Ejercicios selectividad física Andalucía 2013 resueltos - Campos eléctrico y magnético

MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ MARZO 2014
killer74@hotmail.es @Killer74_

Lector: Si cree haber encontrado algún error en la resolución de los problemas o simplemente
quiere realizar un comentario, envíeme un correo (dirección en el pie de página). Si ciertos
símbolos, como los paréntesis, no se visualizan, descargue el documento.
1.‐ (Reserva, 2013) Una partícula con carga 2 * 10-6 se encuentra en reposo en el punto
(0,0). Se aplica un campo eléctrico uniforme de 500 NC-1 en el sentido positivo del eje
OY.
a) Describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que
tiene lugar a lo largo del mismo.
b) Calcule la diferencia de potencial entre los puntos (0,0) y (0,2) m y el trabajo realizado
para desplazar la partícula entre dichos puntos.
K = 9 * 109 Nm2C-2
a) Al hallarse en una región donde existe un campo eléctrico uniforme dirigido hacia
arriba, la carga experimentará una fuerza que tiene por expresión vectorial:
𝐹⃗ = 𝑞∣𝐸⃗∣𝚥 ̂
Por lo tanto, tal y como se deduce de la 2º ley de Newton, la carga se acelerará en la
dirección y el sentido del vector fuerza.
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⟶ 𝑎⃗ =
𝑞∣𝐸⃗∣
𝑚
𝚥 ̂
Como se observa, la aceleración es, en todo momento, constante. La partícula, pues,
describirá un MRUA sobre el eje OY. La integración de la ecuación proporcionada
por la 2º ley de Newton permite obtener las dependencias de la velocidad y la posición
con el tiempo. Se considerará que velocidad y posición iniciales son nulas:
𝑣⃗( 𝑡) = ∫
𝑞∣𝐸⃗∣
𝑚
𝚥 ̂ 𝑑 𝑡 =
𝑞∣𝐸⃗∣
𝑚
𝑡𝚥 ̂
𝑟⃗( 𝑡) = ∫
𝑞∣𝐸⃗∣
𝑚
𝑡𝚥 ̂ 𝑑 𝑡 =
𝑞∣𝐸⃗∣
2𝑚
𝑡2
𝚥 ̂
Analicemos ahora los cambios energéticos que sufre la partícula. Por una parte,
dado que la velocidad de esta aumenta linealmente con el tiempo, también se
incrementará su energía cinética, la cual podemos poner en función del tiempo del
siguiente modo:
𝐸 𝑐(𝑡) =
1
2
𝑚𝑣2
=
1
2
𝑚 (
𝑞∣𝐸⃗∣
𝑚
𝑡)
2
=
𝑞2
∣𝐸⃗∣2
2𝑚
𝑡2
Este aumento de energía cinética se debe al trabajo que el campo eléctrico efectúa
sobre la partícula.


Por otra parte, a medida que la carga marcha sobre una línea de campo eléctrico, su
energía potencial varía. La expresión general de la energía potencial es:
𝐸 𝑝 = − ∫ 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟
∞

Para la situación planteada en el problema (campo eléctrico uniforme), la energía
potencial, supuesta nula en el infinito, tomará la forma:
𝐸 𝑝 = − ∫ 𝑞𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗ = −𝑞∣𝐸⃗∣
𝑟
∞
∫ 𝑑𝑟
𝑟
∞
= −𝑞∣𝐸⃗∣𝑟
Recurriendo de nuevo a las ecuaciones de movimiento, escribimos la energía
potencial como una función del tiempo:
𝐸 𝑝(𝑡) = −𝑞∣𝐸⃗∣
𝑞∣𝐸⃗∣
2𝑚
𝑡2
= −
𝑞2
∣𝐸⃗∣2
2𝑚
𝑡2

Este resultado era de esperar, ya que en todo campo conservativo, en ausencia de
fuerzas externas, un aumento de energía cinética siempre va acompañado de
una disminución de la energía potencial y viceversa. Se trata, en definitiva, de una
consecuencia directa del principio de conservación de la energía mecánica.
∆𝐸 𝑐 = −∆𝐸 𝑝 ⟶ ∆𝐸 𝑚 = 0
Así, la energía total de la partícula se mantiene constante.
b) Si en la expresión de la energía potencial empleada en el apartado anterior se
dividen ambos miembros por la carga en movimiento, resulta:
𝐸 𝑝
𝑞
= − ∫
𝐹⃗
𝑞
⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟
∞

O, equivalentemente:
𝑉 = − ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟
∞

Pues, en efecto, el potencial en un punto se corresponde con la energía potencial que
tendría una carga unidad positiva situada en el mismo. El potencial, al igual que la
intensidad de campo eléctrico, son funciones que solo dependen de las características
del campo eléctrico y no de las cargas que estén bajo su influencia.
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B será:
𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵 = − ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗ = ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗ =
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
𝑟 𝐴
𝑟 𝐵
∣𝐸⃗∣(𝑟 𝐵 − 𝑟 𝐴)


Sustituyendo:
𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵 = 500
𝑉
𝑚
⋅ 2 𝑚 = 1000 𝑉
Tiene sentido: las cargas positivas se desplazan espontáneamente hacia los
potenciales decrecientes.
Para determinar el valor del trabajo efectuado por el campo eléctrico, aplicaremos la
expresión:
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
= 𝑞 ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
Pero la segunda integral no es otra cosa que la diferencia de potencial entre A y B.
Se concluye que:
𝑊 = 𝑞(𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵) = 2 ⋅ 10−6
𝐶 ⋅ 1000
𝐽
𝐶
= 2 ⋅ 10−3
𝐽
Resultado que también es coherente con el caso estudiado ya que la carga se
desplaza de forma espontánea, en la dirección y sentido de las líneas de campo.
2.‐ (Junio, 2013) a) Explique las características del campo magnético creado por una
corriente eléctrica rectilínea indefinida.
b) Por dos conductores rectilíneos, paralelos y de longitud infinita, circulan corrientes
de la misma intensidad y sentido. Dibuje un esquema indicando la dirección y sentido
del campo magnético debido a cada corriente y del campo magnético total en el punto
medio de un segmento que une a los dos conductores. Razone cómo cambiaría la
situación al duplicar una de las intensidades y cambiar su sentido.
a) Una corriente eléctrica es un flujo de cargas y, por consiguiente, crea un campo
eléctrico variable que genera un campo magnético. El módulo del vector inducción
magnética producido por una corriente rectilínea e infinita puede deducirse fácilmente
de la ley de Ampère, que para un campo magnético estacionario tiene la forma:
∮ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐿
⋅ 𝑑𝑙⃗= 𝜇𝐼
Para facilitar la resolución de la integral, escogemos una línea con forma de
circunferencia que rodea al conductor. De este modo, el campo magnético en
cualquier punto de la circunferencia tendrá el mismo módulo al hallarse a la misma
distancia de la corriente.


Queda:
∮ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐿
⋅ 𝑑𝑙⃗= 𝐵 ∮ 𝑑𝑙
𝐿
= 2𝜋𝑟𝐵
Aplicando la ley de Ampère:
2𝜋𝑟𝐵 = 𝜇𝐼 ⟶ 𝐵 =
𝜇𝐼
2𝜋𝑟
Así pues, el módulo del campo creador por una corriente de este tipo es directamente
proporcional a la intensidad que circula por el conductor y decrece linealmente con la
distancia. Asimismo, su valor dependerá del medio en el que se sitúe el conductor.
Recurrimos a la forma diferencial de la ley de Biot y Savart para estudiar la orientación
del vector inducción magnética:
𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝜇
4𝜋
𝐼𝑑𝑙⃗× 𝑟̂
𝑟2
El producto cruz nos dice que será perpendicular al plano que generan los vectores
que se están multiplicando, es decir, será normal tanto a la dirección y sentido en la
que circula la corriente como al vector que une el conductor con el punto donde se
está calculando el campo magnético.
También se desprende de esta expresión que el sentido del vector inducción
magnética cambiará si se modifica el sentido de la corriente eléctrica. Este se puede
predecir a través de la aplicación de la regla de la mano derecha.


b) Teniendo en cuenta las consideraciones realizadas en el primer apartado, un
esquema apropiado sería el siguiente:
Como se observa, los vectores inducción magnética en el punto medio del segmento
que une los conductores tienen el mismo módulo (debido a que las intensidades de
corriente que circulan por los conductores son iguales, así como las distancias entre
cada conductor y el punto medio del segmento) y dirección, pero sentidos contrarios.
Por lo tanto, la suma de los vectores es nula.
𝐵⃗⃗⃗⃗⃗1 = −𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2 ⟶ ∑ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝑖
𝑖
= 0
Si se invierte el sentido de una de las corrientes y se duplica la intensidad de la misma,
el campo magnético en el punto medio, evidentemente, será distinto de cero.


En este segundo caso, los dos vectores tienen igual dirección y sentido, y el módulo
de uno de ellos es el doble del módulo del otro. Podemos obtener analíticamente el
valor del campo resultante:
𝐵 𝑇 = 𝐵1 + 𝐵2 =
𝜇
2𝜋𝑑
(𝐼 + 2𝐼) =
3𝜇𝐼
2𝜋𝑑
Siendo 𝑑 la distancia entre cada conductor y el punto medio del segmento que los
une.
3.‐ (Reserva, 2013) Dos partículas de 25 g y con igual carga eléctrica se suspenden de
un mismo punto mediante hilos inextensibles de masa despreciable y 80 cm de longitud.
En la situación de equilibrio los hilos forman un ángulo de 45º con la vertical.
a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre cada partícula.
b) Calcule la carga de las partículas y la tensión de los hilos.
K = 9·109 Nm2 C-2 ; g = 9,8 ms-2
a) Sobre cada partícula actúan tres fuerzas: el peso, la tensión del hilo y la fuerza
eléctrica repulsiva debida a la otra carga.

El sistema se halla en equilibrio, por lo que ha de verificarse que:
∑ 𝐹⃗𝑖
𝑖
= 0 ⟶ 𝐹 𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃⃗ + 𝑇⃗ = 0


b) Se trata de un simple problema de dinámica. Extraemos una ecuación por
separado para cada eje:
⎩{⎨
{⎧
𝑇 𝑥 = 𝐹 𝑒 ⟶ 𝑇 sin 45° = 𝐾
𝑄2
𝑟2
𝑇 𝑦 = 𝑃 ⟶ 𝑇 cos 45° = 𝑚𝑔
Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos la carga:
tan 45° =
𝐾𝑄2
𝑚𝑔𝑟2
⟶ 𝑄 = √
𝑚𝑔𝑟2 tan 45°
𝐾
La distancia entre las cargas puede deducirse por trigonometría. Por ejemplo, como
los ángulos agudos del triángulo formado por los hilos y el segmento que une las
cargas mide 45 grados, la distancia entre una de las cargas y el punto medio del
segmento que las une es:
𝑑
2
= 𝑙 cos 45°
Donde 𝑙 es la longitud de la cuerda. La separación entre las cargas será el doble de
esta longitud.
Sustituyendo:
𝑄 =
⎷
√√
√0,025 𝑘𝑔 ⋅ 9,8 𝑚
𝑠2⁄ ⋅ (2 ⋅ 0,8 ⋅ cos 45° 𝑚)2 tan 45°
9 ⋅ 109 𝑁 𝑚2
𝐶2⁄
= 5,9 𝜇𝐶
La tensión puede despejarse fácilmente de la ecuación del eje vertical.
𝑇 =
𝑚𝑔
cos 45°
=
0,025 𝑘𝑔 ⋅ 9,8 𝑚
𝑠2⁄
cos 45°
= 0,35 𝑁
4.‐ (Septiembre, 2013) Dos cargas eléctricas puntuales q1 = - 5 μC y q2 = 2 μC están
separadas una distancia de 10 cm. Calcule:
a) El valor del campo y del potencial eléctricos en un punto B, situado en la línea que
une ambas cargas, 20 cm a la derecha de la carga positiva, tal y como indica la figura.
b) El trabajo necesario para trasladar una carga q3 = -12 μC desde el punto A, punto
medio entre las cargas q1 y q2, hasta el punto B. ¿Qué fuerza actúa sobre q3 una vez
situada en B?
K = 9·109 Nm2C-2


a) La imagen que se adjunta con el problema es esta:
El campo eléctrico creado por una carga puntual viene dado por la expresión:
𝐸⃗ = 𝐾
𝑞
𝑟2
𝑢̂ 𝑟
Por lo tanto, su sentido dependerá del signo de la carga que crea el campo. En este
caso, suponiendo que el segmento representado en el croquis está contenido en el eje
X, el campo que genera la carga 1 estaría dirigido hacia los valores negativos del eje,
mientras que el que crea la carga 2 apuntaría hacia los valores positivos.
Sustituimos en la fórmula para calcular los módulos de dichos vectores:
𝐸1 = 9 ⋅ 109 𝑁 𝑚2
𝐶2
⋅
5 ⋅ 10−6
𝐶
(0,3 𝑚)2
= 5 ⋅ 105 𝑁
𝐶
𝐸2 = 9 ⋅ 109 𝑁 𝑚2
𝐶2
⋅
2 ⋅ 10−6
𝐶
(0,2 𝑚)2
= 4,5 ⋅ 105 𝑁
𝐶
Según el principio de superposición, el campo eléctrico resultante en B coincide con
la suma vectorial de los campos individuales sobre ese punto.
𝐸 𝑇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝐸⃗𝑖
𝑖
= 𝐸1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5 ⋅ 105
+ 4,5 ⋅ 105
)𝚤̂ = −5 ⋅ 104
𝚤̂
𝑁
𝐶
b) El trabajo realizado por una fuerza al desplazar su punto de aplicación a lo largo
de una línea se define como la circulación del vector fuerza en esa línea:
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
Podemos transformar la integral del siguiente modo:
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
= 𝑞3 ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
Teniendo en cuenta la relación entre campo y potencial eléctricos:
𝑑𝑉 = −𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
Resulta que:
𝑞3 ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
= −𝑞3 ∫ 𝑑𝑉
𝑉 𝐵
𝑉 𝐴
= 𝑞3 ∫ 𝑑𝑉
𝑉 𝐴
𝑉 𝐵
= 𝑞3(𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵)


El potencial en los puntos A y B será la suma escalar de los potenciales creados por
cada carga, de acuerdo con el principio de superposición.
La fórmula que permite calcular el potencial debido a una carga puntual es:
𝑉 = 𝐾
𝑞
𝑟
De este modo, los potenciales en A y B valen:
𝑉 𝐴 = 𝐾 (
𝑞1
𝑟1𝐴
+
𝑞2
𝑟2𝐴
) = 9 ⋅ 109 𝑁 𝑚2
𝐶2
⋅ (
−5 ⋅ 10−6
𝐶
0,05 𝑚
+
2 ⋅ 10−6
𝐶
0,05 𝑚
)
= −5,4 ⋅ 105
𝑉
𝑉 𝐵 = 𝐾 (
𝑞1
𝑟1𝐵
+
𝑞2
𝑟2𝐵
) = 9 ⋅ 109 𝑁 𝑚2
𝐶2
⋅ (
−5 ⋅ 10−6
𝐶
0,3 𝑚
+
2 ⋅ 10−6
𝐶
0,2 𝑚
)
= −6 ⋅ 105
𝑉
Finalmente:
𝑊 = 𝑞3(𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵) = −1,2 ⋅ 10−5
𝐶 ⋅ (−5,4 ⋅ 105
+ 6 ⋅ 105
𝑉 ) = −0,72 𝐽
El que el trabajo total sea negativo indica que, situada en el punto A, esta tercera carga
no se desplazaría espontáneamente hacia B, pues ello conllevaría un aumento en su
energía potencial.
Por último, la fuerza puede calcularse sin más que aplicar la definición de intensidad
de campo eléctrico:
𝐸⃗ =
𝐹⃗
𝑞
⟶ 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗
Conocidos el campo eléctrico y la carga, solo queda introducir los valores
correspondientes en la expresión de la fuerza.
𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗ = −1,2 ⋅ 10−5
𝐶 ⋅ −5 ⋅ 104
𝚤̂
𝑁
𝐶
= 0,6𝚤̂ 𝑁
5.‐ (Septiembre, 2013) a) Explique las características de la fuerza sobre una partícula
cargada que se mueve en un campo magnético uniforme. ¿Varía la energía cinética de
la partícula?
b) Una partícula con carga positiva se mueve en línea recta y penetra en una región en
la que existen un campo eléctrico y un campo magnético, perpendiculares entre sí y
perpendiculares a la velocidad inicial de la partícula. Haga un esquema y razone qué
condición debe cumplirse para que la partícula continúe su trayectoria rectilínea.


a) Cuando una partícula cargada en movimiento penetra en un campo magnético,
sufre los efectos de una fuerza que modifica la trayectoria de la misma pero no su
celeridad. Se comprueba experimentalmente que dicha fuerza varía con el seno del
ángulo que forman el campo magnético y la velocidad de la partícula, tornándose nula
cuando estos vectores son paralelos. Asimismo, es directamente proporcional a la
carga. Matemáticamente:
∣𝐹⃗∣ = 𝑞|𝑣⃗|∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣ sin 𝜃
Se descubre fácilmente que la fuerza admite una expresión vectorial del tipo:
𝐹⃗ = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Esta expresión recibe el nombre de ley de Lorentz. Debido al producto cruz, la
fuerza es en todo momento perpendicular a la velocidad, lo que explica que una carga
que penetra en un campo magnético uniforme describa un movimiento circular
uniforme (o helicoidal, si la dirección de la velocidad inicial con la que entra el
corpúsculo no es normal al campo). El sentido de la fuerza puede ser determinado a
través de la regla de la mano derecha, o del sacacorchos.
La variación de energía cinética coincide con el trabajo realizado sobre la carga
(teorema de las fuerzas vivas). Por lo tanto, si estudiamos qué trabajo efectúa el campo
magnético sobre la partícula también conoceremos cómo se ve alterada su energía
cinética. Por definición, el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el vector
desplazamiento:
𝑑𝑊 = 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
Introduciendo la fuerza de Lorentz:
𝑑𝑊 = (𝑞𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗) ⋅ 𝑑𝑟⃗
El vector velocidad es tangente al vector desplazamiento y su producto vectorial con
el campo magnético dará como resultado un vector perpendicular al desplazamiento,
siendo pues el producto escalar nulo.
𝑑𝑊 = 0 ⟶ ∆𝐸 𝑐 = 0
Considerando que la masa permanece constante, esto equivale a afirmar que el
módulo de la velocidad de la carga tampoco varía, lo cual es evidente ya que la fuerza
tiene carácter normal y no tangencial.
b) Dado que la partícula se halla en el seno de un campo eléctrico y de un campo
magnético, aparecerán sobre ella dos fuerzas, que son:
𝐹 𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝐸⃗
𝐹 𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗


Un esquema gráfico de la situación podría ser:
El que la partícula describa una trayectoria rectilínea supone, en base a la segunda ley
de Newton, que la suma de las fuerzas sobre la carga es nula o tiene la misma dirección
que la velocidad inicial. En cualquiera de estos dos casos, la trayectoria del corpúsculo
no se vería afectada ya que la fuerza resultante no modificaría la dirección del vector
velocidad instantánea.
En conclusión, como las dos fuerzas tienen la misma dirección y sentido contrario,
sus módulos han de coincidir de modo que su suma vectorial dé el vector nulo. Por
lo tanto:
∣𝐹 𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ = ∣𝐹 𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣
𝑞∣𝐸⃗∣ = 𝑞|𝑣⃗|∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣ sin 90° ⟶ |𝑣⃗| =
∣𝐸⃗∣
∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣
En este resultado se basa el funcionamiento del selector de velocidades.
6.‐ (Reserva, 2013) a) Explique en qué consiste el fenómeno de inducción
electromagnética y escriba la ley de Lenz-Faraday.
b) Una espira, contenida en el plano horizontal XY y moviéndose en la dirección del eje
X, atraviesa una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme,
dirigido en el sentido positivo del eje Z. Razone si se induce corriente eléctrica en la
espira e indique el sentido de la misma en cada uno de los siguientes casos: i) cuando


la espira penetra en el campo; ii) cuando se mueve en su interior; iii) cuando sale del
campo magnético.
a) El científico británico Michael Faraday comprobó que al cerrar y abrir un circuito,
aparecía una corriente transitoria en otro circuito próximo al primero. Esta inducción
solo se producía cuando variaba la intensidad de corriente del primer circuito, pero
no cuando esta se mantenía constante.
En otra experiencia, aproximaba y alejaba un imán a un bobinado y, al igual que
sucedía en el caso anterior, se inducía una corriente eléctrica únicamente si existía
movimiento relativo entre ambos elementos.
Ambos experimentos verificaban que, del mismo modo que una corriente eléctrica
genera un campo magnético, lo opuesto también es posible. De hecho, la síntesis
electromagnética y óptica de Maxwell ponía de manifiesto que todo campo eléctrico
variable creaba un campo magnético variable y viceversa. En el siglo XX, la teoría de
la relatividad demostró que los campos eléctrico y magnético son, en verdad, dos
manifestaciones distintas de un mismo fenómeno.
En definitiva, las experiencias de Faraday (así como otras llevadas a cabo por el
estadounidense Joseph Henry) evidenciaban que se inducía corriente en un conductor
si se producían variaciones en la intensidad de campo magnético o si se modificaba la
superficie del conductor. Ambas magnitudes pueden ser relacionadas a través de una
entidad matemática análoga a la circulación mas definida sobre una superficie de dos
dimensiones. Se trata del flujo, que para el campo magnético adopta la forma:
𝑑Φ = 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗ = 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑛̂ 𝑑 𝑆 = ∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣∣𝑑𝑆⃗∣ cos 𝜃
El flujo total a través de una superficie es la suma de los flujos elementales, esto es, la
integral de superficie:
Φ = ∫ 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑛̂ 𝑑 𝑆
𝑆
= ∫ ∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣∣𝑑𝑆⃗∣ cos 𝜃
𝑆
Para campos magnéticos uniformes y superficies planas, la integral es inmediata:
Φ = ∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣∣𝑆⃗∣ cos 𝜃
Muchos interpretan el flujo como una medida del número de líneas de campo que
atraviesan una superficie, siguiendo a Faraday.
Así pues, la fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional
a la variación de flujo magnético que lo atraviesa (ley de Faraday o de Faraday-Henry):
|𝜀| = ∣
𝑑Φ
𝑑𝑡
∣


Más adelante, Heinrich Lenz estudió el sentido de las corrientes inducidas de este
modo y postuló que:
El sentido de las corrientes o fuerza electromotriz inducida es tal que se opone siempre a la causa
que la produce, o sea, a la variación del flujo.
Generalmente, las leyes de Faraday y Lenz se escriben en una sola ecuación que aúna
ambas contribuciones.
𝜀 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
Si no se conoce la dependencia del flujo magnético con el tiempo, puede calcularse la
fuerza electromotriz inducida media:
𝜀̅ = −
∆Φ
∆𝑡
El fenómeno de la inducción electromagnética es de capital importancia en el mundo
moderno, pues es el que hace posible la generación de corriente alterna.
b) Se inducirá fuerza electromotriz cuando la espira sale o entra al campo magnético,
ya que se solo entonces se produce una variación del número de líneas de campo que
atraviesa la superficie y, por consiguiente, del flujo magnético.
Esto puede ser verificado analíticamente. Para mayor facilidad, supongamos que la
velocidad con la que se desplaza la espira es constante y, además, que esta es
rectangular. A medida que penetre en el campo magnético, la superficie de la espira
vendrá dada por el producto de los lados. Uno de ellos es constante en todo momento
(llamémoslo ) mientras que el otro crece linealmente con el tiempo.
𝑆 = 𝑙𝑣𝑡
Considerando que la espira y el campo son perpendiculares, el flujo magnético vendrá
dado por:
Φ = ∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣∣𝑆⃗∣ = 𝑙𝑣𝑡
Y la fem inducida en la espira:
|𝜀| =
𝑑Φ
𝑑𝑡
= 𝐵𝑙𝑣
De modo que sí se induce corriente. En este caso, el valor de la fuerza electromotriz
es constante.
Este resultado, conocido como fem de movimiento, puede obtenerse a través de otro
procedimiento. La fuerza electromotriz, al tratarse de una diferencia de potencial,
puede definirse como el trabajo efectuado por unidad de carga.


Analíticamente:
𝜀 =
1
𝑞
∫ 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗
La fuerza a la que se halla sometida la carga al tiempo que recorre el circuito eléctrico
viene dada por la ley de Lorentz. El campo magnético y la velocidad de la carga en
movimiento son perpendiculares. Por lo tanto:
∣𝐹⃗∣ = 𝑞𝑣𝐵
Además, esta fuerza tiene la misma dirección y sentido que el vector diferencial de
longitud. Sustituyendo en la integral:
𝜀 =
1
𝑞
∫ 𝑞𝑣𝐵𝑑𝑙 = 𝑣𝐵 ∫ 𝑑𝑙 = 𝐵𝑙𝑣
7.‐ (Reserva, 2013) Un protón, inicialmente en reposo, se acelera bajo una diferencia de
potencial de 103 V. A continuación, entra en un campo magnético uniforme,
perpendicular a la velocidad, y describe una trayectoria circular de 0,3 m de radio.
a) Dibuje en un esquema la trayectoria del protón, indicando las fuerzas que actúan
sobre él en cada etapa y calcule el valor de la intensidad del campo magnético.
b) Si con la misma diferencia de potencial se acelerara un electrón, determine el campo
magnético (módulo, dirección y sentido) que habría que aplicar para que el electrón
describiera una trayectoria idéntica a la del protón y en el mismo sentido.
e =1,6·10-19 C ; mp = 1,7·10-27 kg ; me = 9,1·10-31 kg
a) A medida que el protón atraviesa el campo eléctrico, sufrirá los efectos de una
fuerza constante que, por la segunda ley de Newton, dotará a la partícula de una


aceleración constante y de una velocidad inicial con la que penetrará en el campo
magnético. En esta segunda etapa, la fuerza magnética será en todo momento
perpendicular a la velocidad y solamente modificará la dirección de la misma.
En primer lugar, se ha de calcular la velocidad con la que el protón entra en el campo
magnético tras ser acelerado por la diferencia de potencial eléctrico. Esto se puede
conseguir a través de procedimientos variopintos:
I) Por conservación de la energía.
Todo campo eléctrico uniforme es conservativo y, en ausencia de fuerzas externas, se
tiene que cumplir que:
∆𝐸 𝑚 = 0
Consecuentemente:
∆𝐸 𝑐 = −∆𝐸 𝑝
Dado que la partícula parte del reposo, la variación de energía cinética que
experimenta vendrá será:
∆𝐸 𝑐 = 𝐸 𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐸 𝑐 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸 𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
1
2
𝑚 𝑝 𝑣2
Por otra parte, el cambio en la energía potencial puede deducirse de la expresión
utilizada en el primer ejercicio de este documento.
∆𝐸 𝑝 = − ∫ 𝐹⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
⋅ 𝑑𝑟⃗ = −𝑒 ∫ 𝐸⃗
𝑟 𝐵
𝑟 𝐴
⋅ 𝑑𝑟⃗ = 𝑒 ∫ 𝑑𝑉
𝑉 𝐵
𝑉 𝐴
= 𝑒∆𝑉
A pesar de la apariencia del resultado, la variación de energía potencial debe ser
negativa. La solución a esta contradicción reside en que la variación de potencial
también es menor que cero, aunque no se especifique en el enunciado. El protón se
desplaza espontáneamente en el sentido de las líneas de campo y el potencial en ese
trayecto disminuye. Obsérvese la ecuación que relaciona el campo eléctrico y el
potencial:
𝑑𝑉 = −𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
Para un campo eléctrico uniforme como este, podemos escribir:
∆𝑉 = −∣𝐸⃗∣∆𝑥
Por lo tanto:
∆𝑉 = −103
𝑉


Aplicamos, ahora sí, el principio de conservación de la energía mecánica.
∆𝐸 𝑐 = −∆𝐸 𝑝 ⟶
1
2
𝑚 𝑝 𝑣2
= −𝑒∆𝑉 ⟶ 𝑣 = √
−2𝑒∆𝑉
𝑚 𝑝
II) Por el teorema de las fuerzas vivas.
Se trata de un proceso casi idéntico al anterior. El teorema de las fuerzas vivas,
también conocido como teorema de la energía cinética o, en inglés, Work-Energy
theorem, postula que todo trabajo realizado sobre un cuerpo se invierte en variar su
energía cinética.
𝑊 = ∆𝐸 𝑐
El cálculo del trabajo se omitirá por ser exactamente igual al del cambio de la energía
potencial en el procedimiento anterior, con la salvedad de un signo, puesto que:
𝑊 = −∆𝐸 𝑝
Así, igualando ambos resultados se llega al mismo resultado que en el primer método.
III) Por cinemática.
En principio, podría parecer que no tenemos los suficientes datos para poder deducir
la velocidad final del protón a través de procedimientos cinemáticos. No obstante, sí
que es posible. Empecemos por encontrar la expresión de la aceleración de la que el
protón se ve dotado en el campo eléctrico (como se desplaza en una única dimensión,
tomaremos módulos).
∣𝐹⃗∣ = 𝑚 𝑝|𝑎⃗| ⟶ 𝑒∣𝐸⃗∣ = 𝑚 𝑝|𝑎⃗| ⟶ |𝑎⃗| =
𝑒∣𝐸⃗∣
𝑚 𝑝
No conocemos el valor del campo eléctrico, pero sí sabemos la variación de potencial
a lo largo del recorrido del hadrón.
∣𝐸⃗∣ = −
∆𝑉
∆𝑥
Sustituyendo en la aceleración:
|𝑎⃗| = −
𝑒
𝑚 𝑝
∆𝑉
∆𝑥
En lugar de integrar la aceleración, como se hizo en la primera actividad del
documento, emplearemos directamente una de las fórmulas básicas de la cinemática
del MRUA:
𝑣2
− 𝑣0
2
= 2𝑎∆𝑥 ⟶ 𝑣 =
√
2𝑎∆𝑥


Queda:
𝑣 = √−2
𝑒
𝑚 𝑝
∆𝑉
∆𝑥
∆𝑥 = √
−2𝑒∆𝑉
𝑚 𝑝
Pasamos a la segunda etapa del movimiento del protón. Una vez en el interior del
campo magnético, aparece sobre el barión una fuerza que solemos denominar fuerza
de Lorentz:
∣𝐹⃗∣ = 𝑒|𝑣⃗|∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣ sin 90° = ∣𝐹⃗∣ = 𝑒|𝑣⃗|∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣
Por ser normal a la velocidad, la fuerza es centrípeta:
𝑒|𝑣⃗|∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣ = 𝑚 𝑝
|𝑣⃗|2
𝑟
Despejando el campo magnético:
∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣ =
𝑚 𝑝|𝑣⃗|
𝑒𝑟
Introducimos la expresión deducida para la velocidad del protón:
∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣ =
𝑚 𝑝
𝑒𝑟
√
−2𝑒∆𝑉
𝑚 𝑝
=
1
𝑟
√
−2𝑚 𝑝∆𝑉
𝑒
Finalmente, sustituyendo por los correspondientes valores numéricos:
∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣ =
1
0,3 𝑚
√
−2 ⋅ 1,7 ⋅ 10−27 𝑘𝑔 ⋅ −103 𝑉
1,6 ⋅ 10−19 𝐶
= 15 𝑚𝑇
b) Tal y como se deduce de la ley de Lorentz, el sentido de la fuerza que actúa sobre
la carga al desplazarse en el interior de un campo magnético depende del signo de la
misma. Para que el electrón describiese una trayectoria circular en el mismo sentido
de giro que el protón, el campo magnético debe estar orientado en sentido opuesto al
del primer apartado. La dirección, sin embargo, sigue siendo la misma.
Por otra parte, dado que la masa del electrón es mucho menor que la del protón, el
módulo del campo magnético disminuirá. Aplicamos la expresión a la que se llegó en
el apartado anterior:
∣𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∣′ =
1
𝑟
√
−2𝑚 𝑒∆𝑉
𝑒
=
1
0,3 𝑚
√
−2 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 𝑘𝑔 ⋅ −103 𝑉
1,6 ⋅ 10−19 𝐶
= 0,36 𝑚𝑇

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