Tecnicas de conteo ejemplos y formulas. ♥Subido por Agente♥ (> " " <) ( ='o'= ) -(,,)-(,,)- visitame en: http://ceirlome.jimdo.com/ http://www.youtube.com/user/RaesahKhawala encuentra test en: http://www.daypo.com/autores.php?t=104255#tests

1. APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO
“La ciencia es la estética de la inteligencia”
Gastón Bachelard
“La ESTADÍSTICA es la estética de la naturaleza”
MOVE
Métodos de enumeración
Con la finalidad de especificar el total de resultados posibles de un espacio
muestral S de interés, especialmente en la construcción de funciones de
probabilidad de variable discreta, como la distribución binomial, expondremos
algunas técnicas de enumeración:
Principio de multiplicación
Si una operación se puede realizar a través de k fases sucesivas y cada fase
es realizable de ni maneras, entonces la operación global es realizable de
n1 × n2 × n3 × ... × n k maneras.
Ejemplo 1. Considérense los distintos itinerarios entre Medellín, Cartagena y
San Andrés, utilizando como medios de transporte avión, barco, carro y tren;
¿de cuántas maneras se puede realizar el tour completo Medellín –
Cartagena – San Andrés según las rutas y medios que muestra el siguiente
diagrama?
1

2. El itinerario Medellín Cartagena se puede efectuar de tres maneras, el
itinerario Cartagena San Andrés se puede realizar de dos maneras y el tour
completo Medellín, Cartagena San Andrés de 2 × 3 = 6 maneras.
Principio de adición.
Si una operación global se puede realizar a través de k fases excluyentes y
cada fase se puede realizar de ni maneras, entonces la operación global se
k
puede realizar de n1 + n 2 + n3 + ... + n k = ni maneras.
i
Observe que: La sumatoria es un operador que goza de las siguientes
propiedades:
1 n n n
a) x i = x1 b) xi = xj = xk , el
i =1 i =1 j =1 k =1
subíndice es una variable muda.
c)
n
(k + k + k + ... + k ) = k = nk o sea la suma de una constante, n veces
i =1
d) Propiedad asociativa generalizada
2k k 2k
xi = xi + xi
i =1 i =1 i = k +1
e) Propiedad telescópica
n
(a i − a i −1 ) = an − ao
1
f) Propiedad de operador lineal
n n n
(a x k + b y k ) = a xk + b yk a y b constantes.
1 1 1
Estas propiedades son importantes para la operación de variables aleatorias
discretas y valores esperados.
2

3. Ejemplo 2. Considérese el número de maneras para temperar en clima frío
en Pasto, Bogotá o Manizales, o en clima cálido en Barranquilla, Cartagena,
Tolú o Riohacha. ¿De cuántas maneras se puede temperar según el
diagrama siguiente?
Veamos:
Se puede temperar frío de 3 maneras y cálido de 4 maneras para un total de
3 + 4 = 7 maneras.
Principio de permutación.
Definimos el número de permutaciones de n objetos como el total de
maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a
1 × 2 × 3 × ... × n = n ! , definido como factorial de n. Observe que se
cumple la fórmula de recurrencia n! = n (n − 1) ! y por consistencia con ella
cuando n=1 se define 1! = 0! = 1.
Ejemplo 3. Se tiene un equipaje conformado de
Pantalones: P, Camisas: C, Interiores: I, y Zapatos: Z.
¿De cuantas maneras se puede colocar en un armario de 4 compartimentos?
3

4. C1 C2 C3 C4
PC Ι Z CΙ Z ΙZ Z
4 × 3 × 2 × 1 = 4!
En el C1 podemos colocar una de las cuatro clases de equipaje, es decir, hay
4 maneras de ocupar C1, para C2 tendremos sólo 3 maneras, para C3 2
maneras, para C4 sólo 1 manera de ocuparlo, es decir, el total de maneras es
4×3×2×1 = 4! = 24
Con fundamento en los principios de adición, multiplicación y permutación se
definen los conteos de variación, combinación y partición.
Variaciones. Cuando se permutan solo r ≤ n tomados de los n elementos
entonces definimos,
n!
Prn =
(n − r )!
como el número de variaciones de n objetos tomados de a r.
Ejemplo 4. En el caso de las cuatro prendas de equipaje considere que solo
se dispone de 3 compartimentos. ¿De cuantas maneras se pueden colocar
las cuatro prendas en los 3 compartimentos?
n! 4!
Calculamos Prn = = =4
(n − r )! 3!
Combinaciones. Cuando en las variaciones se prescinde del orden de los r
objetos se definen las combinaciones de n objetos tomados en grupos de
r ≤ n como
n r!
=
r r ! (n − r !)
4

5. Ejemplo 5. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar ternas, sin
restitución y sin considerar el orden entre 5 objetos diferentes?
n r! 5!
Calculamos = = = 10
r r ! (n − r !) 3! 2!
n n
Observe que = es decir que el número de subgrupos posibles de
r n−r
r objetos o de n-r objetos en un conjunto de tamaño n es igual.
Y que en particular con r=1
n n
= =n
n −1 1
Particiones
El número de particiones distintas de n objetos en los cuales n1 son de una
clase, n 2 de una segunda clase, ..., nk de una k − ésima clase, coincide con
el número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en k
celdas con n1 objetos en la primera celda, n 2 elementos en la segunda
celda y así sucesivamente donde n = n1 + n 2 + ... + n k y el orden en cada
celda y entre celdas no se considera; este número es:
n
n r n!
= =
n1 , n 2 , ..., n k ni n1 ! n 2 ! n 3 ! ... n k !
1
Ejemplo 6.
a) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas con restitución y
considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes?
Veamos, sean a, b, c y d los elementos, entonces:
5

6. aa ab ac ad
a b ba bb bc bd
= S
c d ca cb cc cd
da db dc dd
# S = nr
# S = 4 2 = 16 parejas
b) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución,
considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes?
Veamos:
− ab ac ad
a b ba − bc bd
= S
c d ca cb − cd
da db dc −
n 4 4!
#S = r! = 2! = = 12 parejas
r 2 2!
c) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución, sin
considerar el orden, entre cuatro elementos diferentes
Veamos
− − − −
a b ba − − −
= S
c d ca cb − −
da db dc −
n n! 4!
#S = = = = 6 parejas
r n! (n − r )! 2! 2!
Ejemplo 7.
a) De cuántas maneras se pueden seleccionar 5 parejas hombre mujer entre
80 chinos y 20 chinas?
6

7. Veamos:
20 chinas las maneras de seleccionar 5 chinas son
combinaciones de 20 objetos tomados en
20
subgrupos de 5, o sea
5
80 chinos las maneras de seleccionar 5 chinos son
combinaciones de 80 objetos tomados en
80
subgrupos de 5, o sea
5
20 80
Y las maneras de conformar 5 parejas = según el principio de
5 5
la multiplicación.
b) Cuál es la probabilidad de que al seleccionar 10 personas salgan
exactamente 5 parejas?
El número de parejas hombre mujer posibles dividido por el número total
de subgrupos de 10. Esto es:
20 80
•
5 5
100
10
Ejemplo
a) De cuántas maneras se puede seleccionar una muestra de tamaño n de
una población de tamaño N, n < N ?
b) Si todas las muestras son equiprobables, cual es la probabilidad de
seleccionar una muestra en particular?
a) Se trata seleccionar subgrupos de n elementos de entre N objetos
posibles, es decir, el total de muestras posibles es
7

8. N N!
= , n <N
n n ! (N − n) !
−1
N n ! (N − n) !
b) La probabilidad de una muestra es = , n < N.
n N!
Ejemplo 9.
Coeficientes binomiales, combinaciones y triángulo de PASCAL
Expansión del binomio (a + b )n
(a + b)o = ..................1
(a + b)1 = .......... .........a + b
(a + b )2 = ...................a 2 + 2 a b + b 2
(a + b)3 = .....................a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Los coeficientes de estos polinomios se pueden representar
en el denominado Triángulo de PASCAL
Observe que en cada
subtriángulo la suma de dos
números consecutivos en cada
fila es igual al número en el
centro en la fila siguiente.
3 3
= 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
k =o k
8

9. 3
Observe que el desarrollo de que corresponde al concepto de
k
combinaciones, reproduce los coeficientes binomiales.
Ejercicio. Comprobar que los números de ternas tomados entre cuartetas,
en la siguiente representación, coinciden con los cálculos correspondientes,
según los principios de conteo.
Selecciones de ternas de letras entre (a, b, c, d)
9

10. De cuántas maneras se pueden seleccionar r objetos tomados entre n, con
restitución y considerando el orden?
De cuántas maneras se pueden seleccionar n objetos tomados entre n, sin
restitución y considerando el orden?
De cuantas maneras se pueden seleccionar r elementos tomados entre n, sin
restitución y sin considerar el orden?
PROBLEMAS SELECCIONADOS
1. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer usando 3 dígitos y 3
letras del abecedario? (Considérese los dígitos del 0 al 9 y 26 letras).
2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 parejas en 10 butacas
en las filas de un teatro, de manera que no quede ninguna pareja
separada?
3. ¿Cuántos números se pueden formar usando todos los siguientes dígitos:
2, 4, 5, 7, 9 .
a) ¿Si no se pueden repetir los dígitos?
b) ¿Cuántos de estos números son múltiplos de 5?
c) ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
d) ¿Cuántos de ellos son menores de 50.000?
e) ¿Cuántos de ellos son pares?
4. Seis personas fueron invitadas a un banquete a una mesa rectangular
con capacidad para seis. ¿De cuántas formas diferentes pueden
sentarse las seis personas si:
a) Todas aceptaron la invitación?
b) Dos de ellas no aceptaron la invitación?
10

11. 5. ¿Cuántos números de teléfono de 7 dígitos se pueden establecer si todos
los dígitos se pueden utilizar con repetición pero no pueden comenzar con
cero?
6. Seis personas que van en un tour llegan a un hotel donde hay 6 cuartos,
uno a continuación del otro a lo largo de un corredor, los cuales serán
asignados al azar a las 6 personas, dos de ellas son conocidas de
antemano.
¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las 6 personas en sus
respectivos cuartos si las dos conocidas solicitaron estar en cuartos
contiguos?
7. Considérese una caja con 4 bolitas numeradas del 1 al 4. ¿De cuántas
formas se pueden sacar 3 bolitas una por una, si:
a) no se reemplazan en la caja las sacadas previamente?
b) se reemplazan en la caja las sacadas previamente?
8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar 6 llaves en un llavero
en forma de aro?
9. Se desean sentar 5 señores y 5 señoras alrededor de una mesa circular.
¿De cuántas formas pueden sentarse si no se pueden sentar dos damas
una al lado de la otra?
10. En un experimento psicológico de aprendizaje, una rata tiene la opción de
escoger una de cinco trayectorias. Si se escogen dos ratas para el
experimento, ¿cuántos eventos simples están asociados con este
experimento? ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral?
11. Una pizzería ofrece pizzas con cualquier combinación (incluyendo la que
sólo tiene queso y la que contiene todo) de los siguientes ingredientes:
pimiento, cebolla, champiñón, chorizo, anchoas y jamón. ¿Cuántas
11

12. pizzas diferentes se pueden ordenar si hay la posibilidad de escoger
pizzas con ninguno, uno o más ingredientes y hasta con todos ellos?
12. Una bolsa contiene 5 canicas blancas y 7 rojas. Si se desean sacar 5
canicas al azar, ¿de cuántas formas posibles pueden ser sacadas si:
a) las canicas pueden ser de cualquier color?
b) se quieren exactamente 3 blancas?
c) las 5 deben ser del mismo color?
13. En un laboratorio hay 4 diferentes trabajos que realizar en una tarde en
particular y hay 5 personas para hacerlos. ¿De cuántas formas pueden
ser asignadas las 5 personas para hacer los cuatro trabajos?
14. Una investigadora tiene 4 drogas que desea probar, pero sólo dispone de
animales suficientes para probar 3 de las drogas. ¿De cuántas formas
puede probar las cuatro drogas?
15. Se le suministran drogas a 8 animales de la siguiente forma: Tipo A a
tres de ellos, tipo B a otros tres y tipo C a los dos restantes. Luego se
coloca cada uno de los animales en una de las 8 diferentes cajas
adyacentes para su observación. Si los animales sólo se distinguen en
base al tipo de droga recibida, ¿de cuántas formas diferentes pueden ser
colocados?
16. En el binomio (1 − 2 x )13 encontrar:
a) el quinto término del desarrollo.
b) el décimo tercer término del desarrollo.
c) los dos términos centrales del desarrollo.
d) el término independiente.
17. Encontrar el coeficiente del término que contiene a:
12

13. a) x 2 y 4 en el desarrollo de (2 x + 3 y )6 .
b) (
x 5 en el desarrollo de x + x −3 . )
18. A partir del conjunto de letras de la palabra VIDA se escogen 2 letras una
por una. Enliste el espacio muestral, o sea, el conjunto de todas las
parejas posibles.
19. Si las letras ORMA se arreglan en línea al azar, cuál es la probabilidad de
que en el arreglo aparezca ROMA?
20. Una muestra de 6 individuos para cierta prueba es seleccionada de un
grupo de 20 fumadores y 10 no fumadores. ¿De cuántas maneras se
pueden seleccionar muestras que contengan 4 fumadores?
21. En un experimento de Modelos Animales, los hámsteres pueden
clasificarse de acuerdo con su sexo: hembra o macho; de acuerdo con
su edad: juvenil o adulto, y de acuerdo con la cepa que será inoculada:
L. panamensis,,, L. Braziliensis y L. Guayanensis. Encuentre el número
total de formas posibles de clasificar a un hámster.
13