1. Propuesta Solucionario 5
Ing. Electrónica
David Steven Hoyos - Andrés Fermín Mella*
Integración por sustitución Trigonométrica Pag 39
1)
1
3 dx f (x) = x f (x) = a sen θ
(25 − x2 ) 2
a=5
x = 5 sen θ x2 = 25 sen2 θ
dx = 5 cos θ dθ
5 cos θ
3 dθ
(25 − 25 sen2 θ) 2
5 cos θ
dθ
125 (1 − sen2 θ) 3 2
1 cos θ
dθ
25 (cos2 θ) 3 2
1 cos θ
dθ
25 cos3 θ
1 1
dθ
25 cos2 θ
1
sec2 θ dθ
25
1
(tan θ) + c
25
5
x
1 x θ
√ +c √
25 25 − x2 25 − x2
4)
5−x
dx
2x2 +x−1
El profesor ya la resolvio en clase, es sólo completar el cuadrado y hacer la sustitución
Trigonométrica.
* David Steven Hoyos Gil - Andres Fermín Mella
1

2. 5)
√
25 − x2
dx f (x) = x f (x) = a sen θ
x
a=5
x = 5 sen θ x2 = 25 sen2 θ
√ dx = 5 cos θ dθ
25 − 25 sen2 θ (5 cos θ)
dθ
5 sen θ
cos2 θ
5 dθ
sen θ
1 − sen2 θ
5 dθ
sen θ
5 (csc θ − sen θ) dθ
5 (− ln | csc θ + cot θ| + cos θ) + c
5
x
√
5 25 − x2 √ θ
−5 ln + + 25 − x2 + c √
x x 25 − x2
9)
1
√ dx f (x) = x a=3
x2 −9
x = 3 sec θ x2 = 9 sec2 θ
dx = 3 sec θ tan θ dθ
3 sec θ tan θ
√ dθ
9 sec2 θ − 9
sec θ tan θ
√ dθ
sec2 θ − 1
sec θ dθ
ln | sec θ + tan θ| + c
x √
x2 − 9
√
x x2 − 9 θ
ln + +c
3 3 3

3. 11)
x2
3 dx f (x) = x a=1
(1 − x2 ) 2
x = sen θ x2 = sen2 θ
dx = cos θ dθ
sen2 θcosθ
3 dθ
(1 − sen2 θ) 2
sen2 θcosθ
3 dθ
(cos2 θ) 2
sen2 θcosθ
dθ
(cos3 θ)
tan2 θ dθ
sec2 θ − 1 dθ
tan θ − θ + c
1 x
x θ
√
2
− sen−1 x + c √
1−x 1 − x2
14)
√
4y 2 + 9
dy f (y) = 2y a=3
y4
2y = 3 tan θ 4y 2 = 9 tan2 θ
3 4
y = 3 tan θ
2
y4 = tan4 θ
2
3
dy = 2 sec2 θ dθ
4
√
2 9 tan2 θ + 93
sec2 θ dθ
3 tan4 θ 2
8 sec3 θ
dθ
9 tan4 θ
8 cos θ
dθ u = sen θ du = cos θ dθ
9 sen4 θ
8
u−4 du
9
8 u−3
. +c
9 −3
8
− csc3 θ + c
27

4. √
4y 2 + 9 2y
√ 3
8 4y 2 + 9 θ
− +c
27 2y 3
3
2
(4y + 9) 2
− +c
27y 3
15)
1
√ dx f (x) = 2x a=3
x 4x2 + 9
2x = 3 tan θ 4x2 = 9 tan2 θ
3
x = 2 tan θ dx = sec2 θ dθ
3
2
3
2
sec2 θ
3
√ dθ
2
tan θ 9 tan2 θ + 9
1 sec θ
dθ
3 tan θ
1
csc θ dθ
3
√
4x2 + 9
2x
1 θ
− ln | csc θ + cot θ| + c
3 3
√
1 4x2 + 9 3
− ln + +c
3 2x 2x
16)
1 √
3 dx f (x) = x a= 3
(x2 + 3) 2
√
x = 3 tan θ x2 = 3 tan2 θ
√
dx = 3 sec2 θ dθ
√
3 sec2 θ
3 dθ
(3 tan2 θ + 3) 2
1 sec2 θ
dθ
3 sec3 θ
1
cos θ dθ
3
√
x2 + 3 x
1 θ
sen θ + c √
3 3

5. 1 x
.√ 2 +c
3 x +3
19)
y 3 y 2 − 4 dy f (y) = y a=2
y = 2 sec θ y 2 = 4 sec2 θ
y 3 = 8 sec3 θ dy = 2 sec θ tan θ dθ
√
8 sec3 θ 4 sec2 θ − 4 (2 sec θ tan θ) dθ
32 sec3 θ tan θ sec θtanθ dθ
32 sec4 θ tan2 θ dθ
32 sec2 θ tan2 θ sec2 θ dθ
32 (tan2 θ + 1) tan2 θ sec2 θ dθ u = tan θ du = sec2 θ dθ
32 (u2 + 1)u2 du
32 (u4 + u2 ) du
u5 u3
32
+ +c
5 3
tan5 θ tan3 θ
32 + +c
5 3
y √
y2 − 4
 √ 2 √ 
3 5
1 y −4 1 y2 − 4 θ
32  . + . +c
3 2 5 2 2
4 2 3 1 5
(y − 4) 2 + (y 2 − 4) 2 + c
3 5
22)
1
√ dw
4w − w2
1
dw
−(w2 − 4w)
1
dw
−(w2 − 4w + 4 − 4)
1
dw
−([w − 2]2 − 4)
1
dw f (w) = w − 2 a=2
4 − [w − 2]2
w − 2 = 2 sen θ w = 2 sen θ + 2

6. (w − 2)2 = 4 sen2 θ dw = 2 cos θ dθ
2 cos θ
√ dθ
4 − 4 sen2 θ
dθ
θ+c
w−2
sen−1 +c
2
Cualquier duda o comentario por favor mandarlo a los correos: davidhoyosgil2008@gmail.com
andresfmella@gmail.com