MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS CAPM

1. MODELO DE VALORACION
DE ACTIVOS DE CAPITAL
(CAPM)
Es desarrollado simultáneamente por SHARPE (1963-1964) y TREYNOR (1961),
mientras MOSSIN (1966), LINTNER (1965 a 1969), y BLACK (1972) Lo desarrollaron más
ampliamente.
SUPUESTOS DEL MODELO
1.- Los inversionistas son individuos aversos al riesgo.-
2.- Los inversionistas se informan del precio y
tienen expectativas homogéneas acerca de los retornos
de los activos, los cuales están asociados a una
distribución normal.
3.- Existe un Activo Libre de Riesgo.

2. SUPUESTOS DEL CAPM
4.-Las cantidades de activos están fijas. Además todos
los activos son comerciales y perfectamente divisibles.
5.- Los mercados de activos son sin fricción, ( sin
impuestos, ni costos de transacción), y la información
es sin costo, y simultáneamente asequible a todos los
inversionistas
6.- No hay imperfecciones de mercado tales como
impuestos, regulaciones o restricciones sobre las
ventas cortas.-

3. PROPIEDADES DEL CAPM
1.- En equilibrio cada activo debe ser valorado tal que su
tasa de retorno requerida ajustada por riesgo caiga
exactamente sobre la línea recta del mercado de valores. El
retorno de cualquier activo es una función líneal del retorno
de mercado. Empíricamente a esa función líneal se agrega un
término de margen de error Ej que es independiente del
mercado.-
2.- La medida de riesgo para activos individuales es
linealmente aditiva cuando los activos se combinan en un
portfolio.

4. USO DEL CAPM
El CAPM es una herramienta
extremadamente útil para la valorización de
activos riesgosos porque provee de una medida
cuantificable de riesgo para activos
individuales.
El costo del capital propio para una firma
es dado directamente por el CAPM

5. LA EFICIENCIA DEL
PORTAFOLIO DE MERCADO
La demostración del CAPM requiere que en
equilibrio el portfolio de mercado sea un portfolio
eficiente.-
Dado que todos los individuos tienen proporciones
positivas de su riqueza en portfolios eficientes,
entonces el portfolio de mercado debe ser eficiente
porque.
1) El mercado es simplemente la suma de las tenencias
de todos los individuos.-
2.- Todas las tenencias individuales son eficientes.-

6. Línea del Mercado de Valores
(SML)
La CML no permite valorar carteras
ineficientes ni títulos aislados, por lo que se
hace necesario buscar otra medida de
riesgo.
Supongamos que se invierte un porcentaje
en un título Z aislado considerado
ineficiente, y que por tanto no puede ser
valorado por CML, y otro porcentaje en la
cartera de mercado M.

7. Línea del Mercado de Valores
El rendimiento esperado y riesgo de la cartera será:
σσ σ σc z m zmx x x x2 2 2 2 2
1 2 1= +− +−( ) ( )
E = x E + (1- x) Ec Z M
σ σ σ σc z m zmx x x x= + − + −2 2 2 2
1 2 1( ) ( )
Si derivamos σc con respecto a X:
2/1
2
,,
22
)2()(
σ
σσσσσ
δ
δσ mmzmzmz
c
x
x
R −+−+
=

8. Si ahora derivamos el rendimiento de c con respecto
a x:
∂
∂
E
x
EE
c
zm =−
La pendiente se define como el producto de los
diferenciales del retorno esperado y la desviación
estándar. En el punto M, x=0, ya que todo es invertido
en M, y el riesgo de la cartera C coincide con el de la
cartera de mercado:
m
mmz
mz
c
c
c
c RERE
x
R
x
RE
Rd
RdE
σ
σσ
δ
δσ
δ
δ
σ 2
,
)()(
)(
)(
)(
)(
−
−
==

9. En el punto M, la combinación ZM es tangente a la CML
en equilibrio, por lo tanto, siempre se cumple la siguiente
igualdad:
Con lo que se obtiene la ecuación de la Línea del
Mercado de Valores, que es la base del Modelo de
Valoración de Activos de Capital.
E
m
2z f
m f
zmR
E R
= +
−
σ
σ
mmz
mmz
m
m RERERfRE
2
,
)]()([)(
σσ
σ
σ −
−
=
−

10. Para un título i arbitrario, la Línea de Mercado
de Valores se expresa:
E(Ri) = Rf + E(Rm)-Rf σim
σ2
m
En equilibrio todos los títulos y carteras, sean
eficientes o no, se ubicarán en la Línea de Mercado
de Valores. Si un inversionista decide agregar un
título a su cartera, el único premio por su inversión
será igual a la covarianza del título con el mercado
y no el riesgo total o desviación estándar del mismo.

11. Se define:
Beta: σim
σ2
m
El coeficiente beta indica la volatilidad de un
título en relación a las variaciones del tipo de
rentabilidad del mercado. Mide la contribución
del activo i al riesgo del portfolio de mercado. La
medida significativa de riesgo de un título es su
riesgo sistemático.
Indice de Riesgo
Sistemático.

12. Línea del Mercado de Valores
E(Rm)
E(Rp)
βi =σim / σ
2
m
Rf
SML
βM= 1
La cartera de mercado
tiene un β = 1, pues
varía al unísono con ella
misma. Las carteras
con un β > o < 1 se
denominan agresivas o
defensivas,
respectivamente.

13. Riesgo Diversificable-No
Diversificable
El riesgo total de cualquier activo
ineficiente puede dividirse en riesgo
diversificable y no diversificable.
El riesgo diversificable puede ser
eliminado sin costo con una correcta
diversificación. El mercado no ofrece
prima por riesgo para evitarlo.
Sólo el riesgo no diversificable es
relevante para fijar el precio de activos
ineficientes.

14. La línea característica de un título se define:
E( R Ri i m) ( )= +α β E
Se sabe que:
= COV( R , R ) / VAR(R )i i m Mβ
El riesgo del rendimiento esperado del título i:
= VAR(R ) + 2 b COV( R , e ) + VAR(e)2
i
2
M m mσ β
Como el término de error es aleatorio e independiente
del rendimiento del mercado se tiene que COV(Rm;em)=0
por lo tanto:
= VAR(R ) + VAR(e)2
i
2
Mσ β

15. Por lo tanto, el riesgo de un título depende
exclusivamente del mercado, ya que βi es constante y
sólo VAR(Rm) varía. El primer término de la ecuación
se denomina Riesgo Sistemático o no diversificable.
El otro término se denomina Riesgo diversificable o no
sistemático, el que depende solamente de factores
instrínsecos al título y puede ser eliminado por medio de
una diversificación sin costo.
Se puede afirmar, por lo tanto, que el mercado sólo
premia el riesgo no diversificable y que el riesgo
específico será asumido gratis.
= VAR(R ) + VAR(e)2
i
2
Mσ βRiesgo
Total

16. El CAPM y la línea del
mercado de valores
El modelo CAPM fue desarrollado por Sharpe,
Treynor, Mossin y Lintner.
El CAPM proporciona una medida del riesgo de
un valor individual consistente con la teoría de
carteras.
Permite estimar el riesgo sistemático de un
activo y compararlo con el riesgo sistemático
de un portfolio bien desarrollado, sólo con
estimar su tasa de rendimiento en equilibrio
ajustada por riesgo.

17. Ecuación del CAPM:
i)R()RE(:LMS βfmfi RER −+= )(
Donde:
E(Ri): Rendimiento esperado del i-ésimo activo
riesgoso.
Rf: Tasa de rendimiento esperada de un activo libre
de riesgo.
E(Rm): Rendimiento esperado de la cartera de
mercado.
βi: Medida del riesgo no diversificable del i-ésimo
activo riesgoso.

18. De igual manera, puede expresarse:
E( )
( ( ) ) ( , )
( )
R R
E R R COV Ri Rm
Ri f
m f
m
= +
−
σ2
COV(Ri;Rm): covarianza entre los retornos del i-ésimo
activo y los del mercado.
σ 2
(Rm) : varianza de los retornos del mercado.
Si reescribimos la anterior ecuación:
E( )
( ( ) ) ( , )
( ) ( )
R R
E R R COV Ri Rm
R Ri f
m f
m m
= +
−
σ σ
riesgoporPremio
)(
))((
m
fm
R
RRE
σ
−
=

19. Sabemos que:
COV Ri Rm( , ) = ()()ρim mRσσRi
Donde ρim es la correlación entre el rendimiento
del activo i y el rendimiento del mercado. Por lo
tanto:
m
,
m
m
i
]R-)[E(R
)E(R:SML
σ
σσρ
σ
+= mimif
fR
]R-)[E(R)E(R:SML
m
,
mi
σ
σρ
+= imi
ffR
De esta manera, el riesgo sistemático se compone
de la desviación estándar del rendimiento del activo
y de su correlación con la cartera de mercado.

20. E(Rp)
σ(Rp)
Rf
E(Ri) A BC
σ(Rc) σ(RA) σ(RB)
CML
E(R)
βi
Rf
E(Ri) ∀i=A, B, C X
βA= βB=βc
SML
Comparacion de CML
y SLM:
Los activos de A,B y C
tienen el mismo
rendimiento esperado
pero distintas
varianzas.
Todos caen en la SLM
en el punto X, lo que
implica que tienen
igual riesgo sistemático
y por tanto
les corresponde el
mismo rendimiento
esperado.

21. βi
E(Ri)
A
B Activo
sobrevalorado
Activo
subvalorado
El activo A está
subvalorado.
Entrega un nivel de
retorno superior
al de equilibrio. Los
inversionistas
aumentarán su
demanda por este
título provocando
un aumento en su
precio, lo que
implica una caída en
su retorno hasta
igualar el de
equilibrio.