1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
Ing. César Canelo Sotelo

2. Contenido del curso
• Teoría de redes
• El problema del árbol de expansión mínima
• El problema de la ruta más corta
• El problema de flujo máximo
• El problema de flujo de costo mínimo
• Administración de proyectos: ruta crítica
determinística, ruta crítica probabilística, optimización
de proyectos
• Programación dinámica
• Proceso de Jerarquía analítica
• Teoría de colas

3. SISTEMA DE EVALUACIÓN: G
• Promedio de prácticas (PP)
• Examen parcial (EP)
• Examen final (EF)
Promedio final = (PP + EP + EF)/3

4. BIBLIOGRAFÍA
• Investigación de Operaciones - Winston
Wayne
• Introducción a la Investigación de
Operaciones - Hillier y Lieberman
• Investigación de Operaciones – H. Taha
• Investigación de Operaciones: El arte de la
toma de decisiones – Mathur y Solow
• Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa – Eppen Gould

5. TEORÍA DE REDES
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
Ing. César Canelo Sotelo

6. GRÁFICAS
Las gráficas son diagramas que si se
interpretan en forma adecuada proporcionan
información que se utiliza para describir cierto
tipo de estructura. Son de utilidad porque
muestran las conexiones o relaciones entre
varias partes de la estructura. Ejemplos:
mapas de carreteras, rutas de itinerario aéreo,
etc.

7. GRÁFICA DE ORDEN n
• Una gráfica es un par ordenado G = (X, A),
donde X ≠ Ø , es finito.
• X se denomina conjunto de vértices o nodos.
• Al conjunto A se denomina arcos o aristas, y
tiene como elementos a pares de vértices de
X. Los arcos unen a todos o algunos de los
vértices xi, xj Є X.

8. GRAFICAS ORIENTADAS
• Una gráfica orientada G consiste en un
conjunto de vértices o nodos X y un conjunto
de arcos A.
• Para denotar un arco u, se requiere definir el
concepto de extremo.
Sea u Є A / u = (xi, xj ), se define:
xi : Extremo inicial o predecesor.
xj : Extremo final o sucesor.

9. GRÁFICAS ORIENTADAS
El arco u = (xi, xj ) también se expresa como:
xi xj
Y se representa como:
Cola Cabeza
Xi Xj

10. GRÁFICAS ORIENTADAS
U1 U2 U5
U3 U4
U6
Esta red representa la gráfica G, cuyos vértices y arcos son:
X = x1, x2, x3, x4, x5
A = (x1, x1), (x3, x2), ( x3, x4), ( x3, x5), (x4, x5), (x5, x3)
A = u1, u2, u3, u4, u5, u6
X1
X3
X2
X4
X5

11. GRÁFICAS ORIENTADAS
• ARCOS ADYACENTES
Dos arcos son adyacentes si tienen un vértice
en común.
Ejemplo, u2 y u3 son adyacentes.
• VÉRTICES ADYACENTES
Dos vértices son adyacentes si son diferentes
y existe al menos un arco que va de Xi a Xj o
de Xj a Xi.
Ejemplo, x2 y x3 son adyacentes.

12. GRÁFICAS ORIENTADAS
• ARCO INCIDENTE A UN VÉRTICE
Un arco u es incidente al vértice Xi si llega a
dicho vértice o sale del mismo.
Si Xi es el extremo inicial del arco u, se dice
que el arco u es incidente hacia el exterior de
Xi. En caso contrario, se dice que u es
incidente hacia el interior de Xi. Ejemplos:
Hacia el exterior de X3: u2, u3, u5
Hacia el interior de X3: u4

13. GRÁFICAS ORIENTADAS
u1 u2 u5
u3 u4
u6
x1
x3
x2
x4
x5

14. ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Sea Y un subconjunto de X, perteneciente a la
gráfica G = ( X, A), se dice que u es incidente
a Y hacia el exterior si xi Є Y, xj ~ Є Y.
El conjunto de arcos incidentes a Y hacia el
exterior, se representa por W⁺ (Y) .
Si xi ~ Є Y y xj Є Y , se dice que u es
incidente hacia el interior de Y, y se
representa por W⁻ (Y) .

15. ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Así, si en la gráfica definimos Y como el conjunto:
Y = x3, x4
Entonces:
W⁺ (Y) = u2, u3, u6
W⁻ (Y) = u4
Al conjunto W⁺ (Y) U W⁻ (Y) se representa como:
W (Y) = u2, u3, u4, u6

16. U2 U5
U1
U3 U4
U6
Gráfica orientada
X1
X2
X3
X4
X5

17. GRÁFICAS
• SUBGRÁFICAS
Se denomina subgráfica de G=(X,A) a la gráfica
constituida por Y subconjunto de X y por arcos de A
que unen vértices de Y. No intervienen todos los
vértices de X, en consecuencia sólo intervienen los
arcos de A que unen los vértices de Y.
• GRAFICA PARCIAL
Una gráfica parcial de G=(X,A) es la gráfica constituida
por el conjunto de vértices de X y por B subconjunto de
A. Intervienen todos los vértices de X de la gráfica
original.

18. GRÁFICAS ORIENTADAS
• CAMINO
Es una secuencia de arcos u = (u1, u2, . . . , uk), en el
cual el extremo final de cada arco coincide con el
extremo inicial del arco que le sigue. Ejemplos:
Camino representado por arcos Camino representado por los vértices
( u5, u6) (x3, x4, x5)

19. GRÁFICAS ORIENTADAS
• CAMINO SIMPLE
Es un camino que no utiliza más de una vez el
mismo arco.
• CAMINO ELEMENTAL
Es un camino que no utiliza más de una vez el
mismo vértice.
• LONGITUD DE UN CAMINO
Es el número de arcos que contiene el camino y
se representa por ℓ(u).
Ejemplo: Si u = ( u5, u6) , entonces ℓ (u) = 2.

20. x3
x1
x2
x5
x4
u1 u2
u3
u4
u5
u6

21. GRÁFICAS ORIENTADAS
• CIRCUITO
Es un camino finito N = (x1, x2, ... , xk) en el
que el vértice inicial X1 es igual al vértice final
Xk.
Ejemplo: U = ( u5, u6, u4) es un circuito.
• ANILLO
Es un circuito constituido por un solo vértice y
con un solo arco.
Ejemplo: u1 = (x1, x1) es un anillo.

22. REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS ORIENTADAS
• Para la representación de gráficas orientadas
se pueden emplear varias estructuras de
datos. Una representación común es la matriz
de adyacencia. Para una gráfica G = (X, A) , se
supone que X = {1, 2, . . . , n } . La matriz de
adyacencia para G es una matriz B de orden
nxn, de elementos booleanos, donde B = [i, j]
es verdadero sí y solo sí, existe un arco que
vaya del vértice i al j. La matriz se exhibe con 1
para verdadero y 0 para falso.

23. Ejemplo
1
4
2
3
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 2 3 4
1
2
3
4

24. GRÁFICAS NO ORIENTADAS
En las gráficas no orientadas los conceptos de
arco, camino y circuito, se sustituyen por arista,
cadena y ciclo.
ARISTA
Se denomina arista de una gráfica no orientada G
a un conjunto de vértices xi, xj tales que xi ≠ xj,
con (xi, xj) Є A y/o (xj, xi) Є A.
O sea, es el segmento que une dos vértices
adyacentes. No se distinguen entre vértice inicial
y final.

25. GRÁFICA NO ORIENTADA
En esta gráfica cada arco tiene las dos orientaciones:
(Xi, Xj) y (Xj, Xi)
X1 X2
X3X5
X4

26. GRÁFICAS NO ORIENTADAS
• CADENA
Es una secuencia de aristas.
Ejemplo: v = (x1, x2, x3) es una cadena.
• CICLO
Es una cadena finita en el que coinciden los
vértices inicial y final.
Ejemplo: v = (x1, x2, x3, x4, x5, x1)

27. REPRESENTACIÓN
También se puede usar la matriz de
adyacencia. Ejemplo:
a b
d c
0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
a b c d
a
b
c
d

28. REDES DE TRANSPORTE
DEFINICIÓN
Se denomina red de transporte al grafo finito, sin
anillos, donde se cumple que:
a) Cada arco u tiene asociado un número c(u)>=0
llamado capacidad del arco.
b) Existe un solo vértice Xs tal que W⁻(Xs) = 0 ,
este vértice se llama fuente o entrada de la red.
c) Existe un solo vértice Xt tal que W⁺(Xt) = 0 , este
vértice se llama destino o sumidero de la red.

29. REDES DE TRANSPORTE
• FLUJO
Es una función entera Ø(u), definida sobre el
conjunto A de arcos. Esta función es un flujo para
una red de transporte si satisface:
0 <= Ø(u) <= c(u) , para todo u Є A.
La función Ø(u) puede considerarse como la
cantidad de materia que fluye por el arco u.
Como la cantidad de materia que entra es igual a
la que sale, entonces para todo nodo se cumple:
Σ Ø(u) ingresa = Σ Ø(u) sale

30. REDES DE TRANSPORTE
• ARCO SATURADO
Se dice que un arco u Є A está saturado si:
Ø(u) = c(u)
• FLUJO COMPLETO
Un flujo es completo si todo camino que va de
la fuente al destino contiene al menos un arco
saturado.

31. Ø(u)
c(u) 1 0
c(u)- Ø(u) 2 1
0 2
2 2
RED DE TRANSPORTE
X1
Xs Xt
X2
3 1
42

32. RED DE TRANSPORTE
• CORTE
Sea Y un subconjunto del conjunto X de vértices,
que contiene al destino Xt y no contiene a la
fuente Xs. El conjunto W⁻(Y) (arcos incidentes
hacia el interior de Y) se le denomina corte de la
red.
Un corte de una red, es un conjunto de arcos
cuya ausencia desconectaría completamente a la
red.
Ejemplo, si en la red se tiene Y = (X2, Xt), entonces
el corte correspondiente a Y está dado por:
W⁻(Y) = { (X1, Xt), (Xs, X2) }

33. CORTE EN UNA RED DE TRANSPORTE
x1
xtxs
x2
3 1
42

34. REDES DE TRANSPORTE
• CAPACIDAD DE CORTE
Se denomina así a la expresión:
C [W⁻(Y)] = Σ c(u) , u Є W⁻(Y)
Al definirse la capacidad de un corte se toma
en cuenta la dirección de los arcos del corte.
Ejemplo, si Y = (X2, Xt) ,
C [W⁻(Y)] = 2 + 1 = 3

35. G R A C I A S