Gestión de Carteras                     Gerard Albà                Xavier Noguerola            FME UPC – Mayo 2012
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Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman  – Permite combinar el equilibrio del mercad...
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Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Podemos partir de las rentabilidades de equ...
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Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• El vector de rentabilidades esperadas es   ...
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers  3. Modelo de Black-Litterman  • La cartera óptima se puede obtener del ...
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Para una expectativa k, su peso λk es una f...
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Quantitative Portfolio Management handouts - 2012 May 14

  1. 1. Gestión de Carteras Gerard Albà Xavier Noguerola FME UPC – Mayo 2012
  2. 2. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2. Modelos del Mercado de Capitales (Asset pricing models) 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model) 2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models) 3. Modelo de Black-Litterman 2
  3. 3. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• CAPM (Capital Asset Pricing Model. Sharpe, W. Premio Nobel 1990) – El modelo de Markowitz requiere estimar los parámetros: rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas (correlaciones). Para N activos, son: N+N+N(N- 1)/2=N(N+3)/2 parámetros. – La hipótesis básica del modelo CAPM es que la dependencia entre las rentabilidades de los activos no es directa, sino que deriva de la relación entre estas rentabilidades y un grupo fundamental de índices: índice bursátil, IPC, PIB, etc. 3
  4. 4. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• El CAPM es un modelo de equilibrio que se puede usar para determinar la rentabilidad que cabe esperar de un activo y como referencia para valorar si el activo está correctamente valorado por el mercado.• El CAPM se puede usar también como una simplificación con un solo índice para aplicar el modelo de Markowitz de selección de carteras. 4
  5. 5. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• Construimos un modelo sencillo para las rentabilidades esperadas y las volatilidades, y aplicamos los criterios de Markowitz para encontrar la cartera eficiente.• Se define la beta β de un activo respecto a un índice de mercado M: σ iM βi = σM2• Se define un modelo basado en un índice representativo del mercado y se escribe la rentabilidad del activo i como (modelo de Sharpe): Ri = α i + β i ⋅ RM + ε i 5
  6. 6. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• La rentabilidad de un activo se descompone en tres términos: una deriva constante α i , una componente aleatoria común con el índice M, y una parte aleatoria ε i no correlacionada con el índice.• La variable εi es aleatoria con media 0.• Las rentabilidades de los activos están relacionadas con la del índice, y no tienen ninguna otra relación (correlación) entre ellas. 6
  7. 7. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• Los coeficientes α i , β i se pueden determinar por mínimos cuadrados a partir de una regresión lineal. 12% 10% Rentabilidades Telefónica 8% 6% 4% 2% 0% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% -2% -4% -6% -8% Rentabilidades EuroStoxx50 7
  8. 8. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers • Ratio de cobertura de una acción/cartera utilizando futuros sobre el índice. 8
  9. 9. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 9
  10. 10. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• Si µ M y σ M son la rentabilidad esperada y la volatilidad del índice, la rentabilidad esperada del activo i es: µi = α i + β i ⋅ µ M• Y la volatilidad es σ i = β i 2 ⋅ σ M 2 + ei 2• ei es la volatilidad de la variable εi 10
  11. 11. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• La rentabilidad de una cartera de activos es: δΠ N N  N  N RΠ = = ∑ Wi ⋅ Ri = ∑ Wiα i + RM  ∑ Wi β i  + ∑ Wiε i Π i =1 i =1  i =1  i =1• Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera es: n N µ Π = ∑ Wiα i + E [RM ]⋅ ∑ Wi β i I =1 i =1 µΠ = α Π + β Π ⋅ µ M donde: N N α Π = ∑ Wi ⋅ α i β Π = ∑ Wi ⋅ β i i =1 i =1 11
  12. 12. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• La volatilidad de la cartera es: N N N σΠ = ∑∑ Wi ⋅ W j ⋅ β i ⋅ β j ⋅ σ M + ∑ Wi ⋅ ei 2 2 2 i =1 j =1 i =1• La primera componente en la expresión de la volatilidad, que tiene que ver con la correlación con el índice, se denomina riesgo sistemático.• La segunda componente de riesgo, asociada con las , se ε denomina riesgo diversificable. Observamos que si aumentamos el número de activos N, este término es menos significativo.• En un modelo de un solo factor (CAPT), el riesgo sistemático es el riesgo de mercado. 12
  13. 13. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model) Para un activo Ri = α i + β i ⋅ Rm + ε i E (Ri ) = α i + β i ⋅ E (Rm ) σ 2 (Ri ) = β i 2 ⋅ σ Rm 2 + σ ε2 i Para una cartera de N activos N N E (Rπ ) = ∑ Wiα i + ∑ Wi β i ⋅ E (Rm ) = α π + βπ ⋅ E (Rm ) i =1 i =1 N σ (Rπ ) = βπ ⋅ σ Rm + ∑ Wi 2 ⋅σ 2ε 2 2 2 i i =1 13
  14. 14. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• El modelo CAPM es un modelo de equilibrio, es decir, el precio de un activo está fijado de manera que no existen posibilidades de arbitraje.• Por lo tanto, si reescribimos µi = α i + βi ⋅ µ M• en la forma: µi = ai + β i ⋅ ( µ M − r ) donde r es el tipo de interés libre de riesgo ai = r• Tenemos que 14
  15. 15. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)• Hipótesis CAPM: - Los inversores se pueden financiar al mismo tipo de interés libre de riesgo al que pueden invertir. - Todos los inversores tienen las mismas expectativas. - Todos los inversores tienen el mismo horizonte temporal. - Las inversiones son perfectamente divisibles. - No existen impuestos ni costes de transacción. - No existe inflación y los tipos de interés permanecen constantes. - Los mercados se encuentran en equilibrio.• Capital Asset Prices. Sharpe, W. Journal of Finance, 1964. 15
  16. 16. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers• La recta que pasa por los puntos r y µM es la que expresa la condición deequilibrio teórica entre rendimiento y riesgo para los activos. Constituye lafórmula de valoración de los activos y en una situación de equilibrio todos losactivos se situarán encima de la línea (SML: Security Market Line). Rentabilidad esperada SML M µ r BM =1 Beta• WACC, coste del capital y valoración• Observamos que la rentabilidad de un activo viene dada por su riesgo no-diversificable. Sin incrementar el capital invertido (utilizando apalancamientocon dinero prestado o leverage) o el riesgo sistemático asumido, no se puedeincrementar la rentabilidad. 16
  17. 17. Tècniques quantitatives per als Mercats FinancersEstrategias operativas Equity Market Neutral • Consiste en explotar las ineficiencias del mercado mediante la toma de posiciones largas y cortas de manera simultánea en acciones de renta variable. Las posiciones largas y cortas se ponderan de modo que la exposición al mercado es cero (beta nula). Estrategia de valor relativo, sin exposición a la dirección de mercado. La rentabilidad dependerá de las alfas. • La neutralidad respecto al mercado se obtiene ponderando adecuadamente las posiciones larga y corta. Si β L y β S son las betas de la posición larga y corta respectivamente, la proporción que hay que vender del activo o cartera corta es β L βS • Un ejemplo de este tipo de estrategias es el pairs trading. Intenta aprovechar movimientos en el spread de precios, con la expectativa que vuelvan a sus valores medios. Se identifican dos acciones con precios cointegrados (el spread tiene reversión a la media) y se aprovechan situaciones en las que los precios divergen. Se toma una posición compradora en la acción que se ha depreciado en términos relativos, y se vende la acción que se ha apreciado. 17
  18. 18. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• APT (Asset/Arbitrage Pricing Theory) (Ross, S)• La idea del modelo CAPM se puede extender para incluir varios índices representativos del mercado (por ejemplo, índices de renta variable, renta fija, divisa, económicos,etc) o estadísticamente representativos (análisis componentes principales, etc).• En un modelo multi-índice, la rentabilidad de un activo se expresa como: L Ri = α i + ∑ β ij ⋅ F j + ε i j =1 L es el número de índices o factores Fj es la rentabilidad de los índices Ij 18
  19. 19. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• Para el ajuste mediante mínimos cuadrados, es conveniente que los factores sean ortogonales, es decir: Cov( Fi , F j ) = 0 ∀i, j = 1,..., L Cov( Fi , ε j ) = 0 ∀i = 1,..., L• A partir de un conjunto de factores de riesgo, siempre podemos reducirnos a un conjunto de factores ortogonales: – Sean F1*, F2* rentabilidades de dos índices correlacionados. Para construir una base ortogonal de índices F1, F2, definimos: F1 = F1 F2 = F2 − γ 0 − γ 1 F1 * * Donde γ 0, γ 1 se determinan de la regresión F2* = γ 0 + γ 1 F1 + ε 19
  20. 20. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• El modelo APT considera que el riesgo sistemático no se puede medir a partir de una única fuente o factor de riesgo.• En un mercado eficiente, la rentabilidad de un activo debería ser función de los diversos riesgos asociados (medidos por los factores de riesgo) .• El modelo teórico APT es muy general y no especifica exactamente cuales son los factores de riesgo sistemático, ni siquiera cuantos son.• En la práctica, se han determinado varios factores de riesgo que afectan los movimientos de precios de los activos del mercado de manera consistente.• Existen modelos con factores fundamentales de tipo microeconómico (ratios característicos de las acciones y de las empresa), otros con factores fundamentales de tipo macroeconómico (inflación, producción industrial, tipo de interés, confianza consumidores, etc) y otros factores estadísticos (factores principales, componentes principales, etc)• Ver artículo Global Risk Attribute Model, Citi research Dec 2010. 20
  21. 21. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• El Teorema de Ross, permite demostrar que si: L Ri = α i + ∑ β ij ⋅ F j + ε i j =1• Y no existen oportunidades de arbitraje (equilibrio), entonces: µ i = ai + ∑ β ij ⋅ (µ j − r ) ⇒ ai = r L j =1 µ j es la rentabilidad esperada del índice j 21
  22. 22. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• En notación matricial, para una cartera con N activos: – R vector N x 1 de rentabilidades (por encima del libre riesgo r). – B matriz de N x L de betas de los N activos respecto los factores de riesgo. – f vector L x 1 de rentabilidades de los factores de riesgo (por encima del libre de riesgo), primas de riesgo. – E vector N x 1 de rentabilidades residuales (de riesgo no sistemático). – Σ matriz N x N de variancias-covariancias de las rentabilidades de los activos. – matriz L x L de variancias-covariancias de las rentabilidades f. – Ω matriz N x N diagonal de riesgo residual ei (de rentabilidad no sistemática Σ i 22
  23. 23. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)  R1 − r   Fi − r   ε1        R= M  f = M  E = M  R −r F −r ε   N   L   N B = (β ij )ij i = 1, L , N j = 1, L , L Σ = (σ ij )ij i, j = 1, L , N Λ = (λij )ij i, j = 1,L , L Ω = diag (ei ) i = 1, L, N 23
  24. 24. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• En notación matricial para una cartera con N activos: R = Β⋅ f + Ε Σ = Β ΛΒ + Ω T 24
  25. 25. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• Risk Model Handbook, Barra. 2007• Handbook of Porfolio Construction, John B. Guerard. Springer. 25
  26. 26. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• Ejemplo: en el modelo de factores fundamentales macroeconómicos de Ross se utilizan los siguientes 5 factores: – Confianza de los inversores:medida como la diferencia de tipos de interés implícito entre bonos corporativos y bonos del gobierno, con vencimiento veinte años. La mayoría de acciones tienen una exposición positiva a este riesgo, y normalmente las pequeñas y medianas empresas tienen una sensibilidad superior. – Horizonte temporal: medido como la diferencia entre la rentabilidad implícita de los bonos a 20 años y las letras a 30 días. Si ésta se incrementa, los inversores requieren mayor compensación por aumentar el plazo de la inversión. Las acciones de crecimiento tienen mayor sensibilidad a este factor. 26
  27. 27. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• La inflación acorto plazo:medida por las variaciones mensuales del IPC. La mayoría de acciones tienen sensibilidad negativa a la variación de la inflación. Algunas acciones como las empresas constructoras o inmobiliarias, o relacionadas con el petróleo tienen beta positiva.• El ciclo económico: medido por las variaciones mensuales del índice de producción industrial.• Market-timing: medido como la parte de rentabilidad de un índice de referencia del mercado (por ejemplo S&P 500) que no se explica por los anteriores factores y el activo libre de riesgo. 27
  28. 28. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models) • APT para el S&P 500: Factor de riesgo Beta µj −r Confianza inversor 0.27 2.59% Inflación 0.56 -0.66% Horizonte -0.37 -4.32% temporal Ciclo económico 1.71 1.49% Market-timing 1.00 3.61% • µ S & P = r + 0.27 x 2.59% + K + 1x3.61% = 13.09% 28
  29. 29. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• Por lo tanto, la rentabilidad Ri de un activo i del S&P 500 se escribe según el APT: µ i = r + β i1 ( 2.59) + β i 2 (−0.66) + β i 3 (−4.32) + β i 4 (1.49) + β i 5 (3.61) 29
  30. 30. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• Modelo de factores fundamentales de Piotroski’s (Value Investing: The Use of Historical Financial Statement Information to Separate Winners from Losers, Joseph D. Piotroski). 30
  31. 31. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• Aplicaciones del APT: – Carteras óptimas: la rentabilidad esperada dada por APT se puede usar en el problema de optimización. A menudo se usa la matriz de varianzas-covarianzas del riesgo sistemático dada por APT, en lugar de la matriz total (más difícil de estimar con precisión). Se pueden utilizar los dos ingredientes de APT o sólo alguno de estos combinados con otras técnicas del otro. – Carteras indexadas: dado un índice de mercado bien diversificado, podemos construir una cartera diversificada que lo replique (o esté sesgado) reproduciendo la exposición a los factores de riesgo que da APT para el índice. El riesgo específico de la selección de los activos de la cartera se puede reducir escogiendo una cartera suficientemente diversificada εΠ = 0 31
  32. 32. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)– Análisis de rentabilidades a posteriori: el APT se puede utilizar para analizar como se origina la rentabilidad obtenida. Nos permite conocer la exposición al cada factor de riesgo y compararlo con un índice de referencia benchmark. Se pueden atribuir las diferencias en el resultado obtenido a las diferencias de exposición a los factores y a la selección de valores. La rentabilidad se puede separar en tres componentes: • Rentabilidad esperada, obtenida por el riesgo asumido. • Rentabilidad no esperada, debida a apuestas en alguno de los factores de riesgo o rentabilidad distinta a la esperada en alguno de los factores. • Rentabilidad debida a la selección de activos. Es decir, si resulta ai > r la rentabilidad añadida debe atribuirse a la selección acertada de los activos (a menudo se denomina α positiva, ya que el APT también escribe a menudo: Ri = α i + r + ∑ β j (F j − r ) + ε i L j =1 32
  33. 33. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)• Análisis de rentabilidades (performance attribution) en el modelo de Barra: 33
  34. 34. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models) – Estrategias long-short (o market neutral): APT se utiliza para determinar que las carteras larga y corta tengan riesgo opuesto. – Supongamos que podemos seleccionar dos carteras de activos bien diversificadas ( ε Π = 0 ) y sin activos en común, con sensibilidades a los factores de riesgo (dadas por APT) de signo contrario. Es decir, el riesgo global de tener dos carteras es nulo. – Si las rentabilidades de las carteras larga y corta son rL y rS respectivamente y suponemos que por la cartera corta (vendida por la entrega en fecha futura) cobramos un tipo de interés libre de riesgo r, la rentabilidad total es rL-rS+r. 34
  35. 35. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models) – La varianza de la cartera total, debido a que las posiciones larga y corta no tienen activos en común y las exposiciones a riesgo sistemático se anulan es: el +eS. Donde suponemos que el activo libre de riesgo tiene varianza cero. – Si las carteras larga y corta están bien diversificadas, su riesgo no-sistemático e es nulo (poco significativo). – Las cartera anterior tiene riesgo nulo y rentabilidad esperada rL-rS+r. Se trata de ser capaces de seleccionar las carteras larga y corta con acierto (α L positiva y α S negativa) 35
  36. 36. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman – Permite combinar el equilibrio del mercado ( CAPM, APT) con expectativas de mercado del inversor o gestor. – El gestor puede introducir visiones de mercado sobre expectativas de carteras o segmentos del mercado. – El resultado del modelo son las rentabilidades esperadas de los activos así como la cartera óptima. – El modelo da un punto de referencia para las rentabilidades esperadas iniciales (las de equilibrio) así como un proceso sistemático para expresar visiones de mercado. El modelo clásico de Markowitz requiere al gestor dar todas las rentabilidades esperadas, sin ningún punto de partida. – Ejemplo: ver artículo Black-Litterman in practice, Cheuvreux research May 2009. 36
  37. 37. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Propiedades de las carteras óptimas de Black-Litterman: – La cartera sin restricciones es la cartera de equilibrio de mercado (CAPM) más la suma ponderada de carteras que representan las expectativas del gestor. – La ponderación de una cartera de expectativas es positiva si la visión es más alcista que la implícita en la de equilibrio. – La ponderación aumenta si el gestor tiene mayores expectativas o tiene más confianza. 37
  38. 38. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 3. Modelo de Black-Litterman VolatilidadPaís Índice % Australia Canadá Francia Alemania Japón UK USA Australia 1Australia 16.0 Canadá 0.488 1Canadá 20.3 Francia 0.478 0.664 1Francia 24.8 0.515 0.665 0.861 1 AlemaniaAlemania 27.1 Japón 0.439 0.310 0.355 0.354 1Japón 21.0 Uk 0.512 0.608 0.783 0.777 0.405 1UK 20.0 USA 0.491 0.779 0.668 0.653 0.306 0.652 1USA 18.7 38
  39. 39. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Rentabilidades de equilibrio: – Las rentabilidades esperadas que trataremos hacen referencia a rentabilidades por encima del activo libre de riesgo. – La cartera de mercado de equilibrio la escribimos Weq. Es el vector de pesos de cada uno de los N activos del mercado. – La matriz de varianzas y covarianzas de las rentabilidades es Σ . – La aversión (media) al riesgo se expresa con el parámetro Para los ejemplos δ = 2.5 . Es la prima de riesgo δ (Rentabilidad esperada del mercado por encima del libre de riesgo por unidad de varianza del mercado). 39
  40. 40. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman – Las rentabilidades esperadas de equilibrio son el vector: Π = δ ⋅ Σ ⋅Weq – Las rentabilidades del modelo CAPM son: µ = Π +ε ε tiene media 0 y covarianza τ ⋅Σ , τ mide la incertidumbre en Π 40
  41. 41. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman Ponderación en Rentabilidad de País cartera de equilibrio mercado Australia 1.6 3.9 Canadá 2.2 6.9 Francia 5.2 8.4 Alemania 5.5 9.0 Japón 11.6 4.3 UK 12.4 6.8 USA 61.5 7.6 41
  42. 42. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Comportamiento inestable en carteras óptimas: – Supongamos que tenemos la visión de mercado que la renta variable de Alemania tendrá un mejor comportamiento respecto al resto de Europa, en un 5%. – Supongamos que las rentabilidades esperadas para todos los mercados son del 7% – Incorporamos nuestra visión modificando la rentabilidad esperada de Alemania aumentándola un 2.5%, y reduciendo la de Francia y UK en un 2.5%. – Utilizando optimización de media-varianza, el cambio en las rentabilidades de la visión de mercado produce cambios bruscos en la cartera: • Alemania: de –33.5% a 80% • Francia: de –5% a –94.8% 42
  43. 43. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Podemos partir de las rentabilidades de equilibrio para incorporar nuestra visión de mercado.• Podríamos modificar la rentabilidad esperada de Alemania incrementándola un 5% respecto la rentabilidad media ponderada del resto de Europa. Esto modifica la rentabilidad de Alemania respecto el mundo, por lo tanto no es adecuado.• Una alternativa es incrementar la rentabilidad esperada de Alemania en un 5% respecto la media de Francia y UK pero imponiendo que la europea se mantenga constante, por lo tanto, se reducen la de Francia y UK, que también imponemos lo hagan de la misma forma. 43
  44. 44. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Con estos nuevos parámetros de rentabilidades, la cartera óptima experimenta cambios poco intuitivos. • Australia de 2% a -5% • Japón de 10% a 12%• El inconveniente es debido a como se traduce la visión de mercado en las rentabilidades esperadas. 44
  45. 45. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• El modelo de Black-Litterman permite expresar expectativas sobre subcarteras, de manera que no utiliza únicamente un vector de rentabilidades.• Una expectativa o visión de mercado se implementa en el modelo como la rentabilidad de una cartera.• Si no se añaden visiones de mercado el modelo sin restricciones es la cartera de equilibrio.• Una expectativa se expresa: pT ⋅ µ = q + ε P pesos en la visión de mercado µ rentabilidades esperadas q rentabilidad esperada de la cartera ε incertidumbre, de media 0 y varianza ω (confianza 1/ω) 45
  46. 46. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• La visión sobre Alemania se expresará ahora como una rentabilidad del 5% por una cartera formada por una posición larga en Alemania y corta en Francia y UK.• En general, el gestor tiene K visiones de mercado que se expresan: P⋅µ = Q +ε P matriz KxN Q vector Kx1 ε vector Kx1, medias 0 y varianzas-covarianzas Ω 46
  47. 47. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• El vector de rentabilidades esperadas es [ µ = (τΣ ) + P Ω P −1 T −1 ] [(τΣ) −1 −1 Π + PT Ω −1Q ] 47
  48. 48. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 3. Modelo de Black-Litterman • La cartera óptima se puede obtener del máximo de: 1 w ⋅ µ − δ ⋅ wT ⋅ Σw T 2 • La solución al problema sin restricciones es: 1 w = * Σ −1 ⋅ µ = weq + P T Λ δ −1 −1 1 1 T τ 1 Λ = τΩ −1 τΩ Q −  Ω + PΣP  PΣweq − −1 τ Ω + PΣPT  PΣPT Ω −1Q δ τ  δ   48
  49. 49. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• Para una expectativa k, su peso λk es una función creciente respecto su rentabilidad esperada. El valor absoluto de λk es una función creciente del nivel de 1 confianza . ωk• El problema para carteras óptimas con restricciones se resuelve con las técnicas habituales pero con las rentabilidades esperadas dadas por el modelo de Black- Litterman. 49
  50. 50. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman δ δ 50
  51. 51. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers3. Modelo de Black-Litterman• The Black-Litterman Model –mathematical and behavioral finance approaches towards its use in practice-. Mankert, Charlotte.• The Black-Litterman Approach: Original Model and Extensions. Meucci, Attilio. 51

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