Combinatoria

UNQ/Dip.CyT/Probabilidades y Estad´ıstica/Primer Cuatrimestre de 2007 pág. 1
Combinatoria
1 Principios básicos
La combinatoria es una disciplina que se ocupa de estudiar técnicas de conteo y enumeración de
conjuntos, en especial cuando la cantidad de elementos que poseen es muy grande (de modo que una
lista extensiva ser´ıa imposible o impráctica). Aplicada a la teor´ıa de probabilidades permite en muchos
casos determinar la cantidad de elementos de un espacio muestral finito y la cantidad de elementos de
algún evento de interés.
Presentamos dos reglas básicas de la combinatoria:
Principio de la multiplicación
Supongamos que un experimento consta de dos etapas. Si como resultado de la primera etapa pueden
darse n resultados posibles y si, independientemente del resultado particular de la primera etapa, la
segunda etapa puede dar lugar a m resultados posibles, entonces la cantidad de posibles resultados
del experimento es n · m
El principio se extiende de manera natural a un experimento en r etapas, donde la i-ésima etapa
tiene una cantidad ni de posibles resultados (independientemente de los resultados particulares
de las etapas anteriores), donde i = 1, 2, · · · , r. Entonces la cantidad de posibles resultados del
experimento es
r
i=1
ni
Ejemplo: Una caja contiene 5 cartas distintas de una baraja española. Se extraen dos cartas al azar.
Si se realiza la extracción con reposición ¿ De cuántas maneras distintas es posible realizarlo? Rta: 5·
5 = 25 maneras distintas.
Si se realiza la extracción sin reposición ¿ De cuántas maneras distintas es posible realizarlo? Rta: 5·
Principio de la adición
Un experimento puede llevarse a cabo de dos formas. Cuando se lo realiza de una forma conduce
a n resultados posibles. Cuando se lo realiza de la otra forma conduce a m resultados posibles.
Entonces eligiendo una u otra forma para realizarlo, el experimento da lugar a n + m resultados
posibles.
El principio de la adición también se generaliza a un experimento que se realiza de una entre r maneras
posibles, siendo ni la cantidad de posibles resultados cuando se lo realiza de la i-ésima forma, donde
i = 1, 2, · · · , r. Entonces la cantidad de posibles resultados del experimento es
r
i=1
ni
Ejemplo: Para viajar de Buenos Aires a San Pablo se puede optar por tres compañ´ıas aéreas o por
cinco empresas de omnibus ¿ Cuántas maneras diferentes existen para contratar el viaje? Rta: 3 +
2 Variaciones
Se tienen n objetos diferentes y se quiere ordenar k de ellos en fila, siendo k ≤ n. Cada posible
ordenamiento se denomina una variación de los n objetos tomados de a k. Para calcular la cantidad
total de variaciones utilizamos el principio de la multiplicación: Para el primer lugar de la fila hay
n posibles maneras de llenarlo con un objeto. Independientemente de cuál sea el objeto que ocupe
el primero lugar, para llenar el segundo lugar de la fila disponemos ahora de n − 1 objetos dado que
uno de los objetos ya fue utilizado para cubrir el primer lugar. Independientemente de cuáles hayan
sido los objetos que llenan los dos primeros lugares de la fila, para cubrir el tercer lugar disponemos de
n − 2 objetos pues dos ya han sido utilizados. As´ı sicesivamente de modo que aplicando el principio
Prof.J.Gastón Argeri 1

de la multiplicación, la cantidad total de posibles variaciones de n tomados de a k resulta ser:
(n)k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · [n − (k − 1)] =
n!
(n − k)!
Ejemplo: En un club se postulan cinco miembros, digamos A,B,C,D y E, para ocupar las posiciones de
presidente y secretario. Para identificar todas las posibles maneras de elegir entre ellos un presidente
y un secretario, formamos las variaciones de 5 tomadas de a 2. En este caso la ”fila” tiene en primer
lugar al presidente y en segundo lugar al secretario. El listado de las 5 · 4 = 20 variaciones es el
siguiente:
AB AC AD AE
BA BC BD BE
CA CB CD CE
DA DB DC DE
EA EB EC ED
3 Permutaciones
Un caso particular de variaciones de n objetos tomados de a k se presenta cuando k = n. En tal
caso las variaciones reciben el nombre de permutaciones de n objetos y corresponden a las diferentes
maneras de ordenar en fila n objetos diferentes. La cantidad de permutaciones de n objetos resulta
entonces ser:
n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · [n − (n − 1)] = n!
Ejemplo: La cantidad de números de cuatro cifras que pueden formarse a partir de los d´ıgitos
3, 5, 6, 8 sin repetir ninguno de ellos resulta ser 4! = 24. Damos un listado de dichos números:
3568 5368 5638 5683
3586 5386 5836 5863
3658 6358 6538 6583
3685 6385 6835 6853
3856 8356 8536 8563
3865 8365 8635 8653
4 Combinaciones
Dados n objetos diferentes, cada conjunto formado por k de los n elementos se dice una combinación
de los n elementos tomados de a k. La diferencia entre variaciones y combinaciones reside en el hecho
que las combinaciones no tienen en cuenta el orden relativo entre los elementos (ya no podemos pensar
en un ”fila”). Por ejemplo, si se tienen cuatro objetos A,B,C y D las posibles combinaciones de a 2
son:
AB AC AD
BC BD
CD
Compárese esto con las posibles variaciones de 4 tomados de a 2:
AB BA AC CA AD DA
BC CB BD DB
CD DC
Para determinar la cantidad de combinaciones de n tomados de a k procedemos de modo indirecto del
modo siguiente: Anotemos provisoriamente x a dicha cantidad. Para una dada combinación existen
k! maneras diferentes de ordenar sus elementos en una fila. Además, combinaciones diferentes darán

lugar a filas con diferentes configuraciones, dado que diferirán en al menos uno de los objetos presentes.
De esta manera, tomando todas las posibles combinaciones y ordenando en fila los k objetos en cada
una de ellas, obtendremos la totalidad de posibles ordenamientos en fila de k de los n objetos, es
decir la totalidad de variaciones de n tomados de a k. Por lo tanto: x · k! = n!
(n−k)!
Despejando x resulta que la cantidad de posibles combinaciones de n objetos tomados de a k,
número que representaremos con el s´ımbolo n
k
es:
n
k
=
n!
k!(n − k)!
Este número se denomina número combinatorio n sobre k.
En el ejemplo precedente n = 4 , k = 2 de modo que la cantidad de posibles combinaciones es
4
2
= 4!
2!2!
= 4!
4
= 3! = 6
Propiedad 1
n
k
=
n
n − k
Dem:
La demostración queda a cargo del lector.
Propiedad 2
n
j − 1
+
n
j
=
n + 1
j
Dem:
n
j−1
+ n
j
= n!
(j−1)!(n−j+1)!
+ n!
j!(n−j)!
=
= n!
(j−1)!(n−j)!(n−j+1)
+ n!
(j−1)!j(n−j)!
=
= n!
(j−1)!(n−j)!
1
n−j+1
+ 1
j
=
= n!
(j−1)!(n−j)!
· j+n−j+1
j(n−j+1)
=
= n!(n+1)
(j−1)!j(n−j)!(n+1−j)
= (n+1)!
j!(n+1−j)!
= n+1
j
5 Binomio de Newton
Dados números a, b ∈ R sabemos que el desarrollo del cuadrado del binomio a + b viene dado por:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Podemos reescribir este desarrollo como:
(a + b)2
=
2
0
a0
b2
+
2
1
a1
b1
+
2
2
a2
b0
=
2
k=0
2
k
ak
b2−k
Análogamente para el desarrollo del cubo de un binomio:
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3

que también puede reescribirse como:
(a + b)3
=
3
0
a0
b3
+
3
1
a1
b2
+
3
2
a2
b1
+
3
3
a3
b0
=
3
k=0
3
k
ak
b3−k
La fórmula del binomio de Newton generaliza lo anterior al desarrollo de cualquier potencia natural
de un binomio y se expresa de la siguiente manera.
Teorema 1 (Fórmula del binomio de Newton)
Para cualesquiera números a, b ∈ R y cualquier número n ∈ N se verifica:
(a + b)n
=
n
k=0
n
k
ak
bn−k
Dem:
Por inducción respecto de n demostraremos que la proposición
p(n) : ∀a, b ∈ R, (a + b)n
=
n
k=0
n
k
ak
bn−k
es verdadera para todo número natural n.
Paso base: Probemos que p(1) es V.
p(1) : ∀a, b ∈ R, (a + b)1
=
1
k=0
1
k
ak
b1−k
El miembro izquierdo de la igualdad es simplemente a + b. El miembro derecho es:
1
0
a0
b1
+
1
1
a1
b0
= b + a
de modo que p(1) es verdadera.
(HI)Hipótesis inductiva: Supongamos que p(n) es verdadera.
Ahora probaremos que necesariamente p(n + 1) es verdadera, bajo el supuesto (HI). Para ello

procedemos as´ı:
(a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b)
n
k=0
n
k
akbn−k =
= a
n
k=0
n
k
akbn−k + b
n
k=0
n
k
akbn−k =
=
n
k=0
n
k
ak+1bn−k +
n
k=0
n
k
akbn−k+1 =
=
n+1
j=1
n
j−1
ajbn−j+1 +
n
j=0
n
j
ajbn−j+1 =
= n
n
an+1 +
n
j=1
n
j−1
ajbn−j+1 + n
0
bn+1 +
n
j=1
n
j
ajbn−j+1 =
= n
0
bn+1 +
n
j=1
n
j−1
+ n
j
ajbn−j+1 + n
n
an+1 =
= n
0
bn+1 +
n
j=1
n+1
j
ajbn−j+1 + n
n
an+1 =
= n+1
0
a0bn+1 +
n
j=1
n+1
j
ajbn−j+1 + n+1
n+1
an+1b0 =
=
n+1
j=0
n+1
j
ajbn+1−j
que muestra que p(n + 1) es verdadera. Luego, por inducción completa p(n) es verdadera para
todo n ∈ N
6 Permutaciones con repetición
Supongamos que queremos determinar cuántas palabras de cuatro letras pueden formarse con las le-
tras de la palabra AZAR. Aqu´ı entendemos por ”palabra” cualquier secuencia que utilice las cuatro
letras de AZAR, tenga o no significado en algún lenguaje. Para averiguar cuántas pueden formarse,
digamos x (a determinar), consideremos el siguiente razonamiento: Si bien la palabra AZAR posee
sólo tres letras diferentes, a saber A,Z,R, momentáneamente distingamos las dos apariciones de la
letra A, por ejemplo podr´ıamos ”pintar” de dos colores diferentes las dos letras A. En tal caso ya
sabemos que la cantidad de posibles ordenamientos de las cuatro letras distintas es 4!. Ahora bien,
cada ordenamiento de los x (que no distinguen entre ambas A) da lugar de manera natural a 2!
ordenamientos (que s´ı distinguen entre ambas A), por simple permutación de las dos letras A entre
s´ı. Por lo tanto podemos afirmar que: x · 2! = 4! Se deduce que: x = 4!
2!
El mismo tipo de razonamiento se generaliza cuando hay varias letras (objetos) repetidas. For-
malmente: Si se tienen r objetos diferentes de los cuales se va a repetir el primero n1 veces,
el segundo n2 veces, · · · , el r-ésimo nr veces, la cantidad total de configuraciones en fila de
n = n1 + · · · + nr objetos con las repeticiones especificadas anteriormente es:
(n1 + n2 + · · · + nr)!
n1! n2! · · · nr!

El número anterior se denomina coeficiente multinomial y suele anotarse también como
n
n1, n2, · · · , nr
=
(n1 + n2 + · · · + nr)!
n1! n2! · · · nr!
Por ejemplo, con las letras de la palabra AZAR pueden formarse 4!
2!
= 12 palabras diferentes. Para
convencernos las listamos todas:
AZAR AZRA AAZR
AARZ ARZA ARAZ
ZAAR ZARA ZRAA
RAAZ RAZA RZAA
Teorema 2 (Teorema multinomial) Para cualesquiera números x1, x2, · · · , xr ∈ R y cualquier
número n ∈ N se verifica
(x1 + x2 + · · · + xr)n
=
0≤k1,··· ,kr≤n
k1+···+kr=n
n
k1, · · · , kr
xk1
1 · · · xkr
r
7 Distribución de bolillas en urnas
Diversos problemas de ´ındole combinatorio pueden representarse mediante problemas ”modelo” basa-
dos en disposiciones de bolillas en urnas.
7.1 Disposiciones de n bolillas distintas en r urnas distintas
7.1.1 Más de una bolilla es admisible por urna
En este caso simplemente se trata de un experimento en n etapas: La primera etapa consiste en
ubicar la primera bolilla en alguna de las r posibles urnas. La segunda etapa consiste en colocar la
segunda bolilla en alguna de las r urnas aún disponibles, etc. De manera que la cantidad de posibles
disposiciones es en total
r · r · · · r
n
= rn
7.1.2 A lo sumo una bolilla es admisible por urna
Este caso exige que n ≤ r. Para la primera bolilla hay r posibles urnas donde ubicarla, para la
segunda bolilla hay sólo r − 1 urnas vac´ıas para ubicarla, para la tercer bolilla hay sólo r − 2 urnas
vac´ıas disponibles, etc. De modo que la cantidad total de posibles disposiciones es r · (r − 1) · (r −
2) · · · [r − (n − 1)] es decir igual al número de variaciones de r tomados de a n.
7.2 Disposiciones de n bolillas idénticas en r urnas distintas
7.2.1 No pueden quedar urnas vac´ıas
En este caso debe ser n ≥ r pues de lo contrario necesariamente quedar´ıan urnas vac´ıas. Podemos
asimilar este problema de combinatoria representando las bolillas indistinguibles por asteriscos ”∗” y
las separaciones entre urnas mediante barras ”|” As´ı por ejemplo una configuración con tres urnas y
cinco bolillas podr´ıa representarse por: ∗ ∗ | ∗ | ∗ ∗ Esto quiere simbolizar de algún modo que en la
primera urna hay exactamente dos bolillas, en la segunda urna exactamente una bolilla y en la tercera
urna exactamente dos bolillas.
Si disponemos las bolillas en una hilera, ubicar las n bolillas idénticas en las r urnas diferentes
equivale a ubicar r − 1 separadores ”|” en los n − 1 espacios entre bolillas consecutivas. Esto

puede realizarse de n−1
r−1
maneras distintas.
Ejemplo: Distribuir seis bolillas idénticas en tres urnas diferentes, sin permitir urnas vac´ıas. Listamos
las posibilidades:
∗| ∗ | ∗ ∗ ∗ ∗ ∗| ∗ ∗| ∗ ∗∗ ∗| ∗ ∗ ∗ | ∗ ∗ ∗| ∗ ∗ ∗ ∗|∗ ∗ ∗ | ∗ | ∗ ∗∗
∗ ∗ | ∗ ∗| ∗ ∗ ∗ ∗ | ∗ ∗ ∗ |∗ ∗ ∗ ∗| ∗ | ∗ ∗ ∗ ∗ ∗| ∗ ∗|∗ ∗ ∗ ∗ ∗ | ∗ |∗
Ejemplo: Hallar todas las descomposiciones del número 8 como suma de tres números naturales.
Considerar que el orden relativo de los tres términos en la descomposición es relevante.
Se tendrán las siguientes posibles descomposiciones:
1|1|111111 1|11|11111 1|111|1111 1|1111|111 1|11111|11 1|111111|1 11|1|11111
1 + 1 + 6 1 + 2 + 5 1 + 3 + 4 1 + 4 + 3 1 + 5 + 2 1 + 6 + 1 2 + 1 + 5
11|11|1111 11|111|111 11|1111|11 11|11111|1 111|1|1111 111|11|111 111|111|11
2 + 2 + 4 2 + 3 + 3 2 + 4 + 2 2 + 5 + 1 3 + 1 + 4 3 + 2 + 3 3 + 3 + 2
111|1111|1 1111|1|111 1111|11|11 1111|111|1 11111|1|11 11111|11|1 111111|1|1
3 + 4 + 1 4 + 1 + 3 4 + 2 + 2 4 + 3 + 1 5 + 1 + 2 5 + 2 + 1 6 + 1 + 1
Es decir un total de 8−1
3−1
= 7
2
= 7!
2!5!
= 21 descomposiciones.
7.2.2 Pueden quedar urnas vac´ıas
También aqu´ı podemos pensar en bolillas ∗ y separadores entre urnas |, pero a diferencia de la
situación previa, en este caso los separadores pueden quedar contiguos, como por ejemplo en la con-
figuración siguiente: ∗ ∗ || ∗ | ∗ ∗ ∗ | que corresponde a n = 6 bolillas idénticas en r = 5 urnas
distintas, donde hay 2 bolillas en la primer urna, la segunda urna está vac´ıa, 1 bolilla en la tercer
urna, 3 bolillas en la cuarta urna y la quinta urna está vac´ıa.
Se trata pues de disponer en fila n s´ımbolos ∗ y r − 1 s´ımbolos | Es decir en un total de
n + r − 1 lugares. Luego, la cantidad de posibles disposiciones es n+r−1
n
= n+r−1
r−1
puesto
que basta con elegir los lugares que serán ocupados por ∗ (o equivalentemente elegir los lugares a ser
ocupados por |).
Ejemplo: Se desea invertir un capital de $20.000 en cuatro posibilidades de inversión (negocios). Se
desea además que las inversión se realice en múltiplos de $1.000
a) Si se quiere invertir la totalidad del capital, ¿ de cuántas formas diferentes puede realizarse?
Si ∗ representa una inversión de $1.000 el problema se asimila al de n = 20 bolillas y
r = 4 urnas y donde pueden quedar urnas vac´ıas (negocios en los cuales se decide no invertir
ningun monto). Entonces la cantidad total de maneras posibles de invertir el capital de $20.000 es
20+4−1
20
= 23
20
= 1.771
b) Si se quiere invertir la totalidad o parte del capital, ¿ de cuántas formas diferentes puede realizarse?
El análisis es similar al anterior sólo que ahora no es obligatorio invertir todo el capital disponible.
Podemos entonces pensar que la parte del capital que se decida no invertir es un ”quinto negocio
posible”. De este modo se trata de un problema de disposición de n = 20 bolillas en r = 5 urnas y
donde no pueden quedar urnas vac´ıas. Hay un total de 20+5−1
20
= 24
20
= 10.626 posibles maneras
de invertir el capital (Una de dichas maneras consiste en no invertirlo en absoluto).

Teor´ıa axiomática de probabilidades
8 Experimentos aleatorios - Espacio muestral - Eventos
Denominaremos experimento aleatorio a todo proceso (procedimiento, experimento, etc.) que con-
duzca a un resultado que cumpla con las siguientes caracter´ısticas:
• El proceso es repetible en idénticas condiciones una cantidad ilimitada de veces. Cada realización
particular del proceso conduce a un único resultado.
• Se conoce a priori (es decir previamente a cualquier realización particular) todos los posibles
resultados del experimento.
• El resultado del experimento está sujeto al azar. Es decir que es imposible determinar a priori
(es decir previamente a cualquier realización particular) cuál de todos los resultados posibles del
experimento ocurrirá.
Definición 1 Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio a cualquier conjunto
que caracterice todos los posibles resultados de dicho experimento. El espacio muestral frecuentemente
se anota mediante la letra griega omega mayúscula Ω.
En este contexto caracterizar significa que cada elemento del espacio muestral se corresponde con uno
y sólo un posible resultado del experimento y a todo posible resultado del experimento le corresponde
uno y sólo un elemento del espacio muestral. En este sentido podr´ıamos decir que un espacio muestral
es una forma de ”codificar” los posibles resultados del experimento.
Ejemplo:
1) Se arroja un dado una vez y se observa el número que sale. Claramente es un experimento
aleatorio pues cada realización particular conduce a un único número saliente (es imposible que
arrojemos el dado y salgan simultáneamente dos o más números) y además:
• El experimento es reproducible en idénticas condiciones una cantidad arbitraria de veces
(Al menos una versión idealizada del experimento, por ejemplo con un dado imaginario que
nunca se desgasta o deforma).
• Antes de arrojar el dado se sabe de antemano que los posibles resultados son los números
1, 2, 3, 4, 5, 6.
• El resultado del lanzamiento es al azar puesto que es imposible determinar el número que
saldrá, con anterioridad al lanzamiento.
Un espacio muestral asociado a este experimento puede ser Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2) Se arroja un dado dos veces y se anota el puntaje total (suma de los números obtenidos en ambos
lanzamientos). En este caso un espacio muestral es Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
3) Se arroja un dado hasta obtener por primera vez un 1 y se registra la cantidad de lanzamientos
necesarios. En este ejemplo un espacio muestral es Ω = N
4) Desde una distancia de 3 metros se arroja un dardo a un blanco circular de radio 0, 25 metros.
Suponiendo que el dardo da en el blanco, se registra la distancia desde el punto de impacto hasta
el centro del blanco. En este caso un espacio muestral es Ω = [0 ; 0, 25]
Un conjunto infinito A se dice numerable si sus elementos pueden ponerse en correspondencia 1-1
con los números naturales, es decir si existe alguna función N
f
→ A con las propiedades siguientes:

i) ∀a ∈ A , ∃n ∈ N tal que a = f(n)
ii) ∀m, n ∈ N m = n ⇒ f(m) = f(n)
En tal caso la función f determina una ”enumeración” de A. Si en lugar de f(n) anotamos
an entonces los elementos de A son precisamente los de la secuencia infinita a1, a2, a3, · · · . Es
decir A = {a1, a2, a3, · · · }. Un conjunto que o bien sea finito o bien sea infinito numerable se dice
un conjuto a lo sumo numerable. Si se omite la condición ii) pero conservando la i), se dice que f es
una función suryectiva o sobre A. Se puede demostrar que A es a lo sumo numerable sii existe alguna
función de N sobre A.
Ejemplo: Mostremos que los siguientes conjuntos infinitos son numerables: N, Z, 2N, Q
• Basta considerarla función identidad N
f
→ N
• Por ejemplo tomando la función N
f
→ Z dada por f(n) = (−1)n n
2
• Tomando N
f
→ 2N dada por f(n) = 2n
• En este caso es más engorroso encontrar una fórmula expl´ıtica para una fución de N sobre Q.
Es más secillo presentar un gráfico ilustrativo de tal función:
0

1/1 // 1/2
||zzzzzzzz
1/3 // 1/4
||zzzzzzzz
1/5 // · · ·
}}{{{{{{{{{
2/1 // 2/2
zzzzzzzz
2/3
||zzzzzzzz
2/4
zzzzzzzz
2/5
||zzzzzzzz
· · ·
3/1

3/2oo 3/3
zzzzzzzz
3/4
||zzzzzzzz
3/5
=={{{{{{{{{
· · ·
}}{{{{{{{{{
4/1 // 4/2
zzzzzzzz
4/3
||zzzzzzzz
4/4
zzzzzzzz
4/5
||zzzzzzzz
· · ·
5/1

5/2oo 5/3
zzzzzzzz
5/4
}}{{{{{{{{{{
5/5
=={{{{{{{{{
· · ·
~~||||||||||
...
// ...
=={{{{{{{{{{ ...
...
=={{{{{{{{{{ ...
Vamos a distinguir dos tipos de espacios muestrales de acuerdo a su cardinalidad (es decir su cantidad
de elementos):
Ω



Finito o infinito numerable
Infinito no numerable
En los ejemplos 1) y 2) los espacios muestrales considerados son finitos. En el ejemplo 3) el espacio
muestral es infinito numerable. En el ejemplo 4) el espacio muestral es infinito no numerable.
Momentáneamente llamaremos evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. Más
adelante precisaremos este concepto. Dos eventos de particular interés son el evento Ω (denominado
evento seguro o cierto) y el evento ∅ (denominado evento vac´ıo o imposible). Los elementos ω ∈ Ω del

espacio muestral dan lugar a los denominados eventos simples, que son los eventos de la forma {ω}.
Todo evento no simple se dice compuesto. Los eventos suelen anotarse empleando las primeras letras
del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, D, etc.
Ejemplo:
1) Lanzamiento de un dado. Podemos considerar los siguientes eventos:
A = ”sale número par” = {2, 4, 6}
B = ”sale múltiplo de tres” = {3, 6}
C = ”sale 3” = {3} (suceso elemental)
2) Lanzamiento de dos dados. Podemos considerar los siguientes eventos:
A = ”el puntaje total excede 8” = {9, 10, 11, 12}
B = ”sale un par y un impar” = {3, 5, 7, 9, 11}
3) Arrojar una moneda hasta obtener ”cara” por primera vez y registrar la cantidad de lanzamientos
que fueron necesarios. Eventos que podr´ıan interesarnos:
A = ”se requiere a lo sumo 5 lanzamientos” = {1, 2, 3, 4, 5}
B = ”se requiere una cantidad impar de lanzamientos” = {3, 5, 7, 9, 11, 13, · · · }
3) Lanzamiento del dardo descrito anteriormente. Un evento en el que podemos estar interesados
es A = {x ∈ Ω : x ≤ 0, 2}
Consideremos un evento A en el contexto de un experimento aleatorio. Supongamos que la realización
del experimento conduce a un resultado ω ∈ Ω. Cuando ω ∈ A se dice que el resultado del
experimento es favorable a A o que ha ocurrido A en dicha realización. Caso contrario se dice
que el resultado ω es desfavorable a A o que no ha ocurrido A en dicha realización. Notemos
que el hecho de que ocurra cierto evento no quita la posibilidad que ocurran también, en la misma
realización, otros eventos.
Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar una moneda dos veces de modo que
Ω = {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}
donde C = ”sale cara” , S = ”sale ceca”, entonces si en determinada realización es ω = (C, C) y si
A = ”la primera moneda sale cara” = {(C, C), (C, S)} y B = ”la segunda moneda sale ceca” =
{(C, C), (S, C)}, entonces han ocurrido tanto el evento A como el evento B. Es decir que el
resultado del experimento ha sido favorable tanto al evento A como al evento B.
9 Álgebra de eventos
Sean A, B eventos. A partir de ellos construimos nuevos eventos del modo siguiente:
• El complemento de A es el evento Ac = {ω ∈ Ω : ω ∈ A}. Es el evento que ocurre cada vez
que no ocurre A. Los resultados favorables a Ac son los desfavorables al A y viceversa. El
complemento de A también suele anotarse A .
• La unión de A con B es el evento A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B}. Es el evento
que ocurre cuando al menos uno de los dos sucesos A, B ocurre. Es decir que A ∪ B ocurre
sii o bien ocurre A pero no ocurre B, o bien ocurre B pero no ocurre A, o bien ocurren
simultáneamente tanto A como B.

• La intersección de A con B es el evento A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B}. Es
el evento que ocurre cuando A y B ocurren simultáneamente. La intersección de A con
B también suele anotarse AB
• La diferencia de A con B es el evento A B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B}. Es el
evento que ocurre cuando ocurre A y simultáneamente no ocurre B.
Ejemplo: En el último ejemplo se tiene:
Ac = {(S, C), (S, S)}
A ∪ B = {(C, C), (C, S), (S, S)}
A ∩ B = {(C, S)}
A B = {(C, S)} y B A = {(S, C)}
Más generalmente, sean A1, A2, · · · , An eventos.
• La unión de tales eventos es el evento
n
i=1
Ai = A1 ∪ · · · ∪ An = {ω ∈ Ω : ω ∈ A1 ∨ · · · ∨ ω ∈ An}
• La intersección de tales eventos es el evento
n
i=1
Ai = A1 ∩ · · · ∩ An = {ω ∈ Ω : ω ∈ A1 ∧ · · · ∧ ω ∈ An}
Dicha intersección también se anota A1A2 · · · An
Más generalmente aún necesitaremos definir uniones e intersecciones de una cantidad numerable de
eventos: Sea {An} una sucesión de eventos.
• La unión de dichos eventos es el evento que ocurre cuando ocurre al menos uno de los eventos
de la sucesión:
∞
n=1
An = {ω ∈ Ω : ∃n ∈ N , ω ∈ An}
• La intersección de dichos eventos es el evento que ocurre cuando ocurren simultáneamente todos
y cada uno de los eventos de la sucesión:
∞
n=1
An = {ω ∈ Ω : ∀n ∈ N , ω ∈ An}
Ejemplo: Un experimento aleatorio consistente en arrojar una moneda tantas veces como sea necesario
hasta obtener por primera vez ”cara”. Podemos considerar:
Ω = {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC, · · · }
Consideremos los siguientes eventos: An = ”sale C en el lanzamiento 2n-ésimo”
En este caso:
∞
n=1
An = ”sale C en una cantidad par de lanzamientos”

Definición 2 Los eventos A y B se dicen incompatibles o (mutuamente) excluyentes o disjuntos
si es imposible que ocurran simultáneamente. Es decir que cada vez que ocurre A no ocurre B y
cada vez que ocurre B no ocurre A. Para destacar tal situación nosotros anotaremos el evento unión
A ∪ B como A B.
Más generalmente dada una sucesión {An} de eventos, se dice que dichos eventos son dos a dos
incompatibles o (mutuamente) excluyentes o disjuntos dos a dos sii se verifica:
∀m, n ∈ N , m = n ⇒ Am ∩ An = ∅
Para destacar tal situación anotaremos la unión
∞
n=1
An como ∞
n=1 An
Dados eventos A, B se dice que A está contenido o incluido en B o también que B contiene o
incluye a A sii cada vez que ocurre A también ocurre B (pero no necesariamente a la inversa). Tal
relación entre eventos se simboliza A ⊆ B o también B ⊇ A. En otras palabras: A ⊆ B sii todo
resultado favorable a A es también favorable a B. En la práctica para demostrar que A ⊆ B es
frecuente tomar un elemento genérico (es decir, no un elemento particular) de A y demostrar que
necesariamente también pertenece a B. Naturalmente, dos eventos son iguales sii A ⊆ B y B ⊆ A.
Por lo tanto una manera de probar la igualdad entre dos eventos consiste en probar que cada uno de
ellos está contenido en el otro.
Damos a continuación un listado de propiedades muy sencillas cuyas demostraciones formales omiti-
mos:
A ⊆ A
A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
A ∩ A = A ; A ∪ A = A
A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
∅ ⊆ A ⊆ Ω
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
∅ ∩ A = ∅ ; ∅ ∪ A = A
Ω ∩ A = A ; Ω ∪ A = Ω
(Ac)c
= A
(A ∪ B)c
= Ac ∩ Bc ; (A ∩ B)c
= Ac ∪ Bc
A ∪ B = A ∪ (B A)
B = (B ∩ A) (B A)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
n
i=1
Ai = A1
n
i=2
Ac
1 · · · Ac
n−1An
∞
n=1
An
c
=
∞
n=1
Ac
n ;
∞
n=1
An
c
=
∞
n=1
Ac
n

10 Algebras y σ-álgebras de subconjuntos de Ω - Espacio de prob-
abilidad
Todos hemos en algún momento realizado mediciones. Como ejemplo concreto supongamos que de-
seamos medir áreas de rectángulos. Como se sabe, el área de un rectángulo es un número positivo
igual al producto base × altura. Supongamos ahora que construimos figuras planas a partir de una
cantidad finita de rectángulos. Podemos asignar un área a cada una de tales figuras del modo sigu-
iente: Primero descomponemos la figura en una unión finita de rectángulos disjuntos dos a dos y
luego sumamos las áreas de tales rectángulos. Finalmente, supongamos que todos los rectángulos
que consideramos están contenidos dentro de un ”gran” rectángulo que llamamos Ω. Cada vez que
podamos medir el área de cierta figura contenida en Ω también podremos medir el área de la ”figura
complementaria”, es decir la figura que se obtiene a partir de todos los puntos de Ω que no pertenecen
a la figura original. En otros términos, si podemos medir el área de una figura también podemos medir
el área de su complemento. Queda también claro que si hemos podido asignar un área A(F ) a la
figura F ⊆ Ω entonces tendremos A(F c) = A(Ω) − A(F ). Es decir que hay una cantidad de
propiedades básicas que esperamos de todo número que represente una manera de medir. Para reflejar
estas propiedades elementales es necesario determinar una cierta clase de conjuntos, que podr´ıamos
denominar ”medibles” que serán precisamente aquellos a los cuales asignaremos una medida. En
nuestro ejemplo precedente, no queda claro en absoluto cómo podr´ıamos medir el área de un c´ırculo
contenido en Ω, pero s´ı podremos asignar áreas de modo sencillo tomando como conjuntos medibles la
clase de todos los subconjuntos de Ω que sean o bien rectángulos, o bien uniones finitas de rectángulos
o bien sus complementos sean uniones finitas de rectángulos. Una clase de subconjuntos de Ω con
estas carácter´ısticas es lo que denominaremos un álgebra de subconjuntos de Ω.
Definición 3 Dados un conjunto no vac´ıo Ω y una clase A de subconjuntos de Ω, diremos que
A es un álgebra de subconjuntos de Ω sii satisface las siguiente condiciones:
i) Ω ∈ A
ii) ∀A ∈ A , Ac ∈ A
iii) ∀n ∈ N , ∀A1, · · · , An ∈ A ,
n
i=1
Ai ∈ A
Ejemplo: Sea Ω cualquier rectángulo no vac´ıo. Definamos, como vimos anteriormente, la siguiente
clase de subconjuntos de Ω:
A = {A ⊆ Ω : A es unión finita de rectángulos}
Veamos que A tiene las propiedades de un álgebra de subconjuntos de Ω:
i) Ω ∈ A pues Ω es unión finita de rectángulos ya que es un rectángulo.
ii) Supongamos que A ∈ A. Queremos ver que Ac es también unión finita de rectángulos.
En primer lugar notemos que si R ⊆ Ω es un rectángulo entonces Rc = Ω R es unión finita
de rectángulos (Esto le resultará evidente cuando dibuje el gran rectángulo Ω y un rectángulo
arbitrario R contenido en él).
Además, si B =
n
i=1
Ri y C =
m
j=1
R∗
j son uniones finitas de rectángulos entonces:
B ∩ C =
1≤i≤n
1≤j≤m
Ri ∩ R∗
j
de modo que B ∩ C es unión finita de rectángulos (notar que Ri ∩ R∗
j es un rectángulo).
Esto se extiende a la intersección de un número finito de uniones finitas de rectángulos. Por lo

tanto podemos afirmar que la intersección de un número finito de miembros de A es también
miembro de A.
Como A ∈ A podemos escribir A =
n
i=1
Ri donde los Ri son ciertos subrectángulos de Ω.
Entonces:
Ac
=
n
i=1
Ri
c
=
n
i=1
Rc
i
y dado que los Rc
i son uniones finitas de rectángulos, la intersección de ellos también lo es. Por
lo tanto Ac es unión finita de rectángulos de modo que Ac ∈ A.
iii) Fijemos n ∈ N y sean A1, · · · , An ∈ A. Sabemos que cada Ai es unión finita de rectángulos.
Pero entonces evidentemente A =
n
i=1
Ai también es unión finita de rectángulos, de donde re-
sulta que A ∈ A.
Consideremos ahora un ejemplo que nos servirá para generalizar la definición de álgebra de subcon-
juntos de Ω.
Ejemplo: Supongamos que se tiene una secuencia {Rn} de rectángulos contenidos en el gran
rectángulo Ω. Más aún, supongamos que los Rn son disjuntos dos a dos. Parece intuitivamente
claro que también se le puede asignar un área al conjunto
∞
n=1
Rn, de la manera siguiente:
Cada Rn tiene asignada un área A(Rn)
Podemos asignar área al conjunto R1 R2 como A(R1 R2) = A(R1) + A(R2)
Podemos asignar área al conjunto R1 R2 R3 como A(R1 R2 R3) = A(R1)+A(R2)+
A(R3)
etc. En genral: A
n
i=1
Ri =
n
i=1
A(Ri)
De este modo vemos cómo asignar un área al conjunto Sn =
n
i=1
Ri, cualquiera sea n ∈ N. Natu-
ralmente los números A(S1), A(S2), A(S3), · · · forman una sucesión creciente de números reales
positivos. Además, dado que todos los Sn ⊆ Ω resulta A(Sn) ≤ A(Ω). Un resultado matemático
asegura que toda sucesión de números reales que sea creciente y acotada superiormente, posee un
l´ımite finito. Por lo tanto existe y es finito el número:
lim
n →∞
A(Sn)
Resulta entonces natural definir
A
∞
n=1
Rn = lim
n →∞
A
n
i=1
Ri = lim
n →∞
A(Sn) =
= lim
n →∞
n
i=1
A(Ri) =
∞
n=1
A(Rn)
Este ejemplo muestra que podemos ampliar la definición de álgebra de conjuntos para permitir que
no sólo las uniones finitas de conjuntos medibles sean medibles, sino también las uniones infinitas
numerables. Esto conduce a la definición siguiente.

Definición 4 Una clase Σ de subconjuntos de un conjunto no vac´ıo Ω se dice una σ-álgebra de
subconjuntos de Ω sii verifica las siguientes condiciones:
i) Ω ∈ Σ
ii) ∀A ∈ Σ , Ac ∈ Σ
iii) ∀ {An} sucesión en Σ ,
∞
n=1
An ∈ Σ
Ejemplo: Consideremos un conjunto no vac´ıo Ω. La clase que consta de todos los subconjuntos de
Ω se denomina el conjunto de ”partes” de Ω y se suele anotar P(Ω). Claramente es una σ-álgebra
de subconjuntos de Ω. De hecho es la más grande de todas.
Propiedad 3 Sea Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Entonces ∅ ∈ Σ
Dem:
Puesto que Ω ∈ Σ resulta ∅ = Ωc ∈ Σ
Propiedad 4 Sea Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Supongamos que Ω es finito o infinito
numerable. Se verifica:
∀ω ∈ Ω , {ω} ∈ Σ ⇒ Σ = P(Ω)
Dem:
Sea A ⊆ Ω. Puesto que Ω es finito o infinito numerable, lo mismo es cierto de A. Dado que:
A =
ω∈A
{ω} resulta inmediatamente que A ∈ Σ puesto que la unión anterior es a lo sumo
numerable y cada {ω} pertenece a Σ
Propiedad 5 Sea Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y sean A1, · · · , An ∈ Σ. Entonces
n
i=1
Ai ∈ Σ
Dem:
Definamos An+1 = An+2 = · · · = ∅. Entonces la secesión {Ai} está en Σ. Se tiene pues:
n
i=1
Ai =
∞
i=1
Ai ∈ Σ
Propiedad 6 Sea Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y sea {An} una sucesión en Σ.
Entonces
∞
n=1
An ∈ Σ
Dem:
∞
n=1
An =
∞
n=1
Ac
n
c
∈ Σ dado que cada Ac
n ∈ Σ
Propiedad 7 Sea Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y sean A1, · · · , An ∈ Σ.
Entonces
n
i=1
Ai ∈ Σ
Dem:
Definamos An+1 = An+2 = · · · = Ω. Tenemos as´ı una sucesión {An} en Σ. Por la propiedad
anterior resulta:
n
i=1
Ai =
∞
i=1
Ai ∈ Σ

Propiedad 8 Sean Ω un conjunto no vac´ıo y {Σi}i∈I una familia no vac´ıa, donde cada Σi es
una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Entonces
i∈I
Σi es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω.
Dem: Anotemos Σ =
i∈I
Σi. Debemos probar que Σ satisface los axiomas de σ-álgebra de
subconjuntos de Ω. Sabiendo que cada Σi satisface dichos axiomas, se deduce que:
• Ω ∈ Σ pues ∀i ∈ I , Ω ∈ Σi
• Si A ∈ Σ entonces ∀i ∈ I , A ∈ Σi. Luego: ∀i ∈ I , Ac ∈ Σi. Entonces Ac ∈ Σ
• Sea {An} sucesión en Σ. Entonces ∀i ∈ I , {An} es una sucesión en Σi. Por lo tanto
∀i ∈ I ,
∞
n=1
An ∈ Σi. Luego:
∞
n=1
An ∈ Σ
Propiedad 9 Dados un conjunto no vac´ıo Ω y un subconjunto G de P(Ω), existe una m´ınima
σ-álgebra de subconjuntos de Ω que contiene a G
Dem: Basta considerar la familia de todas las σ-álgebras de subconjuntos de Ω que contienen a
G (una de ellas es P(Ω)) y aplicarle la propiedad anterior
Estamos ahora en condiciones de definir la noción axiomática de probabilidad.
Definición 5 Sean Ω un conjunto no vac´ıo y Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Una medida
de probabilidad o función de probabilidad o simplemente una probabilidad sobre Σ es una función
P : Σ → R que verifica los siguientes axiomas:
i) ∀A ∈ Σ , P (A) ≥ 0
ii) P (Ω) = 1
iii) Para toda sucesión {An} de elementos de Σ disjuntos dos a dos se cumple:
P
∞
n=1
An =
∞
n=1
P (An)
Nota: Parte del supuesto en esta igualdad es que la serie en el miembro de la derecha sea
convergente.
Un espacio de probabilidad es una terna ordenada (Ω, Σ, P ) donde P es una probabilidad sobre Σ.
Ejemplo: Sea Ω un conjunto no vac´ıo a lo sumo numerable, que podemos anotar Ω = {ωn}. Sea
Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω tal que ∀n , {ωn} ∈ Σ. Como vimos antes esto implica que
Σ = P(Ω). Si P es una probabilidad sobre Σ notemos que:
• Las probabilidades pn = P ({ωn}) determinan la probabilidad de cualquier evento aleatorio.
En efecto: Sea A ⊆ Ω. Entonces A =
ωn∈A
{ωn}. Por lo tanto:
P (A) = P
ωn∈A
{ωn} =
ωn∈A
P ({ωn}) =
ωn∈A
pn
• Dada una sucesión {pn} de números reales tal que:
a) ∀n , pn ≥ 0
b)
∞
n=1
pn = 1
existe una única probabilidad P sobre Σ tal que P ({ωn}) = pn

11 Espacios de equiprobabilidad
Si Ω = {ω1, · · · , ωN } es finito y si definimos ∀n ∈ {1, · · · , N} , pn = 1
N
entonces se cumplen
las condiciones a) y b) del item anterior, de manera que queda definida una única probabilidad sobre
Σ = P(Ω) tal que ∀n ∈ {1, · · · , N} , P {ωn} = 1
N
= 1
#(Ω)
. Esta manera de asignar probabili-
dades sobre un espacio muestral finito es lo que se conoce como espacio de equiprobabilidad. En
un espacio de equiprobabilidad se tiene para cuanlquier evento A ⊆ Ω
P (A) = P
ω∈A
{ω} =
ω∈A
P ({ω}) =
ω∈A
1
#(Ω)
=
#(A)
#(Ω)
Esta manera de asignar probabilidades en un espacio muestral finito suele resumirse del modo siguiente:
P (A) =
# {resultados favorables al evento A}
# {resultados posibles del experimento}
En la práctica cuando asociamos determinado espacio muestral Ω a un experimento aleatorio con una
cantidad finita de resultados posibles, la asignación de probabilidades a dichos eventos elementales no
siempre se reduce a considerar resultados equiprobables. Volviendo a uno de nuestros primeros ejem-
plos: Se lanzan dos dados ”normales” y se anota el puntaje total obtenido. En este caso podr´ıamos
tomar como espacio muestral Ω = {2, 3, 4, · · · , 12}. Sin embargo no es correcto asignar probabili-
dades del modo siguiente:
∀n ∈ {2, · · · , 12} , P ({n}) =
1
11
¿ Qué inconvenientes observa acerca de esta asignación de probabilidad?
El mismo experimento aleatorio podr´ıa modelizarse mediante el siguiente espacio muestral:
Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6}
Con este espacio muestral s´ı es adecuada la asignación de probabilidad en forma equiprobable:
∀(i, j) tal que 1 ≤ i, j ≤ 6 , P ({(i, j)}) =
1
36
Calculemos en este ejemplo la probabilidad de que el puntaje total obtenido sea 7. En este caso
A = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6 ; i + j = 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Por lo
tanto P (A) = #(A)
#(Ω)
= 6
36
= 1
6
Ejemplo: Una urna contiene 3 bolillas blancas y 2 bolillas negras. Se extraen al azar dos bolillas sin
reposición. Calculemos P (A) y P (C) siendo:
A = ”ambas bolillas son blancas” y C = ”ambas bolillas son negras”
Una posible representación del espacio muestral asociado a este experimento aleatorio podr´ıa ser Ω =
{BB, BN, NB, NN}. Sin embargo, dada esta representación es evidente que no resulta natural
considerar los cuatro posibles resultados como equiprobables puesto que hay más bolillas blancas que
negras. De hecho, si utilizáramos el artificio de numerar las bolillas blancas como B1, B2, B3 y
numerar las bolillas negras como N1, N2 resulta claro que el resultado A se da en más casos que el
resultado C. De hecho:
A = {(B1, B2), (B1, B3), (B2, B1), (B2, B3), (B3, B1), (B3, B2)} tiene 6 elementos
C = {(N1, N2), (N2, N1)} tiene 2 elementos
Lo natural entonces es elegir una representación del espacio muestral en la que resulte natural la
equiprobabilidad. Tal representación podr´ıa ser la siguiente:
Ω = {(x, y) : x, y ∈ {B1, B2, B3, N1, N2} , x = y}

Con este espacio muestral es natural plantear equiprobabilidad. Se tiene:
P (A) = #(A)
#(Ω)
= 3·2
5·4
= 3
10
= 0, 3
P (C) = #(C)
#(Ω)
= 2·1
5·4
= 1
10
= 0, 1
Otra posible representación del espacio muestral es la siguiente, que prescinde del orden en que se
extraen las bolillas:
Ω = {{x, y} : x, y ∈ {B1, B2, B3, N1, N2} , x = y}
También en este caso es natural la equiprobabilidad. Se tiene:
P (A) = #(A)
#(Ω)
=
(3
2)
(5
2)
= 3
10
= 0, 3
P (C) = #(C)
#(Ω)
=
(2
2)
(5
2)
= 1
10
= 0, 1
Como era de esperar, se obtienen las mismas probabilidades que cuando se tiene en cuenta el orden de
extracción. Ejemplo: Nuevamente consideremos una urna con 3 bolillas blancas y dos bolillas negras.
Se extraen al azar dos bolillas, pero esta vez con reposición. Calculemos las probabilidades de los
mismos eventos A y C del ejemplo anterior.
En este caso conviene representar el espacio muestral como:
Ω = {(x, y) : x, y ∈ {B1, B2, B3, N1, N2}}
Entonces:
P (A) = #(A)
#(Ω)
= 3·3
5·5
= 9
25
= 0, 36
P (C) = #(C)
#(Ω)
= 2·2
5·5
= 4
25
= 0, 16
12 Propiedades de una probabilidad
Una cantidad de resultados útiles se desprenden de la definición axiomática de probabilidad dada en
el parágrafo anterior.
Propiedad 10 P (∅) = 0
Dem:
Definamos ∀n , An = ∅. Claramente estos eventos son dos a dos disjuntos, de manera que:
P (∅) = P
∞
n=1
An =
∞
n=1
P (An) =
∞
n=1
P (∅)
Puesto que la serie a la derecha de la última igualdad es convergente, necesariamente su término
general debe tender a 0. Pero dicho término general, siendo constantemente igual a P (∅), tiende a
P (∅). Por lo tanto: P (∅) = 0
Propiedad 11 Sean A1, · · · , An ∈ Σ dos a dos disjuntos. Entonces:
P
n
i=1
Ai =
n
i=1
P (Ai)

Dem:
Definamos An+1 = An+2 = · · · = ∅. Se tiene:
P
n
i=1
Ai = P
∞
i=1
Ai =
∞
i=1
P (Ai) =
n
i=1
P (Ai)
Propiedad 12 Sean A, B ∈ Σ tales que A ⊆ B. Se verifica:
P (B A) = P (B) − P (A)
Dem:
Podemos escribir B = A (B A) siendo la unión disjunta. Por lo tanto: P (B) = P (A (B A)) =
P (A) + P (B A). Despejando se tiene: P (B A) = P (B) − P (A)
Propiedad 13 Sean A, B ∈ Σ (no necesariamente disjuntos). Se verifica:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB)
Dem:
Primeramente notemos que BAc = B AB. Ahora bien, por la propiedad anterior y teniendo en
cuenta que AB ⊆ B se tiene:
P (BAc) = P (B AB) = P (B) − P (AB). Luego:
P (A ∪ B) = P (A BAc
) = P (A) + P (BAc
) = P (A) + P (B) − P (AB)
Corolario 1 Para cualesquiera eventos A, B ∈ Σ se verifica la siguiente desigualdad:
P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
Dem: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) ≤ P (A) + P (B) pues P (AB) ≥ 0
Propiedad 14 Dados A, B, C ∈ Σ se verifica:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC)
Dem:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A ∪ B) + P (C) − P ((A ∪ B) C) =
= P (A) + P (B) − P (AB) + P (C) − P (AC ∪ BC) =
= P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − (P (AC) + P (BC) − P (ACBC)) =
= P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − (P (AC) + P (BC) − P (ABC)) =
= P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC)
Propiedad 15 Sea (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad. Dados A1, · · · , An ∈ Σ se cumple:
P (A1 ∪ · · · ∪ An) =
n
i=1
P (Ai) −
1≤i1i2≤n
P (Ai1 Ai2 ) + · · ·
+ (−1)r+1
1≤i1i2···ir≤n
P (Ai1 Ai2 · · · Air ) + · · · +
+ .................................................... +
+ (−1)n+1 P (A1A2 · · · An)
(1)

Dem:
Por inducción sobre n.
• Paso base: n = 2 ya fue demostrada.
• Hipótesis inductiva (HI): Suponemos válida (1) para n.
• Supongamos A1, · · · , An+1 ∈ Σ.
P (A1 ∪ · · · ∪ An+1) = P (A1 ∪ · · · ∪ An) + P (An+1) − P ((A1 ∪ · · · ∪ An)An+1) =
=
n
i=1
P (Ai) −
1≤i1i2≤n
P (Ai1 Ai2 ) + · · ·
+ (−1)r+1
1≤i1i2···ir≤n
P (Ai1 Ai2 · · · Air ) + · · · +
+ (−1)n+1 P (A1A2 · · · An) + P (An+1) − P (A1An+1 ∪ · · · ∪ AnAn+1) =
=
n+1
i=1
P (Ai) −
1≤i1i2≤n
P (Ai1 Ai2 ) + · · ·
+ (−1)r+1
1≤i1i2···ir≤n
P (Ai1 Ai2 · · · Air ) + · · · +
+ (−1)n+1 P (A1A2 · · · An) − {
n
i=1
P (AiAn+1) −
1≤i1i2≤n
P (Ai1 Ai2 An+1) + · · ·
+ (−1)n+1P (A1A2 · · · AnAn+1)}
=
n+1
i=1
P (Ai) −
1≤i1i2≤n+1
P (Ai1 Ai2 ) + · · ·
+ (−1)r+1
1≤i1i2···ir≤n+1
P (Ai1 Ai2 · · · Air ) + · · · +
+ (−1)n+2 P (A1A2 · · · An+1)
Propiedad 16 Dados A, B ∈ Σ con A ⊆ B se tiene P (A) ≤ P (B)
Dem:
Como A ⊆ B resulta B = A BAc. Luego: P (B) = P (A) + P (BAc) ≥ P (A)
Corolario 2 Para todo A ∈ Σ es P (A) ≤ 1
Dem:
Como A ⊆ Ω y dado que P (Ω) = 1 resulta P (A) ≤ P (Ω) = 1
Propiedad 17 Para cualquier A ∈ Σ se verifica:
P (Ac) = 1 − P (A) ; P (A) = 1 − P (Ac)
Dem:
Puesto que Ω = A Ac resulta 1 = P (Ω) = P (A) + P (Ac)

13 Propiedades de continuidad
Propiedad 18 Sea {An} una sucesión en Σ. Supongamos dicha sucesión de eventos es creciente,
es decir: A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ · · · . Se verifica:
P
∞
n=1
An = lim
n →∞
P (An)
Dem:
Definamos los siguientes eventos:
B1 = A1
B2 = A2 A1
B3 = A3 A2
· · · · · · · · ·
Bn = An An−1
· · · · · · · · ·
Se tiene as´ı una sucesión {Bn} en Σ tal que:
n
i=1
Ai =
n
i=1
Bi y
∞
i=1
Ai =
∞
i=1
Bi
Por conveniencia definamos también Ao = ∅. Entonces:
P
n
i=1
Ai = P
n
i=1
Bi =
n
i=1
P (Bi) =
=
n
i=1
P (Ai Ai−1) =
n
i=1
(P (Ai) − P (Ai−1)) =
= P (An) − P (Ao) = P (An) − P (∅) = P (An)
Luego:
lim
n →∞
P (An) = lim
n →∞
n
i=1
P (Bi) =
∞
i=1
P (Bi) =
= P
∞
i=1
Bi = P
∞
i=1
Ai
Propiedad 19 Sea {An} una sucesión en Σ. Supongamos dicha sucesión de eventos es decreciente,
es decir: A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · · . Se verifica:
P
∞
n=1
An = lim
n →∞
P (An)
Dem:
Notemos que dado que los An decrecen entonces los Ac
n crecen.
P
∞
n=1
An = 1 − P
∞
n=1
An
c
=
= 1 − P
∞
n=1
Ac
n = 1 − lim
n →∞
P (Ac
n) =
= lim
n →∞
1 − P (Ac
n) = lim
n →∞
P (An)

Probabilidad condicional - Sucesos independientes
14 Probabilidad condicional
Seguramente al lector no se le habrá pasado por alto, cuando definimos los axiomas de una probabili-
dad, la relación intuitiva que existe entre éstos y lo que se conoce como el enfoque ”frecuentista” de
las probabilidades, que pasamos a explicar someramente.
Supongamos, en el contexto de un experimento aleatorio concreto, que se desea asignar probabilidad a
cierto evento A. El enfoque frecuentista consiste en repetir el experimento un número finito y grande
de veces, digamos N veces. A continuación determina lo que se conoce como frecuencia relativa del
evento A en esas N realizaciones del experimento. Dicha frecuencia relativa, que anotaremos fA,
se define por:
fA =
número de veces que ha ocurrido A en las N realizaciones
número total N de realizaciones
Intuitivamente fA es un reflejo de la chance de ocurrencia de A en dichas repeticiones del
experimento. En otro cap´ıtulo formalizaremos esta idea intuitiva. Por el momento nos conformamos
con admitirla como natural y motivadora. Esta frecuencia relativa posee las siguientes propiedades:
Dados eventos A, B se verifica
i) fA ≥ 0
ii) fΩ = 1
iii) Si A y B son disjuntos entonces fA∪B = fA + fB
Las propiedades anteriores nos hacen recordar propiedades análogas a las de la definición axiomática
de probabilidad.
Basados intuitivamente en esta idea frecuentista vamos a introducir el concepto de probabilidad condi-
cional. La importancia de este concepto se debe a dos motivos principales:
• Frecuentemente estamos interesados en calcular probabilidades cuando disponemos de alguna
información parcial adicional acerca del resultado del experimento. En tal caso dichas probabil-
idades se dicen condicionales (a la información adicional).
• Aún en situaciones en las cuales no disponemos de tal información parcial adicional, es frecuente
el uso de la probabilidad condicional como herramienta que permite calcular las probabilidades
deseadas de un modo más sencillo.
Para fijar ideas consideremos el ejemplo que sigue.
Ejemplo: Se arrojan dos dados normales, de manera que cada uno de los 36 resultados posibles son
equiprobables. Supongamos que se observa además que el primer dado es un 3. Con esta información
adicional, ¿ cuál es la probabilidad de que el puntaje total obtenido sea 8 ?
Primeramente observemos que ”el primer dado es un 3” es un evento, que podemos anotar H. Dado
que ha ocurrido H, el experimento se limita a arrojar el segundo dado y determinar el número que
sale. Sabemos que los posibles resultados de este experimento parcial seran sólo seis y definirán un
espacio muestral parcial: ΩH = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}. Es natural considerar
estos seis resultados como equiprobables, es decir que podemos definir una probabilidad PH de modo
que ∀j ∈ {1, · · · , 6} , PH ({(3, j)}) = 1/6. Esta probabilidad sobre el espacio muestral Ω∗ puede
pensarse como una probabilidad ”condicional a H” en el espacio muestral Ω asociado al experimento
original, definiendo:
• La probabilidad condicional de {(3, j)} como 1/6. Anotamos P ({(3, j)} |H) = 1/6

• La probabilidad condicional de {(i, j)} como 0 si i = 3. Anotamos P ({(i, j)} |H) = 0 si
i = 3
Por lo tanto, la probabilidad condicional de obtener puntaje total 8 será
P (”se obtiene puntaje 8”|H) = P ({(3, 5)} |H) = 1/6
Ejemplo: Más generalmente consideremos dos eventos E y H en el contexto de un experimento
aleatorio. Queremos asignar una probabilidad al evento E bajo el supuesto o condición que haya
ocurrido H. Intuitivamente lo que podr´ıamos hacer es repetir el experimento un gran número N de
veces y contar en cuántas de ellas ha ocurrido H, digamos NH veces, y luego contar en cuántas de
estas NH ha ocurrido también E, digamos NEH veces. Entonces podr´ıamos considerar el número:
NEH
NH
Equivalentemente, dividiendo numerador y denominador por N se obtiene: NEH/N
NH /N
= fEH
fH
Dado que las frecuencias relativas son base intuitiva para las probabilidades, este cociente motiva la
definición siguiente.
Definición 6 Sean (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad y H ∈ Σ tal que P (H) 0. Dado un
evento E ∈ Σ se define la probabilidad de E condicional a F como:
P (E|F ) =
P (EF )
P (F )
Ejemplo: Se lanza dos veces una moneda normal. Calculemos:
a) La probabilidad de que ambas salgan cara.
b) La probabilidad condicional de que ambas salgan cara dado que la primera sale cara.
Para responder a) consideramos el espacio muestral Ω = {CC, CS, SC, SS} y naturalmente
asignamos probabilidades uniformemente, de modo que cada uno de los cuatro resultados elementales
tiene probabilidad 1/4. Luego:
P (”ambas salen cara”) = P ({CC}) =
1
4
Para responder a b) utilizamos la definición de probabilidad condicional. Sean E = ”ambas salen cara” y
H = ”la primera sale cara”. Entonces:
P (E|H) =
P (EF )
P (F )
=
P ({CC})
P ({CC, CS})
=
1/4
1/2
=
1
2
Propiedad 20 Sean (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad y H ∈ Σ tal que P (H) 0.
Sea Σ
P (·|H)
−→ R la función que asigna a cada E ∈ Σ el número real P (E|H). Entonces
(Ω, Σ, P (·|H)) es un espacio de probabilidad.
Dem:
La demostración se propone como ejercicio al final del cap´ıtulo
Propiedad 21 Sean Σ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y H ∈ Σ. Sea ΣH la siguiente clase
de subconjuntos de H:
ΣH = {EH : E ∈ Σ}
Entonces ΣH es una σ-álgebra de subconjuntos de H.
Dem:
i) Dado que H ∈ Σ y H = HH resulta H ∈ ΣH

ii) Supongamos que B ∈ ΣH. Luego, existe cierto E ∈ Σ tal que B = EH. Dado que tanto
E como H son miembros de Σ también lo es B. Luego, también Bc ∈ Σ. Entonces el
complemento de B relativo a H es H B = BcH. Por ende este complemento pertenece a
ΣH, siendo este complemento la intersección entre H y un miembro de Σ.
iii) Sea {Bn} una sucesión en ΣH. Luego, existe una sucesión {En} en Σ tal que ∀n , Bn =
EnH. Luego:
∞
n=1
Bn =
∞
n=1
EnH =
∞
n=1
En ∩ H
Sea E =
∞
n=1
En. Dado que los En son miembros de Σ resulta E ∈ Σ. Pero como
∞
n=1
Bn = EH resulta que
∞
n=1
Bn ∈ ΣH
Definición 7 La σ-álgebra ΣH definida arriba se denomina la relativización de Σ a H o la
reducción de Σ a H.
Propiedad 22 Dados (Ω, Σ, P ) espacio de probabilidad y H ∈ Σ tal que P (H) 0, la función
Σh
PH
−→ R definida por
PH(B) =
P (B)
P (H)
es una probabilidad sobre (H, ΣH). Más aún, se verifica: ∀E ∈ Σ , PH(EH) = P (E|H)
Dem:
La demostración se propone como ejercicio al final del cap´ıtulo
Definición 8 Se dice que el espacio de probabilidad (H, ΣH, PH) se ha obtenido reduciendo a H el
espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ).
La idea es la siguiente: Calcular en Σ probabilidades condicionalmente a H equivale a calcular en
ΣH probabilidades sin condicionar. En determinados ejemplos es más sencillo calcular probabilidades
condicionales por definición mientras que en otros es más fácil calcularlas trabajando directamente
sobre el espacio muestral reducido.
Teorema 3 (Regla del producto)
Sea (Ω, Σ, P ) espacio de probabilidad.
i) Si A, B ∈ Σ con P (B) 0 entonces P (AB) = P (A|B) · P (B)
ii) Más generalmente, dados A1, · · · , An+1 ∈ Σ con P (A1 · · · An) 0 se verifica:
P (A1 · · · An+1) = P (A1) · P (A2|A1) · P (A3|A1A2) · · · · · P (An+1|A1A2 · · · An)
Dem:
Por inducción sobre n.
Paso base: n = 1
Este caso corresponde a demostrar i). Sean A1, A2 ∈ Σ con P (A) 0. Se tiene:
Como P (A2|A1) =
P (A1A2)
P (A1)
se deduce P (A1A2) = P (A1)P (A2|A1)

Hipótesis inductiva: Suponemos la propiedad válida para n
Ahora queremos demostrar que vale para n + 1. Sean A1, · · · , An+2 ∈ Σ. Se tiene:
P (A1A2 · · · An+1
A
An+2
B
) = P (A1 · · · An+1
A
)P (An+2
B
| A1 · · · An+1
A
)
HI
=
HI
= P (A1)P (A2|A1) · · · P (An+1|A1 · · · An)P (An+2|A1 · · · An+1)
Esto demuestra que la propiedad es verdadera para n + 1 bajo el supuesto que sea verdadera para
n. Luego, por inducción es válida para todo n ∈ N
Ejemplo: Una urna contiene inicialmente r bolillas rojas y b bolillas blancas. Se realiza el siguiente
experimento aleatorio: Se extrae una bolilla al azar y se completa la urna con c bolillas de ese mismo
color. Se extrae nuevamente una bolilla al azar y se completa la urna con c bolillas del mismo
color, etc. Se quiere calcular la probabilidad de que las tres primeras extracciones resulten en bolillas
rojas. Para resolverlo, dado que el experimento se lleva a cabo en tres etapas y cada etapa afecta la
composición de la urna de extracción, es adecuado condicionar una extracción a los resultados de las
extracciones previas.
Definamos Ri = ”la i-ésima extracción resulta bolilla roja” (i = 1, 2, 3). Entonces lo que pretende-
mos calcular es precisamente P (R1R2R3). Planteamos la regla del producto:
P (R1R2R3) = P (R1)P (R2|R1)P (R3|R1R2)
Por la composición inicial de la urna es claro que
P (R1) =
r
r + b
Por la composición de la urna inmediatamente luego que ha ocurrido R1 es claro que
P (R2|R1) =
r + c
r + c + b
Por la composición de la urna inmediatamente luego que han ocurrido R1, R2 se tiene análogamente
P (R3|R1R2) =
r + 2c
r + 2c + b
Por lo tanto:
P (R1R2R3) =
r
r + b
·
r + c
r + c + b
·
r + 2c
r + 2c + b
Definición 9 Sea (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad. Una sucesión {An} en Σ se dice una
partición de Ω sii se verifican:
i) ∀n ∈ N , P (An) 0
ii) Ω =
∞
n=1
An
iii) ∀n, n ∈ N , n = m ⇒ An ∩ Am = ∅
Ejemplo: Consideremos un espacio de equiprobabilidad Ω = {1, 2, · · · , 12}. Es decir: ∀i ∈
Ω , P ({i}) = 1/n 0. Una posible partición de Ω es {A1, A2, A3} donde
A1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11} ; A2 = {6, 12} ; A3 = {2, 4, 8, 10}

Teorema 4 (Teorema de la probabilidad total)
Sean (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad y {Hn} una partición de Ω. Entonces para cualquier
B ∈ Σ se verifica:
P (B) =
∞
n=1
P (B|Hn)P (Hn)
Dem:
Dado que {Hn} es una partición de Ω, sabemos que
∞
n=1
An = Ω. Por lo tanto
B = B ∩ Ω = B ∩
∞
n=1
Hn =
∞
n=1
BHn
Además esta unión es disjunta dos a dos:
n = m ⇒ (BHn)(BHm) = BHnHm = B∅ = ∅
Luego:
P (B) =
∞
n=1
P (BHn)
Pero como ∀n ∈ N , P (Hn) 0 podemos escribir P (BHn) = P (B|Hn)P (Hn). Entonces:
P (B) =
∞
n=1
P (BHn) =
∞
n=1
P (B|Hn)P (Hn)
Nota: El teorema de la probabilidad total es también válido para particiones finitas.
Ejemplo: Una caja C1 contiene n1 fichas marcadas con un 1 y n2 fichas marcadas con un 2.
Se extrae una ficha al azar. Si sale 1 se extrae una bolilla al azar de una urna U1 que contiene
r1 bolillas rojas y b1 bolillas blancas. En cambio, si sale 2 se extrae una bolilla al azar de una urna
U2 que contiene r2 bolillas rojas y b2 bolillas blancas. Calcular la probabilidad de extraer una
bolilla roja.
La composición de la urna de la que se extrae la bolilla depende de la primera etapa del experimento
(extracción de ficha). Por lo tanto es de esperar que necesitemos condicionar al resultado de la primera
etapa. Definamos F1 = ”sale ficha 1” y F2 = ”sale ficha 2”. Entonces {F1, F2} es claramente una
partición de Ω. Definamos también R = ”sale bolilla roja”. Por lo tanto:
P (R) =
2
n=1
P (R|Fn)P (Fn) = P (R|F1)P (F1) + P (R|F2)P (F2)
Es claro que
P (F1) = n1
n1+n2
; P (F2) = n2
n1+n2
También es claro que:
P (R|F1) = r1
r1+b1
; P (R|F2) = r2
r2+b2
Por lo tanto:
P (R) =
r1
r1 + b1
·
n1
n1 + n2
+
r2
r2 + b2
·
n2
n1 + n2
Teorema 5 (Regla de Bayes)
Sean (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad y {Hn} una partición de Ω. Para cualquier B ∈ Σ tal
que P (B) 0 y para cualquier j ∈ N se verifica:
P (Hj|B) =
P (B|Hj)P (Hj)
∞
n=1
P (B|Hn)P (Hn)

Dem:
Se tiene:
P (Hj|B) =
P (BHj)
P (B)
=
P (B|Hj)P (Hj)
∞
n=1
P (B|Hn)P (Hn)
Nota: La regla de Bayes también es válida para particiones finitas.
Ejemplo: Una caja contiene N = n1 + n2 + n3 fichas, de las cuales n1 están numeradas con
”1”, n2 están numeradas con ”2” y n3 están numeradas con ”3”. Se dispone además de tres urnas
U1, U2, U3. La urna Ui contiene ri bolillas rojas y bi bolillas blancas (i = 1, 2, 3). Se extrae al
azar una ficha de la caja. Acto seguido se elige al azar una bolilla de la urna rotulada con el mismo
número que la ficha extraida. Sabiendo que la bolilla extraida fue roja, ¿ cuál es la probabilidad de
que haya provenido de la urna U2 ?
Sean
Fi = ”sale ficha i” ; i = 1, 2, 3
R = ”sale bolilla roja” y B = ”sale bolilla blanca”
Se pretende calcular P (F2|R). Acá se quiere averiguar la probabilidad de un evento que ocurrió
en una etapa previa del experimento basados en infromación de una etapa posterior. Es natural
entonces ”revertir” este condicionamiento, para lo cual utilizamos el teorema de Bayes. Notemos que
{F1, F2, F3} es una partición de Ω. Entonces:
P (F2|R) = P (R|F2)P (F2)
P (R|F1)P (F1)+P (R|F2)P (F2)+P (R|F3)P (F3)
=
=
r2
r2+b2
·
n2
n1+n2+n3
r1
r1+b1
·
n1
n1+n2+n3
+
r2
r2+b2
·
n2
n1+n2+n3
+
r3
r3+b3
·
n3
n1+n2+n3
=
=
r2n2
r2+b2
r1n1
r1+b1
+
r2n2
r2+b2
+
r3n3
r3+b3
Ejemplo: Un procedimiento llamado fluoroscop´ıa card´ıaca (FC) se utiliza para determinar si existe
calcificación en las arterias coronarias. El test permite detectar si hay 0,1,2,ó 3 arterias coronarias
calcificadas. Anotemos:
T +
i : la FC detecta i arterias calcificadas (i = 0, 1, 2, 3)
D+ : hay enfermedad coronaria ; D− : no hay enfermedad coronaria
Supongamos que se conocen los datos de la siguiente tabla
i P (T +
i |D+) P (T +
i |D−)
0 0.41 0.96
1 0.24 0.02
2 0.20 0.02
3 0.15 0.00
a) Si P (D+) = 0.05 calcular P (D+|T +
i ) para i = 0, 1, 2, 3
b) Si P (D+) = 0.92 calcular P (D+|T +
i ) para i = 0, 1, 2, 3
En ambos casos el cálculo se reduce a utilizar la regla de Bayes:
P (D+
|T +
i ) =
P (T +
i |D+)P (D+)
P (T +
i |D+)P (D+) + P (T +
i |D−)P (D−)

donde P (D−) = 1 − P (D+)
Se obtienen los resultados siguientes:
i P (D+|T +
i ) cuando P (D+) = 0.05 P (D+|T +
i ) cuando P (D+) = 0.92
0 0.022 0.831
1 0.387 0.993
2 0.345 0.991
3 1.000 1.000
15 Independencia estocástica
Sean A, B eventos con P (A) 0 y P (B) 0. Intuitivamente podemos decir que dichos eventos
son independientes (entre s´ı) si el hecho que ocurra A no influye sobre la chance de ocurrir B y
rec´ıprocamente, el hecho que ocurra B no influye sobre la chance de ocurrir A. Es decir si la
ocurrencia de A ni afecta ni es afectada por la ocurrencia de B. Podemos expresar esta idea intuitiva
diciendo que A y B son independientes sii P (B|A) = P (B) y P (A|B) = P (A). Expresando
mediante intersecciones podemos reducir estas dos condiciones a una sola, con la ventaja adicional
de no requerir que los eventos tengan probabilidades positivas. Esta idea es la base de la siguiente
definición.
Definición 10 Los eventos A y B se dicen independientes sii P (AB) = P (A) · P (B)
Nota: No debe confundirse la noción de independencia con la de eventos excluyentes. De hecho, si
A y B son mutuamente excluyentes y si P (A) 0 y P (B) 0, entonces A y B distan mucho
de ser independientes pues P (AB) = P (∅) = 0 = P (A)P (B)
Ejemplo: Se elige al azar una carta de un mazo de 52 cartas francesas. Consideremos los eventos
A : ”sale un as” ; C : ”sale una carta de corazones”
Analicemos la independencia entre ellos:
P (A) = 4
52
P (C) = 13
52
P (AC) = 1
52
P (AC) = 1
52
= 4
52
· 13
52
= P (A)P (C)
Por lo tanto A y C son independientes.
Ejemplo: Se arrojan dos dados equilibrados, uno blanco y otro rojo. Consideremos los eventos
A : ”puntaje total 6” ; B : ”el dado rojo sale 4”
Analicemos la independencia entre ellos:
P (A) = 5
36
P (B) = 1
6
P (AB) = 1
36
P (AB) = 1
36
= 5
36
· 1
36
= P (A)P (B)
Por lo tanto A y C no son independientes.
Propiedad 23 Los eventos A y B son independientes sii los eventos A y B son independientes
Dem:
⇒) Supongamos A y B independientes. Luego: P (AB) = P (A)P (B). Entonces:
P (AB ) = P (AB) = P (A)−P (AB) = P (A)−P (A)P (B) = P (A)(1−P (B)) = P (A)P (B )

Luego, A y B son independientes.
⇐) Si ahora suponemos A y B independientes, podemos aplicarles la parte ⇒) ya demostrada.
Se deduce que A y (B ) = B son independientes
Corolario 3 Los eventos A y B son independientes sii A y B son independientes
Generalicemos la noción de independencia a tres eventos A, B, C. Imaginemos que C represente la
presencia de cierta enfermedad y que A y B representen la presencia de dos s´ıntomas cl´ınicos.
Supongamos que dichos s´ıntomas se presentan independientemente (que un paciente presente un
s´ıntoma no lo hace más ni menos proclive a presentar el otro s´ıntoma). Supongamos también que
A y C sean independientes y que B y C sean independientes. Podr´ıa sin embargo ocurrir
que la presencia simultánea de ambos s´ıntomas s´ı aumentara (o disminuyera) la chance de tener la
enfermedad. En tal caso los eventos AB y C no ser´ıan independientes. Esto motiva la siguientes
definición.
Definición 11 Los eventos A, B, C se dicen independientes sii se verifican
P (AB) = P (A)P (B) , P (AC) = P (A)P (C) , P (BC) = P (B)P (C)
P (ABC) = P (A)P (B)P (C)
Ejemplo: Sea Ω = {1, 2, 3, 4} un espacio de equiprobabilidad. Definamos los eventos:
A = {1, 4} , B = {2, 4} , C = {3, 4}
Entonces:
P (A) = 1
2
, P (B) = 1
2
, P (C) = 1
2
P (AB) = 1
4
= P (A)P (B) , P (AC) = 1
4
= P (A)P (C) , P (BC) = 1
4
= P (B)P (C)
P (ABC) = 1
4
= 1
8
= P (A)P (B)P (C)
Luego A, B, C no son independientes.
Ejemplo: Sea Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} un espacio de equiprobabilidad. Definamos los eventos:
A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 7, 8} , C = {1, 5, 6, 7}
Entonces:
P (A) = 1
2
, P (B) = 1
2
, P (C) = 1
2
P (AB) = 1
4
= P (A)P (B) , P (BC) = 1
4
= P (B)P (C) , P (AC) = 1
8
= 1
4
= P (A)P (C)
P (ABC) = 1
8
= P (A)P (B)P (C)
Luego A, B, C no son independientes.
Definición 12 Se dice que los eventos A1, · · · , An son independientes sii para cualquier secuencia
estrictamente creciente 1 ≤ i1 · · · ir ≤ n de enteros, se verifica
P (Ai1 · · · Air ) =
r
j=1
P (Aij )

Nota: Vemos que en general es necesario veriﬁcar n
2
+ n
3
+ · · · + n
n
= 2n − (n + 1) condiciones
para asegurar la independencia de n eventos.
Propiedad 24 Supongamos que A1, · · · , An son independientes. Sean B1, · · · , Bn eventos tales
que
Bi = Ai ´o Bi = Ai (i = 1, · · · , n)
Entonces B1, · · · , Bn son independientes.

Variables aleatorias - Distribuciones de probabilidad
16 Funciones
Sea Ω
X
→ C una función. Recordemos que esto significa que X establece una correspondencia entre
elementos de Ω y elementos de C con la caracter´ıstica que a cada elemento de Ω le asigna uno y sólo
un elemento de C. Si dicha correspondencia asigna al elemento ω ∈ Ω el elemento c ∈ C decimos
que c es el valor de X en ω o la imagen de ω por X, situación que se anota X(ω) = c.
El conjunto Ω se denomina dominio de la función y suele anotarse Dom(X). La imagen o rango (o
a veces el recorrido) de X es el conjunto de todos los valores de X, es decir el conjunto formado por
todos los valores X(ω) cuando ω recorre Ω. Anotaremos la imagen de X como RX. Es decir:
RX = {X(ω) : ω ∈ Ω} = {c ∈ C : ∃ω ∈ Ω , c = X(ω)}
Dado B ⊆ C definimos la imagen inversa de B por X como el conjunto de todos los elementos de
Ω cuyas imágenes por X pertenecen a B. Si anotamos X−1(B) a la imagen inversa de B por
X esta definición establece que
X−1
(B) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}
Ejemplo: Sea R
X
→ R dada por X(t) = t2. En este caso la imagen o rango de X es RX = [0, ∞).
Por otra parte:
X−1 ({4}) = {2, −2} , X−1 ([4, ∞)) = (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
X−1 ({0}) = {0} , X−1 ({0, 2, 4, 7}) = 0, ±
√
2, ±2, ±
√
7
X−1 ((−∞, 0)) = ∅ , X−1 (R) = R
Ejemplo: Sea {ω1, ω2, ω3, ω4}
X
→ R dada mediante la siguiente tabla de valores:
ω X(ω)
ω1 2
ω2 1
ω3 1
ω4 0
Entonces por ejemplo:
X−1 ({2}) = {ω1} X−1 ({1}) = {ω2, ω3}
X−1 ({0}) = {ω4} X−1 ((−∞, 0]) = {ω4}
X−1 ((−∞, 1]) = {ω2, ω3, ω4} X−1 ((−∞, −1]) = ∅
Dado A ⊆ R se denomina función indicadora o función caracter´ıstica de A a la función IA : R →
R dada por
IA(x) =



1 si x ∈ A
0 si x ∈ A
17 Variables aleatorias y funciones de distribución
Cuando se realiza un experimento aleatorio existen diversas caracter´ısticas observables o medibles. No
obstante ello, generalmente el experimentador centra su interés en algunas de estas caracter´ısticas. Por
ejemplo, si el experimento consiste en lanzar un dado N = 10 veces, podr´ıamos interesarnos en las
siguientes caracter´ısticas: ”cantidad de dados que salen 3”, ”puntaje total obtenido”, ”m´ınimo número
obtenido”,etc. Cada una de estas caracter´ısticas relaciona cada posible resultado del experimento
con un número real. As´ı por ejemplo podemos considerar que ”puntaje total obtenido” relaciona el
resultado ω = (1, 5, 4, 3, 4, 6, 5, 1, 2, 2) con el número real 1+5+4+3+4+6+5+1+2+2 = 33.
Esto motiva la siguiente definición.

Definición 13 Se denomina variable aleatoria (va) sobre un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) a
toda función X : Ω → R con la siguiente propiedad:
∀a ∈ R , X−1
((−∞, a]) ∈ Σ (2)
Las variables aleatorias suelen designarse mediante las últimas letras del abecedario y en mayúsculas:
· · · , P, · · · , X, Y, Z. También se las designa mediante alguna de estas letras junto con uno o más
sub´ındices, por ejemplo: X1, X2, S12
Nota: Dados un número real a y una variables aleatoria X, puesto que según la definición X es
una función de Ω en R, tiene sentido calcular la imagen inversa de B = (−∞, a] por X, que es
precisamente:
X−1
((−∞, a]) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ (−∞, a]} = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a}
En el contexto de variables aleatorias es frecuente una notación alternativa y mucho más frecuente
para las imágenes inversas por X. En general, para B ⊆ R la imagen inversa de B por X se anota
también {X ∈ B}. Es decir:
{X ∈ B} = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X−1
(B)
Por lo tanto la definición establece que una función X : Ω → R es una variable aleatoria sobre
(Ω, Σ, P ) sii se cumple
∀x ∈ R , {X ≤ x} ∈ Σ
Tengamos presente que cuando el espacio de probabilidad es finito (es decir cuando #(Ω) es finito)
y Σ = P(Ω) es la σ-álgebra de todos los subconjuntos de Ω, entonces la condición (2) es superflua
puesto que se satisface automáticamente. Lo mismo ocurre cuando Ω = {ω1, ω2, · · · } es infinito
numerable y cada {ωn} ∈ Σ puesto que:
{X ≤ x} = {ωn : X(ωn) ≤ x} =
∞
n=1
X(ωn)≤x
{ωn}
Siendo la unión a lo sumo numerable y cada {ω} ∈ Σ se deduce que {X ≤ x} ∈ Σ.
Luego, en los casos donde el espacio de probabilidad es discreto, la noción de variable aleatoria coincide
con la de función X : Ω → R.
Definición 14 Sea X v.a. definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ). Se dice que X es
discreta sii existe A ∈ Σ, A a lo sumo numerable y tal que P (X ∈ A) = 1.
Observemos que cuando el espacio muestral es finito cualquier variable aleatoria es discreta, pues basta
tomar A = Ω.
Propiedad 25 Dada una v.a. discreta X existe un m´ınimo A ∈ Σ con la propiedad que P (X ∈
A) = 1
Dem:
Siendo X discreta, sea A ∈ Σ tal que A es a lo sumo numerable y P (X ∈ A) = 1. Definamos
SX = {x ∈ R : P (X = x) 0}. Entonces:
A = SX (A SX)
de manera que 1 = PX(A) = PX(SX) + PX(A SX). Mostraremos que PX(A SX) = 0. En
efecto: Anotemos B = A SX. En primer lugar, como B ⊆ Sc
X resulta ∀x ∈ B , PX ({x}) = 0.
Dado que A es a lo sumo numerable resulta B a lo sumo numerable. Luego:
PX(B) = PX
x∈B
{x} =
x∈B
PX ({x}) = 0

Es decir que hemos demostrado que si A es a lo sumo numerable y P (X ∈ A) = 1 entonces
P (A SX) = 0
En particular: PX(SX) = 1. Es decir P (X ∈ SX) = 1.
Supongamos ahora que SX ⊆ A. Entonces existir´ıa xo ∈ SX con xo ∈ A. Luego: P (X = xo)
0. Entonces PX(X ∈ A {xo}) = PX(A) + P (X = xo) PX(A) = 1. Absurdo. Entonces
necesariamente es SX ⊆ A. Esto demuestra que:
P (X ∈ SX) = 1
Si A es a lo sumo numerable y P (X ∈ A) = 1 entonces SX ⊆ A
Por lo tanto SX es el m´ınimo conjunto buscado
Definición 15 Dada una variable aleatoria discreta X se denomina soporte (o rango esencial o
simplemente rango) de X al m´ınimo A tal que P (X ∈ A) = 1. Anotaremos RX al rango de X.
Cuando un experimento conduce a medir cantidades como ”peso”, ”altura”, ”temperatura”, ”du-
ración”, etc, es de esperar que dichas variables aleatorias no estén restringidas a un rango a lo sumo
numerable. Una posible clasificación de las variables aleatorias es la siguiente:
variables aleatorias



discretas
continuas
mixtas
Son discretas aquellas variables aleatorias cuyo rango es a lo sumo numerable. Son continuas aquellas
que poseen una ”densidad” (concepto que precisaremos más adelante). Las mixtas son aquellas que
ni son discretas ni son continuas.
Ejemplo: Se lanza una moneda tantas veces como sea necesario hasta que sale ”cara”. En este caso
Ω = {C, SC, SSC, SSSC, · · · } y consideramos Σ = P(Ω).
Sea X = ”lanzamientos necesarios hasta obtener cara”. Esta va. discreta tiene rango RX = N. Para
familiarizarnos con la notación de imagen inversa vemos como ejemplo que:
{X ≤ 0} = ∅ , {X ≤ 5} = {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC}
Ejemplo: Se lanza una moneda. Se tiene Ω = {C, S}. Consideramos Σ = P(Ω). Sea X =
”cantidad de caras obtenidas”. Entonces RX = {0, 1}. En este caso:
{X ≤ x} =



∅ si x 0
{S} si 0 ≤ x 1
{C, S} si x ≥ 1
Recordemos que una bola abierta en Rn es el conjunto de todos los puntos de Rn que distan de un
punto fijo xo ∈ Rn (llamado el centro de dicha bola) en menos que una cantidad 0 (el radio de
la bola). Es decir
B (xo) = {x ∈ Rn
: x − xo }
Un subconjunto A ⊆ Rn se dice abierto sii para cada x = (x1, · · · , xn) ∈ A existe al menos una
n−bola abierta en Rn centrada en x y completamente contenida en A. Formalmente: A ⊆ Rn es
abierto sii se verifica
∀x ∈ A , ∃ 0 , ∀y ∈ Rn
, y − x ⇒ y ∈ A
Definición 16 Se denomina σ-álgebra de Borel en R a la m´ınima σ-álgebra de subconjuntos de
R que contiene a todos los conjuntos de la forma (−∞, x] con x ∈ R. Anotaremos B a esta
σ-álgebra de subconjuntos de R.

Propiedad 26 Dada una variable aleatoria discreta X, se verifica:
∀B ∈ B , P (X ∈ B) =
x∈B∩RX
P (X = x)
Dem:
Como B = (B ∩ RX) B ∩ Rc
X se deduce que:
PX(B) = PX(B ∩ RX) + PX(B ∩ Rc
X)
Pero como PX(RX) = 1 entonces PX(Rc
X) = 0. Luego: PX(B ∩ Rc
X) = 0, de manera que
PX(B) = PX(B ∩ RX) =
x∈B∩RX
P (X = x)
Definición 17 Sea (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad. Consideremos una variable aleatoria
X : Ω → R. La función PX : B → R dada por E −→ P (X ∈ E) se denomina función de
distribución de X.
Propiedad 27 La función de distribución PX de una variable aleatoria X es una función de
probabilidad sobre (R, B).
Dem: En lo que sigue B, Bn ∈ B
PX(R) = P (X ∈ R) = P (Ω) = 1
PX(B) = P (X ∈ B) ≥ 0 pues P es una probabilidad y {X ∈ B} ∈ Σ
Supongamos {Bn} sucesión en B, tal que n = m ⇒ Bn ∩ Bm = ∅. Entonces:
PX
∞
n=1
Bn = P X ∈
∞
n=1
Bn = P X−1
∞
n=1
Bn =
= P
∞
n=1
X−1(Bn) =
∞
n=1
P X−1(Bn) =
∞
n=1
P (X ∈ Bn)
puesto que los eventos {X ∈ Bn} son disjuntos dos a dos.
Definición 18 Sean X e Y variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de probabilidad.
Se dice que X e Y son equidistribuidas o idénticamente distribuidas sii ambas poseen la misma
función de distribución, i.e. ∀B ∈ B , PX(B) = PY (B)
Nota: El hecho de ser X e Y equidistribuidas no significa que sean iguales. Esto se verá más
adelante. Ejemplo: Un fabricante produce un art´ıculo en dos variedades A y B. Desea recabar
información acerca de la preferencia de los consumidores. Para ello seleccionará al azar 30 clientes a
quienes se les preguntará si prefieren A o B. Se trata de un experimento aleatorio en el cual el espacio
muestral Ω puede definirse como el conjunto de todas las 30-uplas de 1’s y/o 0’s, donde un 1 en la
i-ésima coordenada de la 30-upla indica que el i-ésimo cliente encuestado prefiere la variedad A sobre
la B. Supongamos que estos 230 posibles resultados de la encuesta sean equiprobables. Consideremos
X = ”cantidad de consumidores que prefieren A”. Se tiene RX = {0, 1, · · · , 30}. Calculemos para
cada 0 ≤ k ≤ 30, las probabilidades siguientes:
P (X = k) = #{X=k}
#(Ω)
=
(30
k )
230
(k = 0, 1, · · · , 30)
P (X ≤ k) =
k
j=0
P (X = j)
Grafiquemos los valores de X sobre el eje de abscisas y las probabilidades halladas anteriormente
sobre el eje de ordenadas:

k
P(X=k)
0 5 10 15 20 25 30
0.00.020.040.060.080.100.120.14
kP(X=k)
0 5 10 15 20 25 30
0.00.20.40.60.81.0
Definición 19 Dada una variable aleatoria X : Ω → R se denomina función de distribución
acumulada (fda) de X a la función designada FX y definida por:
FX : R → R dada por FX(x) = P (X ≤ x)
Nota: Para indicar que la variable aleatoria posee fda F anotamos X ∼ F .
Ejemplo: Se arroja tres veces una moneda normal. Sea X = cantidad de caras obtenidas. Entonces
RX = {0, 1, 2, 3}. La función de distribución acumulada de X es
FX(x) =



0 si x 0
1/8 si 0 ≤ x 1
1/2 si 1 ≤ x 2
7/8 si 2 ≤ x 3
1 si x ≤ 3
Distribucion binomial acumulada
x
F(x)
-1 0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
)
)
)
)

Ejemplo: Se arroja una moneda normal hasta que sale cara.
Sea X = ”cantidad de lanzamientos antes que salga cara”. Se tiene RX = {0, 1, 2, 3, · · · }. La fda
de X es:
FX(x) =



0 si x 0
1/2 si 0 ≤ x 1
1/2 + 1/4 si 1 ≤ x 2
1/2 + 1/4 + 1/8 si 2 ≤ x 3
...
...
...
k+1
i=1
1
2
i
si k ≤ x k + 1
...
...
...
Propiedad 28 Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulada FX. Se cumple:
i) ∀x ∈ R , 0 ≤ FX(x) ≤ 1
ii) FX es no decreciente, es decir: ∀x, y ∈ R , x y ⇒ FX(x) ≤ FX(y)
iii) FX es continua por la derecha, es decir: ∀x ∈ R , lim
t → x+
FX(t) = FX(x)
iv) lim
x →−∞
FX(x) = 0 y lim
x →∞
FX(x) = 1
Dem:
i) Evidente pues FX(x) = P (X ≤ x) es una probabilidad.
ii) Sean x, y ∈ R con x y. Entonces {X ≤ x} ⊆ {X ≤ y}. Por lo tanto FX(x) =
P (X ≤ x) ≤ P (X ≤ y) = FX(y)
iii) Siendo FX no decreciente sabemos que para todo x ∈ R , lim
t → x+
FX(t) existe (es finito). Como
x + 1
n
es una sucesión de términos a la derecha de x y tal que lim
n →∞
x + 1
n
= x, en-
tonces lim
t → x+
FX(t) = lim
n →∞
FX x + 1
n
. Pero: {X ≤ x} =
∞
n=1
X ≤ x + 1
n
. Como esta
intersección es decreciente, pues X ≤ x + 1
n+1
⊆ X ≤ x + 1
n
, entonces por propiedad
de una función de probabilidad es P (X ≤ x) = lim
n →∞
P X ≤ x + 1
n
. Luego:
FX(x) = P (X ≤ x) = lim
n →∞
P X ≤ x +
1
n
= lim
n →∞
FX x +
1
n
= lim
t → x+
FX(t)
iv) Dado que Ω = {X ∈ R} =
∞
n=1
{X ≤ n} y siendo la unión creciente, por propiedad de una
función de probabilidad se tiene lim
n →∞
FX(n) = lim
n →∞
P (X ≤ n) = P (Ω) = 1. Pero siendo
FX no decreciente y acotada resulta lim
x →∞
FX(x) = lim
n →∞
FX(n). Entonces:
lim
x →∞
FX(x) = lim
n →∞
FX(n) = 1
La demostración del otro l´ımite es análoga y queda a cargo de ustedes.
Teorema 6 Sea F : R → R una función. Se cumple:
F satisface las propiedades siguientes:
i) F es no decreciente en R.

ii) F es continua a derecha en R
iii) lim
x →−∞
F (x) = 0 y lim
x →∞
F (x) = 1
si y sólo si F es la función de distribución de probabilidad acumulada de cierta variable aleatoria.
Dem: ⇐) Ya se demostró (Prop. anterior)
⇒) La demostración excede el alcance y los objetivos de este curso de modo que la omitimos. Sólo
comentaré que es necesario demostrar que existe cierto espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) y cierta
variable aleatoria X en dicho espacio, tal que FX = F
Ejemplo: Consideremos la función
F (x) =
1 − e− x si x ≥ 0
0 si x 0
El teorema anterior permite demostrar la existencia de una variable aleatoria X (definida en cierto
espacio de probabilidad) tal que F = FX. En efecto:
F es no decreciente.
F es continua a derecha en R. De hecho F continua en R
Se tiene
lim
x →−∞
F (x) = lim
x →−∞
0 = 0 y lim
x →∞
F (x) = lim
x →∞
1 − e− x
= 1
La gráfica de F tiene el siguiente aspecto:
x
F(x)
-2 0 2 4 6 8 10
0.00.20.40.60.81.0
Propiedad 29 Sean X una variable aleatoria, xo ∈ R. Se cumple:
i) FX(xo) − FX(xo−) = P (X = xo)
ii) FX es continua a izquierda en xo sii P (X = xo) = 0
iii) FX posee una cantidad a lo sumo numerable de discontinuidades.

Dem:
i) Utilizando las propiedades de continuidad de una probabilidad resulta:
FX(xo−) = lim
x → xo−
FX(x) = lim
x → xo−
P (X ≤ x) = lim
n →∞
P (X ≤ xo − 1/n) =
= P
∞
n=1
{X ≤ xo − 1/n} = P (X xo)
Por lo tanto: P (X = xo) = P (X ≤ xo) − P (X xo) = FX(xo) − FX(xo−)
ii) Evidente a partir de i).
iii) Si FX es discontinua en xo entonces P (X = xo) 0. Anotemos A = {x0 ∈ R : P (X = xo) 0}.
Queremos ver que A es a lo sumo numerable. Pero:
A =
∞
k=1
Ak donde Ak = {x0 ∈ R : P (X = xo) 1/k}
Bastará entonces mostrar que los Ak son finitos. Supongamos por el absurdo que existiera k tal
que Ak fuera infinito. Entonces existir´ıa una sucesión de términos todos distintos {xn} tal que
∀n , xn ∈ Ak. Luego:
P (A) ≥ P
∞
n=1
{xn} =
∞
n=1
P ({xn}) = ∞
dado que la serie posee término general que no tiende a cero. Absurdo. Luego los Ak son todos
finitos, con lo cual A es a lo sumo numerable
Propiedad 30 Sea X una variable aleatoria y sea FX su fda. Dados a, b ∈ R , a ≤ b, se cumple:
i) P (a X ≤ b) = FX(b) − FX(a)
ii) P (a ≤ X ≤ b) = FX(b) − FX(a−)
iii) P (a X b) = FX(b−) − FX(a)
iv) P (a ≤ X b) = FX(b−) − FX(a−)
Dem:
Demostremos i):
{a X ≤ b} = {X ≤ b} {X ≤ a}
Entonces
P (a X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) = FX(b) − FX(a)
Definición 20 Para n ∈ N, se denomina sucesión de n ensayos de Bernoulli a todo experimento
aleatorio que consiste en repetir n veces un ensayo sujeto a las siguientes condiciones:
• Las n repeticiones son independientes entre s´ı.
• Cada ensayo tiene sólo dos posibles resultados, digamos E (”éxito”) y F (”fracaso”).
• La probabilidad de E es la misma en cada uno de los n ensayos.

Es frecuente denotar la probabilidad de fracaso en cada ensayo individual por q. De modo que
p+q = 1, es decir q = 1−p. El espacio muestral asociado a una sucesión de n ensayos de Bernoulli
es Ω = {(ω1, · · · , ωn) : ωi ∈ {E, F } , 1 ≤ i ≤ n}. As´ı, el experimento consta de 2n posibles
resultados. Notemos que, salvo cuando p = 1/2, los eventos elementales no son equiprobables. De
hecho:
P ({ω}) = pr
· qn−r
sii ω posee exactamente r éxitos
Ejemplo: Se arroja 5 veces un dado normal. En cada lanzamiento llamemos E = ”sale 3”, de modo
que F = ”no sale 3”. Se trata de una sucesión de n = 5 ensayos de Bernoulli con probabilidad de
éxito p = 1/6 en cada ensayo. Entonces, por ejemplo:
P ({(3, 1, 1, 3, 6)}) =
1
6
2
·
5
6
3
Ejemplo: Se arroja 5 veces un dado normal. En cada lanzamiento llamemos E = ”sale múltiplo de 3”,
de modo que F = ”no sale múltiplo de 3”. Se trata de una sucesión de n = 5 ensayos de Bernoulli
con probabilidad de éxito p = 1/3 en cada ensayo. Entonces, por ejemplo:
P ({(3, 1, 1, 3, 6)}) =
1
3
3
·
2
3
2
Ejemplo: Dada un sucesión de n ensayos de Bernoulli, con probabilidad de éxito p en cada ensayo,
sea X = ”cantidad de éxitos en los n ensayos”. Esta variable aleatoria tiene RX = {0, 1, 2, · · · , n}.
El evento {X = k} estará formado por todos aquellos resultados elementales que consten exac-
tamente de k ”éxitos” y n − k ”fracasos”. Dado que cada uno de ellos tiene probabilidad
individual pk(1 − p)n−k, para calcular la probabilidad de {X = k} bastará multiplicar dicha
probabilidad individual por la cantidad total de resultados elementales que consten de exactamente
k ”éxitos” y n − k ”fracasos”, es decir n
k
. Entonces se tiene: P (X = k) = n
k
pk(1 − p)n−k
(k = 0, 1, · · · , n)
Ejemplo: Consideremos un ensayo aleatorio con dos resultados posibles ”éxito” y ”fracaso”, donde la
probabilidad de ”éxito” es 0 p 1. Nuestro experimento aleatorio consiste en repetir el ensayo en
forma independiente hasta obtener el primer ”éxito”. El espacio muestral puede representarse como
Ω = {E, F E, F F E, F F F E, · · · }. Los resultados elementales no son equiprobables. De hecho:
P





F · · · F
k
E




 = (1 − p)k
p
Sea X = ”cantidad de ensayos hasta obtener éxito”, de modo que RX = N. Se tiene: P (X = k) =
(1 − p)k−1p , k = 1, 2, · · · Hallemos la fda de la variable aleatoria X. Para x ≥ 0 se tiene:
FX(x) = P (X ≤ x) =
[x]
k=1
(1 − p)k−1
p = p ·
1 − q[x]
1 − q
= 1 − q[x]
donde [x] simboliza la ”parte entera de x”, es decir el mayor entero que es menor o igual que x. Por
ejemplo: [4] = 4 , [4, 1] = 4 , [3, 9] = 3. Entonces:
FX(x) =
0 si x 1
1 − q[x] si x ≥ 1
Definición 21 Dada una variable aleatoria X se denomina función de probabilidad puntual o función
de masa de probabilidad (fmp) de X a la función
pX : R → R dada por pX(x) = P (X = x)

Nota: Cuando la variable aleatoria X es discreta, con rango RX = {xn}, la fmp pX de
X queda un´ıvocamente determinada conociendo los valores pn = pX(xn). Por este motivo nos
referiremos indistintamente a pX o a {pn} cuando X sea discreta. Ejemplo: Consideremos
una sucesión de n ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito p en cada ensayo. Sea X =
”cantidad de éxitos en los n ensayos”. En este caso RX = {0, 1, · · · , n}. La fmp de X es:
pX(x) =
n
x
px(1 − p)n−x si x ∈ {0, 1, · · · , n}
0 si x ∈ {0, 1, · · · , n}
Grafiquemos esta fdp en el caso n = 10, para p = 1/2 y luego para p = 1/4
p=0.5
x
fdp(x)
0 2 4 6 8 10
0.00.050.100.150.200.250.30
p=0.25
x
fdp(x)
0 2 4 6 8 10
0.00.050.100.150.200.250.30
Propiedad 31 Para toda variable aleatoria X se cumple: ∀x ∈ R , pX(x) = FX(x) − FX(x−)
Dem: Podemos escribir {X x} =
∞
n=1
X ≤ x − 1
n
. Esta unión es creciente de manera que
por propiedades de las funciones de probabilidad vale: P (X x) = lim
n →∞
P X ≤ x − 1
n
=
lim
n →∞
FX x − 1
n
= FX(x−). Entonces pX(x) = P (X = x) = P (X ≤ x) − P (X x) =
FX(x) − FX(x−)
Nota: Obsérvese que FX(xo)−FX(xo−) representa el valor del ”salto” de la fda de X en el punto
x = xo. Cuando FX es continua en xo entonces no hay salto all´ı y en consecuencia la fmp de X es
nula en x = xo.
Propiedad 32 Sean X e Y variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de probabilidad.
Se verifica: X e Y son idénticamente distribuidas sii ∀x ∈ R , FX(x) = FY (x)
Dem: ⇒) Supongamos X e Y idénticamente distribuidas. Sea x ∈ R arbitrario. Entonces
(−∞, x] ∈ B de modo que FX(x) = P (X ∈ (−∞, x]) = P (Y ∈ (−∞, x]) = FY (x). Luego,
X e Y poseen la misma fda.
⇐) Supongamos que FX = FY . Consideremos la clase G de todos los miembros de B donde
PX coincide con PY , es decir:
G = {B ∈ B : PX(B) = PY (B)} = {B ∈ B : P (X ∈ B) = P (Y ∈ B)}

Por construcción es G ⊆ B. Además por hipótesis, tomando B = (−∞, x] se tiene PX(B) =
FX(x) = FY (x) = PY (B), de modo que G contiene a todos los subconjuntos de R de la forma
(−∞, x] con x ∈ R. Pero dado que B es la m´ınima σ-álgebra de subconjuntos de R que contiene
a todos los conjuntos de la forma (−∞, x], resulta G ⊇ B. Por lo tanto: G = B. Esto significa que
∀B ∈ B , PX(B) = PY (B)
Ejemplo: Se arroja una moneda normal 3 veces. Sean X = ”cantidad de caras obtenidas” e Y =
”cantidad de cecas obtenidas”. Veamos que X e Y son idénticamente distribuidas. En efecto, dado
que en cada ensayo la probabilidad de cara es igual a la probabilidad de ceca, se tiene:
FX(x) =
[x]
k=0
3
k
1
2
3
= FY (x)
Observemos, de paso, que X = Y . Por ejemplo, para ω = (C, C, S) es X(Ω) = 2 en tanto que
Y (ω) = 1
Propiedad 33 Sea X una variable aleatoria discreta con rango RX = {xn}. La fmp de X verifica
las propiedades siguientes:
i) ∀x ∈ R , pX(x) ≥ 0
ii)
∞
n=1
pX(xn) = 1
Dem:
Ω = {X ∈ RX} =
∞
n=1
{X = xn} siendo la unión disjunta. Por lo tanto: 1 = P (Ω) =
∞
n=1
P ({X = xn}) =
∞
n=1
pX(xn)
Propiedad 34 Sea X una variable aleatoria discreta con rango RX = {xn}. La fmp de X determina
un´ıvocamente su fda. En efecto:
FX(x) = P (X ≤ x) = P



∞
n=1
xn≤x
{X = xn}


 =
∞
n=1
xn≤x
P (X = xn) =
∞
n=1
xn≤x
pX(xn)
Ejemplo: Se lanzan dos dados. Consideremos la variable aleatoria Xi = ”número del dado i” (i =
1, 2). Sea X = ”máximo número en los dos dados”. Es decir: X = max {X1, X2}. Hallemos la
fmp y la fda de X.
Hallemos primeramente las fmp de X1 y X2. Se tiene: RX1 = RX2 = {1, 2, · · · , 6} y por
equiprobabilidad vale:
pX1 (k) = pX2 (k) = 1/6 (k = 1, 2, · · · , 6)
Por lo tanto:
FX1 (x) = FX2 (x) =
6
k=1
k≤x
1
6
=
[x]
6
Observemos ahora que
{X ≤ x} = {X1 ≤ x} ∩ {X2 ≤ x}
Por lo tanto y teniendo en cuenta la independencia de ambos lanzamientos:
FX(x) = P (X ≤ x) = P ({X1 ≤ x} ∩ {X2 ≤ x}) =
= P (X1 ≤ x)P (X2 ≤ x) = FX1 (x)FX2 (x) = [x]
6
2
= [x]2
36

Luego, para k = 1, 2, · · · , 6 se tiene:
pX(k) = P (X ≤ k) − P (X ≤ k − 1) = FX(k) − FX(k − 1) =
k2 − (k − 1)2
36
=
2k − 1
36
Generalicemos esta situación para el experimento que consiste en arrojar una dado normal n-veces.
Definamos:
Xi = ”número obtenido en el i-ésimo lanzamiento”
X = ”máximo número obtenido en los n lanzamientos”
Como antes: {X ≤ k} =
n
i=1
{Xi ≤ k} Por lo tanto, teniendo en cuenta la independencia de los
n lanzamientos, resulta:
P (X ≤ x) = P
n
i=1
{Xi ≤ x} =
n
i=1
P (Xi ≤ x) =
=
n
i=1
FXi (x) =
n
i=1
[x]
6
= [x]
6
n
Luego, para k = 1, 2, · · · , 6 se tiene:
pX(k) = FX(k) − FX(k − 1) =
k
6
n
−
k − 1
6
n
=
kn − (k − 1)n
6n
La propiedad anterior no es válida para variables aleatorias no discretas. De hecho, existen fda que son
funciones continuas en todo R. Si X una tal variable aleatoria entonces ∀x ∈ R , FX(x) = FX(x−).
Por lo tanto:
P (X = x) = P (X ≤ x) − P (X x) = FX(x) − FX(x−) = 0
Es decir, para variables aleatorias continuas la fmp carece por completo de interés dado que es
idénticamente nula.
Propiedad 35 Sea {pn} una sucesión tal que:
i) ∀n ∈ N , pn ≥ 0
ii)
∞
x=1
pn = 1
Entonces {pn} es una fmp.
Dem:
Definamos F (x) =
∞
n=1
n≤x
pn. Dejo a cargo de ustedes verificar que F satisface las condiciones para
ser una fda (Teorema 1)
Motivaremos ahora la noción de variable aleatoria continua.
Ejemplo: Consideremos una población formada por un gran número N = 1000 de personas. Supong-
amos que nos interesa la distribución de la variable aleatoria X que mide la altura de un individuo
seleccionado al azar dentro de esta población. Supongamos para fijar ideas que las alturas se miden
en cm y que se encuentran en el intervalo [150, 190] Dado el gran número de personas en la población
podemos tener una idea aproximada de la distribución de alturas dividiendo el intervalo [150, 190]

en cuatro subintervalos de igual longitud [150, 160) , [160, 170) , [170, 180) , [180, 190) y de-
terminando las frecuencias, es decir la cantidad de individuos cuyas alturas caen en el respectivo
subintervalo. Para fijar ideas, supongamos que tales frecuencias resulten como muestra la tabla:
Intervalo f(frecuencia) fr(frecuencia relativa) fr/(longitud subintervalo)
[150, 160) 80 0.10 0.01
[160, 170) 150 0.25 0.025
[170, 180) 500 0.50 0.05
[180, 190) 150 0.15 0.015
Si tomamos el extremo izquierdo de cada subintervalo como representativo de un valor en dicho subin-
tervalo, la tabla anterior provee una variable aleatoria discreta D que aproxima a la variable aleatoria
X y que toma los cuatro valores 150, 160, 170, 180 con probabilidades dadas por la columna fr y
que podemos resumir en esta otra tabla:
k pD(k) pD(k)/(long.subintervalo)
150 0.10 0.01
160 0.25 0.025
170 0.50 0.05
180 0.15 0.015
Para obtener una variable aleatoria discreta cuya distribución represente más fielmente la distribución
de X podemos refinar nuestra partición del intervalo original [150, 190] y recalcular la fmp de la
variable discreta obtenida. Siguiendo de este modo, aumentando cada vez la cantidad de subinterva-
los y reduciendo la longitud de los mismos (norma tendiendo a cero) e imaginando que la población
es tan grande que puede suponerse ”infinita” y por ende este proceso podr´ıa segir indefinidamente,
obtendr´ıamos por lo general una situación como se muestra en los gráficos siguientes, en la que se
grafica pD/(long.subintervalo) versus x para particiones con norma cada vez menor. Comente-
mos algunas caracter´ısticas interesantes acerca de estos gráficos:
• Permiten ”reconstruir” la fmp de la v.a.discreta simplemente hallando el área de cada rectángulo.
• Dado que hemos considerado únicamente particiones regulares, los rectángulos más altos y los
más bajos permiten visualizar los valores más probables y los menos probables de la variable
discreta y, como la discreta aproxima a la v.a. X, también podemos localizar los intervalos
donde X cae con mayor y con menor probabilidad.
• Cuidado: Las alturas de los rectángulos no dan probabilidades sino probabilidades por unidad
de longitud.
• Si la variable aleatoria X es discreta, el proceso deja de ser informativo dado que a partir de
cierto momento habrá una enorme cantidad de subintervalos donde fr/L (L la long. del
subintervalo) será nula y algunos otros (a lo sumo tantos como valores tome la v.a. X) donde
fr/L será muy grande (pues L tiende a cero en tanto que fr permanecerá fija). En el l´ımite
podr´ıamos decir que las gráficas tienden a ser nulas salvo en una cantidad a lo sumo numerable
de ”picos infinitos”.
• La suma de las áreas de los rectángulos es 1
• Las gráficas de las alturas de los rectángulos se asemejan cada vez más a la gráfica de una
función, digamos f(x), de argumento continuo.

150 160 170 180 190
0.00.010.030.05
x
150 160 170 180 190
0.00.010.030.05
x
150 160 170 180 190
0.00.010.030.05
x
150 160 170 180 190
0.00.010.030.05
x
Este ejemplo motiva la definición que sigue.
Definición 22 Se dice que una variable aleatoria X es continua (o más precisamente absolutamente
continua) sii existe al menos una función fX : R → R tal que:
i) ∀x ∈ R , fX(x) ≥ 0
ii) ∀A ∈ B , P (X ∈ A) =
A
fX(x) dx
Una tal función fX se denomina una función de densidad de probabilidad (fdp) de X o de FX.
Nota:
• Dado que la integral involucrada en esta definición puede ser impropia, se presupone su conver-
gencia.
• Tomando A = (−∞, x] se tiene que FX(x) =
x
−∞
fX(t) dt
En particular, si fX sea una función continua en el intervalo (a, b) resulta FX derivable en
(a, b) y vale ∀x ∈ (a, b) , FX(x) = fX(x).
• Observemos que
∞
−∞
fX(x) dx = P (X ∈ R) = 1. Es decir, el área bajo la curva y =
fX(x) es igual a 1. Esto implica que una fdp, a diferencia de una fda, no puede ser monótona
puesto que para la convergencia de esta integral impropia es necesario que se verifique:
lim
x →−∞
fX(x) = 0 y lim
x →∞
fX(x) = 0
• Si X es variable aleatoria continua entonces para cualquier intervalo I ⊆ R de extremos a y
b se tiene
P (X ∈ I) = FX(b) − FX(a) =
b
−∞
fX(x) dx −
a
−∞
fX(x) dx =
b
a
fX(x) dx

Combinatoria

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (16)

Similar a Combinatoria

Similar a Combinatoria (20)

Último

Último (20)

Combinatoria