Sistemas de Control

1. Transformada inversa de
Laplace
• Un método conveniente es usar la tabla de
transformadas de laplace.
• Si una transformada especifica F(s) no se encuentra,
puede expandirse en fracciones parciales y escribirse en
términos de funciones simples de s, para los cuales se
conoce su transformada inversa.

2. Método de expansión en
fracciones parciales
• Para análisis de sistemas de control la transformada de
laplace de f(t) ocurre con frecuencia en la forma:
• Si F(s) se separa en componentes:
F(s) = F1(s) + F2(s)+ ... +Fn(s)

3. Método de expansión en
fracciones parciales
• Debe indicarse que para aplicar este método hay que
encontrar con anticipación las raíces del polinomio del
denominador (factorizar el denominador).

4. Método de expansión en
fracciones parciales
• El valor de se encuentra con la siguiente formula:

5. Método de expansión en
fracciones parciales
• Por tanto
• Debido a que:
• f(t) se obtiene como:

6. ejemplos
• Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

7. ejemplos
• Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

8. Fracciones parciales con polos múltiples
Por tanto suponiendo que s= -1:
3
3
2
2
1
1
)1()1()1()(
)(
)(
+
+
+
+
+
==
s
b
s
b
s
b
sA
sB
sF
32
2
1
3
)1()1(
)(
)(
*)1( bsbsb
sA
sB
s ++++=+

9. Fracciones parciales con polos múltiples
Así mismo la diferenciación de ambos miembros con
respecto a s produce:

10. Fracciones parciales con polos múltiples

11. Fracciones parciales con MATLAB
Sea la función de transferencia:
Donde ai y bi pueden ser cero
• num = [b0 b1 ... bn]
den = [1 a1 ... an]
El comando: [r,p,k] = residue(num,den)
Encuentra los residuos (r), los polos (p) y los terminos directos (k), de un
desarrollo en fracciones simples.
n
nn
n
nn
asas
bsbsb
den
num
sA
sB
+++
+++
== −
−
...
...
)(
)(
1
1
1
10
)(
)(
)(
...
)2(
)2(
)1(
)1(
)(
)(
sk
nps
nr
ps
r
ps
r
sA
sB
+
−
++
−
+
−
=

12. Fracciones parciales con MATLAB
EJEMPLO:
Para esta función se tiene:
num=[2 5 3 6]
den=[1 6 11 6]
[r,p,k]=residue(num,den)
Entonces:
6116
6352
)(
)(
23
23
+++
+++
=
sss
sss
sA
sB
r =
-6.0000
-4.0000
3.0000
p =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k =
2
2
1
3
2
4
3
6
)(
)(
+
+
+
+
−
+
+
−
=
ssssA
sB

13. Fracciones parciales con MATLAB
La función residue también se puede utilizar para obtener los
polinomios (numerador y denominador), a partir de su desarrollo en
fracciones simples.
» >> [num, den]=residue(r,p,k);
» >> printsys(num,den,'s')
»
» num/den =
»
» 2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6
» -----------------------
» s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6
• printsys(num,den,'s'): imprime (num/den) en términos del cociente de
los polinomios en s