Este documento presenta una transformación lineal f de R2 a P2(t) donde B1 y B2 son bases de R2 y P2(t) respectivamente. Se determina f explícitamente en términos de las bases canónicas C de R2 y P2(t). Luego, se encuentra la representación matricial de f con respecto a B1 y B2, y con respecto a las bases canónicas C y B1. Finalmente, se determina que f no es biyectiva dado que las dimensiones de los espacios vectoriales involucrados son diferentes.

1. ESCUELA
POLITÉCNICA
NACIONAL
Algebra Lineal

2.  Dada la transformación lineal f: R2 P2(t) donde
B1={(1,-1),(1,1)}, B2={(1-t,2,1+t-t2)}, son bases de R2 y P2(t)
respectivamente. Además, C representa las bases canónicas
de R2 y P2 (t).
a)Determinar f explícitamente si 𝑓 𝑐
𝑐
=
1 −1
2 −2
0 1
b)Encontrar 𝑓 𝐵2
𝐵1
c)Encontrar 𝑓 𝑐
𝐵1
d)Determinar si f es biyectiva

3. a)
C={(1,0),(0,1)}
C={1,t, t2}
[f(𝑅2
)]B2=A[𝑅2
]B1
𝑅2
= a, b
a, b = α 1, −1 + β(1,1)
a, b = (α + β, −α + β)
α + β = 𝑎
β − α = 𝑏
1 1 𝑎
_1 1 𝑏 F2=F2+F1
1 1 𝑎
0 2 𝑎 + 𝑏 F2=F2/2
1 1 𝑎
0 1 𝑎 + 𝑏/ 2 F1=F1-F2
1 0 𝑎 − 𝑏/2
0 1 𝑎 + 𝑏/ 2
α = 𝑎 − 𝑏/2 [𝑅2
]c=
𝑎
𝑏
β = 𝑎 + 𝑏/2

4. [f(𝑅2
)]c2=A[𝑅2
]c1
[f(𝑅2
)]c2=
1 −1
2 −2
0 −1
𝑎
𝑏
=
𝑎 − 𝑏
2𝑎 − 2𝑏
−𝑏
f(𝑅2
)=(a-b)(1-t)+(2a-2b)(2)-(b)(1+t- t2 )
f(𝑅2
)=(a-b-at+bt)+(4a-4b)-(b+bt-bt2 )
f(𝑅2
)=(a-b-at+bt+4a-4b-b-bt+bt2 )
f(𝑅2
)=(5a-6b)-a+bt2
f(a,b)=(5a-6b)-a+bt2

5. b)Encontrar 𝑓 𝐵2
𝐵1
f(u1)=2+4t-t2
f(u2)= t2
2+4t- t2=(1-t)+2+(1+t+ t2)
 +2 +=2
- +=4
=-1

6. b)Encontrar 𝑓 𝐵2
𝐵1
1 2 1
−1 0 1
0 0 1
2
4
−1
0
0
1
F2= F2+F1 
1 2 1
0 2 2
0 0 1
2
6
−1
0
0
1
F2= F2/2

1 2 1
0 1 1
0 0 1
2
3
−1
0
0
1
F1=F1-F3 
1 2 0
0 1 0
0 0 1
3
4
−1
−1
−1
1
F1=F1-2F2
F2= F2- F3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−5
4
−1
1
−1
1
.·. 𝑓 𝐵2
𝐵1
=
−5 1
4 −1
−1 1

7. c)Encontrar 𝑓 𝑐
𝐵1
2+4t- t2=+ t + t2
=2
=4
=-1
𝑓 𝑐
𝐵1
=
2 0
4 0
−1 1
d)Determinar si f es biyectiva
Dim 𝑅2
= Dim P2 (t)
2=3
.·. no es biyectiva

8. GRACIAS