Curvas cónicas. Elementoscaracterísticos y ecuaciones reducidas( y−k) = 2 p(x−h)2( y−k)2= 2 p(x−h)(x−h)2a2+( y−k)2b2= 1(x−...
IntroducciónEn estas diapositivas repasaremos lasecuaciones reducidas de las cónicas curvascónicas elipse, hipérbola y par...
ElipseRecordemos que la elipse es el lugargeométricos de todos los puntos que distan lomismo a dos puntos denominados foco...
Elementos característicos de laelipse● Focos ( se suelen representar por F y F)● Centro (se suele representar (h,k); si es...
Ecuación reducida de la elipse confocos en el eje OX(x−h)2a2+( y−k)2b2= 1Recordemos que a2=b2+c2y la exc=c/a. Estasexpresi...
Elipse con focos en el eje OX
Ecuación reducida de la elipse confocos en el eje OY(x−h)2b2+( y−k)2a2= 1Aquí también se cumple que a2=b2+c2pero sedefine ...
Elipse con focos en el eje OY
HipérbolaRecordemos que la hipérbola es el lugargeométrico de todos los puntos tal que sudistancia a uno de los focos meno...
Elementos característicos de lahipérbola● Focos ( se suelen representar por F y F)● Centro (se suele representar (h,k); si...
Ecuación reducida de la hipérbolacon focos en el eje OX(x−h)2a2−( y−k)2b2= 1Recordemos que c2=a2+b2. Además exc=c/a,siendo...
Hipérbola con focos en el eje OX
Ecuación reducida de la hipérbolacon focos en el eje OY( y−k)2b2−(x−h)2a2= 1Aquí se sigue cumpliendo la relación c2=a2+b2y...
Hipérbola con focos en el eje OY
ParábolaDefinimos la parábola como el lugar geométricode todos los puntos tales que distan lo mismode un punto denominado ...
Elementos de la parábola● Foco (se suelen representar por F )● Centro (se suele representar (h,k); si es(0,0) decimos que ...
Ecuación reducida de la parábolacon foco en el eje OX( y−k)2= 2 p(x−h)En algunos textos se llama p a la distancia queexist...
Parábola con foco en el eje OX
Ecuación reducida de la parábolacon foco en el eje OY( y−k) = 2 p(x−h)2En algunos textos se llama p a la distanciaque exis...
Parábola con el foco en el eje OY
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Curvas cónicas, ecuaciones reducidas

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diapositivas empleadas en clases particulares con un breve resumen sobre las curvas cónicas más usadas.

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Curvas cónicas, ecuaciones reducidas

  1. 1. Curvas cónicas. Elementoscaracterísticos y ecuaciones reducidas( y−k) = 2 p(x−h)2( y−k)2= 2 p(x−h)(x−h)2a2+( y−k)2b2= 1(x−h)2b2+( y−k)2a2= 1(x−h)2a2−( y−k)2b2= 1( y−k)2b2−(x−h)2a2= 1
  2. 2. IntroducciónEn estas diapositivas repasaremos lasecuaciones reducidas de las cónicas curvascónicas elipse, hipérbola y parábola y veremosun ejemplo gráfico de cada una.Al ser una diapositiva pensada para el repasode solo los temas citados antes, el lectordeberá saber los conceptos relativos adefinición, posición de los focos y elementoscaracterísticos de una curva cónica paraentenderla en su totalidad.
  3. 3. ElipseRecordemos que la elipse es el lugargeométricos de todos los puntos que distan lomismo a dos puntos denominados focos. Estadistancia es una constante igual al valor del ejemayor.Los elementos característicos de la elipse sonel centro, los focos, el semieje menor, elsemieje mayor, la semidistancia focal y laexcentricidad.
  4. 4. Elementos característicos de laelipse● Focos ( se suelen representar por F y F)● Centro (se suele representar (h,k); si es(0,0) decimos que la elipse está centradaen el origen de coordenadas).● Semieje mayor (a)● Semieje menor (b)● Semidistancia focal (c)● Excentricidad (exc)
  5. 5. Ecuación reducida de la elipse confocos en el eje OX(x−h)2a2+( y−k)2b2= 1Recordemos que a2=b2+c2y la exc=c/a. Estasexpresiones será muy útil cuando nos falte elvalor de algún característico que defina la curvacónica en nuestra ecuación reducida.
  6. 6. Elipse con focos en el eje OX
  7. 7. Ecuación reducida de la elipse confocos en el eje OY(x−h)2b2+( y−k)2a2= 1Aquí también se cumple que a2=b2+c2pero sedefine la excentricidad como exc=a/c. Estecambio provoca el intercambio de los término ay b con respecto la expresión anterior.
  8. 8. Elipse con focos en el eje OY
  9. 9. HipérbolaRecordemos que la hipérbola es el lugargeométrico de todos los puntos tal que sudistancia a uno de los focos menos la distanciadel punto al otro foco es una constante igual alvalor del eje mayor.Los elementos característicos de la hipérbolason el centro, los focos, el semieje menor, elsemieje mayor, la semidistancia focal y laexcentricidad.
  10. 10. Elementos característicos de lahipérbola● Focos ( se suelen representar por F y F)● Centro (se suele representar (h,k); si es(0,0) decimos que la hipérbola estácentrada en el origen de coordenadas).● Semieje mayor (a)● Semieje menor (b)● Semidistancia focal (c)● Excentricidad (exc)
  11. 11. Ecuación reducida de la hipérbolacon focos en el eje OX(x−h)2a2−( y−k)2b2= 1Recordemos que c2=a2+b2. Además exc=c/a,siendo un valor mayor que 1.Ojo con el signo del segundo término de lasuma del miembro izquierdo de la expresión;en una hipérbola siempre tendremos unaresta y en una elipse una suma.
  12. 12. Hipérbola con focos en el eje OX
  13. 13. Ecuación reducida de la hipérbolacon focos en el eje OY( y−k)2b2−(x−h)2a2= 1Aquí se sigue cumpliendo la relación c2=a2+b2ylo que comentamos sobre el signo menos delmiembro izquierdo de la expresión y laexpresión. Ojo con el signo de esta expresión,es lo que le diferencia de la ecuación reducidade la elipse.
  14. 14. Hipérbola con focos en el eje OY
  15. 15. ParábolaDefinimos la parábola como el lugar geométricode todos los puntos tales que distan lo mismode un punto denominado foco que a una recta,la cual llamamos recta directriz.Los elementos característicos de una parábolason el foco, la recta directriz, la distancia entreel foco y la directriz y el vértice de la parábola.
  16. 16. Elementos de la parábola● Foco (se suelen representar por F )● Centro (se suele representar (h,k); si es(0,0) decimos que la parábola estácentrada en el origen de coordenadas).● Vértice (V)● distancia foco-directriz (2p)● Excentricidad (exc)
  17. 17. Ecuación reducida de la parábolacon foco en el eje OX( y−k)2= 2 p(x−h)En algunos textos se llama p a la distancia queexiste entre el foco de una parábola y surecta directriz. Nosotros nos hemos decantadopor la distancia del foco al vértice (y por lotanto, la distancia del vértice a la directriz),que suele ser la más usual.
  18. 18. Parábola con foco en el eje OX
  19. 19. Ecuación reducida de la parábolacon foco en el eje OY( y−k) = 2 p(x−h)2En algunos textos se llama p a la distanciaque existe entre el foco de una parábola ysu recta directriz. Nosotros nos hemosdecantado por la distancia del foco al vértice(y por lo tanto, la distancia del vértice a ladirectriz), que suele ser la más usual.
  20. 20. Parábola con el foco en el eje OY

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