Enseñar a resolver problemas

¿Es posible enseñar a resolver problemas?
Estrategias para mejorar el aprendizaje
Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals
Jordi Deulofeu
Universitat Autònoma de Barcelona
Jordi.deulofeu@uab.cat
Congreso PISA 2012
Evaluación por ordenador y resolución de problemas
Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE)
Madrid, 2 de Abril de 2014

It is better to solve one problem in
five different ways than to solve
five problems in one way.
George Polya (1887 – 1985)

Sobre problemas, matemáticas y ciencia
¿En que consisten realmente las matemáticas?¿En axiomas,
como el postulado de las paralelas? ¿En teoremas, como el
teorema fundamental del álgebra? ¿En conceptos, en
definiciones, en teorías, en fórmulas, en métodos?....
La matemática seguramente no existiría sin todos estos
ingredientes, todos son esenciales, pero ninguno de ellos es
el corazón de la disciplina, puesto que la principal razón de
existir de un matemático es resolver problemas y por lo tanto,
en lo que realmente consiste la matemática es en [plantear]
problemas y [encontrar sus] soluciones” (P. Halmos, 1980,
p.519)

Sobre la educación y los problemas
- ¿Por qué la resolución de problemas tendría que ser el núcleo
de la enseñanza de las matemáticas, de las ciencias y de otras
disciplinas?
- ¿Qué problemas son adecuados en las diferentes etapas?
- ¿Cómo hay que plantear y gestionar las actividades centradas
en la resolución de problemas?
- ¿Qué actitud hay que favorecer en relación con esta actividad?
- En definitiva, ¿qué problemas constituyen buenas actividades
de aprendizaje? ¿cómo gestionar la clase para ayudar a los
alumnos para que aprendan a resolver problemas?

Plantear y resolver problemas, ¿para qué?
- Ayudar a los alumnos a progresar en su autonomía a través de
problemas que les lleven a tomar decisiones, a comprender las
informaciones que reciben, a ser creativos y también críticos con aquello
que se les presenta y con aquello que hacen.
- Desarrollar múltiples competencias (pensar, razonar, argumentar,
modelizar, utilizar técnicas, comunicar,…) y contribuir a la construcción del
conocimiento propio.
- Mostrar lo que son las matemáticas y la ciencia en general y crear interés
por ella, como parte importante del conocimiento generado por la
humanidad, relevante tanto por él mismo como por sus aplicaciones.
- Dar sentido al hecho de plantearse problemas y al reto que supone tratar
de resolverlos.

Los problemas como actividades de aprendizaje
CUANDO PROPONEMOS UN PROBLEMA EN EL AULA,
¿QUE QUEREMOS QUE LOS ALUMNOS HAGAN?
1. Comprender el problema, traducirlo a un lenguaje adecuado
y usar modelos pertinentes que posibiliten su resolución
2. Utilizar conceptos, herramientas y estrategias pertinentes.
3. Mantener una actitud de investigación ante un problema,
ensayando estrategias diversas.
4. Generar preguntas y plantear problemas.
EN DEFINITIVA, GENERAR EN CLASE UN AMBIENTE DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Paulo Abrantes)

Los problemas como tareas de aprendizaje para el aula
Cuando presentamos un problema hay que tener en cuenta
muchos aspectos distintos, todos ellos relevantes:
- El contexto del problema (o de la situación)
- La formulación y la presentación del problema
- El tipo de problema (construcción / prueba)
- Las posibilidades de generalización (campo de problemas)
- Los conceptos y/o técnicas curriculares involucrados
- Las heurísticas que pone (o puede poner) en juego
……….

Cuando los alumnos resuelven problemas…
Si proponemos la resolución de un problema de cierta
complejidad, como una tarea de clase desligada de un
tema concreto y pedimos, además, que traten de explicar
cómo lo han resuelto, ¿qué hacen los alumnos?
- Posible bloqueo inicial…. ¿Cuándo? ¿Por qué?
- Ensayos y tentativas para establecer un plan
- Uso de sus propios conocimientos (métodos informales)
- Explicaciones inicialmente descriptivas y evolución hacia
otras, explicativas y finalmente argumentativas.

Un ejemplo con alumnos de 6º de primaria
Problema: Arnau ha comprado una alfombra muy grande de 6 m de
largo y 3,6 m de ancho. La alfombra está formada, como se puede ver
en la figura, de pequeños cuadrados que contienen el dibujo de un Sol
o de una Luna.
1.Cuando la alfombra esté totalmente desplegada, ¿cuántos cuadrados
pequeños habrá en total?
2.¿Cuántos cuadrados pequeños contendrán un Sol? ¿y una Luna?
3.Resuelve el problema y después explica como lo has resuelto.

Gina
Métodos formales (1ª)
Métodos informales (2ª)
Discurso verbal-
narrativo:
Explicativo (1ª)
Argumentativo (2ª)

Mariona
1a pregunta:
Calcula el área
pero no sabe
continuar. Entonces
utiliza el dibujo en
lugar de los datos.
2a pregunta:
detecta el patrón y
explica la solución
con un discurso
esquemático, con
lenguaje verbal y
numérico, bien
estructurado.

La resolución de Tom
Resuelve el problema por
métodos informales:
Divide 3,6 : 9 = 0,4. Luego,
en lugar de dividir 6 : 0,4
hace:
0,4 x 7 = 2,8
2,8 x 2 = 5,6
5,6 + 0,4 = 6
Habrá (en el largo):
7 + 7 + 1 = 15 cuadraditos

Sobre las producciones de los alumnos
Los ejemplos anteriores son una muestra de la capacidad de los
alumnos de 6º para resolver un problema complejo, tanto para diseñar
un plan como para ejecutarlo y explicar sus resoluciones.
Casi todos los alumnos resolvieron el problema de modo coherente.
Las formas de resolución fueron muchas y diversas, y en la mayoría de
casos alejadas de resoluciones formales: ningún alumno calculó las
respectivas áreas (alfombra y cuadradito) y las dividió.
El conjunto de producciones sugiere que la tarea, aun significando una
demanda compleja, permite un alto desarrollo de competencias
diversas. La discusión en clase mostró tanto la riqueza de los
planteamientos como la dificultad para utilizar (y dar sentido) a
determinadas operaciones (p.e. una división de dividendo decimal)

¿Que podemos hacer los profesores para ayudar
a los alumnos a resolver problemas?
Consideremos las distintas tareas del profesor al abordar
una situación de enseñanza:
- Diseño y planificación
- Gestión del aula (implementación de la planificación)
- Evaluación de los aprendizajes

En el ámbito de la planificación
Empezar por enseñar conceptos y técnicas primero y luego plantear
problemas para aplicar los conocimientos supuestamente adquiridos
no es, habitualmente, el mejor camino.
Hay problemas especialmente adecuados para hacer emerger la
necesidad de nuevos conceptos y técnicas.
Un buen camino puede ser: Seleccionar problemas adecuados,
proponer su resolución, mostrar los conceptos involucrados y
establecer relaciones entre las estrategias de resolución informal de los
alumnos y las formales de la ciencia, mostrando la potencia, la validez
y el posible nivel de generalización de cada una de ellas

Proponer problemas en contexto
Un ejemplo: Cálculo de la altura, el volumen y la masa de las columnas
de la UAB. Una actividad del Campus Ítaca (junio 2013)

Diferentes formulaciones de un problema
Problema 1. La altura de una columna de granito es de 40 m. La base es
cuadrada y mide 3 m de lado. ¿Cuál es el volumen de la columna? Si la
densidad del granito es de 2750 kg/m3, ¿Cuál es la masa de la columna?
Problema 2. Para calcular la masa de una columna de granito (densidad
granito: 2750 kg/m3) cuya base es cuadrada y mide 3 m de lado,
necesitamos su altura. Nos situamos a 40 m de la columna y desde el
suelo medimos el ángulo de elevación bajo el cual se ve la columna. Si el
ángulo es de 45º, calcula la altura, el volumen y la masa de la columna.
Problema 3. Queremos calcular el volumen y la masa de las columnas de
la escultura de la Universidad Autónoma de Barcelona. Disponemos de
instrumentos (cinta métrica, odómetro, clinómetro y teodolito) para medir
longitudes y ángulos. ¿Como podemos hacerlo? ¿Qué datos necesitamos?
¿Existen diversas maneras para resolver el problema? ¿Cuáles dan
resultados más precisos?

Planificación de la actividad (problema 3)
1. Formulación (y justificación) del problema.
2. Diseño de un plan de resolución: ¿cómo lo haremos?
3. Obtención de los datos: Trabajo de campo (toma de medidas)
4. Resolución del problema y justificación de los métodos
5. Comparación de resultados y análisis de los errores
6. Explicación del problema: preparación de una exposición
7. Presentación oral del problema con soportes adecuados
TIEMPO TOTAL: 4 horas

Algunos ejemplos de las producciones de los
alumnos
Cuando los alumnos preparan su exposición deben estructurar
la misma teniendo en cuenta que hay que exponer toda la
actividad de la manera más completa posible.
En este caso, deben contextualizar el problema: quien es el
autor de la escultura, cual es su significado, cuales son sus
dimensiones, como se construyeron, cual fue su coste, …
A continuación presentamos, a modo de ejemplo, algunas de
sus producciones (extraídas de uno de los trabajos que
utilizaron para su presentación)

Las Columnas de la UAB de Alfaro
Andreu Alfaro fue un gran
escultor valenciano. Nació en
Valencia el 5 de agosto de
1929 y murió el 13 de
diciembre de 2012.
Cuando vino a la UAB para
hablar de su obra, el rector le
propuso hacer la escultura de
las columnas.

Significado de las columnas
La columnas de la UAB significan la unión entre
la comunidad universitaria y las relaciones entre
la naturaleza, la ciencia, el arte y la identidad.
Este Sur
Norte
Oeste

El Problema i los instrumentos
Los problemas que nos hemos
planteado son: medir la altura, el
volumen y el peso de cada columna.
Los instrumentos:
- Clinómetro: sirve para medir el
ángulo respecto a la vertical.
- Teodolito: sirve para medir el ángulo
respecto a la vertical y también
respecto a la horizontal.
- Cinta métrica: es un aparato que
sirve para medir distancias cortas.
- Rueda métrica: es un aparato que
sirve para medir distancias largas .

DISTINTOS MÉTODOS PARA HALLAR LA ALTURA
Método 1: CONTAR PLACAS. Medir la altura y la anchura de
una placa y multiplicarlo por las placas que hay en la columna.
Método 2: TEOREMA DE TALES. Medir la altura y la sombra
de una persona y después la sombra de la columna.
Método 3: TRIANGULO ISOSCELES.Medir la distancia desde
el punto donde hay 45º respecto al punto más alto de la torre.
Método 4: SEMEJANZA. Medir la distancia que hay desde un
ángulo cualquiera hasta el punto más alto de la torre.
Método 5: FOTOGRAFIA. Medir la altura de un alumno y
hacerle una foto con la columna. Después ver cuántas veces
cabe el alumno en la columna (foto) y llevarlo a la realidad.

Volumen y masa de las columnas
Para calcular el volumen hemos medido los lados de una
placa. El resultado lo hemos multiplicado por 82 (número de
placas totales de la columna oeste).
V (placa) = 3m x 3m x 0.50m = 4,5m3
V (columna) = 4,5m x 82 placas = 369m3
Para calcular la masa hemos utilizado el volumen y la densidad
del granito, que hemos hallado en internet:
Massa = Volumen x densidad
M = 369m3 x 2700kg/m3 = 996300 kg  996,3 toneladas

¿Cómo están construidas las columnas?
• Las columnas de la UAB parece que están construidas de
granito compacto, pero hemos calculado que pesarían
demasiado y no se aguantarían.
• Resulta que en realidad están vacías por dentro y tienen un
cilindro de hierro. Por esto pesan mucho menos y se aguantan
bien. Lo descubrimos con las fotos de su construcción.

¿Cuáles son las diferencias?
La opinión de los alumnos
- Tenemos una pregunta y no tenemos datos
- Hay que hacer el problema desde el principio hasta el final
- Lo hacemos de distintas maneras pero no sabemos cual es
el resultado exacto
- Hemos tenido que explicar cómo lo hemos hecho y porqué
está bien
- Conocíamos el método de la sombra pero ha sido el más
difícil de hacer porque el suelo no era plano
- Hemos descubierto que las columnas parecen compactas
pero no lo son
- Hemos trabajado en equipo durante toda la actividad

Hacia una metodología que favorezca el trabajo
de las competencias en el aula
- El trabajo por competencias implica adoptar una
metodología determinada, tanto en la planificación y el
diseño de actividades de aprendizaje como, especialmente,
en la gestión del aula y en la evaluación.
- El trabajo relacionado con los contenidos (de todo tipo)
sigue siendo relevante, pero si queremos que los alumnos
sean capaces de utilizar los contenidos aprendidos en
contextos diferentes es necesario que les proporcionamos
oportunidades para hacerlo en el trabajo cotidiano en el aula.

Problematizar siempre que sea posible
Podemos empezar haciendo pequeños cambios en las formulaciones de las
actividades que permitan dar sentido y aplicar lo que aprendemos,
manteniendo el nivel tanto de aprendizaje conceptual como de práctica de
técnicas.
EN LUGAR DE: Ejercicio: Encontrar los divisores de 24, 39 y 72 (individual)
PROPONEMOS: Problema: ¿Cuál es el número, menor que 100, que tiene
mas divisores? ¿Cómo podemos hacerlo para responder a esta cuestión?
(actividad individual y colectiva)
QUÉ SENTIDO TIENE: ¿Por qué es importante saber que un número tiene
más o menos divisores que otro? La medida del tiempo (el calendario, un
contexto históricamente y socialmente relevante)

Problematizar para aprender
La medida del tiempo: un contexto interdisciplinario
pera plantear buenas preguntas
Hagámonos preguntas sobre el calendario. Por ejemplo,
referidas a:
- Su estructura
- Su relación con los movimientos de los astros
- La etimología de las palabras empleadas
- Su historia
- Su influencia en nuestra organización social.
Análogamente podemos hacernos preguntas sobre la
medida del tiempo "pequeño"

Los juegos, un contexto para resolver problemas (I)
Interés por los juegos de estrategia como problemas. ¿Por qué?
Si los alumnos practican con pequeños juegos de estrategia, aprenden
a resolverlos, analizan posibles variantes y llegan a plantear y resolver
generalizaciones, ¿adquirirán algunas competencias que les permitan
afrontar con mayores garantías la resolución de otros problemas, más
allá de mejorar su capacidad para resolver este tipo de juegos?
Una reciente tesis doctoral (Navarro, 2013) muestra que la respuesta a
la pregunta anterior es positiva.

Los juegos, un contexto para resolver problemas (II)
Al realizar un taller de juegos de estrategia, los alumnos de secundaria
mejoran en muchos aspectos directamente relacionados con la
resolución de problemas:
- En la comprensión de los problemas, en particular de la demanda de
los mismos y la relación pregunta - datos.
- En la capacidad para analizar y explicar los problemas.
- En el uso de heurísticas adecuadas y su uso coherente.
- En los lenguajes utilizados para la resolución
- En su efectividad como resolutores.

¿Cuándo y cómo?
La importancia de una buena secuenciación
¿Es adecuado cualquier juego en cualquier momento?
El estudio se ha realizado con una muestra amplia de alumnos de los
cuatro cursos de la ESO y también de Estalmat.
Se ha podido constatar que si bien las mejoras se dan en todos los
cursos, es en el primer ciclo de la ESO, y en particular en 2º curso,
donde estas son más significativas.
Esto indicaría que entre los 12 y los 14 años es una edad
especialmente adecuada para realizar actividades curriculares en un
contexto de juegos de estrategia.

Un juego de estrategia del proyecto NRICH
http://nrich.maths.org.
En una estrella pentagonal
ponemos 10 fichas (ver figura).
Cada jugador, a su turno, puede
quitar una o dos fichas, pero en
este caso será necesario que las
dos fichas estén unidas por un
segmento (y sin ninguna ficha, o
espacio vacío, entre ellas). El
jugador que consigue quitar la
última ficha gana la partida.
¿Cuál de los dos jugadores tiene
ventaja?
¿Cómo hay que jugar para ganar
siempre?

Contexto lúdico: ¿Juegos de
estrategia o problemas?
Cuadrados y círculos: juego para dos jugadores.
Situación inicial: Dibujamos cuadrados y círculos
en una línea. Por ejemplo empezamos con 8:
Objetivo: Para ganar, un jugador debe lograr
que al final quede un cuadrado. El otro jugador
que quede un círculo.
Las jugadas: Cada jugador, a su turno elimina
dos figuras: si estas son iguales las cambia por
un círculo y si son diferentes por un cuadrado.

Una reflexión: Cuando enseñamos debemos
tomar decisiones entre principios en conflicto
Es preciso decidir en que punto nos situamos sobre:
- Contenidos – contextos – intereses de los alumnos
- Homogeneidad – heterogeneidad / diversidad
- Métodos: informales – formales
- Lenguajes: oral – escrito / verbal - simbólico
- Técnicas y rutinas – procesos de orden superior
- Intuición y experimentación – argumentación
- Formas de resolución – resultados
- Retos complejos – asegurar éxitos

Sobre la evaluación de la resolución de
problemas
a) Sobre la evaluación en general
Debe tener una función reguladora de los aprendizajes y
debe formar parte del proceso de enseñanza -
aprendizaje.
b) Sobre la evaluación del logro de competencias
Cuando evaluamos una técnica proponemos una actividad
para verificar el nivel de logro de la misma. La valoración /
calificación de este ejercicio puede ser clara y, a menudo,
cerrada.
Sin embargo, cuando queremos evaluar una competencia
el establecimiento de criterios es mucho más complejo y la
valoración de lo que hace el alumno lo es aún más. Antes
de llegar a poder cuantificar, es necesario establecer
criterios (y niveles) para caracterizar bien que significa
alcanzar (hasta cierto nivel) una competencia.

¿Cómo podemos hacerlo?
Una de las formas que estamos utilizando es la
evaluación a través de rúbricas.
El primer paso consiste en construir una rúbrica general
para una competencia determinada.
Luego, para cada actividad de evaluación seleccionamos
aquellos criterios de la rúbrica general que se pueden
evaluar a partir de esa actividad.
Las rúbricas permiten relacionar evaluación con
aprendizaje si las hacemos explícitas a los alumnos.
De alguna manera una rúbrica contiene todo lo que
esperamos que el alumno haga cuando desarrolla de
manera exhaustiva una determinada actividad.
Veamos un ejemplo correspondiente a la competencia
de resolución de problemas.

Una propuesta de rúbrica para la
competencia: resolución de problemas (I)
- Identifica datos y unidades implicadas en la situación.
- Explica el problema con sus palabras.
- Representa el problema mediante esquemas, gráficos,
dibujos geométricos, expresiones aritméticas...).
- Interpreta y utiliza correctamente las magnitudes y unidades.
- Usa el tanteo para hacer una estimación de la solución.
- Simplifica la situación - problema a otros conocidos.
- Identifica patrones/pautas que pueden ayudar a la resolución.
- Usa estrategias/algoritmos conocidos para hallar resultados.
- Elige la estrategia más eficaz.
- Incorpora o adapta otras estrategias o algoritmos.
- Replantea el problema si la estrategia no le funciona.

Una propuesta de rúbrica para la
competencia: resolución de problemas (II)
- Si el problema lo permite, encuentra más de una estrategia
para resolverlo.
- Da todas las soluciones al problema planteado.
- Expresa correctamente las soluciones que da.
- Explora la posibilidad de que haya más de una solución.
- Comprueba si las soluciones halladas cumplen las
condiciones del enunciado.
- Se plantea si las soluciones obtenidas matemáticamente
son razonables.
- Explica de manera clara y ordenada si las soluciones
encontradas son razonables o no.
- Relaciona las respuestas con las preguntas formuladas, si
hay más de una.

Determinación de niveles (inicio)
Resolución de Problemas Grado de logro
Items de la competencia 1r nivel (inicial) 2n nivel (intermedi) 3r nivel (expert)
Identifica datos y unidades implicadas
en la situación.
Sí. Sí. Sí.
Explica el problema con sus palabras. Sí, pero con dificultades Sí. Sí.
Representa el problema mediante
esquemas, gráficos, dibujos
geométricos, expresiones
aritméticas...).
En general no
Sí, pero no siempre las
utiliza bien
Sí. A menudo no
necesita acabar la
representación y
pasa al uso de
expresiones
simbólicas
Interpreta y utiliza correctamente las
magnitudes y unidades.
No siempre. Si, en general Sí.
Usa el tanteo para hacer una
estimación de la solución.
En general no Si, en general Si
Simplifica la situación - problema a
otros conocidos
En general no
Si, pero a veces necesita
ayuda.
Sí, en general

A modo de conclusión (I)
Hay dos puntos clave que atañen a la planificación de la enseñanza y a la
gestión de la misma. En relación con el diseño de tareas, los problemas
propuestos deben proporcionar oportunidades de aprendizaje reales. El
trabajo con problemas en el aula debería proporcionar oportunidades
para:
- Ayudar a construir los conceptos más relevantes, las relaciones entre
dichos conceptos y las distintas formas de representación de los mismos.
- Desarrollar y aplicar los procedimientos y las técnicas propios de las
distintas disciplinas (matemáticas, ciencias, tecnología,...)
- Utilizar las heurísticas, tanto las de carácter general, que difícilmente
pueden enseñarse de manera explícita, como las herramientas heurísticas
específicas que pueden ser objeto de enseñanza

A modo de conclusión (II)
Los problemas deberían ser la fuente principal para la
elaboración de actividades de aula.
Determinar qué es un "buen" problema, como actividad de
aprendizaje es difícil, pero algunas características que
debería cumplir son:
Que permita experimentar y/o construir y/o argumentar
Que admita diferentes niveles de resolución
Que se pueda enmarcar en una situación más amplia
Que posibilite la discusión y la reelaboración
Que se relacione con conceptos del currículo
Muchas de estas características dependen no sólo de la
situación / problema, sino de su formulación

A modo de conclusión (III)
En cuanto a la gestión de la clase, la actitud del profesor debe ser la de
crear un ambiente de resolución de problemas (de interrogación, de
discusión, de colaboración) y proporcionar las ayudas necesarias para
que los alumnos puedan avanzar en su proceso de resolución.
Son posibles y deseables distintas organizaciones que van del trabajo
individual a las discusiones con el grupo clase, pasando por el trabajo
en parejas y en pequeños grupos. Cada una de estas formas de trabajo
aporta elementos importantes y a menudo complementarios, desde el
fomento de la autonomía y la toma de decisiones fundamentadas, hasta
la incentivación de las distintas interacciones que promueven la
argumentación y la comunicación y, en definitiva, la construcción de
conocimiento.

A modo de conclusión (IV)
Nuestro papel como profesores, hoy, sigue siendo
fundamental: seleccionando y secuenciando las actividades,
gestionándolas, ayudando al alumnado en su trabajo y
evaluando todo el proceso.
Sin embargo, una condición: que nosotros también nos
planteemos y resolvamos problemas, además de dar
oportunidades a nuestros alumnos para hacerlo.
Entiendo que un trabajo conjunto en la línea que he tratado
de exponer es imprescindible para que la educación que
proponemos sea relevante para la formación de todos los
ciudadanos.

Un profesor de matemáticas tiene una gran
oportunidad. Si dedica el tiempo a ejercitar a sus
alumnos con operaciones rutinarias, matará en ellos
el interés, impedirá su desarrollo intelectual y
acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si
pone a prueba la curiosidad de sus alumnos,
planteándoles problemas adecuados y les ayuda a
resolverlos con preguntas estimulantes, podrá
despertar el gusto por el pensamiento independiente,
además de proporcionarles ciertos recursos.
George Polya (1887 – 1985)

LA PRIMERA CONDICIÓN PARA QUE LOS ALUMNOS
QUIERAN RESOLVER PROBLEMAS
ES QUE A SUS PROFESORES LES GUSTE HACERLO
LA SEGUNDA CONDICIÓN ES QUE LOS PROFESORES
ESTEN CONVENCIDOS QUE SUS ALUMNOS PUEDEN
HACERLO.
MUCHAS GRACIAS

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