Fourier Series

2. JOSEPH FOURIER
• Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre – 16 de mayo de 1830
en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre
la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas
convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió
resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su
nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al
efecto invernadero en un tratado. Se le dedicó un asteroide que lleva su
nombre y que fue descubierto en 1992.

3. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• La energía térmica se transfiere del calentador al interior de las
regiones más fresca a un cuerpo sólido por medio de conducción. Es
conveniente referirse a la transferencia como flujo de calor, se tratara
de calor a líquido o gas que difunde a través del cuerpo de las regiones
de alta concentración en las regiones de baja concentración.
• Sea 𝑷 𝟎 un punto (𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎, 𝒛 𝟎) interior al cuerpo y S una superficie lisa a
través de 𝑷 𝟎, también, sea n un vector unitario normal a S en el punto
𝑷 𝟎 (Fig.11). En el tiempo t, el flujo de calor ɸ (𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎, 𝒛 𝟎, t) a través de S
en 𝑷 𝟎 en la dirección de n es la cantidad de calor por unidad de área por
unidad de tiempo que se lleva a cabo a través de S en 𝑷 𝟎 en esa
dirección. El flujo es medido en unidades tales como calorías por
centímetro cuadrado por segundo. FIGURA 11

4. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR

5. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• Si u (x, y, z, t) denota las temperaturas en los puntos (x, y, z) del cuerpo
en el tiempo t y si n es una coordenada que representa la distancia en
la dirección de n, el flujo ɸ (𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎, 𝒛 𝟎, t) es positiva cuando la
direccional derivada de du/dn es negativo en 𝑷 𝟎 y negativo cuando
du/dn es positivo.
• Un postulado fundamental, conocido como ley de Fourier, en la teoría
matemática de los Estados de Conducción de Calor es que la magnitud
del flujo ɸ (𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎, 𝒛 𝟎, t) es proporcional a la magnitud de la derivada
direccional du/dn a 𝑷 𝟎 en el tiempo t. Es decir, hay un coeficiente K,
conocida como la conductividad térmica del material, de tal manera
que:
(1) ɸ = −𝑲
𝒅𝒖
𝒅𝒏
(K > 0) en 𝑷 𝟎 y tiempo t.

6. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• Otro coeficiente térmico del material es su calor específico un. Ésta es la
cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de una unidad de
masa de la unidad de un material en la escala de temperatura. Salvo
indicación contraria, siempre serán suponga que los coeficientes K y a son
constantes en todo el cuerpo sólido y que lo mismo puede decirse de 𝝈, la
masa por unidad de volumen del material.
• Con estas hipótesis, un segundo postulado de la teoría matemática es que la
conducción conduce a una función u de la temperatura que, junto con su
derivado 𝒖 𝒕 y los de la primera o segunda orden con respecto a x, y y z, es
continua a lo largo de cada interior de dominio a un cuerpo sólido en el que
sin calor es generado o perdido.
• Supongamos ahora que el calor fluye sólo paralelamente al eje x en el
cuerpo, para que el flujo ɸ y temperaturas u dependan sólo de x y t. Por lo
tanto ɸ = ɸ (x, t) y u = u (x, t). Asumimos en la actualidad que calor no es
generado ni perdido dentro del cuerpo y por lo tanto que el calor entra o sale
solamente a través de su superficie.

7. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• Luego construimos un pequeño paralelepípedo rectangular, situado en
el interior del cuerpo, con un vértice en un punto (x, y, z) y con caras
paralelas a los planos de coordenadas. Las longitudes de los bordes
son ∆x, ∆ y y ∆ z, como se muestra en la figura 12.

8. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• La masa del elemento de material del paralelepípedo de la ocupación es
tu 𝜹∆𝒙∆y ∆z, así, en vista de la definición de calor específico declarada
anteriormente, sabemos que es una medida de la cantidad de calor que
entra a ese elemento por unidad de tiempo en el tiempo t es
aproximadamente:
(2) σ ∆𝐱∆y ∆z𝐮𝐭( x, t )
• Otra manera de medir dicha cantidad es observar que, dado que el flujo
de calor es paralelo al eje x, el calor cruza sólo las superficies ABCD y
EFGH del elemento, que son paralelas al plano yz.
• Si la dirección del flujo ɸ(x, t) está en la dirección positiva del eje x, se
deduce que la cantidad de calor por unidad de tiempo cruzar el ABCD
superficial en el elemento en el tiempo t es ɸ (x, t) ∆y ∆z.

9. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• A causa de que el calor va dejando el elemento a través de la cara
EFGH, la cantidad neta de calor entrando al elemento por unidad de
tiempo es, entonces,
ɸ (x, t) ∆y ∆z - ɸ ( x + ∆x, t ) ∆y ∆z.
• En vista de la ley de Fourier (1), esta expresión puede ser escrita
(3) K [ 𝒖 𝒙 ( x + ∆x, t ) - 𝒖 𝒙 (x, t) ∆y ∆z .
• Igualando las expresiones (2) y (3) para la cantidad de calor entrando el
elemento por unidad de tiempo y luego dividiendo por a σ𝛅 ∆𝐱∆y ∆z,
tenemos
𝒖 𝒕 (x , t) =
𝑲
𝝈𝜹
.
𝒖 𝒙( x + ∆x, t ) − 𝒖 𝒙(𝒙 ,𝒕)
∆𝒙

10. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• Dejando ∆x tiende a cero aquí, nos encontramos con que las
temperaturas en un cuerpo sólido, cuando calor fluye sólo paralelo al
eje x, satisfacen la ecuación de calor unidimensional
(4) 𝒖 𝒕(x, t) = 𝒌𝒖 𝒙𝒙(x, t) , donde , k =
𝑲
𝝈𝜹
• La constante k aquí se llama la difusividad térmica del material.
• En la derivación de la ecuación (4), asumimos que no hay ninguna
fuente de calor dentro del cuerpo sólido, sólo de la transferencia de
calor por conducción. Si hay una fuente uniforme en todo el cuerpo que
genera calor a una tasa constante 𝑸 por unidad de volumen, es fácil
modificar la derivación para obtener la ecuación del calor
(5) 𝒖 𝒕( x, t)= 𝒌𝒖 𝒙𝒙 𝒙, 𝒕 + 𝒒 𝟎, donde 𝒒 𝟎 =
𝑸
𝝈𝜹

11. UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL DE CALOR
• Esto se logra simplemente agregando el término Q ∆x ∆ y ∆z a la
expresión (3) y proceder de la misma manera como antes. La tasa Q por
unidad de volumen en el que el calor es generado mayor, de hecho,
cualquier función continua de x y t, en este caso el término 𝒒 𝟎en la
ecuación (5) se sustituirá por una función q (x, t).

12. EL MÉTODO DE FOURIER, OPERACIONES
LINEALES
• Si 𝒖 𝟏 y 𝒖 𝟐 son funciones y 𝒄 𝟏 y 𝒄 𝟐 son constantes, la función 𝒄 𝟏 𝒖 𝟏+ 𝒄 𝟐
𝒖 𝟐 de interfaz de usuario de 𝒄 𝟏 se llama una combinación lineal de 𝒖 𝟏 y
𝒖 𝟐. Tenga en cuenta que 𝒖 𝟏 + 𝒖 𝟐 y 𝒄 𝟏 𝒖 𝟏 así como la función constante 0,
en casos especiales. Un espacio lineal de funciones, o un espacio
funcional, es una clase de funciones, todo ello con un dominio común
de la definición, tal que cada combinación lineal de dos funciones en
que clase permanece en él; es decir, si en la clase de interfaz de usuario
𝒖 𝟐, entonces así es 𝒄 𝟏 𝒖 𝟏+ 𝒄 𝟐 𝒖 𝟐 Un ejemplo es el espacio de función
𝑪 𝒑(a, b),
(1) L(𝒄 𝟏 𝒖 𝟏+ 𝒄 𝟐 𝒖 𝟐) = 𝒄 𝟏L 𝒖 𝟏+ 𝒄 𝟐L 𝒖 𝟐
cuando 𝒄 𝟏 y 𝒄 𝟐 son constantes. En particular,
(2) L(𝒖 𝟏 + 𝒖 𝟐) = L 𝒖 𝟏+L𝒖 𝟐 y L(𝒄 𝟏 𝒖 𝟏) = 𝒄 𝟏L 𝒖 𝟏

13. OPERACIONES LINEALES
• La función Lu puede ser una función constante; en particular,
L(0) = L(0 x 0) = 0L(0) = 0.
• Si 𝒖 𝟑es una tercera función en el espacio, entonces
L(𝒄 𝟏 𝒖 𝟏+ 𝒄 𝟐 𝒖 𝟐+ 𝒄 𝟑 𝒖 𝟑) = L(𝒄 𝟏 𝒖 𝟏+ 𝒄 𝟐 𝒖 𝟐) + L(𝒄 𝟑 𝒖 𝟑)
= 𝒄 𝟏L 𝒖 𝟏+ 𝒄 𝟐L 𝒖 𝟐+ 𝒄 𝟑L 𝒖 𝟑
• Procediendo por inducción, encontramos que L transforma
combinaciones lineales de N funciones de esta manera:
(3) L( 𝒏=𝟏
𝑵
𝒄 𝒏 𝒖 𝒏) = 𝒏=𝟏
𝑵
𝒄 𝒏 𝑳 𝒖 𝒏

14. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
• Cada término distinto de cero de una ecuación diferencial homogénea
lineal en u, que consiste en una constante o una función de las
variables independientes solas, una de las derivadas de la u o u propia.
Por lo tanto cada ecuación diferencial homogénea lineal tiene la forma
(1) Lu = 0,
• donde L es un operador diferencial lineal.
(2) A𝒖 𝒙𝒙 + B𝒖 𝒙𝒚+ C𝒖 𝒚𝒚+ 𝑫𝒖 𝒙+𝑬𝒖 𝒚+F𝒖 = 𝟎,
• donde las letras A a la F denotan constantes o funciones de x e y
solamente, el segundo orden lineal homogéneo de la ecuación en
derivadas parciales de u(x, y). Puede ser escrito en forma (1) cuando
(3) L = A
𝝏 𝟐
𝝏𝒙 𝟐 + B
𝝏 𝟐
𝝏𝒚𝝏𝒙
+ C
𝝏 𝟐
𝝏𝒚 𝟐 + D
𝝏
𝝏𝒙
+ E
𝝏
𝝏𝒚
+ F.

15. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
• Condiciones de contorno lineales homogéneas también tienen la forma
(1). Luego las variables que aparecen como argumentos de u y como
argumentos de funciones que sirven como coeficientes en el operador
lineal L están restringidas para que representen puntos en el límite del
dominio.
• Ahora indicamos un principio de superposición, que es fundamental
para el método de Fourier, para resolver problemas de valor de límite
lineal.
• Teorema:
Supongamos que cada función de un infinito conjunto 𝒖 𝟏, 𝒖 𝟐,...
satisface una ecuación diferencial homogénea lineal o la condición de
frontera de Lu = O. Luego la serie infinita
(4) 𝒖 𝒏=𝟏
∞
𝒄 𝒏 𝒖 𝒏,
donde la 𝒄 𝒏 son constantes, también cumple con Lu = 0, siempre que la
serie converge y es diferenciable de todos los derivados involucrados,
siempre que cualquier condición que requiera de continuidad en la frontera
es satisfecha por Lu cuando Lu = 0 es una condición de frontera.

16. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
• Superposición también es útil en la teoría de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Por ejemplo, de la dos soluciones 𝒚 = 𝒆 𝒙
y , 𝒚 = 𝒆−𝒙
de la
ecuación homogénea lineal 𝒚 𝒏
- 𝒚 = 0, sabemos que 𝒚 = 𝒄 𝟏 𝒆 𝒙
+ 𝒄 𝟐 𝒆−𝒙
también es una solución. En este libro, estaremos preocupados
principalmente con la aplicación del principio de superposición para
soluciones de ecuaciones diferenciales parciales.
• Para demostrar el teorema, debemos abordar la convergencia y la
diferenciabilidad de series infinitas. Supongamos que las funciones 𝒖 𝒏
y constantes 𝒄 𝒏 son tales que la serie (4) converge a u a lo largo de
cierto dominio de las variables independientes y x representan una de
las variables.
• La serie es diferenciable, con respecto a x si los derivados 𝝏𝒖 𝒏 / 𝝏𝒙 y,
𝝏𝒖 / 𝝏𝒙 existen y si la serie de funciones 𝒄 𝒏 𝝏 𝒖 𝒏 / 𝝏𝒙 converge a 𝝏𝒖 / 𝝏𝒙 :
(5)
𝜕𝒖
𝜕𝒙
= 𝒏=𝟏
∞
𝒄 𝒏
𝝏𝒖 𝒏
𝝏x

17. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
• Tenga en cuenta que una serie debe ser convergente si quiere ser
derivable. Si, además, la serie (5) es diferenciable con respecto a x,
serie (4) es diferenciable dos veces con respecto a x.
• Sea L un operador lineal donde Lu es un producto de una función f de
las variables independientes u o un derivado de la u, o donde Lu es la
suma de un número finito de términos. Mostramos ahora que si es
diferenciable de todos los derivados involucrados en L en las serie (4) y
cada una de la funciones u; en la serie (4) satisface la ecuación
diferencial homogénea lineal Lu = 0, entonces la serie (4) lo satisface.
• Para lograr esto, primero observamos que según la definición de la
suma de una serie infinita,
𝒇
𝜕𝒖
𝜕𝒙
= 𝒇 lim
𝑵→∞
𝒏=𝟏
𝑵
𝒄 𝒏
𝝏𝒖 𝒏
𝝏x
• cuando la serie (4) es diferenciable con respecto a x.

18. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
• Por lo tanto
(6) 𝒇
𝜕𝒖
𝜕𝒙
= lim
𝑵→∞
𝒏=𝟏
𝑵
𝒄 𝒏
𝝏𝒖 𝒏
𝝏x
• Aquí el operador 𝝏/𝝏𝒙 puede remplazarse por otros derivados ,si la serie es
diferenciable. A continuación, agregando los lados correspondientes de
ecuaciones similares a la ecuación (6), incluyendo a uno que no tenga algún
derivado, encontramos que
(7) L𝒖 = lim
𝑵→∞
𝑳( 𝒏=𝟏
𝑵
𝒄 𝒏 𝒖 𝒏)
• La suma en el lado derecho de la ecuación (7) es una combinación lineal de
las funciones 𝒖 𝟏,𝒖 𝟐,...,𝒖 𝒏; y si 𝑳𝒖 𝒏= 0 (𝒏 = 1,2,...), sigue, con la ayuda de la
propiedad (3), en la sección 29, que
L𝒖 = lim
𝑵→∞
𝒏=𝟏
𝑵
𝒄 𝒏 𝑳𝒖 𝒏 = lim
𝑵→∞
0 = 0.
• Esto es, por supuesto, el resultado deseado.

19. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
• La discusión anterior se aplica también a condiciones de contorno
homogéneos lineales de Lu = 0. En ese caso, requerimos la función Lu
para satisfacer la condición de continuidad en los puntos de la frontera
para que sus valores representen la limitación de valores como esos
puntos que son abordados desde el interior del dominio. Esto completa
la prueba del teorema.

20. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• El problema del valor de límite lineal
(1) 𝒖 𝒕 𝒙, 𝒕 = 𝒌𝒖 𝒙𝒙 𝒙, 𝒕 𝟎 < 𝒙 < 𝒄, 𝒕 > 𝟎 ,
(2) 𝒖 𝒕 𝟎, 𝒕 = 𝟎, (𝒕 > 𝟎)
(3) 𝒖 𝟎, 𝒕 = 𝒇 𝒙 𝟎 < 𝒙 < 𝒄 ,
es un problema para la u de temperaturas (x, t) en una losa infinita de
material, limitado por los planos x = 0 y x = c, si sus caras están aisladas y
la distribución de la temperatura inicial es una función prescrita 𝒇 𝒙 de la
distancia desde la cara x = O. (ver Fig. 25). Suponemos que en la k la
conductividad térmica del material es constante a lo largo de la losa y que
el calor no se genera dentro de ella.
• En esta sección, se ilustra el método de Fourier para resolver problemas
de valor de límite lineal resolviendo el problema de temperatura que se
acaba de afirmar. Una serie de medidas que deben adoptarse aquí ,es
sólo formarlo o manipularlo. Una verificación de la solución final puede
encontrarse en el cap. 11

21. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA

22. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• Para determinar no trivial (u ≢ 0) funciones que satisfacen las
condiciones homogéneas (1) y (2). Buscamos soluciones separadas de
esas condiciones, o funciones de la forma
(4) 𝒖 = 𝑿 𝒙 𝑻(𝒕)
que les satisface. Tenga en cuenta que X es una función de x solamente y T
es una función solo de t. Tenga en cuenta que X y T deben ser no trivial (X
≢ O, T ≢ 0). Si u = XT satisface la ecuación (1), a continuación
𝑿 𝒙 𝑻′(𝒕) = 𝒌𝑿" 𝒙 𝑻(𝒕);
y para valores de x y t tal que el producto x T(t) es distinto de cero,
podemos dividir por kX(x) T(t) para separar las variables:
𝑻′(𝒕)
𝒌𝑻(𝒕)
=
𝑿"(𝒙)
𝑿 𝒙

23. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• Desde la izquierda es una función de t solo no varía con x, sin
embargo, es igual a una función de x solamente y, por lo que no puede
variar con t, ahí los dos lados deben tener algún valor constante una en
común. Es decir,
𝑻′(𝒕)
𝒌𝑻(𝒕)
= −𝛌,
𝑿"(𝒙)
𝑿 𝒙
= −𝛌.
• Nuestra opción de −𝛌, en lugar de 𝛌, para la separación de
constante, es claro, un asunto menor de notación. Es sólo para
conveniencia más adelante, que hemos escrito −𝛌.
• Si u = XT es satisfacer la primera de las condiciones (2) y, a
continuación, X‘(0)T(t) debe desaparecer para todos t (t > 0). Con
nuestro requisito que T ≢ 0, se deduce que X' (0) = 0. Asimismo,
la segunda de las condiciones (2) está satisfecha por u = XT si
X'(C) = 0.

24. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• Por lo tanto u = XT cumple las condiciones (1) y (2) cuando X y T
satisfacen estos dos problemas homogéneos:
(5) 𝑿" 𝒙 + 𝛌𝑿(𝒙) = 𝟎, 𝑿′(𝟎) = 𝟎 𝑿′(𝒄) = 𝟎,
(6) 𝑻′
𝒕 + 𝛌𝒌𝑻 𝒕 = 𝟎
• donde el parámetro 𝛌 tiene el mismo valor en ambos problemas. Para
encontrar soluciones no triviales de este par de problemas, primero
observamos que ese problema (6) no tiene condiciones de límites. Por lo
tanto tiene soluciones no triviales para todos los valores de la 𝛌.
Problema (5) tiene dos condiciones de contorno, puede tener soluciones
no triviales para sólo determinados valores 𝛌
• Problema (5) se llama un problema de “Sturm-Liouville”. La teoría
general de este tipo de problemas se desarrolla en el cap. 8, donde se
muestra que 𝛌 debe ser evaluada en orden para que sus soluciones
sean no triviales.

25. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• Si 𝛌 = 0, la ecuación diferencial en el problema (5) se convierte en X "(x)
= 0. Su solución general es X(x) = Ax +B, donde A y B son constantes.
Desde X' (x) = A, las condiciones de contorno X' (0) = 0 y X' (c) = 0
requieren que A = 0. Por lo tanto X(x) = B; y, excepto por un factor
constante, el problema (5) tiene la solución X(x) = 1 si 𝛌 = 0. Tenga en
cuenta que cualquier valor distinto de cero en B puede haber sido
seleccionado aquí.
• Si 𝛌 > 0, podemos escribir 𝛌 = ∝ 𝟐
(∝ > 0). La ecuación diferencial en el
problema (5), toma la forma X”(x) +∝ 𝟐
𝑿 (x) = 0, solución general que
Escribiendo
𝑿′(𝒙)= - 𝑪 𝟏 ∝ 𝒔𝒊𝒏 ∝ 𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒄𝒐𝒔 ∝ 𝒙
y teniendo en cuenta que ∝ es positiva y, en particular, distinto de cero,
vemos que la condición X' (0) = 0 implica que 𝐶2 = O. También, la condición
X' (c) = 0, se deduce que 𝑪 𝟏 ∝ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 0. Ahora si X(x) es una solución no
trivial del problema (5), 𝑪 𝟏 ≠ 0. Por lo tanto ∝,debe ser una raíz positiva de
la ecuación 𝑪 𝟏 ∝ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 0.

26. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• Es decir,
∝ =
𝒏𝝅
𝒄
(n=1, 2, …),
Por lo tanto, excepto el factor constante 𝑪 𝟏,
𝑿 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒄
(n=1, 2, …),
• Si ∝< 0, escribimos 𝝀= −∝ 𝟐
( ∝ > 0). Esta vez, la ecuación diferencial en
problema (5) tiene la solución general
𝑿(𝒙)= 𝑪 𝟏 𝒆∝𝒙
+ 𝑪 𝟐 𝒆∝𝒙
• Entonces
𝑿′(𝒙)= 𝑪 𝟏 ∝ 𝒆∝𝒙
− 𝑪 𝟐 ∝ 𝒆∝𝒙

27. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
la condición X' (0) = 0 implica que 𝑪 𝟐= 𝑪 𝟏. Por lo tanto
𝑿(𝒙)= 𝑪 𝟏 𝒆∝𝒙
+ 𝒆−∝𝒙
, o
𝑿(𝒙)= 2𝑪 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒉 ∝ 𝒙
• Pero la condición X' (c) = 0 requiere que 𝑪 𝟏de sinh ∝ 𝒄 = 0; y, desde sinh
∝ 𝒄 ≠ 𝟎, sigue que 𝑪 𝟏= O. Por lo tanto el problema (5) tiene solamente la
solución trivial x ≢ 0 si 𝛌 < O. Los valores
(7) 𝛌 𝟎 = 𝟎, 𝛌 𝒏 = (
𝒏𝝅
𝒄
) 𝟐
(n=1, 2, …)
de 𝛌 por qué el problema (5) tiene soluciones no triviales que se denominan
valores propios de ese problema y sus soluciones
(8) 𝑿 𝟎 𝒙 = 𝟏, 𝑿 𝒏 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒄
(n = 1, 2, …) ,
son funciones propias correspondientes.

28. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• En cuanto a la ecuación diferencial (6), debemos determinar sus
soluciones 𝑻 𝟎 𝒕 y 𝑻 𝒏(𝒕) (n = 1,2,...) correspondientes a cada uno de los
auto-valores 𝛌 𝟎 y 𝛌 𝒏(n = 1,2,...). Esas soluciones se encuentran en
constantes múltiplos de
(9) 𝑻 𝟎 𝒕 = 𝟏, 𝑻 𝒏 𝒕 = 𝒆𝒙𝒑 (−
𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝒌
𝒄 𝟐 𝒕) (n = 1, 2, …) ,
• Por lo tanto, cada uno de los productos
(10) 𝒖 𝟎 = 𝑿 𝟎 𝒙 𝑻 𝟎 𝒕 = 𝟏, y
(11) 𝒖 𝒏 = 𝑿 𝒏 𝒙 𝑻 𝒏 𝒕 = 𝒆𝒙𝒑 −
𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝒌
𝒄 𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒄
(n = 1, 2, … )
satisface las condiciones homogéneas (1) y (2). El procedimiento es solo
utilizado para obtenerlos y se llama el método de separación de variables.

29. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• Ahora, como ya se ha mostrado en ejemplo 1, el principio de
superposición en esa sección nos dice la combinación lineal
generalizada
(12) 𝒖 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝟎 + 𝒏=𝟏
∞
𝑨 𝒏 𝒆𝒙𝒑 ( −
𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝒌
𝒄 𝟐 𝒕) 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒄
de las funciones (10) y (11) se satisface las condiciones (1) y (2). Las
constantes una (n = 0, 1, 2, ...) en la expresión (12) se obtiene fácilmente de
la condición de no homogénea (3), es decir, u (x, 0) = f (x). Más
precisamente, por escribir t = 0 en la expresión (12), tenemos
𝐟 𝐱 =
𝟐𝑨 𝟎
𝟐
+ 𝒏=𝟏
∞
𝑨 𝒏 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒄
𝟎 < 𝒙 < 𝒄 .

30. UN PROBLEMA DE TEMPERATURA
• Dado que se trata de una serie coseno de Fourier 0 < x < c, se deduce
que
(13) 𝑨 𝟎 =
𝟏
𝒄 𝟎
𝒄
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ,
y
(14) 𝑨 𝟎 =
𝟐
𝒄 𝟎
𝒄
𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝟐
𝒅𝒙 ,
• Ya ha finalizado la solución formal de nuestro problema de temperatura.
Se trata de la expresión (12) junto con sus coeficientes (13) y (14).
Observe que las temperaturas de estado estacionario, cuando t tiende a
infinito, 𝑨 𝟎. Esa temperatura constante es evidentemente el valor
promedio, o medio , de la temperatura inicial f (x) en el intervalo 0 < x <
c.