Final (investigación de operaciones)

Pontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ambato
Proyecto de Investigación Operativa.
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“INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES”
INGENIERÍA COMERCIAL
ELABORADO POR: Joe Christian Escobar Álvarez.
CUARTO “B”
LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ES UNA HERRAMIENTA
BÁSICA QUE POSEE VARIOS MODELOS Y QUE SIRVE PARA LA
TOMA DE DECISIONES LAS CUALES SE BASAN EN DATOS
CUANTIFICABLES CON VARIOS MODELOS MATEMÁTICOS QUE
SIRVEN PARA MAXIMIZAR GANACIAS Y MINIMIZAR COSTOS
LOS CUALES SE DAN AL OBTENER PROCESOS Y SOLUCIONES
FACTIBLES QUE SIRVEN PARA LA OBTENCIÓN DEL
RESULTADO MÁS ÓPTIMO Y ACERCADO A LA REALIDAD.
Joe Escobar

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AGRADECIMIENTO
El investigador, estudiante y futuro profesional, agradece los
conocimientos impartidos durante todo el semestre en la Materia de
Investigación de Operaciones por parte del ING. MIGUEL TORRES,
quien con sus técnicas de enseñanza ha permitido sistematizar, incluir
y resolver los problemas que las empresas tienen muy a menudo.
Es importante recalcar que la investigación de operaciones es una
fuente importante en el enriquecimiento de los conocimientos nuevos
para resolver problemas de la vida.
Los conocimientos que fueron impartidos por parte del mismo docente
en semestres anteriores como Estadística Inferencial o Aplicada e
Introducción al Entorno Empresarial, son muy indispensables para la
adaptación en la vida cotidiana empresarial, por lo que el investigador
agradece desde el fondo de su corazón, por todas las enseñanzas que
se ha adquirido.
“EXISTE SOLUCIÓN PARA TODOS
LOS PROBLEMAS EN LA VIDA;
UNICAMENTE NO EXISTE
SOLUCIÓN PARA LA MUERTE”.

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Unidad 1 Introducción a la Investigación Operativa.
1.1.- Breve historia, características y limitaciones de la Investigación Operativa.
1.2.- Tipos de Modelos.
1.3.- Metodología de la Investigación Operativa.
1.4.- Técnicas de Construcción de Modelos.
Unidad 2 Modelos de programación lineal.
2.1.- Características de los Modelos de Programación Lineal.
2.2.- Técnicas de Formulación de Modelos.
2.3.- Método de solución. (Gráfico, Algebraico, Matricial, Computacional)
2.4.- Análisis e Interpretación de Resultados.
2.5.- Análisis de Dualidad y Sensibilidad.
2.6.- Modelos Especiales de Programación Lineal. (Transporte, Asignación)
Unidad 3 Modelos de Redes
3.1.- Teoría de los Grafos.
3.2.- Modelo de Ruta más Corta..
3.3.- Método de Árbol Mínimo de Expansión.
3.4.- Método de Flujo Máximo.
3.5.- Técnicas PERT-CPM
Unidad 4 Modelo de Inventarios
4.1.- Características de los Modelos de Inventarios.
4.2.- Modelos Determinísticos.

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4.3.- Modelos Estocásticos o Probabilísticos
INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Modelos de Programación Lineal
El que propuso los modelos de programación lineal fue el Sr. George Dantzig a
través del Modelo del Método Simplex.
Modelos de Redes
Se tiene:
Modelo PERT (Técnica de Programación, Revisión y control de Proyectos).
Modelo CPM (Camino de la Ruta Crítica).
El modelo PERT, fue descrito por la Marina de USA por HAMILTON.
El modelo CPM fue desarrollado por la empresa DUPONT.
Modelo de Inventarios
El que propuso el modelo de Inventario fue el Sr. HARRIS, y se enfocó al lote
económico del pedido. También se enfoca hospitalario, industrial, financiero y de
transporte.
UNIDAD 1
DEFINICION DE MODELOS
Es la aplicación del Método Científico por grupos interdisciplinarios que sirven para
solucionar problemas interfuncionales, de la organización mediante modelos
matemáticos con obtención de una base cuantitativa para la toma de decisiones.
Proceso: Es una serie de actividades que necesitan entradas para obtener
salidas.
Los procesos son conocidos como insumos y son entregados por los proveedores.

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Las salidas son los productos terminados y son entregados a disposición de los
clientes.
La actividad debe tener un propósito.
La actividad debe descomponerse en tareas u operaciones.
La actividad debe ser equilibrada.
Para realizar la actividad se necesita de recursos.
Debe tener un diseño de procesos.
La actividad requiere de un procedimiento.
Procedimiento: Son las reglas, las normas y guías para efectuar la actividad.
Para verificar los procedimientos se tiene indicadores que facilitan y ayudan al
control.
Proceso para Solucionar Problemas
1.- Identificar el Problema
2.- Analizar las opciones.
3.- Evaluar una serie de Criterios.
4.- Seleccionar una alternativa.
5.- Toma de Decisión.
6.- Implementar.
7.- Evaluar
8.- Solucionar el Problema.
Limitaciones
En investigación de operaciones sólo se puede llevar a cabo un objetivo, tenemos
recursos limitados, puede existir limitación económica o computacional.
Modelo
Es la representación real o física abstracta de lo real.

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Tipos de Modelos
Existen modelos:
Matemáticos
De simulación
Formal
Mercado
Pueden ser modelos físicos que son la representación real de lo icónico o
analógico.
Icónico: Existe en realidad y puede ser a tamaño original o a escala.
Analógico: Es igual a la representación real pero no se usa, solo se usa como
herramientas emergentes.
Pueden existir modelos simbólicos de los cuales se dividen en:
Modelo de tipo estático y dinámico.
Modelos simulado y no simulado.
Modelo Determinísticos y probabilístico
Modelo estándar
Modelo cuantitativo y cualitativo.
Nota: Todos estos modelos definen los objetivos para maximizar ganancias o
minimizar costos.

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Metodología
Para la metodología se sigue una serie de pasos que se describen en un diagrama
de flujo a continuación:
Se construye otro modelo
no si
3x + 2y ≥ 5
1.- Definir el Problema
2.- Construcción del
Modelo matemático
mediante recolección de
datos.
3.- Resolver el Modelo
Software
Método
Programación
Lineal
Matricial
Gráfico
4.- Solución
5.- Validar el
Modelo
Si es o no
válido
Se implementa
Se modifica el
Modelo
Determinar Variables de
Decisión.
Visualizar los coeficientes
técnicos
Variable de
Decisión
Coeficiente
Técnico
Limitante

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Construcción de un modelo
Pasos
Identificar las Variables de Decisión (Identificar con qué unidades)
Identificar los datos del Problema
Identificar los Coeficientes Técnicos a través de una tabla.
Identificar las Restricciones (Limitaciones)
Tipos de restricciones
Existen restricciones de tipo:
- Física (Capacidad del Hombre y Maquinaria).
- Administrativa (Alta gerencia).
- Mercado (Capacidad óptima de productos).
- Restricciones entre variables
- Restricciones Lógicas (No negatividad)

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Ejercicios de Construcción de Modelos
1.- Un comprador está tratando de solucionar la combinación más barata de 2
alimentos, I y II, que deben cumplir con ciertas cantidades diarias de Vitaminas.
Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 onzas de Vitamina A, 50
onzas de Vitamina B y 49 onzas de Vitamina C. Cada onza de Alimento I
proporciona 4 unidades por onza de Vitamina A, 10 unidades por onza de
Vitamina B y 7 unidades por onza de Vitamina C. Cada onza del Alimento II
proporciona 10 unidades por onza de Vitamina A, 7 unidades por onza de
Vitamina B y 5 unidades por onza de Vitamina C. El costo de Alimento I es de 5
centavos por onza y de 8 centavos por onza de Alimento II.
Cuánto alimento de cada tipo se debe combinar para minimizar costos y a su
vez cumplir con los requerimientos vitamínicos?
Identificación de Variables
x1 = Cantidad de Onzas de Alimento I
x2 = Cantidad de Onzas de Alimento II
Datos
Función Objetivo
Z = 0.05X1+0.08X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio)
Restricciones (Modelo Matemático)
4x1 + 10x2 ≥ 40 (Física)
10x1 + 7x2 ≥ 50 (Física)
7x1 + 5x2 ≥ 49 (Física)
x1 ^ x2 ≥ 0 (Lógica)

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Unidad 2
Programación Lineal
Son inecuaciones o representaciones de tipo lineal.
Su objetivo es optimizar los recursos de la Empresa.
La programación lineal sigue la misma metodología de la Investigación de
operaciones.
Para resolver los problemas planteados se efectúa de dos métodos:
Método Gráfico
Método Algebraico
Estos dos métodos solo sirven para 2 variables de decisión.
También se puede resolver por método simplex y por método computacional entra
mecanismos como Solver, Prolin y Tora.

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Ejercicio de Método Gráfico
2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta
Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un
beneficio de 250 dólares, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de
relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 dólares de beneficio. En la
pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de
relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas
de cada tipo.
¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea
máximo el beneficio?
Solución
x1 = Cantidad de tartas Vienesas
x2 = Cantidad de tartas Reales
Datos
Función Objetivo
Z = 250X1+400X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio)
x1 + x2 ≤ 150 (Física)
0.25x1 + 0.5x2 ≤ 50 (Física)
x1 ≤ 125 (Física)

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Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región
factible:
Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200, ésta ecuación se obtiene al multiplicar a
todos los coeficientes por 4.
x Y
0 100
200 0
Para x + y =150
x Y
0 150
150 0
La otras dos son paralelas a los ejes
Al eje Y x=125
Al eje x y =125
Y las otras restricciones tanto x como y son mayor o igual a cero, nos indican que
las soluciones deben estar en el primer cuadrante
La región factible la hemos coloreado de amarillo:
Encontremos los vértices:
El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) que se pueden encontrar directamente ya
que son las intersecciones de las inecuaciones.

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El vértice que no tenemos conocimiento es C, por lo que se procede a resolver el
sistema.
, por suma y resta obtenemos y=50, x=100
Entonces el vértice es el punto C(100, 50)
El último vértice que es B es el que nos falta y se obtiene resolviendo el sistema:
x + y =150
x =125
Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)
Los vértices de la región son:
O(0,0)
A(125,0)
B(125,25)
C(100,50)
D(0,100),
Para hallar la solución óptima se coloca la función objetivo con cada vértice y se
sustituye los puntos de cada vértice en cada función objetivo así:
En Vértice O (0,0) Z1 = 250x1+400x2 / Z1 = 250(0)+400(0) / Z1 = 0
En Vértice A (125,0) Z2 = 250x1+400x2 / Z2 = 250(125)+400(0) / Z2 = 31250
En Vértice B (125,25) Z3.= 250x1+400x2 / Z3 = 250(125)+400(25)/ Z3 = 41250
En Vértice C (100,50) Z4 = 250x1+400x2 / Z4 = 250(100)+400(50)/ Z4 = 45000
En Vértice D (0,100) Z5 = 250x1+400x2 / Z5 = 250(0)+400(100)/ Z5 = 40000
El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto B (100, 50)
Conclusión: Se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales para
maximizar las ganancias a 45000 dólares.

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Ejercicio de Método Algebraico
Tomamos como referencia el mismo ejercicio tomado en el Método Gráfico.
3. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta
Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un
beneficio de 250 dólares, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de
relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 dólares de beneficio. En la
pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de
relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas
de cada tipo.
¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea
máximo el beneficio?
Solución
Tomamos las restricciones y la función objetivo:
Función Objetivo
Z = 250X1+400X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio)
x1 + x2 ≤ 150 (Física)
0.25x1 + 0.5x2 ≤ 50 (Física)
Aquí aumentamos la variable de holgura o quitamos la variable de exceso.
Entonces transformamos de inecuaciones a ecuaciones:
x1 + x2 + h1= 150
0.25x1 + 0.5x2 + h2 = 50
x1 + h3= 125
x2 + h4= 125
x1 ^ x2 ≥ 0
Función Objetivo
Z = 250X1+400X2+0h1+0h2+0h3+0h4
El coeficiente en las restricciones
de la variable de holgura es de 1 y
en la función objetivo es de 0.
Todas las variables de decisión
deben ser mayores o iguales a 0
para que exista una solución
factible.

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Aplicación Estadística
Combinaciones
Primera Combinación
Segunda Combinación
Hay que encontrar las
combinaciones necesarias.
n= numero de Variables de
Decisión.
r= numero de restricciones. No se
toma en cuenta la no negatividad.
.

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Tercera Combinación
Cuarta Combinación
Quinta Combinación
Sexta Combinación
Séptima Combinación

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Octava Combinación
Novena Combinación
Décima Combinación
Decimoprimera Combinación
Decimosegunda Combinación

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Decimotercera Combinación
Décimo Cuarta Combinación
Décimo Quinta Combinación
El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto B (100, 50)
Conclusión: Se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales para
maximizar las ganancias a 45000 dólares.

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Método Simplex
El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la
solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando
más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método
consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior.
Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que
tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales
a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que
después de éste proceso, aparezcan o no varíen las restricciones del tipo "≥" o "="
habrá que emplear otros métodos.
PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX
Esta es la forma estándar del modelo:
Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
Sujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1
a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2
...
am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm
x1,..., xn ≥ 0
Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:
El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.
Todas las restricciones son de igualdad.
Todas las variables son no negativas.
Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

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En el método simplex se debe tener una distinta nomenclatura así:
b= Limitaciones
a= Coeficientes de Variables en las restricciones
m= número de filas
n= número de columnas
i= representa la fila y el número de restricciones
j= representa la columna y el número de variables
Ejercicio de Método Simplex
Ejercicio Caso de Maximización (Método Simplex)
4.- El taller DURAMAZ, se limita a la producción de escritorios y pupitres,
completamente se han calculado que las utilidades unitarias son de 30 dólares
para los escritorios y 20 dólares para los pupitres. Cada producto pasa por tres
departamentos del taller; Metalistería, Pintura y Ensamblaje, cuyas
disponibilidades de tiempo en horas al mes son, 15000, 9000 y 7000
respectivamente. Para la elaboración de los escritorios se requieren por unidad de
30 horas de Metalistería, 10 en Pintura y 12 en Ensamblado, en tanto que los
requerimientos del tiempo por unidad para los pupitres son de 15 horas en
Metalistería, 10 en Pintura y 10 en Ensamblaje. ¿Cuántos escritorios y pupitres
deben producirse óptimamente para maximizar las ganancias?
Solución
x1 = Cantidad de Escritorios a Producir
x2 = Cantidad de Pupitres a Producir
Datos

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Función Objetivo
Z = 30X1+20X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio o Utilidad)
30x1 + 15x2 ≤ 15000 (Física)
10x1 + 10x2 ≤ 9000 (Física)
12x1 + 10x2 ≤ 7000 (Física)
Transformación a Ecuaciones
30x1 + 15x2 + h1 = 15000 (Física)
10x1 + 10x2 + h2 = 9000 (Física)
12x1 + 10x2 + h3 = 7000 (Física)
x1; x2; h1; h2; h3 ≥ 0 (Lógica)
Z = 30X1+20X2+0h1+0h2+0h3
Armar la Matriz
Para transformar las restricciones a
ecuaciones, se procede a aumentar
la variable de holgura cuando se
trata de maximizar o disminuir la
variable de exceso cuando se trata
de minimizar.
Para armar la matriz se procede a elaborar en este modelo de matriz, los números
corresponden a los coeficientes técnicos tanto de la función objetivo que está
representado con la letra Cj y los de las restricciones. En la columna Xi se ubica las
variables de holgura con sus valores que en el proceso irán saliendo por las variables
normales. En la columna de bi se ubica las limitantes y en este caso se ubicalos
valores de la disponibilidad de tiempo.

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De la misma Matriz se puede armar varias matrices hasta que nos dé la solución,
la solución óptima es cuando los números en la fila de (Cj-Zj) sean iguales a
números negativos o ceros siendo éste caso de Maximizar.
Para obtener los valores de la fila Zj se procede a multiplicar los valores de la
columna Cj por cada valor de cada columna que conforma la matriz. Los valores
de zj están dados por ésta fórmula como ejemplo:
Zj = (0*15000) + (0*9000) + (0*7000) = 0
Nota: Por lo general en la primera matriz en caso de Maximización, los valores de
la fila Zj son ceros.
Para calcular los valores de (Cj – Zj) se obtienen al restar cada valor de la fila Cj
menos cada valor de la fila de Zj.
Como se puede ver, la matriz actual no llega a la solución óptima porque tenemos
números positivos, por lo que se procede a elaborar las matrices necesarias para
llegar a la solución óptima.
Después de llenar la primera matriz, se escoge el mayor número positivo de la fila
de (Cj –Zj). Cada valor de la columna de bi son divididos para cada valor de la
columna que se señaló, entonces queda así:

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De la columna de (bi/aij) se escoge el menor número positivo y se señala toda esa
fila así:
El número que está señalado con color amarillo se denomina PIVOTE y ese valor
resulta al cruzar la fila y la columna señalada.
Ahora si se procede a armar una nueva matriz, la nueva matriz queda así:
La nueva matriz no tiene valores debido a que solo resulta tener valores en la fila
de la variable x1, si nos damos cuenta la variable x1 que estaba en la parte
superior se ubica ahora en la columna Xi (indica la variable que entra y la que
salió). Todos los valores de la fila de la variable que entró se obtienen al dividir
cada valor para el pivote, es decir se aplica ésta fórmula como ejemplo:

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Valor de la fila de la variable que entró= 15000/30 = 500
Una vez que se hayan completado los valores de la fila donde se ubica el pivote,
los valores debajo del valor de donde estaba el pivote son ceros, de ahí se
procede a llenar los espacios faltantes, por lo que para encontrar cada valor en la
matriz, se aplica la siguiente fórmula:
Elemento a Encontrar = Elemento Actual de la matriz anterior - (Elemento de
la Fila Señalada de la matriz anterior * Elemento de la Columna Señalada de
la matriz anterior)/ PIVOTE
La matriz nueva queda así:
Como no tenemos en la fila (Cj-Zj) que todos los números sean negativos o ceros,
se procede al mismo proceso anteriormente descrito.

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Finalmente llegamos a la solución óptima debido a que en la fila de (Cj – Zj) se
obtiene números negativos o ceros.
Conclusión: Quiere decir que se tiene que producir 375 escritorios y 250 pupitres
para maximizar las ganancias a 16250 dólares.
Caso de Minimización (Método Simplex)
Para minimización se procede a elaborar el mismo proceso que para los ejercicios
de maximización, la diferencia es que aquí el momento de transformar las
restricciones a ecuaciones se disminuye la variable de exceso y se aumenta una
variable alterna, ésta variable alterna está representada con la letra a y su valor es
de M.

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Ejercicio Caso de Minimización (Método Simplex)
5.- La empresa Bugatti produce autos de Carrera, la empresa produce dos
modelos de automóviles que son el Veyron y el Verona, estos autos implican una
gran inversión en fabricación por lo que se necesita formular un modelo
matemático para minimizar costos. La empresa Bugatti tiene dos departamentos
de Fabricación, el de Ensamblaje y el de Construcción. En el departamento de
Ensamblaje el Veyron utiliza 1 día de ensamblaje, el Verona utiliza 2 días de
ensamblaje. Disponen de 10 días para ensamblar estos autos. En el departamento
de Construcción el Veyron utiliza 3 días de construcción y el Verona utiliza 1 día
de Construcción disponiendo de 15 días para construir. Si los costos por fabricar
cada auto son de 5 y 3 millones de Euros para cada uno respectivamente,
¿Cuántas unidades de cada Auto deberán fabricar para minimizar los costos de
producción?
Solución
x1 = Cantidad de Veyron
x2 = Cantidad de Verona
Datos
Función Objetivo (MIN)

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x1 + 2x2 ≥ 10 (Física)
3x1 + x2 ≥ 15 (Física)
x1 + 2x2 – h1 + a1 = 10 (Física)
3x1 + x2 – h2 + a2 = 15 (Física)
X1; x2; h; h2; a; a2 ≥ 0 (Lógica)
Z = 5X1+3X2-0h1-0h2+Ma1+Ma2
Armar la Matriz
Existen algunas reglas, para armar la matriz se lo hace igual al caso de
maximización pero en la Matriz en los valores de (Cj –Zj) se escoge el número
más negativo y en la columna de bi/aij va el menor número positivo, la matriz
queda así ya pintada con filas y columnas señaladas y la solución óptima. La
solución óptima es cuando en la fila de (Cj –Zj) los valores son positivos o ceros.
Conclusión: Se debe producir 3 autos Verona y 4 autos Veyron para minimizar el
costo a 29 millones de euros.
ecuaciones, se procede a disminuir
la variable de exceso cuando se
trata de minimizar y además se
aumenta la variable alterna.

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MÉTODO DUAL O DUALIDAD
El método Dual o dualidad, es un método de minimización, es el método que
utiliza las propiedades del Simplex y que usa su metodología.
Para realizar ejercicios de dualidad se debe seguir 8 pasos importantes y son:
1. Si el primal tiene n variables de decisión, el dual tiene n restricciones.
2. Si el primal tiene m restricciones, el dual tiene m variables de decisión.
3. Los lados derechos de las restricciones se convierten en los coeficientes de
la función objetiva del dual.
4. Los coeficientes de la función objetiva del primal se convierten en los lados
derechos del dual.
5. Los coeficientes de las restricciones del primal son los coeficientes de las
restricciones del dual.
6. No hay que olvidar la No negatividad.
7. Los signos del dual deben ser mayor o igual.
8. Si es caso de minimización en función primal, se transforma a maximización
en primal y se vuelve a transformar en dual de minimización.

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En éste caso vamos a realizar el mismo ejercicio del Método Simplex que se
detallo al anterior. Los resultados salen los mismos solo que la ubicación de las
respuestas se ubica en otro lugar a diferencia del simplex.
Ejercicio Caso de Minimización (Método DUAL)
6.- El taller DURAMAZ, se limita a la producción de escritorios y pupitres,
completamente se han calculado que las utilidades unitarias son de 30 dólares
para los escritorios y 20 dólares para los pupitres. Cada producto pasa por tres
departamentos del taller; Metalistería, Pintura y Ensamblaje, cuyas
disponibilidades de tiempo en horas al mes son, 15000, 9000 y 7000
respectivamente. Para la elaboración de los escritorios se requieren por unidad de
30 horas de Metalistería, 10 en Pintura y 12 en Ensamblado, en tanto que los
requerimientos del tiempo por unidad para los pupitres son de 15 horas en
Metalistería, 10 en Pintura y 10 en Ensamblaje. ¿Cuántos escritorios y pupitres
deben producirse óptimamente para maximizar las ganancias?
Solución
x1 = Cantidad de Escritorios a Producir
x2 = Cantidad de Pupitres a Producir
Datos
Función Objetivo (MAX)

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Restricciones (Modelo Matemático) Función Primal
30x1 + 15x2 ≤ 15000 (Física)
10x1 + 10x2 ≤ 9000 (Física)
12x1 + 10x2 ≤ 7000 (Física)
Función Objetivo (MIN)
Z = 15000W1 + 9000W2 + 7000W3
Restricciones (Modelo Matemático) Función Dual
30w1 + 10w2 + 12w3 ≥ 30
15w1 + 10w2 + 10w3 ≥ 20
w1 ^ w2 ^ w3 ≥ 0 (Lógica)
30w1 + 10w2 + 12w3 – v1 + a1≥ 30
15w1 + 10w2 + 10w3 – v2 + a2≥ 20
w1 ^ w2 ^ w3 ≥ 0 (Lógica)
Z = 15000w1+9000w2+7000w3-0v1-0v2+Ma1+Ma2
Armar la Matriz
La posición de las respuestas cambian, pero no sus valores. Quiere decir que se
van a producir 375 escritorios y 250 pupitres para minimizar costos a 16250
dólares.
ecuaciones, se procede a aumentar
la variable de holgura cuando se
trata de maximizar o disminuir la
variable de exceso cuando se trata
de minimizar.

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Modelos de Programación Lineal Especial
MODELO DE TRANSPORTE
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía
de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más
fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de
cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La
suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es
directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de
“unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
Para la resolución del modelo de transporte se puede hacer dos tipos de
resolución, por computadora mediante el Excel por el Solver y manualmente. A
continuación se detalla un ejercicio aplicado con los dos método de resolución.

32
Modelo de Transporte (Resolución en Excel)
7.- La empresa “García Autos” desea minimizar los costos de envío de sus
automóviles, desean enviar sus autos desde 3 de sus sucursales, ubicadas en
Santo Domingo, Ambato y Cuenca a 4 concesionarias del país que son Chevrolet,
Toyota, Nissan y Hyundai. Los costos de envío se presentan en una tabla a
continuación:
Formule el modelo matemático respectivo para minimizar los costos y visualizar
cuantos automóviles se tiene que enviar de las sucursales a las concesionarias.
Resolución del Modelo de Transporte (Resolución en Excel)
De los datos anteriores de la tabla de costos de envío, el investigador ilustra en
una nueva tabla que servirá para mejor interpretación y resolución del Modelo.
Identificación de Variables:
XA1; XA2; XA3; XA4
XB1; XB2; XB3; XB4 Se tiene 12 variables de Decisión
XC1; XC2; XC3; XC4

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Obtención de Datos:
Función Objetivo:
FO (MIN)
Z = 5XA1+3XA2+2XA3+6XA4+4XB1+7XB2+8XB3+10XB4+6XC1+5XC2+3XC3+8XC4
Restricciones
XA1 + XA2 + XA3 + XA4 ≥ 1700 XA1 + XB1 + XC1 = 1700
XB1 + XB2 + XB3 + XB4 ≥2000 Oferta XA2 + XB2 + XC2 = 1000 Demanda
XC1 + XC2 + XC3 + XC4 ≥ 1700 XA3 + XB3 + XC3 = 1500
XA4 + XB4 + XC4 = 1200
Xij ≥0 Donde i= A-C y j= 1- 4 / NO NEGATIVIDAD
Resolución
Para resolver el Modelo de Transporte, el investigador emplea la resolución del
Método Solver, el procedimiento se efectúa así; primero se ordena las variables de
decisión en una sola fila, después se ubica los coeficientes de la función objetivo
debajo de las variables. Seguido se ubica las restricciones de oferta y demanda,
para ubicar las restricciones únicamente se coloca los coeficientes de las variables
de las restricciones con sus limitantes tanto de oferta como de demanda.
Por último se ubica las unidades a enviar en fila, aquí las unidades toman el valor
de 1, a su lado se ubica el mínimo costo que deberá emplear para optimizar el
costo.

34
Modelo de Transporte/ EXCEL/ SOLVER
Después usando el Solver obtenemos ésta ventana:
Se coloca la opción de Mínimo, en la celda objetivo se coloca la suma de las
unidades a enviar por el coeficiente de la función objetivo, luego se ubica en
cambiando las celdas todas las celdas que contienen coeficiente 1 en unidades a
enviar; finalmente se coloca las restricciones.
Al colocar las restricciones obtenemos ésta ventana:

35
Las restricciones se ubican en la referencia de la celda y restricción, es decir la
celda que ocupa la primera fila que en éste caso es 4, se ubica mayor o igual en el
símbolo y en la casilla de restricciones se ubica la primera fila correspondiente a la
limitante de la fila de las restricciones de oferta que es 1700 y así respectivamente
hasta completar todas las restricciones, cabe recalcar que no hay que olvidar
colocar la restricción de no negatividad.
Finalmente hacemos click en resolver, obtenemos la nueva tabla con las unidades
a enviar y el mínimo costo óptimo así:
Modelo de Transporte/ EXCEL/ SOLVER
Interpretación
En la tabla podemos ver las unidades a enviar, quiere decir que vamos a enviar y distribuir
las unidades de automóviles de la siguiente forma:

36
Modelo de Transporte/ Unidades a Enviar/ Costo Óptimo.
Se tiene que enviar éstas unidades de autos a un costo establecido por unidad
para minimizar el costo a 23100.
Modelo de Transporte (Resolución Manual)
8.- La empresa “García Autos” desea minimizar los costos de envío de sus
automóviles, desean enviar sus autos desde 3 de sus sucursales, ubicadas en
Santo Domingo, Ambato y Cuenca a 4 concesionarias del país que son Chevrolet,
Toyota, Nissan y Hyundai. Los costos de envío se presentan en una tabla a
continuación:
Formule el modelo matemático respectivo para minimizar los costos y visualizar
cuantos automóviles se tiene que enviar de las sucursales a las concesionarias.

37
Resolución del Modelo de Transporte (Resolución Manual)
De los datos anteriores de la tabla de costos de envío, el investigador ilustra en
una nueva tabla que servirá para mejor interpretación y resolución del Modelo.
XA1; XA2; XA3; XA4
XB1; XB2; XB3; XB4 Se tiene 12 variables de Decisión
XC1; XC2; XC3; XC4
Función Objetivo:
FO (MIN)
Z = 5XA1+3XA2+2XA3+6XA4+4XB1+7XB2+8XB3+10XB4+6XC1+5XC2+3XC3+8XC4
Restricciones
XA1 + XA2 + XA3 + XA4 ≥ 1700 XA1 + XB1 + XC1 = 1700
XB1 + XB2 + XB3 + XB4 ≥2000 Oferta XA2 + XB2 + XC2 = 1000 Demanda
XC1 + XC2 + XC3 + XC4 ≥ 1700 XA3 + XB3 + XC3 = 1500
XA4 + XB4 + XC4 = 1200

38
Resolución
Para resolver por método manual, el investigador usa el Método del Costo Mínimo,
donde usa los coeficientes de la función objetivo como costos de la matriz, aquí se
ubican datos de oferta y demanda, también se ubica el costo Zj que es el número
de unidades del cuadro lleno por el costo, los datos en la matriz se presentan así:
De la matriz anterior se procede a calcular los costos de oportunidad que son Ui y
Vj, esto se realiza con el fin de más adelante obtener los costos implícitos,
recuadros de color azul y que se ubican únicamente en recuadros vacíos, para
obtener tanto los costos implícitos y costos de oportunidad se tiene dos fórmulas
que son:
Ui = Cj – Vj Fórmula para calcular costos de oportunidad
Zj = Ui + Vj Fórmula para calcular costos implícitos
Nota: Ui en el primer casillero empieza con valor de 0 para comenzar a obtener
los demás costos. Únicamente Ui se puede sacar con casilleros llenos al igual que
Vj.
Después se procede a llenar la matriz con los costos de oportunidad y costos
implícitos, de ahí debe cumplir 2 condiciones importantes, primero que los cuadro
llenos con cantidades sean igual al número de soluciones factibles mediante la
formula m+n - 1 .

39
La segunda condición es que Zj < Cj, caso contrario ese casillero que no cumple
debe ser optimizado, únicamente se efectúa la segunda condición en casilleros
vacíos.
Zj = [(200*3) + (1500*2) + (1700*4) + (300*10) + (800*5) + (900*8)]
Zj = 24600
Se puede observar que el cuadro señalado con el punto rojo no cumple con la
segunda condición y que aún el costo es muy alto por lo que se procede a
optimizar.
Para optimizar el cuadro que no cumple con la condición se efectúa el “Cruce del
Arroyo”.
Éste cruce del arroyo consiste en buscar la solución que va a entrar en el cuadro
que no cumple la condición; de forma que se traza una trayectoria con líneas
horizontales y verticales. El punto de partida es el cuadro que hay que optimizar y
empieza con signo positivo, de ahí se sigue la trayectoria con líneas cambiando de
signo hasta llegar al punto de partida. Únicamente se puede hacer la trayectoria
con cuadros llenos como intersección, ya que si se llega a un cuadro lleno y no
hay otro cuadro lleno, no se puede seguir haciendo la trayectoria.

40
Por eso es que se les asignó signos a los cuadros llenos y a la trayectoria para
cumplir con el cruce del arroyo, entonces de ahí se asigna de los dos cuadros con
signo negativo, el menor valor al cuadro de partida.
Una vez asignado al cuadro de partida, hay que restar lo que se asignó al cuadro
con signo negativo, de ahí se suma lo que se asigno al cuadro con signo positivo y
se vuelve a restar lo que se asignó hasta llegar al origen. Una vez terminada la
trayectoria se copia los valores no afectados por el cruce y se visualiza si es que
es óptimo o no.
Nota: Llega a ser óptimo cuando cumple todas las condiciones anteriormente
nombradas.
Trayectoria para el Cruce del arroyo

41
La nueva matriz queda de esta forma:
Zj = [(1000*3) + (700*2) + (1700*4) + (300*10) + (800*3) + (900*8)]
Zj= 23800
Ahora el casillero que no cumple es el que está señalado, por ende el costo sigue
siendo alto se procede a elaborar de nuevo el cruce del arroyo para optimizar el
casillero y todo el proceso anteriormente detallado. La nueva trayectoria es:
Trayectoria para el Cruce del arroyo
Trayectoria para el Cruce del arroyo en la Matriz

42
La nueva matriz queda de ésta forma:
Matriz Final/ Óptima solución
Zj = [(1000*3) + (700*6) + (1700*4) + (300*10) + (1500*3) + (200*8)]
Zj = 23100
Interpretación
Se puede visualizar que los costos implícitos son menores o iguales a los costos
planteados, también la demanda y la oferta suman la misma cantidad lo que nos
dice que el sistema está balanceado, además cumple el número de soluciones
factibles. Entonces las unidades a enviar son:
Modelo de Transporte/ Unidades a Enviar/ Costo Óptimo.
Se tiene que enviar éstas unidades de autos a un costo establecido por unidad
para minimizar el costo a 23100 dólares.

43
Nota: Si se compara el cuadro de envío resuelto por método manual con el cuadro
de envío por método Solver, la distribución de envío de autos cambia, pero lo que
nunca puede cambiar es el costo de envío.
La primera matriz que se obtiene en el modelo es una solución de arranque.
Los pasos básicos de la técnica de transporte son:
Paso 1: Determinar una solución factible
Paso 2: Determinar la variable que entra, que se elige entre las variables no
básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método
simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3
Paso 3: Determinar la variable que sale (mediante el uso de la condición de
factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase
la nueva solución básica. Regrese al paso 2

44
Modelos de Programación Lineal Especial
MODELO DE ASIGNACIÓN
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual
todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver
eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro.
Las filas deben ser iguales a las columnas, por lo que la matriz debe ser cuadrada.
Paso 1.- Se empieza por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de
la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo
mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada
columna. Construya una nueva matriz ( la matriz de costos reducidos ) al restar de
cada costo el costo mínimo de su columna.
Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o verticales ) que se
necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se
requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.
Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de
costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso
2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y
sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos
líneas. Regrese al paso 2.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que
todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el
conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de
demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de
costos.
Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números
enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.

45
Ejercicio (Método de Asignación)
9.- La empresa General Motors de USA, dispone de 3 excelentes trabajadores y 3
nuevos trabajos por realizar, la tabla a continuación indica los valores en miles de
dólares de lo que General Motors estima le costaría a cada trabajador completar
su tarea. ¿Cuál es la asignación de cada Trabajador para minimizar el costo?
XA1; XA2; XA3
XB1; XB2; XB3 Se tiene 9 variables de Decisión
XC1; XC2; XC3
Función Objetivo:
FO (MIN)
Z = 11XA1+14XA2+6XA3+8XB1+10XB2+11XB3+9XC1+12XC2+7XC3
Restricciones
XA1 + XA2 + XA3 ≥ 1 XA1 + XB1 + XC1 = 1
XB1 + XB2 + XB3 ≥ 1 Oferta XA2 + XB2 + XC2 = 1 Demanda
XC1 + XC2 + XC3 ≥ 1 XA3 + XB3 + XC3 = 1

46
Resolución
1.- A cada fila se le resta el número
menor.
2.- A cada columna se le resta el
número menor.
3.- Se cubre con el menor número
de líneas verticales u horizontales
las filas o columnas que tengan
ceros.
4.- A los números que no son
cubiertos con las líneas y que
quedan libres, se les resta el menor
de todos los números no cubiertos.
5.- El número de filas es igual al
número de columnas y debe ser
igual al número de líneas, por lo
tanto la solución es óptima cuando
el número de líneas llega a ser igual
al número de gilas y columnas de la
matriz.

47
Distribución de tareas
El trabajador A se va a ejecutar la tarea 3.
El trabajador B se va a ejecutar la tarea 2
El trabajador C se va a ejecutar la tarea 1
Trabajador Tarea Costo
A 3 6
B 2 10
C 1 9
25
Se reduce el Costo a 25 mil dólares.
El método de asignación finaliza analizando que el costo mínimo es por los tres
trabajadores que se desea asignar para así poder tomar decisiones y mejorar las
asignaciones de empleados a tareas.
Trabajador Tarea
A 3
B 2
C 1

48
Unidad 3
Modelo de Redes
El modelo de redes se denomina el modelo de los Grafos, que es una
representación gráfica de los métodos para tomar decisiones.
Para éste modelo de los Grafos se tiene 3 submodelos y son:
Modelo de la Ruta más Corta (Minimizar Distancias)
Modelo del Árbol de mínima expansión (Minimizar y dibujar distancias)
Modelo del Flujo Máximo (Optimizar Criterios para enviar mercadería)
Modelo PERT-CPM (Red para administrar proyectos).
Modelo de la Ruta más Corta
El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde
sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como
el nodo destino. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan
la distancia total del origen al destino.
Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo, a entre el punto de
partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.
 Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial y terminando en el nodo final
n.
 Arcos bi-direccionales conectan los nodos con distancias mayores que
cero.
 Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con
el nodo n.
 Por medio de la aplicación del algoritmo de este problema podemos
conocer la menor distancia entre un nodo origen y un nodo destino.

49
Pasos a Seguir para elaborar la red:
 Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que salen de él.
 Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más cercano a él.
 Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano elegido.
 Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo más cercano a él, por
intermedio del los nodos ya elegidos volver al tercer paso hasta llegar al
destino.
El método de la ruta más corta se puede aplicar también por medio de
Software, por lo que es necesario tener el Programa WINQSB 2.0 para resolver
éstos problemas.

50
Ejercicio (Método Ruta más Corta)
10.- TRAPICHE DE MENDOZA, envía con frecuencia canecas de vino a 8
localidades diferentes. La empresa considera que el total de sus costos se
minimizaría si pudiera asegurarse de que todos los envíos futuros a cualquiera
de las localidades se realicen siguiendo la ruta más corta. Por tanto, su objetivo
consiste en especificar cuáles son las rutas más cortas desde el nodo de inicio
hasta cualquiera de los otros 8 nodos.
Resolviendo la red de la ruta más corta, tenemos que la ruta más corta y que
finaliza del Nodo 1 al Nodo 8 es de 4 kilómetros.

51
Modelo del Árbol Mínimo de Expansión
Éste problema surge cuando todos los nodos de la red deben conectarse entre
ellos sin formar un loop.
Loop: Es un camino cerrado entre redes.
El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la
redundancia es expansiva o el flujo a lo largo de los arcos se considera
instantáneo.
El modelo de árbol de mínima expansión se refiere al uso de las ramas o arcos de
la red para llegar a todos los nodos de la red de manera tal que se minimiza la
longitud total.
La aplicación de éste modelo de redes se ubica en las redes de comunicación
eléctrica, telefónica, carretera o ferroviaria. Los arcos podrían ser de alta tensión,
cables de fibra óptica o rutas aéreas.
Si n = al número de nodos, entonces la solución óptima debe incluir n – 1 arcos

52
Ejercicio (Método del Árbol Mínimo de Expansión)
11.- La compañía Ferrari desea enviar sus autos a todos sus puntos de
distribución de automóviles, pero la compañía desea evitar viajes innecesarios o
rutas muy largas, para evitar los costos altos. Por lo que ellos proporcionan una
red de distribución a sus 6 puntos. Encontrar la mínima expansión de distancias de
envío.
Minimiza la Distancia a 110 kilómetros. Entregando a todos sus puntos de
distribución sus autos.

53
Modelo de Flujo Máximo
Este problema se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de
partida y destino de una red.
Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar de
destino a través de arcos que conectan nodos intermedios.
Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida.
La capacidad no necesariamente debe ser la misma para cada dirección del arco.
Hay que considerar la red con un nodo de entrada o llamado fuente y un nodo de
salida o llamado antinodo.
El problema del flujo máximo plantea la cantidad máxima de vehículos, líquido,
peatones o llamadas telefónicas que pueden entrar o salir del sistema en un
periodo determinado de tiempo.

54
Ejercicio (Método de Flujo Máximo)
12.- La compañía Movistar desea saber cuántas llamadas telefónicas pueden
realizarse en una red telefónica representada en una red. Tiene como entrada a
sus antenas y sus salidas a otra conexión con otra red posiblemente. Formule el
modelo de red para maximiza el flujo respecto a la cantidad de llamadas que
puede realizarse.

55
Modelo PERT-CPM
Admitiendo que la ejecución de un proyecto o elaboración se puede subdividir en
planear, programar y controlar, y hablando de manera clásica, podemos
considerar las técnicas PERT (Program Evaluation and review Technique) y el
CPM (Critical Path Method,) que son los más usuales para ejecución de proyectos.
En general estas técnicas resultan útiles para una gran variedad de proyectos que
contemplen:
Investigación y desarrollo de nuevos productos y procesos.
Construcción de plantas, edificios, y carreteras.
Diseño de equipo grande y complejo.
Diseño e instalación de sistemas nuevos.
Diseño y control de epidemias,
Múltiples aplicaciones en las cuales se requiera una planificación adecuada.
En los proyectos como estos, los administradores deben programas, coordinar las
diversas tareas o actividades a desarrollar un proyecto, las cuales no
necesariamente son secuenciales, y aun en este caso estas actividades son
interdependientes. Si bien es cierto que, algunas actividades en paralelo que
originan una tercera.
Las preguntas esenciales de la elaboración de un proyecto comprenden:
Cuál es el tiempo que se requiere para terminar el proyecto?
Cuáles son las fechas programadas de inicio y finalización del proyecto?
Que actividades son críticas y deben terminarse exactamente según lo
programado para poder mantener el proyecto según el cronograma?
Cuales actividades pueden ser demoradas sin afectar el tiempo de terminación
del proyecto?

56
Modelo PERT
Conecta las Actividades
La flecha indica las actividades.
Existen 3 tiempos:
Tiempo A que es Optimista
Tiempo B que es Probable
Tiempo C que es Pesimista.
Para calcular el tiempo cuando nos dan varios tiempos, se aplica ésta fórmula
para sacar un tiempo promedio de cada actividad.
Aquí se trabaja con cierto grado de incertidumbre y para la incertidumbre se
calcula la varianza con esta fórmula:
Reglas
Entre nodos solo hay una actividad.
Si 2 actividades deben salir de 1 un nodo a otro nodo, usar actividades
ficticias.
A un nodo pueden llegar varias actividades y salir varias actividades,
excepto en el primero que no llega nadie y en el último que no sale nadie
No existe orden de magnitud vectorial.
Ninguna actividad puede empezar si no ha terminado la anterior.
Ninguna actividad puede conllevar a anteriores actividades.
Nodo

57
Ejercicio (Método PERT)
13.- Arme la red de acuerdo a los datos entregados:
Obtener la ruta crítica a seguir y también obtener la ruta crítica mediante la
tabla.
Ahora para resolver la red, se efectúa el método de la ruta crítica y también
que obtener los cuatro elementos (ES,EF,LS,LF) en cada nodo. Después se
obtiene la holgura (H) que sale a partir de la diferencia entre (LS y ES) o (LF y
EF), si las holguras son iguales a 0 esa es la ruta que se debe seguir, a
continuación se muestra la red ya resuelta.

58
Los factores ES y EF se obtienen en el viaje de ida de la red osea de izquierda
a derecha siguiendo el orden de los nodos y sumando sus distancias de cada
actividad. ES y EF en el viaje de ida se tachan los valores que son menores
como se vé en la red en el caso que haya más de un Factor EF como por
ejemplo en el nodo 5 y 7 que se tachan los factores EF, de cada nodo debido a
que existe más de un EF en el nodo.
Los factores LS y LF se obtienen en el viaje de regreso de la red osea de
derecha a izquierda siguiendo el orden de los nodos y restando sus distancias
de cada actividad. LS y LF en el viaje de regreso se tachan los valores que son
mayores como se vé en la red en el caso que haya más de un Factor LS como
por ejemplo en el nodo 2 y 4 que se tachan los factores LS, de cada nodo
debido a que existe más de un LS en el nodo.
Entonces la Ruta Crítica es por donde pasan las holguras con valor igual a 0, la
ruta crítica es A –B – D – G, de nodos 1-2-4-6-7.

59
Ahora se resuelve por medio de la tabla de ésta forma:
ES y LS son las soluciones principales para obtener LS y LF en la tabla, ES y
EF se obtienen viendo en la red el valor de ES en los nodos, es decir el nodo 1
tiene un ES de 0 e inicia con ese valor, EF se obtiene al sumar ES mas la
Distancia y lo mismo se hace con LS Y LF.
La solución sea por red y por tabla va a ser la misma, la ruta crítica nunca va a
cambiar.

60
Modelo PERT COSTO
El modelo PERT COSTO consiste en añadir costos de reducción al proyecto que
se elabore, por lo que es necesario detallar un ejercicio para mejor entendimiento.
Ejercicio (Método PERT COSTO)
14.- La empresa SONY, está considerando desarrollar una particular versión de
lujo de un producto tecnológico, las actividades necesarias para la elaboración de
una Sony Vaio 3570 new model, son las siguientes:
a) Determinar Camino Crítico y el Plazo de Terminación.
b) Determinar el Costo Normal del Proyecto.
c) Cuál es la Probabilidad de reducir el proyecto en 1 semana?
d) Cuál es el tiempo máximo que puede reducirse el proyecto y cuanto es su
costo total?
e) Si se desea reducir el tiempo necesario para la finalización del proyecto en
1 semana, qué actividad deberá reducirse y cuanto incrementaría el Costo
Total?

61
a).- Determinar Camino Crítico y el Plazo de Terminación.
Se procede a armar la red y a encontrar la ruta crítica mediante el grafico y la
tabla.
La ruta crítica es el proceso de las actividades A-D-G con una terminación de 16
semanas.

62
b).- Determinar el Costo Normal del Proyecto
Entonces el Costo Normal del Proyecto es de 12300 dólares.
c).- Cuál es la Probabilidad de reducir el proyecto en 1 semana?
Los valores de z se obtienen en base a la tabla de los datos que se usa para
estadística inferencial y que viene de la Tabla de la Distribución de Probabilidad
Normal.

63
d).- Cuál es el tiempo máximo que puede reducirse el proyecto y cuanto es su
costo total?
Para reducir una semana se
escoge la semana que menor
costo tenga, éste costo menor
se coge en la fila de la variación
del costo ante la variación del
tiempo, es decir se coge el valor
de 75 dólares que es el menor
costo.
Entonces el costo adicional por
restar una semana de
terminación es de 75 dólares,
que al totalizar el costo sería de
12375 dólares como costo
normal.

64
El tiempo máximo que se puede reducir es 4 semanas a un costo adicional de 75
dólares por actividad reducida, se obtiene un costo total reducido de 300 dólares y
totalizando el costo tenemos un costo total de 12600 dólares del proyecto.
e).- Si se desea reducir el tiempo necesario para la finalización del proyecto en 1
semana, qué actividad deberá reducirse y cuanto incrementaría el Costo Total?
Se reduciría la actividad D, de 8 semanas a 4 semanas incrementando el costo
total de 12300 a 12600 dólares, lo que significa que si es que quiero terminar mi
proyecto en menos semanas, implica un costo adicional por cada semana,
siempre y cuando no afecte a mi ruta crítica en el proceso.

65
UNIDAD 4
MODELO DE INVENTARIOS
El modelo de Inventarios sale por la necesidad de no tener escasez.
En los inventarios no se paraliza la producción.
Éste estudio se enfoca a economías de Escala.
Características del Modelo
Se busca identificación, es decir; Cuándo se debe pedir y Cuánto se debe pedir
con relación a la Mercadería que se requiere pero al menor costo posible.
Nos adentramos al estudio de la demanda, dentro de las empresas se maneja
mucho dos tipos de demanda en inventarios y son:
Demanda
Independiente
Determinísticos Probabilísticos
Dependiente
Uso del MRP

66
Demanda Independiente: Dice de un artículo que no depende de otro, no
tiene similitud, lo que generalmente ocurre con empresas de servicios.
Dentro de éste tipo de demanda encontramos modelos Determinísticos y
probabilísticos.
Los modelos Determinísticos se refieren al cierto grado de certeza que tiene el
modelo.
Los modelos Probabilísticos se refieren al cierto grado de incertidumbre que
lanza el modelo.
Demanda Dependiente: Es la demanda que depende de los procesos de
elaboración del artículo. Aquí se usa el MRP (Planificación de
Requerimiento de Material).
Nosotros nos infiltraremos al estudio del Modelo Determinístico.

67
Modelo Determinístico
Dentro de éste modelo se encuentra el Lote Económico de Pedido, la demanda o
cantidad de producción y el lote económico con descuentos.
Se estudiará el Lote Económico de Pedido el cual tiene la siguiente Nomenclatura
para resolver ejercicios de inventarios, la nomenclatura se representa así con su
respectiva leyenda o significado:
La demanda es conocida y constante (D).
El tiempo de Entrega es Conocido (L).
Existe costo unitario de compra (C).
Costo de pedido o costo de organización o preparación (S).
Costo unitario de almacenamiento o de mantenimiento (H).
Inventario máximo o Cantidad óptima (Q*).
No se acepta descuentos ni déficit.
Entonces podemos deducir mediante ésta nomenclatura las siguientes fórmulas:
Costo total de Compras en relación a la Demanda
Costo total de pedido
Costo total de almacenamiento
Costo total

68
Lote Económico
Dentro del lote Económico encontramos otras formulas que se indican a
continuación y que son importantes en la aplicación de las anteriores,
Éste modelo tiene la forma de serrucho.
EL PUNTO DE EQUILIBRIO SE
ALNCANZA CUANDO EL COSTO DE
ALMACENAMIENTO ES IGUAL AL
COSTO DE PEDIDO Y DE AHÍ SE
OBTIENE LA FORMULA PARA
OBTENER Q* MAX.

69
Ejercicio (MODELO DE INVENTARIOS)
15.- Mercedes Benz compra aproximadamente 48 autos de lujo en el curso de 1
año a un costo de 20000$ cada uno. A la empresa MC LAREN, para su reventa a
empresas automotrices. Cada pedido incurre a un costo fijo de 75000& por cargas
de procesamiento y entrega y llega 1 semana después de haber sido hecho.
Suponiendo una tasa de transferencia anual del 25%, utilice las formulas para
determinar:
a) La cantidad Económica de pedidos.
b) El punto de renovación de pedidos.
c) El N° de pedidos por año.
d) El tiempo entre pedidos en semanas.
e) El costo total anual.
f) En qué cantidad debería incrementarse el costo de 1 auto para que la
cantidad de pedidos disminuya en 5%.
g) Se prevé que la demanda de llantas, con los datos originales para el año
siguiente aumente en 9%, ¿Cuál sería el costo total?
Datos:
D= 48 autos/año
C= 20000$
S= 75000$
i= 25% o 0,25
L= 1 semana
a).- La cantidad Económica de pedidos.

70
b).- El punto de renovación de pedidos.
c).- El N° de pedidos por año.
d).- El tiempo entre pedidos en semanas.
e).- El costo total anual.
El costo total anual es de 1’149,736.84 dólares.

71
f).- En qué cantidad debería incrementarse el costo de 1 auto para que la cantidad
de pedidos disminuya en 5%.
Entonces de acuerdo al costo unitario tenemos que es de 20000 y el costo
incrementado es 22222.22 quiere decir que el costo debe incrementarse en
2222.22 para que la cantidad de pedidos disminuya en 5%.
g).- Se prevé que la demanda de llantas, con los datos originales para el año
siguiente aumente en 9%, ¿Cuál sería el costo total?
El nuevo costo total anual es de 1’237,500.00 dólares.

72
ANEXOS
EJERCICIOS ADICIONALES
METODO GRÁFICO, ALGEBRAICO, SIMPLEX Y DUAL (EJERCICIOS
FACTIBLES DE RESOLVER POR CUALQUIER MÉTODO)
A una empresa le toca 1 millón de dólares de una lotería y le aconsejan que invierta en dos
tipos de acciones A y B, las del tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del
10% anual. Las del tipo B son menos seguras y producen un beneficio del 7% anual.
Después de varias deliberaciones, decide invertir como máximo 0.6 millones en la compra
de acciones A y por lo menos 0,2 millones en acciones B. Además decide que lo invertido
en A sea por lo menos igual a lo invertido en B, cómo deberá invertir la empresa para que
el Beneficio sea Máximo?. RESPUESTA: INVERTIR 0.6 MILLONES EN A Y 0.4
MILLONES EN B PARA MAXIMIZAR EL BENEFICIO A 88000 DÓLARES.
FERRARI COMPANY, fabrica autos compactos y subcompactos. La producción de cada
auto requiere de una cierta cantidad de materia prima y mano de obra como se especifica
en la siguiente tabla:
La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos pueden venderse a
10000 dólares cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a 8000 dólares cada
uno. Formule el modelo matemático para determinar la cantidad óptima a producir y las máximas
ganancias (Ingresos – Gastos). RESPUESTA: VENDER 250 COMPACTOS Y 200
SUBCOMPACTOS PARA OBTENER UNA GANANCIA DE 2’705.000.00.
Un sastre tiene 80 metros de tela y 120 metros de lana. Un terno requiere 1 metro de tela y
3 metros de lana, un vestido requiere de 2 metros de tela 2 metros de lana. Cuál es el
número ternos y vestidos que el sastre debe producir para maximizar sus utilidades si un
terno y un vestido la dan un beneficio de 5 dólares cada uno.RESPUESTA: PRODUCIR 20
TERNOS Y 30 VESTIDOS PARA OBTENER UNA GANANCIA DE 250 DÓLARES.
Petróleos del Ecuador puede comprar dos tipos de crudo, crudo ligeros y crudo pesado a
un costo de 25 y 22 dólares respectivamente. Cada barril de crudo produce tres tipos de
combustibles que son gasolina, turbosina y octurbina. La siguiente tabla indica las
proporciones en barriles para producir cada tipo de combustible.

73
La refinería se ha comprometido a enviar 1’260000 barriles de gasolina, 900000 barriles de
turbosina y 300000 de octurbina a Petróleos del Ecuador. Como gerente de producción formula el
modelo para minimizar los costos totales y deduce las cantidades de crudo a mezclar para obtener
cada tipo de combustible. RESPUESTA: Mezclar 1’400000 barriles de crudo ligero y 1’800000
barriles de crudo pesado para minimizar los costos de envío de lso combustibles a
65’800000 millones de dólares.
MODELO DE TRANSPORTE
Lamborgini desea determinar el costo mínimo de transporte de su producto estrella que es
el Murciélago LP640, si Lamborgini distribuye desde sus tres plnatas de producción hasta
sus tres distribuidoras principales. La información de las plantas y de las distribuidoras se
indican en las tablas:
RESPUESTA: Enviar los Lamborgini LP640 de planta A a Distribuidora 3 5000 autos, de
planta B a Distribuidora 1 2500 autos, de planta B a Distribuidora 3 500 autos, de planta C a
Distribuidora 1 1500 autos y de planta C a distribuidora2 6000 autos para minimizar el costo
de envío a 145000 dólares.
MODELO DE ASIGNACIÓN
Una empresa de marketing acaba de recibir solicitudes de estudios de investigación de
mercadería de 3 nuevos clientes. La empresa debe asignar líderes de proyecto a cada uno
de esos tres nuevos estudios de investigación. Tres personas están relativamente libres de
otros compromisos y se hallan disponibles para ser asignados como encargados del
proyecto. Como se ha considerado que los 3 proyectos tienen aproximadamente la misma
prioridad, la empresa desearía asignar jefes de proyecto de tal manera que se minimice el
número de días necesarios para terminar con los tres proyectos. Si se debe asignar un jefe
a cada cliente, qué asignaciones debe hacerse?

74
ARBOL MÍNIMO DE EXPANSIÓN
RUTA MÁS CORTA
RED PERT

75
Bibliografía
ANDERSON, SYNDEY D. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
WILLIAMS T (INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS CUANTITATIVOS
PARA LA ADMINISTRACIÓN/ EDITORIAL IBEROAMÉRICA.
HUILLIER F & LIEBMAN E, INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES MC.GRAW HILL.
Software
MICROSOFT EXCEL 2010 / SOLVER.
WINQSB 2.0 (PROGRAMA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
OPERATIVOS EN MÉTODO DIGITAL).
INVOP (SIMULADOR DE COMPROBACIÓN DE RESULTADOS)
WINQSB4.5 (PROGRAMA COMPLETO QUE INCUYE REDES Y
MODELOS DETERMINÍSTICOS Y ESTOCÁSTICOS.
FIN

Final (investigación de operaciones)

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