C 1 CINEMÁTICA• Movimiento Mecánico. Bases para suestudio.• Métodos vectorial, de coordenadas ynatural.• Magnitudes cinemá...
Mecánica de los cuerposmacroscópicos  Movimiento   mecánico
Cinemática: Rama de la Mecánicaque se dedica a la descripción delmovimiento mecánico sin interesarsepor las causas que lo ...
Movimiento Mecánico: Cambio deposición de un cuerpo respecto a otros,tomados como referencia.         Carácter: Relativo  ...
Bases para el estudio del       movimiento mecánico• Definición del Sistema de Referencia (SR)• Utilización de magnitudes ...
Bases para el estudio del    movimiento mecánicoSR:   Cuerpos que se toman como referencia paradescribir el movimiento del...
Bases para el estudio del movimiento mecánicoSRI: Es aquel para el cual el   sistema bajo estudio enausencia de la acción ...
Bases para el estudio del movimiento mecánico      Magnitudes FísicasCinemáticas       Dinámicas  Posición,       Fuerza, ...
Bases para el estudio del    movimiento mecánico           Modelosde Cuerpo Rígido: Las distanciasentre los diferentes pun...
Traslación pura
Rotación pura de cuerpo         sólidoEs aplicable el modelo del cuerpo  rígido pero no el de partícula
Describir elObjetivo                    Movimiento                             mecánico Determinación de las Leyes del    ...
Métodos•Vectorial      (conciso, elegante)•de Coordenadas Mayor número de                                  ecuaciones•Natu...
dr ( t )                             V                   Vm   ∆r                                                          ...
posición : x (t ), y (t ), z (t )         z (t )                                          desplazami ento : ∆x, ∆y, ∆z    ...
s<0 s=0 s>0                                   Natural                  n   aT                    τ               aN       ...
Metodología• Identificar sistema físico • Selección del SRI (Ubicación del Observador)• Selección del método o métodos (ve...
r(t1) Vector posición en el instante t1y                   r(t2) Vector posición en el instante t2            A t1        ...
Vector desplazamientoEl vector desplazamiento en el intervalo detiempo [t1 , t2] esta dado por:         ∆r = r( t 2 ) − r(...
A       t1             ∆r                                               B                                                 ...
Vector velocidad mediaSe define el vector velocidad mediaen el intervalo de tiempo [t1 , t2]como:      ∆r r( t 2 ) − r( t1...
y                       Vm //∆r            A t1              Vm     ∆r    r(t1)                     t2                    ...
Y(m)                  Δl                            t2       t1                           ∆r              Distancia total ...
Rapidez media  La rapidez media es igual a la  distancia total recorrida entre  el tiempo total empleado  ~ = distancia re...
Y(m)                                  t"2                v                   ∆ r"         t 2                     Vm      ...
t2 τY(m)         v(t1 )        v(t 2 )                                         τ v(t )          τ                         ...
Velocidad instantánea                      ∆r dr     v(t) = lim ∆t →0   =                      ∆t dtLa velocidad instantán...
∆r dr     v(t) = lim ∆t →0   =                      ∆t dt    Esta expresión podemos  expresarla en función de sus   compon...
Rapidez instantánea      ~ = lim      ∆l dr      v (t)  ∆t →0   =   =v                   ∆t dt     Δl                  t2t...
Rapidez instantánea      ~ = lim        ∆r dr      v(t)     ∆t →0    =                     ∆t dtLa rapidez instantánea es ...
Y(m)            v(t1 )                                   t2    v(t 2 )           t1       A                     V(t 2 ) − ...
Aceleración mediaSe define la aceleración media como larapidez de cambio de la velocidadinstantánea     en   un   determin...
v(t1 )             t 2 v(t 2 ) a m v(t )          am                    2t1                      ∆v                       ...
Y(m)                        ∆V        a (t) = lim ∆ t → o                ∆v       a                            ∆t         ...
La aceleración instantánea es igual ala derivada del vector velocidadinstantánea respecto del tiempo t          dV d( vτ) ...
aN    Es la aceleración normal , responsable      del cambio de dirección de la velocidadaT   Es la aceleración tangenci...
Movimiento rectilíneo           a v               v2                  dv ρ=∞      an =    =0      a = aτ =    τ           ...
dV                   a=                      dtExpresado en componentes rectangulares      dv x (t)        dv y (t)       ...
Resumen:         Problema directoSi se conoce la posición de la partícula con eltiempo r(t) podemos determinar su velocida...
Problema inversoAsí mismo si se conoce la aceleración con el tiempoes posible encontrar la posición y la velocidad usandoe...
Ejemplo 1:Si el vector posición de una partículaesta dada por:                ˆ + (t 2 + 2t + 1)ˆ + t 4k                 ...
Movimiento enuna dimensión
Podemos aplicar lo discutidoanteriormente al caso de unapartícula moviendose en unasola dimensión, por ejemploa lo largo d...
                                                                             v (t)     r(t           v (t    o)        ...
Movimiento rectilíneo variado          x( t )   v( t ) a ( t )a     v       Movimiento rectilíneo acelerado               ...
Velocidad instantánea         Línea tangente x                                                ∆x               Q’’      Q’...
X(t) Velocidad instantánea               v =0              Q  v >0         p                      R      v<0             d...
Aceleración instantáneaυ               a=0    a>0                      a<0              ∆t        ti              tf   t  ...
En toda gráfica v versus t el área bajo lacurva es igual al desplazamiento del móvil        υ                      ∆t     ...
Ejemplo 1:En la gráfica velocidad versustiempo, haga un análisis del tipo demovimiento e indique en que tramosel movimient...
V(t)       2   4   8   12   16                             t(s)
Diremos que un movimientorectilíneo es uniforme variado si laaceleración del móvil permanececonstante en todo momento.Supo...
a            Problema inverso      xo    t=0 vo                 v (t)                                             x       ...
Podemos ahora determinar la posición de lapartícula en cualquier instante de tiempo t x       t ∫ dx = ∫ v xo      0      ...
a       xo     t=0 vo              v (t)                                            x                        x (t)Hallarem...
a     xo      t=0 vo               v (t)                                            x                        x (t)     x (...
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a      xo          t=0 vo             v (t)                                             x                             x (t...
Resumen               a = cte MRUA  v (t) = v o + at                      Despejando t en la                              ...
Movimiento Uniformemente Acelerado   a                                                                a           Pendient...
Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU       0                           a   a : dato                 0                 V     ...
V =0 v0                       -v0Haga click en la bolita verde
y a = −gˆ            j       v0 = v0ˆ              j                          2      2       v = v 0 − gt   v       = v0  ...
v0     va            a = −gˆ                   j                  tv/2   tv-g                       t                     ...
Problema 7Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmentehacia arriba con una rapidez de 100 m/s,determine:a) El tiempo que...
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  1. 1. C 1 CINEMÁTICA• Movimiento Mecánico. Bases para suestudio.• Métodos vectorial, de coordenadas ynatural.• Magnitudes cinemáticas.• Movimiento unidimensional.• Movimiento rectilíneo uniformementevariado. Movimiento rectilíneo uniforme.• Caída libre• EjemplosBibliog. Sears, Física Universitaria
  2. 2. Mecánica de los cuerposmacroscópicos Movimiento mecánico
  3. 3. Cinemática: Rama de la Mecánicaque se dedica a la descripción delmovimiento mecánico sin interesarsepor las causas que lo provocan.Dinámica: Rama de la Mecánicaque se dedica a investigar las causasque provocan el movimientomecánico.
  4. 4. Movimiento Mecánico: Cambio deposición de un cuerpo respecto a otros,tomados como referencia. Carácter: Relativo Definir Definir sistema Sistema de bajo estudio Referencia (SR)
  5. 5. Bases para el estudio del movimiento mecánico• Definición del Sistema de Referencia (SR)• Utilización de magnitudes físicas apropiadas yrelaciones entre ellas.• Empleo de modelos para el sistema físico:Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.• Utilización del principio de independencia delos movimientos de Galileo así como delprincipio de superposición.
  6. 6. Bases para el estudio del movimiento mecánicoSR: Cuerpos que se toman como referencia paradescribir el movimiento del sistema bajo estudio. Se le asocia y y(t) • Observador • Sistema de x(t) Coordenadas x • Reloj z(t) z
  7. 7. Bases para el estudio del movimiento mecánicoSRI: Es aquel para el cual el sistema bajo estudio enausencia de la acción de otroscuerpos, se mueve con MRU.
  8. 8. Bases para el estudio del movimiento mecánico Magnitudes FísicasCinemáticas Dinámicas Posición, Fuerza, Torque Velocidad, Aceleración
  9. 9. Bases para el estudio del movimiento mecánico Modelosde Cuerpo Rígido: Las distanciasentre los diferentes puntos delcuerpo no varían.de Partícula: el cuerpo puede serconsiderado como un objeto puntual.
  10. 10. Traslación pura
  11. 11. Rotación pura de cuerpo sólidoEs aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícula
  12. 12. Describir elObjetivo Movimiento mecánico Determinación de las Leyes del Movimiento Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
  13. 13. Métodos•Vectorial (conciso, elegante)•de Coordenadas Mayor número de ecuaciones•Natural Coordenadas curvilíneas Posición (t) P. Inverso Cond. Iniciales P. Directo P. DirectoProblemas de Velocidad (t)la cinemática Aceleración (t)
  14. 14. dr ( t ) V Vm ∆r Vectorial r(t ) ∆r V ( t + ∆t ) r ( t + ∆t ) ∆r dr dVposición : r (t ) velocidad : V (t ) = lim = aceleración : a (t ) = ∆t →0 ∆t dt dt desplazamiento : ∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) V ( t + ∆t ) − V ( t ) ∆r aceleración : am =velocidad media : Vm = media ∆t ∆t
  15. 15. posición : x (t ), y (t ), z (t ) z (t ) desplazami ento : ∆x, ∆y, ∆z ∆z De Coord. y (t ) ∆y x(t ) dVx∆x aceleración : a x (t ) = dx dt velocidad :Vx (t ) = , dV y dt a y (t ) = dy dt V y (t ) = dt dV a z (t ) = z dz dt Vz (t ) = dt
  16. 16. s<0 s=0 s>0 Natural n aT τ aN ρ a τ τ n τ posición : s (t ) ds dV dvelocidad :V (t ) = τ = Vτ , aceleración : a (t ) = = (Vτ ) dt dt dt dτ V 2aceleración : a N (t ) = V = n dt ρ a = a 2 + aT 2 N dV aT (t ) = τ dt
  17. 17. Metodología• Identificar sistema físico • Selección del SRI (Ubicación del Observador)• Selección del método o métodos (vectorial, decoordenadas o natural)• Resolver el problema directo (derivando) o elindirecto (integrando) o ambos: Hallaranalíticamente la dependencia temporal de laposición, la velocidad y la aceleración; yDibujar las gráficas
  18. 18. r(t1) Vector posición en el instante t1y r(t2) Vector posición en el instante t2 A t1  ∆r r(t1) t2 B r(t2) x
  19. 19. Vector desplazamientoEl vector desplazamiento en el intervalo detiempo [t1 , t2] esta dado por: ∆r = r( t 2 ) − r( t1 ) ¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?
  20. 20. A t1 ∆r B t2No es necesario conocer la trayectoria para determinar elvector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, soloes necesario conocer las posiciones en dichos instantes detiempo
  21. 21. Vector velocidad mediaSe define el vector velocidad mediaen el intervalo de tiempo [t1 , t2]como: ∆r r( t 2 ) − r( t1 ) m Vm = = s ∆t t 2 − t1  
  22. 22. y Vm //∆r A t1 Vm ∆r r(t1) t2 B La velocidad media apunta en la r(t 2 ) misma dirección del vector desplazamientox
  23. 23. Y(m) Δl t2 t1 ∆r Distancia total recorrida en el Δl : intervalo de tiempo [t1 , t2] x(m)
  24. 24. Rapidez media La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado ~ = distancia recorrida = ∆l vm v m ≠ Vm tiempo empleado ∆t• La rapidez media no es un vector• la rapidez media no es igual al modulodel vector velocidad media (para el mismointervalo de tiempo)
  25. 25. Y(m) t"2 v ∆ r" t 2 Vm ∆ r t1 A Vm Vm t2 r 2 " ∆r B r1 r2 r2 x(m)
  26. 26. t2 τY(m) v(t1 ) v(t 2 ) τ v(t ) τ t3 3 A t1 v = vτ El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula x(m)
  27. 27. Velocidad instantánea ∆r dr v(t) = lim ∆t →0 = ∆t dtLa velocidad instantánea es laderivada del vector posiciónrespecto del tiempo
  28. 28. ∆r dr v(t) = lim ∆t →0 = ∆t dt Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares dx(t) dy(t) dz(t)vx = vy = vz = dt dt dt
  29. 29. Rapidez instantánea ~ = lim ∆l dr v (t) ∆t →0 = =v ∆t dt Δl t2t1 ∆r Si Δt → 0 ∆l = ∆r dr
  30. 30. Rapidez instantánea ~ = lim ∆r dr v(t) ∆t →0 = ∆t dtLa rapidez instantánea es igual almodulo de la velocidad instantánea ~ =v v(t) (t)Al modulo de la velocidadinstantánea se le conoce comorapidez instantánea
  31. 31. Y(m) v(t1 ) t2 v(t 2 ) t1 A V(t 2 ) − V(t1 ) am = t 2 − t1 x(m)
  32. 32. Aceleración mediaSe define la aceleración media como larapidez de cambio de la velocidadinstantánea en un determinadointervalo de tiempo V(t 2 ) − V(t1 ) m am =  2 t 2 − t1 s 
  33. 33. v(t1 ) t 2 v(t 2 ) a m v(t ) am 2t1 ∆v - v(t1 ) am [ t1, t 2 ]
  34. 34. Y(m) ∆V a (t) = lim ∆ t → o ∆v a ∆t v(t ) t ∆v a t1 v(t1 ) La aceleración en este pequeño intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad de la trayectoria x(m)
  35. 35. La aceleración instantánea es igual ala derivada del vector velocidadinstantánea respecto del tiempo t dV d( vτ) ˆ dv dτ ˆa (t) = = a =τ +v ˆ dt dt dt dt a = a ττ + a n n ˆ ˆ dv v a= τ +v n ˆ ˆ dv v2 dt ρaτ = an = dt ρ 2 2 a= aτ + an
  36. 36. aN Es la aceleración normal , responsable del cambio de dirección de la velocidadaT Es la aceleración tangencial responsable del cambio del modulo de la velocidad
  37. 37. Movimiento rectilíneo a v v2 dv ρ=∞ an = =0 a = aτ = τ ˆ ρ dtMovimiento circular uniforme v = v = cte aτ = 0 v2 a R ρ = R = cte an = = cte R v2 a = an = n = cte ˆ R
  38. 38. dV a= dtExpresado en componentes rectangulares dv x (t) dv y (t) dv z (t) ax = ay = az = dt dt dt
  39. 39. Resumen: Problema directoSi se conoce la posición de la partícula con eltiempo r(t) podemos determinar su velocidad yaceleración instantánea por simple derivación dr(t) v (t) = dt dv (t) d 2 r(t) a (t) = = 2 = aτ + an dt dt
  40. 40. Problema inversoAsí mismo si se conoce la aceleración con el tiempoes posible encontrar la posición y la velocidad usandoel camino inverso, es decir integrando: dv (t) a (t) = → dv = a (t) dt dt t t v (t) − v (t O ) = ∫ a (t) dt v (t) = v (t O ) + tO ∫ a (t)dt tO t dr(t) ∫ v (t) = → dr = v (t) dt   r(t) = r(t O ) + v (t)dt dt tOSon los vectores posición y velocidad en el instante to
  41. 41. Ejemplo 1:Si el vector posición de una partículaesta dada por:  ˆ + (t 2 + 2t + 1)ˆ + t 4k ˆ r(t) = (2t − 1) i 3 jHallar:1) el vector posición para t= 0 y 2 s2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]ssu velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s
  42. 42. Movimiento enuna dimensión
  43. 43. Podemos aplicar lo discutidoanteriormente al caso de unapartícula moviendose en unasola dimensión, por ejemploa lo largo del eje x
  44. 44.    v (t) r(t v (t o) o)  x a( t0 ) r(t)Para el movimiento en el eje X las ecuacionesse reducen a: r(t) = x(t)ˆ i v (t) = v (t) ˆ i a ( t ) = a ( t )ˆ i
  45. 45. Movimiento rectilíneo variado x( t ) v( t ) a ( t )a v Movimiento rectilíneo acelerado v y a igual signo Movimiento rectilíneo retardadoa v v y a signos opuestos
  46. 46. Velocidad instantánea Línea tangente x ∆x Q’’ Q’ υ = lim ∆t → 0 ∆t Q dx P ∆t 3 =Xi ∆t 2 dt ∆t 1 tO ti
  47. 47. X(t) Velocidad instantánea v =0 Q v >0 p R v<0 dx (t) v= dt t
  48. 48. Aceleración instantáneaυ a=0 a>0 a<0 ∆t ti tf t dv (t) a= dt
  49. 49. En toda gráfica v versus t el área bajo lacurva es igual al desplazamiento del móvil υ ∆t ti tf tdx =v t2dt Δx = ∫ vdt = area bajo la curva t1
  50. 50. Ejemplo 1:En la gráfica velocidad versustiempo, haga un análisis del tipo demovimiento e indique en que tramosel movimiento es acelerado odesacelerado
  51. 51. V(t) 2 4 8 12 16 t(s)
  52. 52. Diremos que un movimientorectilíneo es uniforme variado si laaceleración del móvil permanececonstante en todo momento.Supongamos que una partículaparte de la posición xo en el instantet0=0 , con una velocidad vo
  53. 53. a Problema inverso xo t=0 vo v (t) x x (t)Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de v tintegrar ∫ vo dv = ∫ adt 0 v (t) = v o + at Velocidad instantánea
  54. 54. Podemos ahora determinar la posición de lapartícula en cualquier instante de tiempo t x t ∫ dx = ∫ v xo 0 (t) dt v (t) = v o + at x t ∫ dx = ∫ (v xo 0 o + at)dt 1 2 x (t) = x o + v o t + at 2
  55. 55. a xo t=0 vo v (t) x x (t)Hallaremos ahora una expresión paradeterminar la velocidad media en el intervalo detiempo [0, t]: Δx x (t) - x o Vm = Vm = Δt t
  56. 56. a xo t=0 vo v (t) x x (t) x (t) - x o Y usando las ecuacionesVm = anteriormente deducidas t v (t) - v o 1 2a= x (t) − x o = v o t + at t 2
  57. 57. a xo t=0 vo v (t) x x (t)Finalmente obtenemos x (t) - x o v (t) + v o Vm = = t 2
  58. 58. a xo t=0 vo v (t) x x (t)También se puede demostrar: v = v + 2 a Δx 2 (t) 2 0Donde : Δx = x (t) − x 0Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo[0 , t]
  59. 59. Resumen a = cte MRUA v (t) = v o + at Despejando t en la 1ra y sustituyendo 1 2 en la 2da, se x (t) − x o = v o t + at obtiene la 3ra 2 v = v + 2 a Δx 2 2 0 Δx = x (t) − x 0 (t) x (t) - x o v (t) + v o Vm = = [0 , t] t 2 x (t ) - x (t ) v (t ) + v (t ) [t1 , t2 ]Vm = 2 1 = 2 1 t 2 − t1 2
  60. 60. Movimiento Uniformemente Acelerado a a Pendiente = 0 υ nte = a en die P at a υ0 υ O t υ0 Ο pendiente = v(t) t tx(t) v (t) = v o + at xo Pendiente = v0 1 2 x (t) − x o = v o t + at 2 t
  61. 61. Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU 0 a a : dato 0 V t V = V0 + at 0 V0 2 x t at x = x0 + V0t + x0 2 t Movimiento Parabólico ax = 0 ay = −g MRU MRUV Vx = V0 x V y = V0 y − gt 2x = x0 + V0 x t Eje x y = y0 + V0 y t − gt Eje y 2
  62. 62. V =0 v0 -v0Haga click en la bolita verde
  63. 63. y a = −gˆ j v0 = v0ˆ j 2 2 v = v 0 − gt v = v0 − 2g∆y 1 2 y = y 0 + v 0 t − gt 20
  64. 64. v0 va a = −gˆ j tv/2 tv-g t t -v0 x v = v 0 − gt H tv t 1 2 y = y 0 + v 0 t − gt 2
  65. 65. Problema 7Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmentehacia arriba con una rapidez de 100 m/s,determine:a) El tiempo que permanece en el aire.b) Su posición en el instante t = 5 s.c) La altura máxima alcanzada.d) Su desplazamiento entre 5 y 15 se) El tiempo que demora en cambiar la velocidadde 60 m/s a -60m/s

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