
Sea
N
D
fracción propia e irreductible, además,
N+D=90
Por condición del problema
9
33
45
47
< <
N
D

N D N
N
y son PESI y 90 son PESI
diferente de 2; 3 y 5
o o o
→
→








N+D

3
11 90
45
47
<
−
<
N
N
( )II
; D=90 – N

(I)
De (I) se tiene 19, 28... < N
De (II) se tiene N < 44, 02...
Luego
19, 28... < N < 44, 02...; pero N y≠ 2 3 5
o o o
; .
Entonces los valores de N son:
23; 29; 31; 37; 41; 43.
Por lo tanto, existen 6 fracciones.

5
Respuesta
6
Alternativa D
PREGUNTA N.º 7
Sea 2 · ab+6 · ab+12 · ab+20 · ab+...+72 · ab un
número natural, cuya cantidad de divisores es
impar. ¿Cuántos valores puede tomar ab?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
Tema: Potenciación
Recuerde que
• 1×2+2×3+3×4+...+
+n×(n+1)=
n n n+( ) +( )1 2
3
• La cantidad de divisores de un número na-
tural es impar si y solo si dicho número es un
cuadrado perfecto.
• Si un número natural es potencia perfecta
de grado 2, entonces todos los exponentes de
los factores primos en su descomposición
canónica son 2
º
.
Sea
A=2×ab+6×ab+12×ab+20×ab+...+
+72×ab
donde A ∈N ∧ CD (A) es impar.
Entonces
A=ab×[1×2+2×3+3×4+4×5+...+8×9]=K2

K ab2 8 9 10
3
=
× ×
×
K2
=24
×3×5×ab → ab
3×5
3×5×22
∴ ab=15 ∧ ab=60
Entonces existen dos valores para ab.
Respuesta
2
Alternativa B
PREGUNTA N.º 8
El mínimo común múltiplo de dos números distin-
tos es al máximo común divisor de ellos como 35
es a 1. Si el número mayor es 3017, determine la
suma de las cifras del número menor.
A) 12 B) 13 C) 14
D) 5 E) 16
Resolución
Tema: MCD - MCM
Sean A y B los números donde A > B.
Además, MCD(A; B)=d.
Por propiedad se sabe que

A=d · p
B=d · q
p y q son PESI
Luego
MCM(A; B)=d · p · q
Ahora según la condición del problema se
tiene que

MCM( ; )
MCD( ; )
A B
A B
=
35
1

6
Reemplazando tenemos

d p q
d
· ·
=
35
1
(simplificando)
→ p · q=7×5 ( p > q pues A > B)
Luego
(p=7 ∧ q=5) ∨ ( p=35 ∧ q=1)
Además, se sabe que el mayor de los números
es 3017 (A=3017 → p ≠ 35).
Entonces
A=d · 7=3017 → d=431
B=d · 5=2155
↓
431
Por lo tanto, la suma de cifras del menor número
(B) es 13.
Respuesta
13
Alternativa B
PREGUNTA N.º 9
Sean los conjuntos
A x x x M= ∈ − ≤{ }R
B x x x M= ∈ + ≤{ }R
Entonces los valores de M tales que
A ∩ B ≠ φ son:
A) M ∈ {0}
B) M ∈ −




1
2
1
2
;
C) M ∈ [–1; 1]
D) M ∈ [0; ∞〉
E) M ∉ 〈– ∞; ∞〉
Resolución
Tema: Inecuaciones con valor absoluto
Sabemos que
• Si b ≥ 0: |a| ≤ b → a ∈ [– b; b].
• Si b < 0: |a| ≤ b → a no toma ningún valor
en R.
Dados
A x x x M= ∈ − ≤{ }R
B x x x M= ∈ + ≤{ }R
Tenemos que
• ∀ M ≥ 0: x=0 ∈ A ∩ B
→ A ∩ B ≠ φ
• ∀ M < 0: A=φ ∧ B=φ
→ A ∩ B=φ
Luego
A ∩ B ≠ φ ↔ M ≥ 0
↔ M ∈ [0; ∞〉
Respuesta
M ∈ [0; ∞〉
Alternativa D
PREGUNTA N.º 10
Dadas las siguientes proposiciones:
I. “Si existe n ∈ N tal que n2
 < 0, entonces
existe n ∈ N tal que n – 3=0”.
II. “Si para todo x ∈ R se tiene x2
 ≥ 0, entonces
existe x ∈ 〈–1; 1〉 tal que ex
 < 0”.
III. “Si existe n ∈ N tal que n2
 < 0, entonces
existe x ∈ R tal que ex
 < 0”.
Indique la secuencia correcta después de deter-
minar si es verdadera (V) o falsa (F).
A) VVV B) VFV C) FVV
D) VVF E) FFF

7
Resolución
Tema: Lógica proposicional
La tabla de verdad del operador condicional es
la siguiente.
p q p → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
I. Si
existe
tal que
n
n
∈
<






N
2
0
, entonces
existe
tal que
n
n
∈
− =










N
3 0

F → V

V
II. Si
para todo
se tiene 2
x
x
∈
≥










R
0
, entonces
existe
tal que
x
ex
∈ −
<










1 1
0
;

V → F

F
III. Si
existe
tal que
n
n
∈
<






N
2
0
, entonces
existe
tal que
x
ex
∈
<






R
0

F → F

V
Por lo tanto, la secuencia correcta es VFV.
Respuesta
VFV
Alternativa B
PREGUNTA N.º 11
Halle el conjunto solución del sistema de inecua-
ciones:
1 2 1 0+ + ≥ − ≥x x x
A) [0, +∞〉
B) 〈0, +∞〉
C) 〈0, 1〉
D) [0, 1]
E) [1, +∞〉
Resolución
Tema: Inecuación irracional
1.º Hallaremos el conjunto de valores admisibles
(CVA).
2.º Efectuaremos operaciones para eliminar
radicales.
Piden resolver
1 2 1 0+ + ≥ − ≥x x x
• Hallando el CVA: x ≥ 0 → CVA=R+
0
• La inecuación se puede escribir de la siguiente
manera.
1 2 1 1 0+ + ≥ − ∧ − ≥x x x x
Completando cuadrados
1 2 1 1 12 2
+ + ⋅ ≥ − ∧ ≥x x x x
1 1 1
2
+( ) ≥ − ∧ ≥x x x
1 1 1+ ≥ − ∧ ≤x x x
→ 2 0 1x x≥ ∧ ≤
→ x ≥ 0 ∧ x ≤ 1

8
Entonces intersectando
0 1
Respuesta
[0, 1]
Alternativa D
PREGUNTA N.º 12
Sean las funciones
f x xx( ) = − − −8 644 2
g(x)=(x3
)sgn(x),
donde sgn es la función signo.
Luego, el número de elementos de {(x, f(g(x)))} es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolución
Tema: Composición de funciones
• Dominio y rango de una función
• Funciones notables
• Composición de funciones
Nos piden el número de elementos de {x; f(g(x))}.
Para eso, analizaremos cada una de las funciones
f y g.
Veamos
• f x xx( ) = − − −8 644 2
Determinamos su dominio: Domf=CVA
|x| – 8 ≥ 0 ∧ 64 – x2
 ≥ 0
↔ |x| ≥  8 ∧ 64  ≥ x2
↔ (x ≥ 8 ∨ x ≤ – 8) ∧ (– 8 ≤ x ≤ 8)
↔ x=8; – 8
Entonces la función f={(8; 0), (– 8; 0)}
• g(x)=x3
· sgn(x)
Entonces

g(x)=
x3
; x > 0
0 ; x=0
– x3
; x < 0
Ahora veamos la composición (f o g).
1.º D(f o g)={x / x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df}
={x / x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ {8; – 8}}
→ D(f o g)={x / x ∈ R+
∧ x3
 ∈ {8; – 8}} ∨
{2}

{x / x ∈ R–
∧ – x3
 ∈ {8; – 8}} ∨
{–2}
{x / x =0 ∧ 0 ∈ {8; – 8}}
φ
→ D(f o g)={2; – 2}
2.º Hallamos
(f o g)(x)=f(g(x)); ∀ x ∈ D(f o g)
x=2: (f o g)(2)=f(g(2))=f(8)=0
x=– 2: (f o g)(– 2)=f(g(– 2))=f(8)=0
∴ (f o g)={(2; 0), (– 2; 0)}
Respuesta
2
Alternativa C

9
PREGUNTA N.º 13
Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales
cuya gráfica se muestra a continuación:

X
Y
Indique la sucesión correcta después de verificar
la veracidad o falsedad de las siguientes
proposiciones:
I. p(x) tiene grado 3.
II. p(x) tiene solo 2 raíces complejas.
III. Existe c ∈ R tal que p(x+c) no tiene raíces
complejas.
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) FFV
E) FFF
Resolución
Tema: Funciones polinomiales
1.a
Gráfica de una función polinomial
2.a
Propiedades de traslado de gráfica
Consideremos la siguiente función polinomial.
p(x)=x5
– x4
+2x3
+x2
– x+2
Si procedemos a factorizar en los reales, tenemos
p(x)=(x3
+1)(x2
– x+2)
Al graficarlo se obtiene
0 1 X
Y
–1
–1
1
2
3
4
Por lo que podemos concluir que
• x3
+1 tiene raíz real negativa x=–1 y 2 raíces
complejas imaginarias.
• x2
– x+2 tiene 2 raíces complejas imaginarias.
Luego
Podemos afirmar que las proposiciones I y II
son falsas.
Ahora recordemos que p(x+c) es un desplaza-
miento de la gráfica en el eje X, por lo que no se
altera el número de raíces reales.
Entonces la proposición III es falsa.
Respuesta
FFF
Alternativa E
PREGUNTA N.º 14
Al dividir un polinomio p(x) entre x4
– 1 se obtuvo
como residuo: 3x3
+nx2
+mx – 2; si además se
sabe que el resto de dividir p(x) entre (x2
– 1) es
5x – 4, entonces el valor de mn
es:
A) – 4 B) – 2 C)
1
2
D)
1
4
E) 4

10
Resolución
Tema: División polinomial
Dada la división
D
d
x
x
( )
( )
siendo D(x); d(x) polinomios
no nulos, tal que o
[D(x)] ≥ o
[d(x)] se tiene que
D(x)=d(x) · q(x)+R(x) identidad fundamental
donde: q(x) y R(x) son polinomios.
Por dato
• p(x)=(x4
– 1)q(x)+3x3
+nx2
+6mx – 2 (I)
• p(x)=(x2
– 1)Q(x)+5x – 4 (II)
De (II) tenemos p(1)=1 ∧ p(– 1)=– 9.
Reemplazando en (I)
p(1)=3+n+m – 2=1 → n+m=0
p(– 1)=– 3+n – m – 2=– 9 → n – m=– 4
n= – 2 ∧ m=2 →
∴ mn
= =−
2
1
4
2
Respuesta
1
4
Alternativa D
PREGUNTA N.º 15
Halle el valor de x en la siguiente ecuación:
logxlogx
– logx – 6=0
Dé como respuesta la suma de las soluciones.
A) 10,01
B) 99,99
C) 100,01
D) 999,99
E) 1 000,01
Resolución
Tema: Logaritmos
Regla del sombrero

Siendo a; b positivos,
se tiene logabn
=n · logab
con a ≠ 1; n ∈ R
logxlogx
– logx – 6=0
→ (logx) · (logx) – logx – 6=0

(logx)2
– logx – 6=0
logx – 3
+2logx
→ (logx – 3) · (logx+2)=0
→ logx=3 ∨ logx=– 2
→ = ∨ = −
x x10 103 2
estos valores garantizan la
existencia del logaaritmo
Por lo tanto, la suma de soluciones=103
+10 – 2
=1000,01
Respuesta
1000,01
Alternativa E
PREGUNTA N.º 16
Halle el valor de
M
e e e
=
+ ( )
+
+ ( )
+
+ ( )
+
( )
−
1
1 10
1
1 30
1
1 3
1
1
3 3log log logLn
donde “e” es la base de logaritmo neperiano.
A)
log 3
10
( )
B)
Ln 3
10
( )
C)
Ln 3
3
( )
D) Ln(3) E) 1

11
Resolución
Tema: Logaritmos
1. log e x=Lnx; x > 0
2.
1
log
log
b
a
a
b= ; a, b > 0; b ≠ 1; a ≠ 1
3. 1=logbb; b > 0 ∧ b ≠ 1
M
e ee e
=
+ ( )
+
+
+
1
3 10
1
303 3log log log log

+
+ ( )
+ −
1
10 3
1
1
3log log loge e
La suma de logaritmos en la misma base es
logaritmo del producto.
M
e e e ee
= + + + −
1
30
1
30
1
30
1
1
3 3log log log log
M ee e e e= + + + −log log log log30 30 303 10 3 1
M ee= + −log30 30 3 1Ln
M = + − =1 3 1 3Ln Ln
Respuesta
Ln(3)
Alternativa D
PREGUNTA N.º 17
Considere la matriz A
k
k
k k
=










1 4
1 4
1
Determine el conjunto de valores de k para que
A sea invertible.
A) k ∈ R{0} B) k ∈ R C) k ∈ R{4}
D) k = – 4 E) k=0
Resolución
Tema: Matrices - determinantes
1.º Para que una matriz cuadrada A sea inver-
tible, |A| ≠ 0.
2.º Aplicamos operaciones con filas.
Piden el conjunto de valores para que la matriz
A
k
k
k k
=










1 4
1 4
1
sea invertible.
Entonces |A| ≠ 0.
Aplicando propiedades

A
k
k
k k
F F
F F
=
−
−
1 4
1 4
1
2 1
3 2

A
k
k k
k
= − −
−
1 4
4
0 4
0 4
0
|A|=(k – 4)2
 ≠ 0 → k ≠ 4
∴ k ∈ R – {4}
Respuesta
k ∈ R{4}
Alternativa C
PREGUNTA N.º 18
Al resolver el sistema
z i
y
− =
− =




3 2
12
x
donde z=x+iy
es un número complejo; la suma de las ordenadas
de los puntos solución es:
A) 9 B) 8 C) 7
D) 6 E) 5

12
Resolución
Tema: Sistema de ecuaciones en C
Para dar respuesta a este problema, debemos
recordar el módulo de un complejo y relacionarlo
con la ecuación de una circunferencia, finalmente
resolveremos una ecuación cuadrática.
Dado el sistema

z i
y x
− =
−




3 2 (I)
=1 (II)2
La ecuación (I) representa una circunferencia con
centro en (0; 3) y radio r=2.
Como z=x+yi <> (x; y), la ecuación equivalente
a I es x2
+(y – 3)2
=22
(III)
De (II) obtenemos x2
=y – 1, reemplazamos en (III)
y obtenemos y – 1+(y – 3)2
=4.
→ y2
– 5y+4=0 → (y – 1)(y – 4)=0
→ y1=1 ∨ y2=4, reemplazando II
Luego

CS ( ; ), ; , ;= ( ) −( ){ }0 1 3 4 3 4
Piden 1+4+4=9
Respuesta
9
Alternativa A
PREGUNTA N.º 19
Sea
S={(x,y)/a1x+b1y ≤ C1, a2x+b2y ≤ C2, x ≥ 0,
y ≥ 0}
La región admisible de un problema de progra-
mación lineal.
Indique la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si se modifica S, obteniéndose
S1={(x, y)/a1x+b1y ≤ C1, a2x+b2y ≤ C2,
a3x+b3y ≤ C3, x ≥ 0, y ≥ 0}, la solución no
cambia, en un problema de maximización.
II. Si f(x,y) es la función objetivo, y (x0, y0) es la
solución en S1 entonces, en un problema de
minimización se tendrá f(x0, y0) ≤ f(x1, y1).
III. En general S1, la nueva región admisible,
puede o no variar en relación a S.
A) FFV B) FVV C) FFF
D) VVF E) VFV
Resolución
Tema: Programación lineal
Condición de mínimo en un problema de
programación lineal f(x0; y0) es el mínimo
∀(x; y) ∈ S
↔ f(x0; y0) ≤ f(x; y) ∀(x; y) ∈ S
I. Al aumentar una condición más
(a3x+b3y ≤ C3) se obtendrá un subconjunto
S1 de S; por lo tanto, los vértices (puntos
extremos) pueden ser otros y cambiar la
solución.
Veamos un contraejemplo.

SS
Y
X
(0; 3)
(2; 2)
(3; 0)
máxf(x; y)
=x+y
La solución es (2; 2)

S1S1
Y
X
(0; 2)
(2; 0)
máxf(x; y)
=x+y
A
B

13
La solución es cualquier punto de la recta AB.
Por lo tanto, la proposición I es falsa.
II. Como S1 ⊆ S y f(x0; y0) ≤ f(x; y) ∀(x; y) ∈ S
porque estamos minimizando, entonces un
caso particular es (x; y)=(x1; y1) ∈ S1 ⊆ S.
→ f fx y x y0 0 1 1; ;( ) ( )≤
Por lo tanto, la proposición II es verdadera.
III. S1 en relación a S sí puede variar como el
ejemplo de la proposición I.
Por lo tanto, la proposición III es verdadera.
Respuesta
FVV
Alternativa B
PREGUNTA N.º 20
Sea una sucesión de rectángulos R1, R2, ..., Rk,
donde el k-ésimo rectángulo tiene lado
1 1
3k k
y
+
;
entonces, la suma de las áreas de todos los
rectángulos es igual a:
A) 1 B)
11
18
C)
7
6
D)
1
3
E)
1
6
Resolución
Tema: Series
Para resolver este problema haremos uso de
algunas propiedades de sumatorias, en particular
de la propiedad telescópica.

f f f fk k
k
n
n( ) +( )
=
( ) +( )−( ) = −∑ 1
1
1 1
Finalmente, aplicaremos límites cuando n
tiende al infinito y obtendremos el resultado
requerido.
Sea {Rk} la sucesión de rectángulos, tal que el
k-ésimo rectángulo tiene de lados
1 1
3k k
y
+
.
Luego, A
k k
k =
+( )
1
3
representa el área de este
k-ésimo rectángulo.
Luego, debemos calcular Ak
k=
∑
1
∞
, así
A
k k
k
k k= =
∑ ∑=
+( )




1 1
1
3
∞ ∞

= −
+




=
∑
1
3
1 1
31 k kk
∞
= −
+
+
+
−
+
+
+
−
+




=
∑
1
3
1 1
1
1
1
1
2
1
2
1
31 k k k k k kk
∞
= −
+



 +
+
−
+



 +



 ==
∑∑
1
3
1 1
1
1
1
1
211 k k k kkk
∞∞

+
+
−
+







=
∑
1
2
1
31 k kk
∞
= −
+



 +
+
−
+



 +



→+ ==
∑∑
1
3
1 1
1
1
1
1
211
l mí
n k
n
k
n
k k k k∞

+
+
−
+







=
∑
1
2
1
31 k kk
n
Usamos la propiedad telescópica y obtenemos
A
n nk
nk
= −
+
+ −
+




+
→+∞=
∞
∑
1
3
1
1
1
1
2
1
2
0 0
1
lím

+ −
+




1
3
1
3
0
n
Ak
k
= + +



 =
=
∑
1
3
1
1
2
1
3
11
181
∞
∴ Ak
k
=
=
∑
11
181
2
∞
u
Respuesta
11
18
Alternativa B

14
PREGUNTA N.º 21
En un cono circular recto la generatriz mide 12 cm
y una cuerda de la circunferencia de la base
mide 16 cm. Si la distancia del centro de dicha
circunferencia a la cuerda es 4 cm, entonces el
volumen del cono (en cm3
) es:
A)
640
3
π
B)
641
3
π
C)
642
3
π
D)
643
3
π
E)
644
3
π
Resolución
Tema: Cono de revolución
Se pide el volumen del cono V.
A
M4
8
8
BB
V
54
O
r
12 12h
• Se sabe que V =
πr h2
3
(I)
• Al trazar OM AB MB MA⊥ → = = 8
OMB: OB = 4 5
• En el VOB: h2 2 2
4 5 12+ ( ) =
→ h=8
Reemplazando en (I)

V =
( ) ×π 4 5 8
3
2

V =
640
3
π
Respuesta
640
3
π
Alternativa A
PREGUNTA N.º 22
Considere dos esferas tangentes exteriormente,
cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectivamente.
Calcule el volumen (en cm3
) del cono circular
recto circunscrito a las dos esferas.
A) 80π
B) 81π
C) 82π
D) 83π
E) 84π
Resolución
Tema: Esfera
R
h
Vcono =
πR h2
3

15
Nos piden Vcono.
A
r
1
2
30º
30º
M
N
O1
O2
2
3
3
1
V
R
T
H
33
Datos: Las esferas tangentes exteriores están
inscritas en el cono de revolución.
Además, r=1 y R=3
Se observa que
O1O2H: Not. de 30º y 60º
m HO1O2=30º
Como O H VM1 // , entonces
m TVA=30º
En VTA: TA = 3 3

Vcono =
( ) ×π 3 3 9
3
2
Vcono=81π
Respuesta
81π
Alternativa B
PREGUNTA N.º 23
En una pirámide regular de base cuadrangular, el
punto medio de la altura dista de una cara lateral
y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente.
Calcule la altura (en u) de la pirámide.
A) 6 2
B) 12 2
C) 18 2
D) 24 2
E) 34 2
Resolución
Tema: Sólidos geométricos (pirámide)
• En todo triángulo rectángulo
a
h
b
1 1 1
2 2 2
h a b
= +
Piden OP.
OP=2h
2m
mm FF
66
hh
88
BB
GG
hh
OO 2m2m M
C
DA
E
P
22
2m2m

16
Como O: Centro del cuadrado ABCD
→ = ( )OA OM2
• Se traza
GE // AO y GF // OM
Por teoría de la base media
AO=2(EG)
OM=2(GF)
• Por relaciones métricas
EGP:
1
8
1 1
2
2 2 2
= +
( )h m
FGP:
1
6
1 1
2 2 2
= +
h m
• Luego

1
64
1 1
22 2
= +
h m
(I)

1
36
1 1
2 2
= +
h m
(II)
• Operando las expresiones (I) y (II)
h = 12 2
∴ =OP 24 2
Respuesta
24 2
Alternativa D
PREGUNTA N.º 24
En la figura, C1 es un cilindro circular recto de
radio R y altura h. Si en C1 se inscribe un prisma
regular cuadrangular y luego en este prisma se
inscribe un cilindro circular recto C2 y así se repite
el proceso obteniendo los cilindros C3, C4, C5, ...
Si el cilindro C21 es tal que su área total es 3
veces su área lateral, entonces el área lateral
de C1 es:
C2
C1
...
A)
πR2
40
2( )
B)
πR2
30
2( )
C)
πR2
20
2( )
D)
πR2
15
2( )
E)
πR2
10
2( )
Resolución
Tema: Cilindro
Área de la superficie del cilindro
h
Área total
AST=2πR2
+2πRh

17
Área de la superficie lateral
ASL=2πRh
Nos piden ASL de C1.

C2
C1h
...
R
Dato: En el cilindro 21 se tiene
AT(C21)=3ASL(C21)
Sea R21 el radio de la base del cilindro 21.
Entonces en el dato tenemos
2π(R21)2
+2π(R21)h=3(2π(R21)h)
R21=2h
h
R
= 21
2
(I)
Luego
ASL(C1)=2πRh (II)
Reemplazando (I) en (II) tenemos
ASL(C1)=pR(R21) (III)
Hallando R21 en función de R tenemos lo si-
guiente.
Analizamos las bases.
C1
C2
C3
R1=R
2R
R2R
2
R4=
2R
2
R3=R/2R3=R/2
R2=R2=
22RR
22
Del gráfico se observa que
C1 → R1=R
C2 → R2=
R 2
2
C3 → R3=
R
2
C4 → R4=
R 2
4
C5 → R5=
R
4
 
Por inducción se tiene que

C R
R R
21 21 101024 2
→ = =
→ R
R
21 10
2
= (IV)
Reemplazando (IV) en (III) se tiene que

ASL C R
R
1
210( ) =



π
∴ ( ) =
( )
ASL C
R
1
2
20
2
π

18
Respuesta
πR2
20
2( )
Alternativa C
PREGUNTA N.º 25
En la figura ABCDEF.... es un polígono regular
cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm).
A
B
C D
E
F
P
A) 4 3 B) 2 13 C) 3 6
D) 6 2 E) 4 6
Resolución
Tema: Polígonos regulares
Recuerde que
A
B
C
D
E
F
G
β
β
β
β
β
θ
θ
θ
θ
θ
θ
ABCDEFG...: polígono regular
m m mAB BC CD  = = = ...
Piden PF.
• Del gráfico m m mBC CD DE  = = = α
• BCE
α
α
+ =
2
90º → a=60º
A
B
C D
E
F
P
2 3
2 3
α
α
α α/2
α
α
22
22
22
22
60º60º
30º
30º30º
• m  CEF=90º y del PEF
PF( ) = + ( )2 2 2
2 4 3
∴ PF = 2 13
Respuesta
2 13
Alternativa B
PREGUNTA N.º 26
Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O’,
respectivamente, son tangentes exteriormente
en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P
y desde O’ se traza una tangente a C1 en Q (OP
no se interseca con O’Q). Si se tiene que PQ se
interseca con OO’ en T, entonces la relación de
los radios de dichas circunferencias es:
A)
1
3
B)
1
2
C) 1
D) 2 E) 3

19
Resolución
Tema: Circunferencia
Circunferencias tangentes exteriores
P
Q
r R
T
Se cumple que
m mQT TP =
Piden
r
R
P
Q
r
r R
R
O'O
T
θθ
θθ α
Debido a la propiedad m mQT TP = , tenemos
m PQO’=mQPO=q
En P, a+q=90º
→ mQO’P=90º
Luego, OPO’Q es un rectángulo
→ r=R

r
R
= 1
Respuesta
1
Alternativa C
PREGUNTA N.º 27
En un rectángulo ABCD, M y N son puntos
medios de los lados BC y CD, respectivamente,
tales que AM = 2 2 cm y BN = 17 cm. Si P
es el punto de intersección de los segmentos
AM y BN, entonces el valor de PM+PN en
cm es:
A)
2 2 17
5
+
B)
2 2 2 17
5
+
C)
3 2 17
5
+
D)
2 2 3 17
5
+
E)
3 2 3 17
5
+
Resolución
Tema: Semejanza de triángulos
2a
a
2a
2b
2b
b
M
Q
C
D
NN
PP
B
4m4m
m
3x3x
2x2x
bb
RA
a
Nos piden
PM+PN
Datos
AM BN= =2 2 17;

20
Se observa que T BPM y T RPA son semejantes,
entonces
PM=m; AP=4m
Pero
AM = 2 2

m m m+ = → =4 2 2
2 2
5
También T BPA y T NPQ son semejantes, entonces
BP=2x; PN=3x
Pero
BN = 17

2 3 17
17
5
x x x+ = → =
Luego

PN =
3 17
5
∴ PM PN+ =
+2 2 3 17
5
Respuesta
2 2 3 17
5
+
Alternativa D
PREGUNTA N.º 28
En una circunferencia de 10 cm de radio, dos
cuerdas se cortan de manera que el producto de
los segmentos que cada una determina sobre sí es
1296 cm4
. Determine a qué distancia (en cm) del
centro se halla el punto de intersección.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
Resolución
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Recordemos el teorema de las cuerdas en la
circunferencia.

ab=cd
a
c
d
b
Dato
abcd=1296 y R=10
d
a
R
R
O
x
b
c
(R–x)
Nos piden x.
Por teorema de las cuerdas tenemos
(R+x)(R – x)=ac (I)
También ac=bd
En el dato
(ac)(bd)=1296
→ (ac)2
=1296
Luego
ac=36 y R=10
En (I) tenemos
(10+x)(10 – x)=36
Resolviendo x=8.

21
Respuesta
8
Alternativa D
PREGUNTA N.º 29
Los diámetros AB y CD de una circunferencia son
perpendiculares. Si E BD∈ , AE interseca a CD
en el punto F y FD=1 cm, entonces la longitud
de la circunferencia circunscrita al triángulo FED
(en cm) es:
A) π 2
B) 2 2π
C) 2 3π
D) 3 2π
E) 3 3π
Resolución
Tema: Circunferencia y figuras circunscritas
Se sabe que la longitud de una circunferencia de
radio R es igual a 2pR.
Nos piden la longitud de la circunferencia
circunscrita al FED=2pR.
Datos:
A B
C
D
E
F
1
R
RR
O
45º
90º
90º
45º
Sea R la longitud del radio de la circunferencia
circunscrita y DF=1 cm.
Por teorema del  inscrito:
m AED=45º
→ mDF = 90º
En el DOF: notable 45º, R =
2
2
Luego la longitud de la circunferencia es igual a
2
2
2
π




π 2
Respuesta
π 2
Alternativa A
PREGUNTA N.º 30
El volumen y el área lateral de un prisma recto de
base triangular son 50 m3
y 200 m2
, respectiva-
mente. Calcule el radio (en m) de la circunferencia
inscrita en la base del prisma.
A) 0,25
B) 0,5
C) 1
D) 2
E) 3
Resolución
Tema: Prisma recto
Se sabe que
A =pr
A
B Ca
bc
rr
donde

p
a b c
=
+ +
2

22
Datos:
V=50 m2
ASL=200 m2
AA
B C
rr
Se pide r
Del primer dato
(pr)h=50 m2
(I)
Del segundo dato
2ph=200 m2
(II)
Del (I)÷(II)
r=0,5
Respuesta
0,5
Alternativa B
PREGUNTA N.º 31
En un triángulo ABC en el espacio, la altura relati-
va a AC es 5 3 cm. Sus vértices A y C están en un
plano horizontal P y el vértice B es exterior a P de
modo que el diedro B-AC-B’ (B’ es la proyección
de B sobre P) mide 37º. Si AB’=10 cm, entonces
la longitud de AB (en cm) es:
A) 10
B) 10,6
C) 127
D) 5 6
E) 6 5
Resolución
Tema: Geometría del espacio (ángulo diedro)
Cuando se pide calcular la medida de un ángulo
diedro, recuerde que podemos utilizar el teorema
de las tres rectas perpendiculares, y en el caso de
que dicha medida sea dato, también podemos
usar el teorema.
Piden AB.
AB=x
B
x
AA
CC
MM
B'B'
37º37º
1010
3355
33
• Al trazar B’M ⊥ AC por teorema de las tres
perpendiculares:
BM ⊥ AC
• Del dato:
mSBMB’=37º
• BB’M: notable de 37º y 53º
MB BB= → =5 3 3 3'
• Del AB’B:
x2 2 2
3 3 10= ( ) +
x = 127

23
Respuesta
127
Alternativa C
PREGUNTA N.º 32
Las diagonales de un trapecio dividen a
este en cuatro triángulos. Si las áreas de los
triángulos adyacentes a las bases son A1 y A2,
entonces el área total del trapecio en función
de A1 y A2 es:
A) A A A A1 2 1 2+ +
B) 2 1 2A A
C) A1A2
D) A A1 2
2
+( )
E) A A A A1 2 1 2+ −
Resolución
Tema: Área de regiones cuadrangulares
Recuerde que si BC // AD
A D
B C
BBAA
A=B
BB
CC
DD
AA
Se cumple que A×C= B×D
Nos piden A ABCD.
M O M
A1A1
A2A2
A D
B C
• Del gráfico
A ABO=A COD=M
• Entonces
A ABCD=A1+A2+2M (I)
• Luego
A1×A2=M×M
M A A= ×1 2 (II)
• Reemplazamos (II) en (I)
A ABCD=A A A A1 2 1 22+ + ×
A ABCD= A A1 2
2
+( )
Respuesta
A A1 2
2
+( )
Alternativa D

24
PREGUNTA N.º 33
En la figura, O es el centro del círculo trigonomé-
trico. Si OA=1 u y tan ,θ =
3
3
calcule el área de
la región sombreada (en u2
).
OO
θθ A
. A)
7
9
π
B)
5
6
π
C)
6
7
π
D)
7
8
π
E)
8
9
π
Resolución
Tema: Área del sector circular
De
rr
SS
S=πr2
Además
3a
a
2a
30º
30º30º
30º30º
30º30º
2r2r
11
r
r
Y
X
C2
C1
Del dato

tanθ =
3
3
→ θ=30º
Si r es el radio de C 2, según el gráfico se tiene
3r=1
→ r =
1
3
Por lo tanto
A somb.=AC1
– AC2

= ( ) −



π π1
1
3
2
2

=
8
9
π
Respuesta
8
9
π
Alternativa E

25
PREGUNTA N.º 34
En la circunferencia trigonométrica de la figura
mostrada, el arco θ
π
π∈
2
; , calcule el área de
la región sombreada. AM = θ
O
A
X
Y
M
θ
A)
1
2
1
2
−
−




cos
cos
θ
θ
B)
2
1
−
−




cos
cos
θ
θ
C)
1
2
2
1
−
−




cos
cos
θ
θ
D)
1
2
2
1
+
−




cos
cos
θ
θ
E)
1
2
1
2
−
+




cos
cos
θ
θ
Resolución
Tema: Circunferencia trigonométrica
Se pide Área ABC
Del gráfico
BHO ∼ CPO

−
=
−cosθ
1
1 h
h

1
1
− =cosθ
h
→ =
−
h
1
1 cosθ
Y
X
PP
45º45º
45º45º
hh
hh
1–h1–h A
B
C
M
OH
θ
–cosθ
1
A ABC=A AOB+A OCA
A ABC=
1 1
2
1
2
1
1
×
+ ×
−( )cosθ
= +
−




1
2
1
1
1 cosθ
=
−
−




1
2
2
1
cos
cos
θ
θ
Respuesta
1
2
2
1
−
−




cos
cos
θ
θ
Alternativa C
PREGUNTA N.º 35
Si tan tan ,
4
7
3
7
x
a
x
b



 =



 =y entonces al
simplificar
E a b x
x
= −( ) 


1
7
2 2
· tan( )· tan ; se obtiene:
A) a – b B) a2
– b2
C) a+b
D) ab E) a/b

26
Resolución
Tema: Identidades trigonométricas de arcos
compuestos
Se sabe que
tan
tan tan
tan ·tan
x y
x y
x y
+( ) =
+
−1
tan
tan tan
tan tan
x y
x y
x y
−( ) =
−
+1
Piden simplificar la expresión E.

E a b x
x
= −( ) ( ) 


1
7
2 2
tan ·tan
Dato:
tan
4
7
x
a



 = y tan
3
7
x
b



 =
Entonces

E a b
x x x x
= −( ) +



 −



1
4
7
3
7
4
7
3
7
2 2
·tan ·tan

E a b
a b
ab
a b
ab
= −( ) +
−




−
+



1
1 1
2 2
· ·

E a b
a b
a b
= −( ) −( )
−( )
1
1
2 2
2 2
2 2
·
Finalmente
E=a2
– b2
Respuesta
a2
– b2
Alternativa B
PREGUNTA N.º 36
Si x ∈ π
π
;
5
4
, determine el rango de la función
f x x x( ) = +1 2 sen ·cos
A) 0
2
2
;
B) 〈0; 1〉
C) 0 2;
D) 0 3;
E) 0 2 1; +
Resolución
Tema: Funciones trigonométricas
Piden el Ran(f ).

f x x xx( ) = + < <1 2
5
4
sen cos ; π
π
f x xx( ) = + −( )1 2 sen cos

f x xx( ) = − < <1 2 2 2
5
2
sen ; π
π
Analizamos en una C.T.
1
2x
2π
X
Y
5π/2
sen2x

27
Del gráfico
0 < sen2x < 1
0 > – sen2x > – 1
1 > 1 – sen2x > 0
1 > 1 2− sen x > 0
1 > f(x) > 0
Ran(f )=〈0; 1〉
Respuesta
〈0; 1〉
Alternativa B
PREGUNTA N.º 37
Para 0 < x < 1, resuelva la ecuación
arccot arctanx
x
=
−




1
1
A)
− +1 5
2
B)
− +1 4
2
C)
− +1 3
2
D)
− +1 2
2
E)
− +2 2
2
Resolución
Tema: Funciones trigonométricas inversas
• arccot( ) arctan ;x
x
x=



 >
1
0
• ax bx c x
b b ac
a
2
2
0
4
2
+ + = → =
− ± −
De la condición

arccot arctan ;x
x
x=
−



 < <
1
1
0 1

arctan arctan
1 1
1x x



 =
−





1 1
1x x
=
−

1 1
12
x x
=
−
x2
=1 – x
Resolviendo la ecuación cuadrática
∴ =
−
x
5 1
2
Respuesta
− +1 5
2
Alternativa A
PREGUNTA N.º 38
Sea 0
2
< <θ
π
tal que
log tan log tan log5 5 56
1
2
9θ θ( ) + +( ) =
Determine el valor de sec2
θ.
A) 24 12 3−
B) 22 12 3−
C) 20 12 3−
D) 18 12 3−
E) 12 12−

28
Resolución
Tema:Identidades trigonométricas fundamentales
• sec2
θ=1+tan2
θ
• logx A+logx B=logx(A · B)
• n · logx A=logx An

log tan log tan log5 5 56
1
2
9θ θ( ) + +( ) =

log tan tan log5 56 9θ θ( ) +( ) =
tan2
θ+6tanθ=3
tan2
θ+6tanθ – 3=0

tanθ =
− ± − ( ) −( )6 36 4 1 3
2
tanθ = − ±3 2 3
Como θ
π
∈ 0
2
; , entonces tanθ > 0.
tanθ = − +3 2 3
tan2
21 12 3θ = −
sec2
1 21 12 3θ − = −
sec2
22 12 3θ = −
Respuesta
22 12 3−
Alternativa B
PREGUNTA N.º 39
Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, 1,2;
2,3 y 3 son las longitudes de sus lados opuestos
a dichos ángulos respectivamente y sen A=L,
calcule el valor de la expresión siguiente:
D
A B A C B C
A B C
=
+( ) + +( ) + +( )
+ +
sen sen sen
cos cos cos53 42 35
A)
L
4
B)
L
6
C)
L
8
D)
L
10
E)
L
12
Resolución
Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos
Teorema de senos:
a
A
b
B
c
Csen sen sen
= =
Teorema de proyecciones
a=bcos C+ccos B
b=acos C+ccos A
c=acos B+bcos A
A
B
C
a
b
c
Se pide calcular

D
A B A C B C
A
C B A
=
+ + + + +
+
− − −
sen( ) sen( ) sen( )
cos
º º º180 180 180
53 42
  
ccos cosB C+ 35
D
C B A
A B C
=
+ +
+ +
sen sen sen
cos cos cos53 42 35
(α)
A
B
C
1,2
2,3
3

29
Por el teorema de senos tenemos

1 2 2 3 3,
sen
,
sen senA B C
= =
→
+ +
+ +
=
1 2 2 3 3 1 2, ,
sen sen sen
,
senA B C A
→
+ +
=
6 5 1 2,
sen sen sen
,
A B C L
→ + + =sen sen senA B C
L65
12
(I)
Por el teorema de proyección tenemos
1,2=3cos B+2,3cos C
3=1,2cos B+2,3cos A
2,3=3cos A+1,2cos C
Sumando las tres relaciones
6,5=5,3cos A+4,2cos B+3,5cosC
65=53cos A+42cos B+35cosC (II)
Al reemplazar (I) y (II) en (α) se tiene que

D
L
=
12
Respuesta
L
12
Alternativa E
PREGUNTA N.º 40
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo
centro está sobre la recta y+x=0. Además, pasa
por los puntos (3; 4) y 3 2 7;( )?
A) x2
+y2
=5
B) x2
+y2
=9
C) x2
+y2
=15
D) x2
+y2
=16
E) x2
+y2
=25
Resolución
Tema: Ecuación de la circunferencia
(h; k)
r
(x – h)2
+(y – k)2
=r 2
Ecuación de la circunferencia:
C : (x – h)2
+(y – k)2
=r 2
Por dato
I. (h; k) L: y+x=0 → k=– h
Por lo tanto
C : (x – h)2
+(y+h)2
=r 2
II. (3; 4) ∧ 3 2 7;( ) ∈ C entonces
(3 – h)2
+(4+h)2
=r 2
3 2 7
2 2 2
−( ) + +( ) =h h r
Igualando, tenemos que h=0, entonces k=0
Luego
C : x2
+y2
=r 2
Como (3; 4) ∈ C
→ 32
+42
=r 2
→ r 2
=25
∴ C : x2
+y2
=25
Respuesta
x2
+y2
=25
Alternativa E

Mat el ucracaclea3

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Mat el ucracaclea3

Similar a Mat el ucracaclea3 (20)

Más de Nklp Peláez

Más de Nklp Peláez (7)

Último

Último (20)

Mat el ucracaclea3