Unidad 4. sistema de ecuaciones lineales 2 x2 GONZALO REVELO PABON

Luis Gonzalo Revelo Pabón 33
Dpto. de Matemáticas- Goretti

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Estudiaremos Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2 × 2 es decir, Sistemas de Ecuaciones Lineales formados por dos
ecuaciones con dos variables.

Estos sistemas tienen la siguiente forma:

El problema a resolver en el sistema de ecuaciones lineales, es el de encontrar el valor de las variables X, Y
tales que satisfaga a las dos ecuaciones.

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales siempre se tiene cumple uno y solamente uno de los siguientes tres
casos.

1. El sistema tiene una única solución.
2. El sistema no tiene solución.
3. El sistema tiene infinitas soluciones.

1. Un criterio que nos permitirá saber si el Sistema de Ecuaciones Lineales tiene o no, una solución única es que
´ ´
se tiene que cumplir:

Tiene solución Única sí se cumple que:
O también

Gráficamente en el plano cartesiano las dos líneas rectas se cortan en un punto.

2.- Si todos los coeficientes de la primera ecuación lineal, son múltiplos de todos los coeficientes de la segunda
ecuación o viceversa. Entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones. Es decir

Tiene infinitas soluciones sí: ;
O también se cumple que :

Gráficamente en el plano cartesiano las dos rectas se cortan en infinitos puntos (las dos líneas rectan se superpo-
nen una encima de la otra).

3.- Si los coeficientes de las variables X, Y de la primera ecuación lineal ( ), son múltiplos de los coefi-
cientes de las variables X, Y de la segunda ecuación ( ) o viceversa, pero los términos independientes
( ) no son múltiplos entre sí, entonces el sistema de ecuaciones lineales No tiene solución. Es decir

No tiene solucion sí: ;
O también se cumple que:

Gráficamente en el plano cartesiano las dos rectas son paralelas, por lo tanto NO se cortan.

Ejemplo 1 Consideremos el sistema

2x + 3y = 1
- x+ y =2

Como: (2)(1) (3)(-1)
2 −3

Entonces el sistema tiene una solución única. (Gráficamente las líneas rectas se
cortan en un punto)



2x + y = 6
2x + y = 5

Como (2)(1) (1)(2) Y (1)(5) (1)(6)
2=2 5 6

Entonces el sistema NO tiene solución. (Gráficamente las líneas rectas son
paralelas)


3x + 4y = 4
6x + 8y = 8
Como (3)(8) = (6)(4) Y (8)(4) = (8)(4)
24 = 24 Y 32 = 32

Entonces el sistema tiene infinitas soluciones (Gráficamente las líneas rectas se
superponen).

ME
´TODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, se tiene los siguientes métodos.

1. El método Grafico
2. El método de Igualación.
3. El método de sustitución.
4. El método de Reducción o Suma y Resta.

2.- EL METODO DE IGUALACIÓN.

Procedimiento.
1. Se enumera las ecuaciones lineales. Así (1) y (2)
2. Se despeja la variable X de las ecuaciones enumeradas como (1) y (2) y a las ecuaciones obtenidas se
las denomina por (3) y (4)
3. Se iguala los segundos miembros, de las ecuaciones (3) y (4)
4. Se despeja la incógnita o variable Y. Con el fin de obtener el valor numérico de esta variable.
5. Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1) o (2), para obtener así el valor
numérico de la variable X.

Ejemplo: Resolver por el método de igualación, el siguiente sistema:

X + 6y = 27
7x – 3y = 9.

Solución
Paso 1: Enumeramos las ecuaciones lineales.

.x + 6y = 27 …………………… (1)
7x – 3y = 9. …………………… (2)


Pasó 2: despejamos la variable X, de las ecuaciones (1) y (2). Así:

.x + 6y = 27 x= 27 - 6y ….. (3)
7x – 3y = 9. x= ….. (4)
Paso 3: Se iguala los segundos miembros, de las ecuaciones. (3) y (4). Así:

27 - 6y = multiplicamos a cada término de la ecuación por 7.
189 – 42y = 9 + 3y. Ahora, transponemos términos.

Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y. así:

189 – 42y = 9 + 3y. Ahora, transponemos términos.
– 42y -3y = 9 -189 reducimos términos semejantes.
– 45y = - 180 multiplicamos por - 1
45 y = 180
.y = 180/ 45
.y = 4

Paso 5: remplazamos y =4 en la ecuación (1) o (2).

.x + 6y = 27………. (1) si y=4 entonces:
.x + 6(4) = 27
.x + 24 = 27 transponemos términos.
.x = 27 – 24
.x = 3.

Respuesta: La solución del sistema es: x= 3; y = 4

Ejemplo: Resolver por el método de igualación, el siguiente sistema:

3x – 2y = -2
5x + 8y = -60

Solución:

3x - 2y = -2 ……………………… (1)
5x + 8y = -60. …………………… (2)

Pasó 2: despejamos la variable X, de las ecuaciones (1) y (2). Así:

3x - 2y = -2 x= ….. (3)
5x + 8y = -60. x= ….. (4)

Paso 3: Se iguala los segundos miembros, de las ecuaciones. (3) y (4). Así:

= el producto de la diagonal principal, es igual a la diagonal secundaria. Así:
5(- 2 + 2y) = 3(-60 -8y)

Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y. así:

5(- 2 + 2y) = 3(-60 -8y)
-10 + 10y = -180 – 24y Ahora, transponemos términos.
10y +24y = -180 +10 reducimos términos semejantes.
34y = -170
.y = -170 / 34
.y = -5


Paso 5: remplazamos y = -5 en la ecuación (1) o (2).

3x - 2y = -2………. (1) si y= -5 entonces:
3x - 2(-5) = -2
3x + 10 = -2 transponemos términos.
3x = -2 -10
3x = -12
.x = -12/3
.x = -4

Respuesta: La solución del sistema es: x= -4; y = -5.

TALLER
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por medio del Método de igualación:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Respuestas:

1) x  1, y  3
2) x  7, y  3
3) x  3, y  4
4) x  6, y  2
5) x  2, y  4
6) x  2, y  5
7) x  6, y  8
8) x  2, y  4


3.- Método de Sustitución.

Procedimiento.
2. Se despeja la variable X de la ecuación (1) { o de la ecuación (2)}
3. Se remplaza la expresión algebraica obtenida de la variable X, en la ecuación (2) {o en la ecuación (1)}
4. Se despeja la incógnita o variable Y. Con el fin de obtener el valor numérico de esta variable.

Ejemplo: Resolver por el método de sustitución, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

.x + 3y = 6
5x – 2y = 13

Solución:

.x + 3y = 6 ………………...…… (1)
5x - 2y = 13. …………………… (2)

Paso 2: Se despeja la variable X de la ecuación (1). Así:
x + 3y = 6 x = 6 – 3y

Paso 3: Se remplaza la expresión algebraica obtenida de la variable X, en la ecuación (2)

5x - 2y = 13. ………… (2) Si x = 6 – 3y entonces:
5(6 – 3y) -2y = 13
30 – 15y -2y = 13
30 -17y = 13

Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y

30 – 17y = 13
-17y = 13 -30 multiplicamos por -1, a cada uno de los términos de la ecuación
17y = -13 + 30
17y = 17
.y= 17/17
.y=1.

Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1)

.x + 3y = 6 …………………… (1) si y= 1, entonces

.x + 3(1) = 6
.x = 6 – 3
.x = 3

Respuesta: x= 3; y = 1

Ejemplo: Resolver por el método de sustitución, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

5x + 7y = - 1
-3x + 4y = -24

Solución:


5x + 7y = - 1 …………………….(1)
-3x + 4y = -24 ………………….. (2)

Paso 2: Se despeja la variable x de la ecuación (1). Así:


5x + 7y = -1 x=
Paso 3: Se remplaza la expresión algebraica obtenida de la variable X, en la ecuación (2)

-3x + 4y = -24. ………… (2) Si x = entonces:

-3 + 4y = -24 multiplicamos todos los términos por 5. Así:
-3(-1-7y) + 20y = -120
3 + 21y + 20y =-120
3 + 41y =-120

Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y

3 + 41y =-120

.y =

.y = -123/41
.y = -3

Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1)

5x + 7y = - 1 …………………….(1) si y = -3, entonces
5x + 7(-3) = -1
5x -21 = -1
5x = -1 +21
5x = 20
.x= 20/5
.x=4

Respuesta: x= 4; y = -3

TALLER
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, por medio del Método de Sustitución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Respuestas:

1) x  1, y  3


2) x  7, y  3
3) x  3, y  4
4) x  6, y  2
5) x  2, y  4
6) x  2, y  5
7) x  6, y  8
8) x  2, y  4

4.- Método de Reducción o de Suma y Resta.
Procedimiento.
2. El coeficiente de la variable X de la ecuación (2), se lo multiplica por todos los términos de la ecuación
(1) y el coeficiente de la variable X de la ecuación (1), se lo multiplica por todos los términos de la ecua-
ción (2), de tal manera que los coeficientes de las variables X, sean iguales y de signos contrarios.
3. Se suma algebraicamente las nuevas ecuaciones (3) y (4).
4. Se despeja la incógnita o variable Y, de la ecuación resultante.

Ejemplo: Resolver por el método de Suma y Resta, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

6x -5y = -9
4x + 3y = 13

Solución:
Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales.
6x -5y = -9 ………………… (1)
4x + 3y = 13 ………………… (2)

Paso 2: Como los signos de los coeficientes de la variable X, tienen el mismo signo (positivos) entonces multipli-
camos el coeficiente de la variable X de la ecuación (2) que es el 4, por todos los términos de la ecuación (1) y
el coeficiente de la variable X de la ecuación (1) que es el 6, lo multiplicamos por todos los términos de la ecua-
ción (2), pero como los productos de los coeficientes de las variables X, deben ser iguales y de signos contrarios,
entonces los multiplicamos por -6. Así:

24x – 20y = -36 ………….. (3)
-24x + 18y = -78 ………….. (4)

Paso 3: Se suma algebraicamente las ecuaciones (3) y (4). Para obtener:

24x – 20y = -36 ………….. (3)
-24x - 18y = -78 ………….. (4)
_____________
-38y = -114

Paso 4: Despejamos la variable y.
-38y = -114 multiplicamos por -1
38y = 114
.y = 114/38 = 3

Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1).
6x -5y = -9 remplazamos y = 3
6x – 5(3) = -9
6x -15 = -9 despejamos x

.x =

.x = 1


Respuesta x=1; y = 3

Ejemplo: Resolver por el método de Suma y Resta, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

7x -15y = 1
-x -6y = 8

Solución:

Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales.

7x -15y = 1 ………………… (1)
-1x - 6y = 8 ………………… (2)

Paso 2: Como los signos de los coeficientes de la variable X, tienen signos contrarios, entonces únicamente mul-
tiplicamos el coeficiente de la variable X de la ecuación (2), que es el 1, por todos los términos de la ecuación
(1) y el coeficiente de la variable X de la ecuación (1) que es el 7, lo multiplicamos por todos los términos de la
ecuación (2). Así:

7x – 15y = 1 ………….. (3)
-7x - 42y = 56 ………….. (4)

Paso 3: Se suma algebraicamente las ecuaciones (3) y (4). Para obtener:

7x – 15y = 1 ………….. (3)
-7x - 42y = 56 ………….. (4)
_____________
-57y = 57

Paso 4: Despejamos la variable y.
-57y = 57 multiplicamos por -1
57y = -57
.y = -57/57 = -1

Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1).
7x -15y = 1 remplazamos y = -1
7x -15(-1) = 1
7x +15 = 1 despejamos x

.x =

.x = -2

Respuesta x=-2; y = -1

TALLER
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, por medio del método de Suma y Resta

1.

2.

3.

4.

5.


6.

7.

8.

Respuestas:
1) x  1, y  3
2) x  7, y  3
3) x  3, y  4
4) x  6, y  2
5) x  2, y  4
6) x  2, y  5
7) x  6, y  8
8) x  2, y  4

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES FRACCIONARIAS CON DOS VARIABLES
Procedimiento.
1. Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias. Así (1) y (2)
2. Se transforma la ecuación lineal fraccionaria, en una ecuación lineal entera, para ello se multiplica a cada
uno de los términos de la ecuación fraccionaria por el denominador o denominadores que tenga la ecua-
ción lineal fraccionaria.
3. Se resuelve las ecuaciones lineales enteras, que se hayan obtenido, por cualquiera de los métodos de
eliminación o reducción, que se han estudiado.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales fraccionarias:

Solución:

Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias
.

Paso 2: Multiplicamos a cada uno de los términos de las ecuaciones fraccionarias (1) y (2) por 2. Para obtener:

Paso 3: Aplicamos cualquiera de los métodos de reducción a este último sistema de ecuaciones lineales enteras,
para obtener x=6; y=2

Solución:
Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias.


Paso 2: Multiplicamos por 12 (3x4=12) a cada uno de los términos de la ecuación fraccionaria (1) y a la ecuación
fraccionaria (2) la multiplicamos por 10 (2x5=10). Para obtener:

Efectuamos las operaciones y reducimos los términos semejantes en las ecuaciones (3) y (4), para obtener:

(5) y (6), se obtiene que: x=6; y=8.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales fraccionarias:

Solución:

Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias.

Paso 2: Multiplicamos por 216 (2x3x36=216) a cada uno de los términos de la ecuación fraccionaria (1) y a la
ecuación fraccionaria (2) la multiplicamos por 18 (3x2x3=18). Para obtener:

Efectuamos las operaciones y reducimos los términos semejantes en las ecuaciones (3) y (4), para obtener:

(5) y (6), se obtiene que: x=1/2; y=4/3

TALLER
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales fraccionarias de 2x2

1.

2.

3.


4.

Respuestas:
1. x  5, y 7
2. x  3, y  4
3. x  5, y  4
4. x  2, y  4

SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES EN LOS DENOMINADORES.

Procedimiento:
1. Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias. Así (1) y (2)
2. El sistema de ecuaciones con dos variables en los denominadores, se sustituye las variables y

. para obtener así un sistema de ecuaciones lineales enteras.
3. Se resuelve las ecuaciones lineales enteras, que se hayan obtenido, por cualquiera de los métodos de
eliminación o reducción que se han estudiado. Para obtener los valores de las variables u y v.

4. Los valores de las variables x; y serán iguales a:

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables en los denominadores.

Solución:
Paso 1: Se enumera las ecuaciones con dos variables en los denominadores.

Paso 2: El sistema de ecuaciones con dos variables en los denominadores, se sustituye las variables
y . Así:

Paso 3: Se resuelve las ecuaciones lineales fraccionarias, que se hayan obtenido, por cualquiera de los métodos
de eliminación o reducción que se han estudiado. Para obtener que u= 19/76 = 1/4 , v = 1/3.

Paso 4: Los valores de las variables x; y serán iguales a: remplazamos:

Respuesta: x=4; y= 3


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 2X2

Para resolver problemas que hagan referencia a Sistemas de Ecuaciones formados por dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas o dos preguntas podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1. Asignar las Variables X e Y, las dos preguntas que hace el problema.
Paso 2. Plantear las dos ecuaciones lineales, para ello se traduce el problema escrito en español, al lenguaje
algebraico.

Estos dos pasos los resumimos mediante la siguiente tabla.

Paso 3. Resolver el sistema de ecuaciones lineales de 2x2, por cualquier método estudiado.
Paso 4. Por último siempre se comprueba que la solución es correcta o al menos que tiene sentido.

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo: Una señora compra 10 kilos de frijol y 4 kilos de arroz y paga $ 58.000, pesos. Otra señora compra 3
kilos de frijol y 5 kilos de arroz y paga $25.000, pesos. ¿Cuánto cuesta 1 kilo de arroz? ¿Cuánto cuesta 1 kilo de
frijol?

1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuánto cuesta 1 kilo de frijol?, ¿Cuánto cuesta 1 kilo de arroz?

Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variables
x = precio de 1 kilo de frijol.
y = Precio de 1 kilo arroz

2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones.
Señora 1: compra 10 kilos de frijol y 4 kilos de arroz y paga $ 58.000, pesos , entonces:
La Ecuación 1 seria: 10x +4y =58000.

Señora 2: compra 3 kilos de frijol y 5 kilos de arroz y paga $25.000, pesos entonces:
La Ecuación 2 seria: 3x + 5y = 25000.

O sea:

X:FRIJOL (Kilos) Y: ARROZ (kilos) Termino Independiente
TOTAL (dinero)
Ecuación 1 (SEÑORA 1) 10 4 58.000
Ecuación 2 (SEÑORA 2) 3 5 25.000

Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, por cualquier método que se ha estudiado se obtiene que:
X= $5.000 pesos (1 kilo de frijol), Y= $2.000 pesos (1 kilo de arroz).
Paso 4: Al sustituir estos valores de X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.

Ejemplo: En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 168 patas y 58 cabezas. ¿Cuántos conejos y cuantas
gallinas hay en el corral?

1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuántos conejos hay en el corral? ¿Cuántas gallinas hay en el corral?

x = Conejos
y = Gallinas.



Ecuación de las Patas:
4 patas de los conejos + 2 patas de las gallinas = 168 patas

Ecuación de las Cabezas.
1 cabeza de los conejos + 1 cabeza de la gallina = 58 cabezas

O sea:

X: CONEJOS Y:GALLINAS Termino Independiente
TOTAL
Ecuación 1 (PATAS) 4 2 168
Ecuación 2 (CABEZAS) 1 1 58

X=26 Conejos, Y= 32 gallinas.

Paso 4: Al sustituir estos valores de X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.

Ejemplo: para un espectáculo se vendieron 300 boletos, cuyos boletos tenían un precio de $20.000 pesos y de
$ 30.000 pesos ¿Cuántos boletos se vendieron de cada precio, si el total de dinero recibido por la venta de bole-
tería fue de $8.000.000 pesos?

1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuántos boletos se vendieron de cada precio?


x = número de boletos de $20.000
y = número de boletos de $30.000.


Ecuación del número de boletas:
X + Y = 300 boletas.

Ecuación del dinero.
20.000X + 30.000Y = 8.000.000

O sea:

X: boletas de $20.000 Y: boletas de $30.000 Termino Independiente
TOTAL
Ecuación 1 (número de boletos) 1 1 300
Ecuación 2 (dinero) 20.000 30.000 8.000.000

X=100 boletas de $20.000, Y= 200 boletas de $30.000 pesos.

Paso 4: Al sustituir estos valores X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.

Ejemplo: Un ganadero vendió a un señor A, 50 terneras y 220 ovejas por un valor de $6.900.000 pesos, y más
tarde con el mismo precio vendió al señor B, 40 terneras y 180 ovejas por un valor de $5.600.000 pesos. Hallar el
precio de venta de cada ternera y el precio de cada oveja.

1. Paso. Las preguntan son: ¿Hallar el precio de una ternera?¿Hallar el precio de una oveja?



x = Precio de la ternera.
y = Precio de la oveja.


Señor A: 50x + 220y = 6.900.000
Señor B: 40x + 180y = 5.600.000

O sea:

X:TERNERAS Y: OVEJAS Termino Independiente
TOTAL
Ecuación 1 (señor A) 50 220 6.900.000
Ecuación 2 (señor B) 40 180 5.600.000

X= $50.000 (Precio de una ternera), Y=$20.000 (Precio de una oveja).
Paso 4: Al sustituir estos valores X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.

PROBLEMAS DE EDADES

En los problemas propuestos que hacen referencia a edades, el TIEMPO es uno de los elementos más importan-
tes que sobresale en la dificultad del problema propuesto, ya que dentro de sus condiciones ocurren en tiempos
diferentes: pasado, presente y futuro y el éxito de la solución depende de su correcta interpretación.

En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una
línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda, de esta manera:

Ejemplo: La edad actual de un padre es 20 años más que la edad de su hijo. Al cabo de 8 años la edad del padre
será 5 años más que el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre y la edad actual del hijo?

1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual del padre? ¿Cuál es la edad actual del hijo?.


p = edad del padre.
h = edad del hijo.

2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones teniendo en cuenta la tabla del tiempo. Así:

Tiempo p: Edad del Padre h: Edad del hijo ECUACIONES
Variables de Edad Actual p .h p = 20 + h
Variables de la Edad Futura (dentro de 8 años) p+8 h+8 p + 8 = 5 + 2(h +8)

Ecuación 1:” La edad actual de un padre es 20 años más que la edad de su hijo” p = 20 + h
Ecuación 2: “Al cabo de 8 años la edad del padre será 5 años más que el doble de la edad de su hijo”:
p + 8 = 5 + 2(h +8)


O sea:
Entonces:

Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, (1) y (2) por cualquier método que se ha estudiado se ob-
tiene que: p= 27 años y h= 7 años.

Paso 4: Al sustituir estos valores p, h en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.

Ejemplo: La suma de las edades actuales de Juan y Pedro es de 65 años y dentro de 10 años la edad de Pedro
será los 5/12 de la edad de Juan. ¿Cuál es la edad de Juan? ¿Cuál es la edad de Pedro?

Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual del padre? ¿Cuál es la edad actual del hijo?.


j = edad de Juan.
p = edad de Pedro.

Paso 2. Se plantean las dos ecuaciones teniendo en cuenta la tabla del tiempo. Así:
Tiempo j: Edad de Juan p: Edad de Pedro ECUACIONES
Variables de la Edad Actual j .p J + p = 65
Variables de la Edad Futura (dentro de 10 años) j + 10 p + 10 P +10 = 5/12(j +10)

Ecuación 1:” La suma de las edades actuales de Juan y Pedro es de 65 años” j + p = 65
Ecuación 2: “dentro de 10 años la edad de Pedro será los 5/12 de la edad de Juan”: p +10 = 5/12 (j +10)

O sea:

Entonces:

tiene que: p= 15 años y j= 50 años.

Paso 4: Al sustituir estos valores p, j en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.

Ejemplo: El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro son 44 años. Y dentro de dos años la edad de
Juan será el doble que la de Pedro ¿Cuántos años tienen cada uno?

Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual de juan? ¿Cuál es la edad actual de Pedro?.


j = edad de Juan.
p = edad de Pedro.


Tiempo j: Edad de Juan p: Edad de Pedro ECUACIONES
Variables de la Edad Actual j p 2J + p = 44
Variables de la Edad Futura (dentro de 2 años) j+2 p+2 j + 2 = 2(p+2)

Ecuación 1:” El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro son 44 años” 2j + p = 44
Ecuación 2: “dentro de dos años la edad de Juan será el doble que la de Pedro”: j + 2 = 2(p +2)

O sea:

Entonces:

tiene que: p= 8 años y j= 18años.



Ejemplo: La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre
era el triple de la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual del padre? ¿Cuál es la edad actual del hijo?


p = edad del padre.
h = edad del hijo.


Tiempo p: Edad del padre h: Edad del hijo ECUACIONES
Variables de la Edad Actual p h p +2h=120
Variables de Edad Pasada (de hace 5 años) p-5 h-5 p - 5 = 3(h – 5)

Ecuación 1:” La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años” p + 2h = 120
Ecuación 2: “hace 5 años la edad del padre era el triple de la del hijo”: p - 5 = 3(h - 5)

O sea:

Entonces:

tiene que: p= 68 años y h= 26 años.


Ejemplo: Félix tiene 9 años más que su hermana María y hace tres años Félix tenía el doble de la edad de María.
¿Cuántos años tienen actualmente cada uno?
Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuántos años tiene Félix? ¿Cuántos años tiene María?


f = edad de Félix.
m = edad de María.


Tiempo f: Edad de Félix m: Edad de María ECUACIONES
Variable de la Edad Actual f .m .f = 9 + m
Variable de la Edad Pasada (hace 3 años) f-3 .m -3 f- 3 =2(m-3).

Ecuación 1:” Félix tiene 9 años más que su hermana María” f = 9 + m
Ecuación 2: “hace tres años Félix tenía el doble de la edad de María”: f -3 = 2 (m - 3)

O sea:

Entonces:

tiene que: f= 21 años y m= 12 años.



TALLER
1. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 dólares. Cinco camisetas y 4 gorras cuestan 188 dólares. Halle el
precio de una camiseta y de una gorra. (Solución: 32 dólares vale una camiseta, 7 dólares vale una gorra)
2. He comprado un cuaderno que costaba 3000 pesos y para pagarlo he utilizado nueve monedas, unas de 200
pesos y otras de 50 pesos. ¿Cuántas monedas de cada valor monetario he utilizado? (Solución: 5 monedas de
200 pesos, y 4 de 500 pesos)
3. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25
por cada respuesta con error. Si un alumno tiene una calificación 10,5 puntos ¿Cuántos preguntas correctas? y
¿Cuántas preguntas con errores ha cometido?
(Solución: 18 respuestas correctas, 12 respuestas incorrectas)
4. Dos números suman 191 y su diferencia es de 67. ¿Cuáles son esos dos números? (Solución: primer número
129 y segundo número 62)
5. La diferencia de dos números es de 14 y la cuarta parte de su suma es 13. Halla dichos números.
(Solución: primer número 33 y segundo número 19)
6. Dos números suman 21. Si el primero lo dividimos entre 3 y le restamos la sexta parte del segundo, nos da 1.
Halla el valor de los dos números. (Solución: primer número 9 y segundo número 12)
7. Ente María y Pedro tienen un total de 65 CD’s. Si que Pedro tiene 7 CD’s más que María. ¿Cuántos CD’s tiene
cada uno? (Solución: María tiene 29 CD’s y Pedro 36CD´s)
8. Calcule las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 80 m y la altura es igual a los 2/3 de su base. (So-
lución: base 24 m y altura 16m)
9. En el aula de 3º A hay doble número de alumnos que en el aula de 3ºB. Si se pasan 8 alumnos del curso 3º A
al curso 3ºB ambas aulas tendrán el mismo número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada aula?
(Solución: En el aula de 3º A hay 32 alumnos y en el aula del 3ºB hay 16 alumnos)
11. Tenemos dos grifos A y B. Si abrimos el grifo A durante 3 minutos y al grifo B lo abrimos durante 1 minuto,
entonces salen en total 50 litros de agua. Ahora si abrimos el grifo B durante 2 minutos y al grifo A durante 1 minu-
to, entonces salen en total 40 litros ¿Cuántos litros de agua arroja cada grifo en 1 minuto? (Solución: Grifo A 12
litros en un minuto y grifo B 14 litros en un minuto)
12. Javier dispone de un capital de 8000 euros. De dicho dinero una parte la ahorra en un banco que paga al 5%
anual y otra parte del dinero la ahorra en otro banco que paga al 6% anual. Calcule la cantidad de dinero que
deposito en cada banco, sabiendo que el capital recibido por los dos bancos después de un año es fue de 8450
euros. (Solución: El capital depositado en el banco que pago al 5% anual fue de 3000 euros y capital depositado
en el banco que pago al 6% fue de 5000 euros)
13. Una empresa que fabrica jarrones tiene una producción mensual de Y jarros. Al planificar la producción se dan
cuenta de que si fabrican 250 jarrones al día, faltarían 150 jarrones para obtener ese nivel de producción y si fabri-
can 260 jarrones diarios entonces les sobrarían 80 jarrones del nivel de producción. ¿Cuántos días del mes labora
la fábrica y cuántos jarrones produce mensualmente la empresa? (Solución: trabajan 23 días en un mes y la
producción mensual es de 5900 jarrones.
14. La edad de mi primo dentro de 14 años será 31 años. ¿Cuál fue su edad hace 4 años? (Solución 17 años).
15. Cristina tiene 8 años más que Mateo y hace dos años Cristina tenía el doble de edad que él, ¿Cuántos años
tiene cada uno? (Solución: Cristina tiene 18 años y Mateo tiene 10 años)
16. La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 14 años será el doble. ¿Qué edad tiene
cada uno? (Solución. El padre tiene 42 años, y el hijo tiene 14 años)

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