I-Algebras

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Ampliación del cuerpo de los complejos asociativa y conmutativa.

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I-Algebras

  1. 1. I-Álgebras José Antonio González Perant El cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado, esta afirmación es conocida desdehace tiempo, aún así no han sido pocos los matemáticos que han tratado de ampliarlo. Entre ellos,como sabrán, Hamilton, que fue quien descubrió los cuaterniones pero por desgracia perdió laconmutatividad. Con los octoniones se pierde también la asociatividad y en los sedeniones nosencontramos con divisores de cero. Parece que conforme se aumenta la dimensión se pierda unapropiedad hasta casi llegar a no tener ninguna. Pero veamos que tienen en común todas estasálgebras. Si nos fijamos en las tablas de multiplicación de todas ellas y más concretamente en ladiagonal nos encontramos que a∙a=-1. Pero, ¿por qué razón debemos ampliar así? ¿Y si permitimosque a*a sea igual a otra cosa? Vamos a fijarnos en los grupos de Galois finitos. Tomemos la sumapara . La tabla como sabrán es la siguiente. Si hacemos el cambio; Ya tenemos algo parecido a los números complejos. Ahora sólo debemos introducir signosnegativos de manera adecuada. Para ello vamos a crear el siguiente corchete. En el exponenteutilizaremos la multiplicación en y esto lo transformaremos en una potencia de -1 conel valor equivalente, de la manera siguiente. 〈 〉 ( ) ( ) ( ) Estos corchetes se comportan igual que un paréntesis usual salvo en el caso siguiente. 〈 〉
  2. 2. Si utilizamos la regla del signo del exponente puede sucedernos lo siguiente. Tomemos k en . Y K=1. 〈 〉 ( ) Pero si pasamos al numerador el exponente. 〈 〉 〈 〉 〈 〉 Por lo que si queremos mantener el signo debemos mantener el valor del exponente. 〈 〉 〈 〉 Ahora vamos a definir la multiplicación de la base de nuestras álgebras. Para ellomantendremos la notación de los subíndices incluido el elemento 1. La tabla multiplicativa para n=3 quedaría de la siguiente manera. Para n=4 tendríamos dos tablas multiplicativas. Una asociada a . Y otra a Y lo que es muy interesante, por lo reconocible, la de n=2.
  3. 3. Ya que tenemos la base ahora vamos a definir las algebras. Trabajaremos con elementos; * + La suma y la multiplicación se harán de la misma manera que se trabaja con polinomios teniendo en cuenta la multiplicación de los elementos i citada anteriormente. A estas algebras la denominaremos I-Álgebras y las denotaremos de la siguiente manera. Así al basar las operaciones, tanto del subíndice de cada elemento i como del exponente del corchete, en un cuerpo, mantenemos la conmutatividad y la asociatividad como se puede ver a continuación. Para simplificar expresiones tendremos en cuenta de que todo lo que ocurre sobre el corchete y en el subíndice está operado en . (∑ ) (∑ ) ∑∑ ∑ ∑〈 〉 ∑ ∑〈 〉 ∑∑ (∑ ) (∑ )( ) ((∑ ) (∑ )) (∑ ∑ ) (∑ ∑〈 〉 ) (∑ ) ∑ ∑ ∑〈 〉 ∑ ∑ ∑〈 〉 〈 〉( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑〈 〉 ∑ ∑ ∑〈 〉 ( ) ( )〈 ∑ ∑ ∑〈 〉 ∑ ∑ ∑〈 〉 〉 ( )
  4. 4. ∑ ∑ ∑〈 〉 (∑ ) (∑ ∑〈 〉 ) (∑ ∑ ) ((∑ ) (∑ )) ( ) La asociatividad y la conmutatividad están demostradas. Podríamos pensar que estas álgebras no plantean ningún problema pero no es así. Al igual que ocurre con las matrices cuadradas no tenemos inverso multiplicativo generalizado. Veamos lo que ocurre para . ( )( ) Operando y agrupando términos obtenemos lo siguiente: ( ) ( ) ( ) Igualando obtenemos el siguiente sistema. { Realizando el determinante para calcular el rango. | | Si calculamos los otros tres menores de 3x3 obtenemos lo siguiente. Donde se cumplan las últimas cuatro ecuaciones tendríamos que el sistema es compatible indeterminado, lo cual traducido a nuestro problema implicaría unos elementos que tendrían más de un inverso multiplicativo. Pero el único valor que cumple sería el (0,0,0) el cual no entraría dentro del conjunto de elementos con posible inverso. En el resto de puntos que cumplan la ecuación obtenida del determinante no tendríamos inverso ya que el sistema sería incompatible. Lo cual, repetimos es lo que ocurre en las matrices cuadradas pero a diferencia de ellas podemos decir donde se localizan dichos elementos. En el caso n=3 sería sobre la variedad. O expresado de otra manera, sobre el plano.
  5. 5. A continuación vamos a esbozar un resultado que aún a falta de formalización puede resultar muy interesante. GENERALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN Pensemos en una función a semejanza de las funciones complejas pero dentro de nuestras . Esto es. ( ) ∑ ( ) Si calculamos la derivada. ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ( ) ( ))( ) | | | | | | Si tomamos; ∑ ( ( ) ( )) (Multiplicamos y dividimos por i-k ) ∑ ( ( ) ( )) ∑ 〈 〉 ( ( ) ( )) 〈 〉 Recordemos que; 〈 〉 〈 〉 Y teniendo en cuenta que; ( ) Entonces;
  6. 6. 〈 〉 〈 〉 ( ( ) ( )) ∑ ( ( ) ( )∑〈 〉 ∑〈 〉 ( ) Si hacemos el siguiente cambio de notación; ( ) | ( ) Obtenemos; ( ) 〉 ( ( )) ∑〈 | Tendríamos que ver la relación contemplando las soluciones a la siguiente ecuación sobre . Ahora vamos a particularizar para el caso n=3. ( ) | ( ) | ( ) | ( ) ( ) | ( ) | ( ) | ( ) ( ) | ( ) | ( ) | ( ) Si igualamos término i-ésimo a término i-ésimo. | | | | | | | | | Comprobemos un ejemplo. Sea;( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
  7. 7. Por lo que las funciones u son de las siguiente manera. ( ) ( ) ( )Si hacemos las derivadas parciales vemos que se cumplen las Ecuaciones de Cauchy- Riemann. | | | | | | | | |

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