Canicas

1. Ingenier´ıa de la Energ´ıa.
Matem´aticas I. 2020-2021.
Departamento de Matem´atica Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 1.- Las c´onicas.
1.1.- La par´abola.
1.2.- La elipse.
1.3.- La hip´erbola.
1.4.- C´onica. Clasificaci´on de c´onicas no giradas.
1.1.- La par´abola.
Par´abola. Dada una recta L, llamada directriz, y un punto fijo F (no perteneciente a la
recta), llamado foco, el conjunto de los puntos del plano que equidistan de la recta L y del
punto F se denomina par´abola de foco F y directriz L.
Ecuaci´on de la par´abola. Se toma el sistema de referencia dado por:
– eje OX , la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L;
– origen del sistema de referencia, el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la
directriz;
– eje OY , la recta que pasa por O y es paralela a la directriz.
Si se denota la distancia del foco F a la directriz L por d(F, L) = p > 0 entonces tenemos
que, en este sistema de referencia,
F =
⇣p
2
, 0
⌘
y L ⌘ x =
p
2
.
Adem´as, un punto P = (x, y) pertenece a la par´abola considerada si y s´olo si
y2
= 2px
Observemos que esta par´abola es sim´etrica respecto al eje OX que tiene de ecuaci´on y = 0.
1

2. 2 Tema 1.- Las c´onicas.
Elementos notables de la par´abola.
– Eje de la par´abola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. En este
caso es el eje OX.
– V´ertice es el punto de intersecci´on de la par´abola con dicho eje. En este caso, es el origen
de coordenadas O.
Algunas variantes de la ecuaci´on de la par´abola.
– Si a esta par´abola le efectuamos un giro de 180 grados, obtenemos una par´abola con v´ertice
en (0, 0), con eje de simetr´ıa el eje OX, con foco eF = (
p
2
, 0), con directriz eL ⌘ x =
p
2
y de
ecuaci´on
y2
= 2px con p = d( eF, eL) = d(F, L).
– Si en vez de efectuarle un giro se le hace una traslaci´on de manera que el eje de simetr´ıa
tenga por ecuaci´on y = y su v´ertice sea el punto (↵, ) obtenemos otra par´abola con foco
eF = (
p
2
+ ↵, ), con directriz eL ⌘ x =
p
2
+ ↵ y de ecuaci´on
(y )2
= 2p (x ↵) con p = d( eF, eL) = d(F, L).
– De forma an´aloga, si intercambiamos en todo momento los papeles de x e y, obtenemos
que una ecuaci´on del tipo
x2
= 2py con p = d(F, L).
define una par´abola con eje de simetr´ıa el eje OY y v´ertice el origen de coordenadas.
– Si a esta par´abola le efectuamos un giro de 180 grados, obtenemos una par´abola con v´ertice
en (0, 0), con eje de simetr´ıa el eje OY, con foco eF =
⇣
0,
p
2
⌘
, con directriz eL ⌘ y =
p
2
y
de ecuaci´on
x2
= 2py con p = d( eF, eL) = d(F, L).
– Si en vez de efectuarle un giro se le hace una traslaci´on de manera que el eje de simetr´ıa
tenga por ecuaci´on x = ↵ y su v´ertice sea el punto (↵, ) obtenemos otra par´abola con foco
eF =
⇣
↵,
p
2
+
⌘
, con directriz eL ⌘ y =
p
2
+ y de ecuaci´on
(x ↵)2
= 2p (y ) con p = d( eF, eL) = d(F, L).
Matem´aticas I. Ingenier´ıa de la Enneg´ıa

3. 1.2- La elipse. 3
1.2.- La elipse.
Elipse. Se denomina elipse al conjunto de los puntos del plano cuya suma de las distancias
a dos puntos fijos F1 y F2, que llamaremos focos de la elipse, es constante. A esa constante
se le suele denotar por 2a > 0 y debe ser mayor que la distancia entre los focos.
Ecuaci´on de la elipse. Se toma el sistema de referencia dado por:
– eje OX, la recta que une los focos F1 y F2.
– eje OY , la recta perpendicular al eje OX que pasa por el punto medio de los focos;
– origen O del sistema de referencia, dicho punto medio.
Si la distancia entre los focos se denota por d(F1, F2) = 2c 0 con c < a, tenemos que en
este sistema de referencia,
F1 = (c, 0) y F2 = ( c, 0).
Adem´as, un punto P = (x, y) pertenece a la elipse considerada si y s´olo si
x2
a2
+
y2
b2
= 1 con b2
= a2
c2
.
Notemos que, en este caso b < a.
El eje OX y el eje OY son ejes de simetr´ıa de dicha elipse, y por tanto, la elipse es sim´etrica
respecto del punto medio de los focos que se llama centro de la elipse.
Matem´aticas I. 2020-21

4. 4 Tema 1.- Las c´onicas.
La circunferencia no es m´as que un caso particular de la elipse, que se obtiene cuando los dos
focos son un mismo punto que se denomina centro de la circunferencia: si F1 = F2 tenemos
que c = 0 y, por tanto, a = b.
Elementos notables de la elipse.
– Centro de la elipse es el punto medio de los focos. En este caso es el origen de coordenadas
(0, 0).
– Ejes de la elipse son dos: por un lado, la recta que une los dos focos (eje focal) y, por otro,
la recta perpendicular a ´esta que pasa por el centro. En este caso son, el eje OX y el eje OY,
respectivamente.
– V´ertices son los puntos en los que los ejes cortan a la elipse. En este caso, los puntos
(±a, 0) y (0, ±b).
– Semiejes de la elipse, son las distancias de los v´ertices al centro de la elipse. En este caso,
a y b.
Algunas variantes de la ecuaci´on de la elipse.
– Si a esta elipse se le hace una traslaci´on de manera que los ejes de simetr´ıa sean paralelos
a los ejes coordenados y su centro sea el punto (↵, ) obtenemos otra elipse con focos fF1 =
(c + ↵, ) y fF2 = ( c + ↵, ) y de ecuaci´on
(x ↵)2
a2
+
(y )2
b2
= 1 con b2
= a2
c2
y 2c = d(fF1, fF2) = d(F1, F2)
– Si hacemos el mismo razonamiento que antes pero intercambiando en todo momento los
papeles de x e y, esto es tomando como eje OY el que contiene a los focos, entonces obtenemos
una ecuaci´on del tipo
x2
a2
+
y2
b2
= 1 con a2
= b2
c2
que corresponde a una elipse con semiejes a y b con a < b.
Matem´aticas I. Ingenier´ıa de la Enneg´ıa

5. 1.3- La hip´erbola. 5
1.3.- La hip´erbola.
Hip´erbola. Se denomina hip´erbola al conjunto de los puntos del plano cuya diferencia de
las distancias a dos puntos fijos F1 y F2, que llamaremos focos de la hip´erbola, es constante.
A esa constante se le suele denotar por 2a > 0 y debe ser menor que la distancia entre los
focos.
Ecuaci´on de la hip´erbola. Se toma el sistema de referencia dado por:
– eje OX, la recta que une los focos F1 y F2;
– eje OY , la recta perpendicular al eje OX que pasa por el punto medio de los focos;
– origen O del sistema de referencia, tomamos dicho punto medio.
Si la distancia entre los focos se denota por d(F1, F2) = 2c > 0 con a < c, tenemos que en
este sistema de referencia,
F1 = (c, 0) y F2 = ( c, 0).
Adem´as, un punto P = (x, y) pertenece a la hip´erbola considerada si y s´olo si
x2
a2
y2
b2
= 1 con b2
= c2
a2
.
Notemos que el eje OX y el eje OY son ejes de simetr´ıa de dicha hip´erbola, y por tanto,
la hip´erbola es sim´etrica respecto del punto medio de los focos que se llama centro de la
hip´erbola.
Matem´aticas I. 2020-21

6. 6 Tema 1.- Las c´onicas.
Elementos notables de la hip´erbola.
– Centro de la hip´erbola es el punto medio de los focos. En este caso es el origen de coorde-
nadas (0, 0).
– Ejes de la hip´erbola son dos: por un lado, la recta que une los dos focos y, por otro, la
recta perpendicular a ´esta que pasa por el centro. En este caso son, el eje OX y el eje OY,
respectivamente.
– V´ertices son los puntos en los que los ejes cortan a la hip´erbola. El eje que contiene a los
focos s´ı corta a la hip´erbola mientras que el otro eje no. En este caso, los v´ertices son los
puntos (±a, 0).
– Semiejes de la hip´erbola, son dos: por un lado, la distancia de los v´ertices al centro de la
elipse (en este caso a) y, por otro, el valor b > 0 tal que c2
= a2
+ b2
.
– As´ıntotas son las rectas que pasan por el centro de la hip´erbola y tienen de pendientes
m = ±
b
a
. Se dice que la hip´erbola es equil´atera si sus dos semiejes son iguales, es decir, a = b,
o equivalentemente, si sus as´ıntotas son perpendiculares entre s´ı.
Algunas variantes de la ecuaci´on de la hip´erbola.
– Si a esta hip´erbola se le hace una traslaci´on de manera que los ejes de simetr´ıa sean
paralelos a los ejes coordenados y su centro sea el punto (↵, ) obtenemos otra hip´erbola con
focos fF1 = (c + ↵, ) y fF2 = ( c + ↵, ) y de ecuaci´on
(x ↵)2
a2
(y )2
b2
= 1 con b2
= c2
a2
y 2c = d(fF1, fF2) = d(F1, F2)
– Si hacemos el mismo razonamiento que antes pero intercambiando en todo momento los pa-
peles de x e y, esto es, tomando como eje OY el que contiene a los focos, entonces obtenemos
una ecuaci´on del tipo
x2
a2
y2
b2
= 1 con a2
= c2
b2
que corresponde a una hip´erbola con v´ertices (0, ±b) y que no corta al eje OX. Sus as´ıntotas
tienen por pendiente m = ±
b
a
.
Matem´aticas I. Ingenier´ıa de la Enneg´ıa

7. 1.4.- C´onica. Clasificaci´on de c´onicas no giradas. 7
1.4.- C´onica. Clasificaci´on de c´onicas no giradas.
Secciones c´onicas. La elipse, la hip´erbola y la par´abola son tambi´en llamadas secciones
c´onicas pues son curvas que se obtienen al seccionar un cono circular recto mediante un
plano (ver figuras). M´as concretamente,
(a) La hip´erbola, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por el v´ertice y cuyo
´angulo de inclinaci´on respecto al eje del cono sea menor que el de la generatriz del cono.
(b) La par´abola, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por el v´ertice y sea
paralelo a una generatriz.
(c) La elipse, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por el v´ertice y cuyo
´angulo de inclinaci´on respecto al eje del cono sea mayor que el de la generatriz del cono.
La circunferencia se obtiene como un caso particular de elipse si cortamos con un plano
perpendicular al eje del cono.
C´onica. Una c´onica es el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y)
verifican una ecuaci´on de segundo grado del tipo
a11x2
+ a22y2
+ 2a12xy + 2a1x + 2a2y + a0 = 0,
con alguno a11 o a22 o a12 diferente de cero. Las par´abolas, elipses e hip´erbolas son casos
particulares. Pero tambi´en est´an las llamadas c´onicas degeneradas:
– Un par de rectas que se cortan en un punto. Por ejemplo: x2
y2
= 0, esto es, x = ±y.
– Un par de rectas paralelas. Por ejemplo: x2
4 = 0, esto es, x = ±4.
– Un par de rectas coincidentes. Por ejemplo: x2
= 0, esto es, x = 0 dos veces.
– Un ´unico punto. Por ejemplo: x2
+ y2
= 0, esto es, (x, y) = (0, 0).
– El vac´ıo. Por ejemplo x2
+ y2
+ 1 = 0.
C´onica no girada. Se denomina c´onica no girada aquella c´onica sin t´ermino en xy (esto
es, con a12 = 0). Corresponden a c´onicas cuyas ecuaciones pueden reducirse completando
cuadrados y realizando una traslaci´on. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones reducidas
de la c´onica.
Clasificaci´on de las c´onicas no giradas. Clasificaremos las c´onicas no giradas teniendo
en cuenta sus ecuaciones reducidas.
C´onica tipo el´ıptico. Se obtiene cuando a11 y a22 son del mismo signo. En ese caso, comple-
tando cuadrados se consigue una ecuaci´on reducida de la forma:
A(x ↵)2
+ B(y )2
= C,
con los coeficientes A, B > 0. Se tienen tres casos dependiendo del signo de C:
– Si C > 0 entonces obtenemos una elipse de centro (↵, ) y ejes paralelos a los ejes coorde-
nados. Si A > B el eje focal es paralelo a OY , si A < B el eje focal es paralelo a OX y si
A = B entonces es una circunferencia.
– Si C < 0 entonces obtenemos el vac´ıo.
– Si C = 0 entonces obtenemos un punto, (↵, ).
C´onica tipo hiperb´olico. Se obtiene cuando a11 y a22 son de diferente signo. En ese caso,
completando cuadrados se consigue una ecuaci´on reducida de la forma:
A(x ↵)2
B(y )2
= C,
Matem´aticas I. 2020-21

8. 8 Tema 1.- Las c´onicas.
con los coeficientes A, B > 0. Se tienen tres casos dependiendo del signo de C:
– Si C 6= 0 entonces obtenemos una hip´erbola de centro (↵, ) y ejes paralelos a los ejes
coordenados. Cuando C < 0 entonces el eje focal es paralelo a OY y si C > 0 el eje focal es
paralelo a OX.
– Si C = 0 entonces obtenemos un par de rectas secantes en (↵, ).
C´onica tipo parab´olico. Se obtiene cuando a11 o a22 es cero. Si a22 = 0 (a11 = 0) entonces
atendiendo a a2 (a1) tenemos dos situaciones diferentes.
– Si a2 6= 0 (a1 6= 0) entonces se consigue una ecuaci´on de la forma
(x ↵)2
= C(y ) (y )2
= C(x ↵) ,
con C 6= 0. Se trata de una par´abola de v´ertice (↵, ) y eje paralelo al OY (OX).
– Si a2 = 0 (a1 = 0) entonces se consigue una ecuaci´on reducida de la forma
(x ↵)2
= C (y )2
= C .
Tenemos tres opciones diferentes seg´un C.
– Si C < 0 entonces obtenemos el vac´ıo.
– Si C > 0 entonces obtenemos un par de rectas paralelas.
– Si C = 0 entonces obtenemos una recta doble.
El siguiente esquema resume el m´etodo de clasificaci´on de una c´onica no girada de la
forma
a11x2
+ a22y2
+ 2a1x + 2a2y + a0 = 0.
Matem´aticas I. Ingenier´ıa de la Enneg´ıa

9. Ejercicios. 9
Ejercicios.
Ejercicio 1. (1) En el concepto de par´abola hemos supuesto que el foco no pertenece a la
directriz ¿Qu´e ocurre si consideramos la opci´on de que el foco est´e en la directriz?
(2) La definici´on de elipse supone que c < a, es decir la distancia focal es menor que la
constante que suman las distancias de cualquier punto de la curva a los focos ¿Qu´e ocurre
si c a?
(3) La definici´on de hip´erbola supone que c > a, es decir la distancia focal es mayor que la
constante de diferencia entre las distancias de cualquier punto de la curva a los focos ¿Qu´e
ocurre si c  a?
Ejercicio 2. Determina la ecuaci´on de la c´onica indicada en cada apartado.
(1) La par´abola que tiene su v´ertice en el punto V = ( 1, 1) y su foco en F = ( 2, 1).
(2) La par´abola de eje vertical que tiene por foco F = ( 2, 3) y pasa por el punto ( 2, 1).
(3) La par´abola que tiene por foco F = ( 2, 3), su v´ertice est´a a la izquierda del foco con
la misma altura y pasa por el punto ( 2, 1)
(4) La elipse que pasa por el punto P = (4, 15
4
) y tiene por focos los puntos F1 = (4, 2) y
F2 = ( 2, 2).
(5) La hip´erbola que tiene por v´ertices los puntos (1, 2) y (1, 6) y pasa por el punto (7, 0).
(6) La hip´erbola que verifica que sus focos est´an en la recta x = 1, la distancia entre los
v´ertices es 6 y una de sus as´ıntotas es la recta y 3x + 1 = 0.
Ejercicio 3. Indica la respuesta correcta:
(1) La ecuaci´on y2
6x 4y 20 = 0 corresponde a:
a) Una par´abola cuyo v´ertice es V = ( 4, 2).
b) Una par´abola cuyo eje es la recta de ecuaci´on y = 4.
c) Dos rectas que se cortan en un punto.
(2) La ecuaci´on 5x2
+ y2
= 1 corresponde a:
a) Una elipse con focos en el eje de abscisas.
b) Una elipse con focos en el eje de ordenadas.
c) Una hip´erbola.
Ejercicio 4. Clasifica las siguientes c´onicas, determinando su ecuaci´on reducida, sus ele-
mentos notables y su representaci´on gr´afica.
Matem´aticas I. 2020-21

10. 10 Tema 1.- Las c´onicas.
(1) x2
+ y2
2x 6y + 10 = 0.
(2) y2
4y = 0.
(3) 2y2
+ 4y + 3x + 7 = 0.
(4) 9x2
y2
+ 9x + 3y + 1 = 0.
Ejercicio 5. Clasifica las siguientes c´onicas, determinando su ecuaci´on reducida, sus ele-
mentos notables y su representaci´on gr´afica.
(1) 3x2
+ 3y2
+ x + 5y + 1 = 0.
(2) 3x2
3y2
+ x + 5y + 1 = 0.
(3) 3y2
+ x + 5y + 1 = 0.
(4) x2
+ 2y2
4x 4y + 4 = 0.
Ejercicio 6. Clasifica las siguientes c´onicas, determinando su ecuaci´on reducida, sus ele-
mentos notables y su representaci´on gr´afica.
(1) 4x2
+ y2
8x + 4y 8 = 0. (2012-13)
(2) x2
+ 4y2
+ 6x + 8y + 4 = 0. (2012-13)
(3) 9x2
+ 4y2
54x 8y + 49 = 0. (2013-14)
(4) x2
+ 9y2
2x + 18y + 9 = 0. (2013-14)
Ejercicio 7. Determina, seg´un los valores de ↵ 2 R, el tipo de c´onica que corresponde a
cada una de las ecuaciones siguientes:
(1) 2x2
+ (↵2
1)y2
2x + (↵ 1)y 3 = 0.
(2) x2
+ ↵y2
+ x + 2y + ↵ 1 = 0.
(3) ↵x2
+ (↵2
↵)y2
2x 4y + 2 = 0.
Ejercicio 8. Determina, si existen, los valores de ↵ 2 R para los que la siguiente ecuaci´on
corresponde a una circunferencia o a una hip´erbola equil´atera
2x2
+ ↵y2
6x + 3y + ↵ = 0.
Matem´aticas I. Ingenier´ıa de la Enneg´ıa

11. Soluciones de los ejercicios. 11
Soluciones de los ejercicios.
Ejercicio 1. (1) El lugar geom´etrico coincide con la recta perpendicular a la directriz que
pasa por el foco.
(2) Si c > a entonces no obtenemos ning´un punto porque la distancia m´as corta entre dos
puntos es la l´ınea recta, y por lo tanto no puede ser mayor la distancia directa entre los dos
focos que la suma de la distancias pasando por otro punto. Si c = a entonces obtenemos el
segmento entre ambos focos.
(3) Si c < a entonces no obtenemos ning´un punto porque la distancia de un punto al foco
m´as lejano no puede se mayor que si pasamos primero por el otro foco. Si c = a se obtiene
la recta focal menos el segmento abierto entre ambos focos.
Ejercicio 2. (1) 4(x + 1) = (y 1)2
(2) 8(y 1) = (x + 2)2
(3) 4(x + 3) = (y 3)2
(4)
(x 1)2
16
+
(y 2)2
7
= 1 (5)
(y 4)2
4
(x 1)2
12
= 1 (6)
(y 2)2
81
(x 1)2
9
= 1.
Ejercicio 3. (1) a (2) b.
Ejercicio 4. (1) El punto (1, 3), ecuaci´on reducida (x 1)2
+ (y 3)2
= 0.
(2) El par de rectas paralelas y = 0 e y = 4. La ecuaci´on reducida es (y 2)2
= 4.
(3) Par´abola. Ecuaci´on reducida (y+1)2
= 3(x+5/3). V´ertice ( 5/3, 1), foco ( 49/24, 1),
directriz x = 31/24, eje y = 1, p = 3/2.
(4) Hip´erbola. Ecuaci´on reducida
(x + 1/2)2
1/9
(y 3/2)2
= 1.
Centro ( 1/2, 3/2), semieje 1, focos ( 1/2, 1/6(9±2
p
10)), v´ertices ( 1/2, 1/2) y ( 1/2, 5/2),
eje focal x = 1/2, eje secundario y = 3/2.
Matem´aticas I. 2020-21

12. 12 Tema 1.- Las c´onicas.
Ejercicio 5. (1) Circunferencia de centro C = ( 1/6, 5/6) y radio r =
q
7
18
. Ecuaci´on
reducida
(x + 1/6)2
7/18
+
(y + 5/6)2
7/18
= 1.
(2) Hip´erbola equilatera. La ecuaci´on reducida es (x + 1/6)2
(y 5/6)2
= 1. Centro
C = ( 1/6, 5/6). eje focal x = 1/6, eje secundario y = 5/6, v´ertices V1 = ( 1/6, 11/6)
y V2 = ( 1/6, 1/6), c =
p
2, focos F1 = ( 1/6, 5/6 +
p
2) y F2 = ( 1/6, 5/6
p
2), las
as´ıntotas son las rectas x y + 1 = 0 y x + y 2
3
= 0.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
y
X
Y
C
V2
V1
3x
2
−3y
2
+x+5y+1=0
(3) Par´abola. Ecuaci´on reducida a falta de la traslaci´on
✓
y +
5
6
◆2
=
1
3
✓
x
13
12
◆
.
V´ertice (13/12, 5/6), eje y = 5/6, foco F = (1, 5/6), directriz L ⌘ x = 7/6, p = 1/6.
Matem´aticas I. Ingenier´ıa de la Enneg´ıa

13. Soluciones de los ejercicios. 13
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
x
y
3y
2
+x+5y+1=0
X
Y
F
L
O
(4) Elipse. Ecuaci´on reducida
(x 2)2
2
+ (y 1)2
= 1.
Centro (2, 1), focos (1, 1) y (3, 1), semiejes
p
2 y 1, eje focal y = 1, eje secundario x = 2,
v´ertices (2 ±
p
2, 1), (2, 0) y (2, 2).
Ejercicio 6. (1) Elipse. Ecuaci´on reducida
(x 1)2
4
+
(y + 2)2
16
= 1.
Centro (1, 2), focos (1, 2 ± 2
p
3), semiejes 4 y 2, eje focal x = 1, eje secundario y = 2,
v´ertices (1, 6), (1, 2), ( 1, 2) y (3, 2).
Matem´aticas I. 2020-21

14. 14 Tema 1.- Las c´onicas.
(2) Hip´erbola. Ecuaci´on reducida
(x 3)2
9
(y + 1)2
9/4
= 1.
Centro (3, 1), semieje 3, focos (3/2(2±
p
5), 1), v´ertices (0, 1) y (6, 1), eje focal y = 1,
eje secundario x = 3, as´ıntotas 2(y + 1) = ±(x 3)
(3) Elipse. Ecuaci´on reducida
(x 3)2
4
+
(y 1)2
9
= 1.
Centro (3, 1), focos (3, 1 ±
p
5), semiejes 3 y 2, eje focal x = 3, eje secundario y = 1, v´ertices
(3, 2), (3, 4), (1, 1) y (5, 1).
Matem´aticas I. Ingenier´ıa de la Enneg´ıa

15. Soluciones de los ejercicios. 15
(4) Elipse. Ecuaci´on reducida
(x 1)2
+
(y + 1)2
1/9
= 1.
Centro (1, 1), focos ((1/3)(3±2
p
2), 1), semiejes 1 y 1/3, eje focal y = 1, eje secundario
x = 1, v´ertices (0, 1), (2, 1), (1, 2/3) y (1, 4/3).
Ejercicio 7. (1) Sea ↵0 = 13
15
, se obtienen los siguientes casos:
↵ < 1 1 < ↵ < ↵0 ↵ = ↵0 ↵0 < ↵ < 1 1 < ↵
elipse hip´erbola 2 rectas secantes hip´erbola elipse
(2) Siendo ↵1 = 5
p
89
8
< 0 < ↵2 = 5+
p
89
8
, se obtienen los siguientes casos:
↵ < ↵1 ↵ = ↵1 ↵1 < ↵ < 0 0 < ↵ < ↵2 ↵ = ↵2 ↵2 < ↵
hip´erbola 2 rectas secantes hip´erbola elipse punto nada
(3) Si ↵1 = 3
p
33
4
< 0 < 1 < ↵2 = 3+
p
33
4
, tenemos los siguientes casos:
↵ < ↵1 ↵ = ↵1 ↵1 < ↵ < 0 ↵ = 0 0 < ↵ < 1 ↵ = 1 1 < ↵ < ↵2 ↵ = ↵2 ↵2 < ↵
hip´erbola 2 rectas secantes hip´erbola recta hip´erbola par´abola elipse punto nada
Ejercicio 8. Circunferencia para ↵ = 2 e hip´erbola equil´atera para ↵ = 2.
Matem´aticas I. 2020-21