Funciones hiperbólicas

1. REPASO DE FUNCIONES HIPERB´OLICAS
Ing. Juan Carlos Tandazo Cando
Departamento de Ciencias Exactas
ESPE
´Indice
1. Funciones hiperb´olicas directas 2
1.1. F´ormulas de las funciones hiperb´olicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Gr´aficos de las funciones hiperb´olicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Funciones hiperb´olicas inversas 6
2.1. F´ormulas de las funciones hiperb´olicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Gr´aficos de las funciones hiperb´olicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Identidades fundamentales de las funciones hiperb´olicas 10
3.1. Identidades hiperb´olicas de cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Identidades hiperb´olicas cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Identidades hiperb´olicas de argumento doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4. Identidades hiperb´olicas de argumento mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5. Identidades hiperb´olicas de suma y resta de argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6. Identidades hiperb´olicas de suma a producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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2. 1. Funciones hiperb´olicas directas
1.1. F´ormulas de las funciones hiperb´olicas directas
Las funciones hiperb´olicas directas vienen relacionadas con las funciones exponenciales ex
y e−x
,
mediante las siguientes f´ormulas:
senh x =
ex
− e−x
2
=
e2x
− 1
2ex
cosh x =
ex
+ e−x
2
=
e2x
+ 1
2ex
tanh x =
ex
− e−x
ex + e−x
=
e2x
− 1
e2x + 1
coth x =
ex
+ e−x
ex − e−x
=
e2x
+ 1
e2x − 1
sech x =
2
ex + e−x
=
2ex
e2x + 1
csch x =
2
ex − e−x
=
2ex
e2x − 1
Trabajando con la primera y segunda f´ormulas se puede llegar a demostrar que:
cosh x + senh x = ex
cosh x − senh x = e−x
1.2. Gr´aficos de las funciones hiperb´olicas directas
A continuaci´on se presentan los gr´aficos de cada una de las funciones hiperb´olicas directas, as´ı como
sus caracter´ısticas m´as importantes:
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3. SENO HIPERB´OLICO
Dom: R
Rg: R
Pto de corte: (0,0)
Monoton´ıa: en R
Paridad: Impar
As´ıntotas: No tiene
COSENO HIPERB´OLICO
Dom: R
Rg: [1;+∞[
Pto de corte: (0,1)
Monoton´ıa: de ]-∞;0] ∧ de [0;+∞[
Paridad: Par
As´ıntotas: No tiene
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4. TANGENTE HIPERB´OLICA
Dom: R
Rg: ]-1;1[
Pto de corte: (0,0)
Monoton´ıa: en R
Paridad: Impar
As´ıntotas: A.H. en y = -1 ∧ y = 1
COTANGENTE HIPERB´OLICA
Dom: R-{0}
Rg: ]-∞;-1[ ∪ ]1;+∞[
Pto de corte: No existe
Monoton´ıa: en R-{0}
Paridad: Impar
As´ıntotas: A.H. en y = -1 ∧ y = 1
A.V. en x= 0
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5. SECANTE HIPERB´OLICA
Dom: R
Rg: ]0;1]
Pto de corte: (0,1)
Monoton´ıa: de ]-∞;0] ∧ de [0;+∞[
Paridad: Par
As´ıntotas: A.H. en y = 0
COSECANTE HIPERB´OLICA
Dom: R-{0}
Rg: R-{0}
Pto de corte: No existe
Monoton´ıa: en R-{0}
Paridad: Impar
As´ıntotas: A.H. en y = 0
A.V. en x= 0
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6. 2. Funciones hiperb´olicas inversas
Las funciones hiperb´olicas inversas se notan mediante la palabra area o arg acompa˜nado por el
nombre de la correspondiente funci´on hiperb´olica, as´ı por ejemplo: la funci´on inversa de la funci´on
seno hiperb´olico ser´a area seno hiperb´olico o arg seno hiperb´olico.
2.1. F´ormulas de las funciones hiperb´olicas inversas
Las funciones hiperb´olicas inversas vienen relacionadas con la funci´on logaritmo natural, mediante
las siguientes f´ormulas:
argsenh(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
argcosh(x) = ln(x +
√
x2 − 1)
argtanh(x) =
1
2
ln
1 + x
1 − x
para |x| < 1
argctgh(x) =
1
2
ln
x + 1
x − 1
para |x| > 1
argsech(x) = ln
1 +
√
1 − x2
x
argcsch(x) = ln
1 +
√
1 + x2
x
2.2. Gr´aficos de las funciones hiperb´olicas inversas
Las funciones hiperb´olicas senh x, tanh x, coth x y csch x son biyectivas en todo su dominio por
lo tanto tienen inversas, sin embargo las funciones hiperb´olicas cosh x y sech x al ser dos funciones
pares no son biyectivas, pero si restringimos su dominio en el intervalo de [0,+∞[ en donde ya son
biyectivas, podemos determinar sus respectivas funciones inversas.
A continuaci´on se presentan los gr´aficos de cada una de las funciones hiperb´olicas inversas, as´ı como
sus caracter´ısticas m´as importantes.
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7. AREASENO HIPERB´OLICO
Dom: R
Rg: R
Pto de corte: (0,0)
Monoton´ıa: en R
Paridad: Impar
As´ıntotas: No tiene
AREACOSENO HIPERB´OLICO
Dom: [1;+∞[
Rg: [0;+∞[
Pto de corte: (1,0)
Monoton´ıa: de [1;+∞[
Paridad: No tiene
As´ıntotas: No tiene
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8. AREATANGENTE HIPERB´OLICA
Dom: ]-1;1[
Rg: R
Pto de corte: (0,0)
Monoton´ıa: en ]-1;1[
Paridad: Impar
As´ıntotas: A.V. en x = -1 ∧ x = 1
AREACOTANGENTE HIPERB´OLICA
Dom: ]-∞;-1[ ∪ ]1;+∞[
Rg: R-{0}
Pto de corte: No existe
Monoton´ıa: en ]-∞;-1[ ∪ ]1;+∞[
Paridad: Impar
As´ıntotas: A.V. en x = -1 ∧ x = 1
A.H. en y= 0
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9. AREASECANTE HIPERB´OLICA
Dom: ]0;1]
Rg: [0;+∞[
Pto de corte: (1,0)
Monoton´ıa: de ]0;1]
Paridad: No tiene
As´ıntotas: A.V. en x = 0
AREACOSECANTE HIPERB´OLICA
Dom: R-{0}
Rg: R-{0}
Pto de corte: No existe
Monoton´ıa: en R-{0}
Paridad: Impar
As´ıntotas: A.H. en y = 0
A.V. en x= 0
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10. 3. Identidades fundamentales de las funciones hiperb´olicas
3.1. Identidades hiperb´olicas de cociente
tanh x =
senh x
cosh x
coth x =
cosh x
senh x
sech x =
1
cosh x
csch x =
1
senh x
tanh x =
1
coth x
3.2. Identidades hiperb´olicas cuadr´aticas
cosh2
x − senh2
x = 1
sech2
x + tanh2
x = 1
coth2
x − csch2
x = 1
3.3. Identidades hiperb´olicas de argumento doble
senh(2x) = 2 senh x cosh x
cosh(2x) = cosh2
x + senh2
x
cosh(2x) = 2 cosh2
x − 1
cosh(2x) = 1 + 2 senh2
x
tanh(2x) =
2 . tanh x
1 + tanh2x
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11. 3.4. Identidades hiperb´olicas de argumento mitad
senh
x
2
=
cosh x − 1
2
cosh
x
2
=
cosh x + 1
2
3.5. Identidades hiperb´olicas de suma y resta de argumentos
senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
senh(x − y) = senh x cosh y − cosh x senh y
cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
cosh(x − y) = cosh x cosh y − senh x senh y
tanh(x + y) =
tanh x + tanh y
1 + tanh x . tanh y
tanh(x − y) =
tanh x − tanh y
1 − tanh x . tanh y
3.6. Identidades hiperb´olicas de suma a producto
senh x + senh y = 2 senh
x + y
2
. cosh
x − y
2
cosh x + cosh y = 2 cosh
x + y
2
. cosh
x − y
2
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