transformada inversa, definición , caracteristicas

1. Transformada inversa de
Laplace
Vamos a utilizar la transformada de Laplace para calcular la solución de una ecuación
diferencial y de un sistema de ecuaciones diferenciales con las condiciones iníciales
especificadas.
Las transformadas de Laplace de las funciones que hemos estudiado en esta
página se resumen en la tabla siguiente:
f(t) F(s)= ∫ 0 ∞ e −st f(t)dt
c1f1(t)+c2f2(t) c1F1(s)+c2F2(s)
exp(a·t) 1 s−a
cos(ωt) s s 2 + ω 2
sin(ωt) ω s 2 + ω 2
tn n! s n+1
exp(at)·f(t)
exp(at)·cos(ωt)
F(s-a)
s−a (s−a) 2 + ω 2
u(t-a) exp(-as)/s
u(t-a)·f(t-a) exp(-as)·F(s)
δ(t-a) exp(-as)
f'(t) (derivada primera) s·F(s)-f(0)
f''(t) (derivada segunda) s2
·F(s)-s·f(0)-s·f'(0)
g(t)= ∫ 0 t f(τ)dτ (integral) F(s)/s
f(t)=f(t+p), (función
periódica)
1 1− e −sp ∫ 0 p e −st f(t)dt
f(at) 1 a F( s a )
tn
f(t) ( −1 ) n d n d s n F(s)
Como vimos en la página Fracciones polinómicas, la función reside nos permite
descomponer una fracción polinómica en suma de fracciones más simples.
Modificaremos cada fracción para buscar en la tabla la función f(t), es decir su
correspondiente transformada inversa de Laplace, comprobaremos el resultado
hecho a mano con la llamada a la función ilaplace.

2. 1.-Raíces reales distintas
Expresamos la primera fracción en términos de la variable s en vez de x, y
sustituímos los decimales periódicos por las fracciones equivalentes.
s−2 s 3 − s 2 −6s = 1 15 1 s−3 − 2 5 1 s+2 + 1 3 1 s
Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe
f(t)=exp(3t)/15-2·exp(-2t)/5+1/3
Obtenemos una expresión similar empleando la función MATLAB ilaplace
>> syms s;
>> fs=(s-2)/(s^3-s^2-6*s);
>> ft=ilaplace(f)
ft =exp(3*t)/15 - 2/(5*exp(2*t)) + 1/3
2.-Raíces complejas distintas
s 2 −2s+1 s 3 +3 s 2 +4s+2 =− 3s+7 ( s+1 ) 2 +1 + 4 s+1 = −3 s+1 ( s+1 ) 2
+ 1 2 − 4 (s+1 ) 2 + 1 2 + 4 s+1
Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe
f(t)=-3·exp(-t)·cos(t)-4·exp(-t)sin(t)+4·exp(-t)=(4-3·cos(t)-4·sin(t))·exp(-t)
No es necesario sumar las dos fracciones con las raíces conjugadas para
convertirla en una única fracción racional
s 2 − 2 s + 1 s 3 + 3 s 2 + 4 s + 2 = − 1.5 + 2 i s − ( − 1 + i ) + − 1.5 − 2 i s −
( − 1 − i )+ 4 s + 1
si creamos una nueva entrada en la tabla de las transformadas inversas de
Laplace. Sea
F(s)= c+di s−(a+bi) + c−di s−(a−bi)
Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe
f(t)=(c+di) e (a+bi)t +(c−di) e (a−bi)t = e at ( (c+di) e ibt +(c−di) e −ibt )= e at
( 2c e ibt +e −ibt 2 +2id e ibt − e −ibt 2 )= 2 e at ( c·cos(bt)−d·sin(bt) )
Con c=-1.5, d=2, a=-1, b=1, obtenemos
f(t)=(2·exp(-t))(-1.5·cos(t)-2·sin(t))+4·exp(-t))=(4-3·cos(t)-4·sin(t))·exp(-t)
>> syms s;
>> fs=(s^2-2*s+1)/(s^3+3*s^2+4*s+2);
>> ft=ilaplace(fs)

3. ft =4/exp(t) - (3*(cos(t) + (4*sin(t))/3))/exp(t)
>> simplify(ft)
ans =-(3*cos(t) + 4*sin(t) - 4)/exp(t)
3.-Raíces repetidas
5s−1 s 3 −3s−2 = 1 s−2 + −1 s+1 + 2 (s+1) 2
Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe
f(t)=exp(2t)-exp(-t)+2t·exp(-t)
>> syms s;
>> fs=(5*s-1)/(s^3-3*s-2);
>> ft=ilaplace(fs)
ft =exp(2*t) - 1/exp(t) + (2*t)/exp(t)
4.-Fracciones impropias
s 2 +2s+3 s 2 +s−6 =1− 6 5 1 s+3 + 11 5 1 s−2
Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe
f(t)=δ(t)+-6·exp(-3t)/5+11·exp(2t)/5
>> syms s;
>> fs=(s^2+2*s+3)/(s^2+s-6);
>> ft=ilaplace(fs)
ft =(11*exp(2*t))/5 - 6/(5*exp(3*t)) + dirac(t)